14. 某款折叠便携钓鱼椅抽象出来的几何图形如图所示,测得$GD=CE=DF=50\ \mathrm{cm}$,$AB=20\ \mathrm{cm}$,$EF=80\ \mathrm{cm}$,$∠ GBA+∠ FEC=180°$,$∠ GFE=90°$,已知$AB// CD// EF$.
(1)求证:四边形$ACDB$是平行四边形；
(2)求椅子最高点$G$到地面$EF$的距离.

14. 解:(1)证明:$\because AB// CD// EF$,$\therefore ∠ ABG=∠ CDG,∠ ACD=∠ FEC$.$\because ∠ GBA+∠ FEC=180°$,$\therefore ∠ ACD+∠ CDG=180°$.
$\therefore AC// BD$.$\therefore$ 四边形$ACDB$是平行四边形.
(2)$\because$ 四边形$ACDB$是平行四边形,$\therefore CD=AB=20\ \mathrm{cm}$. 延长$GD$交$EF$于点$H$,由(1)可知,$DH// AE,CD// EH$,$\therefore$ 四边形$CEHD$是平行四边形.$\therefore DH=CE=50\ \mathrm{cm}$,$EH=CD=20\ \mathrm{cm}$.
$\therefore GD=DH=DF$,$GH=GD+DH=100\ \mathrm{cm}$,$HF=EF-EH=60\ \mathrm{cm}$.
$\therefore ∠ DHF=∠ DFH$,$∠ G=∠ DFG$.$\because ∠ DHF+∠ HFG+∠ G=180°$,$\therefore ∠ GFH=90°$.$\therefore GF=\sqrt{GH^2-HF^2}=\sqrt{100^2-60^2}=80(\mathrm{cm})$.$\therefore$ 椅子最高点$G$到地面$EF$的距离为$80\ \mathrm{cm}$.

【分析】
要证明四边形ACDB是平行四边形，需利用平行线的性质转化角，结合平行四边形“两组对边分别平行”的判定定理推导；求G到地面EF的距离时，需延长GD构造平行四边形，结合已知边长和勾股定理计算。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB//CD//EF，
∴ ∠ABG = ∠CDG（两直线平行，同位角相等），∠ACD = ∠FEC（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ ∠GBA + ∠FEC = 180°，
∴ ∠ACD + ∠CDG = 180°，
∴ AC//BD（同旁内角互补，两直线平行）。
又
∵ AB//CD，
∴ 四边形ACDB两组对边分别平行，故四边形ACDB是平行四边形。
(2) 解：
由(1)知四边形ACDB是平行四边形，
∴ CD = AB = 20 cm。
延长GD交EF于点H，
∵ AB//CD//EF，CE//DH，
∴ 四边形CEHD是平行四边形，
∴ DH = CE = 50 cm，EH = CD = 20 cm。
∴ GH = GD + DH = 50 + 50 = 100 cm，HF = EF - EH = 80 - 20 = 60 cm。
∵ ∠GFE = 90°，即GF⊥EF，
在Rt△GFH中，由勾股定理得：
GF = √(GH² - HF²) = √(100² - 60²) = 80 cm。
即椅子最高点G到地面EF的距离为80 cm。
【答案】
(1) 四边形ACDB是平行四边形，证明成立；
(2) 80 cm
【知识点】
平行四边形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理
【点评】
本题结合实际几何模型，考查平行四边形的判定与性质、勾股定理的应用，需通过辅助线构造平行四边形，逻辑推导要求清晰，属于中等难度的几何应用题。
【难度系数】
0.5