12. 如图，等边三角形ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使$CF=\frac{1}{2}BC$，连接CD和EF。
(1)求证：$DE=CF$；
(2)求EF的长。

(1) 证明：
∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴$DE// BC$，且$DE=\frac{1}{2}BC$，
又∵$CF=\frac{1}{2}BC$，
∴$DE=CF$。
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(2) 解：
∵$DE// CF$，且$DE=CF$，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴$EF=CD$。
∵△ABC是边长为4的等边三角形，
∴$AB=BC=4$，
∵D是AB的中点，由等边三角形三线合一得：
$CD⊥ AB$，$BD=\frac{1}{2}AB=2$，
在$Rt△ BCD$中，由勾股定理：
$CD=\sqrt{BC^2-BD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∴$EF=CD=2\sqrt{3}$。
最终结论：EF的长为$2\sqrt{3}$。

13.已知，在四边形ABCD中，AD//BC，∠ABC=∠ADC，AD=3，AB=√10。
(1)求BC的长。
(2)点E在BC的延长线上，连接DE，若∠ABC=90°−$\frac{1}{2}$∠CED，且四边形ABCD的面积为9，求DE的长度。
(3)在(2)的条件下，点E在BC的延长线上，动点P从点A出发，以每秒0.5个单位长度的速度向终点D匀速运动，动点Q从点E出发，以每秒3.5个单位长度的速度沿线段EB向终点B匀速运动。点P和点Q同时出发，当点Q到达终点停止运动时，点P也随之停止运动。当运动时间t(单位:秒)为何值时，以C，D，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形？

(1) 求BC的长
证明：
∵ $AD// BC$，
∴ $∠ A + ∠ ABC = 180°$，
又∵ $∠ ABC = ∠ ADC$，
∴ $∠ A + ∠ ADC = 180°$，
∴ $AB// CD$，
∴ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $BC = AD = 3$。
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(2) 求DE的长度
解：
过点$D$作$DH⊥ BC$于点$H$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，面积为9，$BC=3$，
∴ $DH = \frac{S_{ABCD}}{BC} = \frac{9}{3} = 3$。
∵ $CD = AB = \sqrt{10}$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ DCH$中，$CH = \sqrt{CD^2 - DH^2} = \sqrt{(\sqrt{10})^2 - 3^2} = 1$。
∵ $AD// BC$，$DH⊥ BC$，
∴ $DH⊥ AD$，即$∠ ADH = 90°$。
∵ $∠ ADC = ∠ ABC$，且$∠ ADC + ∠ CDH = 90°$，
∴ $∠ ABC + ∠ CDH = 90°$，即$∠ CDH = 90° - ∠ ABC$。
由题设$∠ ABC = 90° - \frac{1}{2}∠ CED$，得$90° - ∠ ABC = \frac{1}{2}∠ CED$，
∴ $∠ CDH = \frac{1}{2}∠ CED$，即$∠ CED = 2∠ CDH$。
设$HE = x$，在$\mathrm{Rt}△ DHE$中，$\tan∠ CED = \frac{DH}{HE} = \frac{3}{x}$，
由$∠ CED=2∠ CDH$，$\tan∠ CDH = \frac{CH}{DH} = \frac{1}{3}$，推导得$\tan∠ CED = \frac{3}{4}$，
∴ $\frac{3}{x} = \frac{3}{4}$，解得$x=4$，即$HE=4$。
在$\mathrm{Rt}△ DHE$中，$DE = \sqrt{DH^2 + HE^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。
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(3) 求符合条件的t值
解：
由题意得：$AP = 0.5t$，$EQ = 3.5t$，
∴ $PD = AD - AP = 3 - 0.5t$。
∵ $AD// BC$，即$PD// CQ$，
∴ 当$PD = CQ$时，以$C,D,P,Q$为顶点的四边形是平行四边形。
由(2)可知$CE = EH - CH = 4 - 1 = 3$？不对，$CE=5$，$BE=BC+CE=8$，点Q运动总时长为$\frac{8}{3.5} = \frac{16}{7}$秒，分两种情况：
1. 当点$Q$在$E,C$之间时，$CQ = CE - EQ = 5 - 3.5t$，
令$3 - 0.5t = 5 - 3.5t$，解得$t = \frac{2}{3}$；
2. 当点$Q$在$C,B$之间时，$CQ = EQ - CE = 3.5t - 5$，
令$3 - 0.5t = 3.5t - 5$，解得$t = 2$。
$\because \frac{2}{3} ＜ \frac{16}{7}$，$2 ＜ \frac{16}{7}$，均符合运动范围，
∴ 当$t = \frac{2}{3}$或$t=2$时，以$C,D,P,Q$四点为顶点的四边形是平行四边形。
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最终结论：
(1) $\boldsymbol{BC=3}$；
(2) $\boldsymbol{DE=5}$；
(3) 当$t$为$\boldsymbol{\frac{2}{3}}$秒或$\boldsymbol{2}$秒时，满足条件。