10. 如图,在平行四边形ABCD中,∠C=120°,AD=2AB=4,点H,G分别是边DC,BC上的动点,连接AH,HG,点E为AH的中点,点F为HG的中点,连接EF.
(1)平行四边形BC边上的高为;
(2)EF的最大值为.

10. (1)$\sqrt{3}$ (2)$\sqrt{3}$

【分析】
(1) 首先利用平行四边形邻角互补的性质求出∠B的度数，过点A作BC边上的高构造直角三角形，结合30°直角三角形的性质和勾股定理即可求出高的长度。
(2) 观察E、F分别是AH、HG的中点，可联想到三角形中位线定理，得到EF与AG的数量关系，将求EF的最大值转化为求AG的最大值；G在BC上运动时，AG的最大值为点A到点C的距离，求出AC长度后即可得到EF的最大值。
【解析】
(1) 过点A作$AM ⊥ BC$于点M，$AM$即为BC边上的高。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$∠ B + ∠ C = 180°$，已知$∠ C=120°$，
∴$∠ B=180° - 120°=60°$。
∵$2AB=4$，
∴$AB=2$。
在$Rt△ ABM$中，$∠ BAM=90° - 60°=30°$，
∴$BM=\frac{1}{2}AB=1$，
由勾股定理得：$AM=\sqrt{AB^2 - BM^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$。
(2) 连接$AG$，
∵E是AH的中点，F是HG的中点，
∴EF是$△ AHG$的中位线，根据三角形中位线定理可得：$EF=\frac{1}{2}AG$。
要使EF最大，则需AG最大，当G与点C重合时，AG取最大值，此时$AG=AC$。
由(1)知$AM=\sqrt{3}$，$BC=AD=4$，
∴$MC=BC - BM=4 - 1=3$，
在$Rt△ AMC$中，$AC=\sqrt{AM^2 + MC^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2}=2\sqrt{3}$，
∴$EF_{max}=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2} × 2\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\sqrt{3}$；(2) $\sqrt{3}$
【知识点】
平行四边形的性质；三角形中位线定理；勾股定理
【点评】
本题考查平行四边形性质和中位线定理的综合应用，解题的关键是通过中位线将EF的最值转化为AG的最值，体现了转化思想的运用，难度适中。
【难度系数】
0.6

11. 如图，$□ ABCD$的对角线$AC,BD$相交于点$O$，过点$O$的直线$EF$分别交$AD,CB$的延长线于点$E$，$F$. 求证:$OE=OF$.

11. 证明:$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore AO=CO,AD// BC$.
$\therefore ∠ EAO=∠ FCO$. 在$△ AOE$和$△ COF$中,$\begin{cases}∠ EAO=∠ FCO,\\AO=CO,\\∠ AOE=∠ COF,\end{cases}$
$\therefore △ AOE≌△ COF(\mathrm{ASA}).\therefore OE=OF$.

【分析】
要证明线段$OE=OF$，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等求解，即证$△ AOE ≌ △ COF$。首先结合平行四边形的性质：平行四边形对角线互相平分，可得$AO=CO$；平行四边形对边平行，可得$AD// BC$，进而推出内错角$∠ EAO=∠ FCO$，再结合对顶角相等的性质，即可得到全等三角形的判定条件，最终由全等对应边相等得到结论。
【解析】
证明：$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AO=CO,AD// BC$，
$\therefore ∠ EAO=∠ FCO$。
在$△ AOE$和$△ COF$中，
$\begin{cases}∠ EAO=∠ FCO,\\AO=CO,\\∠ AOE=∠ COF,\end{cases}$
$\therefore △ AOE≌ △ COF(\mathrm{ASA})$，
$\therefore OE=OF$。
【答案】
证明如上，可证得$OE=OF$。
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于平行四边形性质的基础应用题型，解题核心是利用平行四边形的性质找到全等三角形的判定条件，通过证三角形全等得到对应边相等，是几何证明中非常典型的解题思路。
【难度系数】
0.8

12. 如图，点E，F在$□ ABCD$的对角线AC上. 若，则四边形BEDF是平行四边形. 请从①BE＝DF；②AE＝CF；③BE//DF这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由.

12. ③(答案不唯一),理由:$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore CB// AD,CB=AD.\therefore ∠ BCE=∠ DAF.\because BE// DF,\therefore ∠ CEB=∠ AFD$.
在$△ CBE$和$△ ADF$中,$\begin{cases}∠ CEB=∠ AFD,\\∠ BCE=∠ DAF,\\CB=AD,\end{cases}\therefore △ CBE≌△ ADF(\mathrm{AAS}).\therefore BE=DF$. 又$\because BE// DF,\therefore$ 四边形$BEDF$是平行四边形.

【分析】
要证明四边形BEDF是平行四边形，可通过“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理推导。首先利用平行四边形ABCD的性质得到对应边相等、内错角相等的基础条件，若选择条件③BE//DF，可先证明△CBE与△ADF全等得到BE=DF，再结合BE//DF的条件即可完成证明。
【解析】
选择条件③，理由如下：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $CB// AD$，$CB=AD$，
∴ $∠BCE=∠DAF$。
∵ $BE// DF$，
∴ $∠CEB=∠AFD$。
在$△ CBE$和$△ ADF$中：
$\begin{cases}∠CEB=∠AFD,\\∠BCE=∠DAF,\\CB=AD,\end{cases}$
∴ $△ CBE≌△ ADF(\mathrm{AAS})$，
∴ $BE=DF$。
又
∵ $BE// DF$，
∴ 四边形$BEDF$是平行四边形。
【答案】
③(答案不唯一)
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定；平行四边形的判定
【点评】
本题属于开放性题目，综合考查平行四边形的性质与判定以及全等三角形的证明，需要熟练掌握相关定理，结合图形特征选择合适的条件推导结论，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

13. 如图,四边形ABCD为平行四边形,线段AC为对角线,点E,F分别为线段BC,AD的中点,连接AE,CF,EF,EF交AC于点O.
(1)求证:四边形AECF为平行四边形;
(2)若OF=3,求CD的长.

13. 解:(1)证明:$\because$ 四边形$ABCD$为平行四边形,$\therefore AD=BC,AD// BC$.$\because$ 点E,F分别为线段BC,AD的中点,$\therefore AF=\dfrac{1}{2}AD,CE=\dfrac{1}{2}BC$.$\therefore AF=CE$. 又$\because AF// CE,\therefore$ 四边形$AECF$为平行四边形.
(2)$\because$ 四边形$AECF$为平行四边形,$\therefore OA=OC$.$\because AF=DF$,$\therefore OF$为$△ ACD$的中位线.$\therefore CD=2OF=2×3=6$.

【分析】
（1）要证明四边形AECF是平行四边形，优先选用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理。首先从已知的平行四边形ABCD入手，得到AD与BC平行且相等，再结合E、F是BC、AD的中点，可推出AF和CE平行且相等，满足平行四边形的判定条件。
（2）要求CD的长度，已知OF的长度，先由平行四边形AECF对角线互相平分的性质得到O是AC中点，结合F是AD中点，可知OF是△ACD的中位线，根据中位线定理即可求出CD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ $AD=BC$，$AD// BC$。
∵ 点E，F分别为线段BC，AD的中点，
∴ $AF=\dfrac{1}{2}AD$，$CE=\dfrac{1}{2}BC$，
∴ $AF=CE$。
又
∵ $AF// CE$，
∴ 四边形AECF为平行四边形。
(2) 解：
∵ 四边形AECF为平行四边形，
∴ $OA=OC$，即O为AC的中点。
又
∵ F为AD的中点，
∴ OF是$△ ACD$的中位线，
∴ $CD=2OF=2×3=6$。
【答案】
(1) 四边形AECF为平行四边形，证明成立；
(2) $CD=6$
【知识点】
平行四边形判定；平行四边形性质；三角形中位线定理
【点评】
本题是几何基础题，围绕平行四边形和三角形中位线的核心知识点设置，解题时需要灵活调用平行四边形的性质推导线段的平行、相等关系，再结合中位线定理求解线段长度，主要考查学生对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.8