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1. 如图，在$□ ABCD$中，M是BC延长线上的一点，若$∠ A=115°$，则$∠ MCD$的度数是 （
A.$45°$
B.$55°$
C.$65°$
D.$75°$
C
）A.$45°$
B.$55°$
C.$65°$
D.$75°$
答案
1.C
解析
【分析】
解题思路：首先观察图形，要求∠MCD的度数，我们可以先利用平行四边形的性质求出和∠MCD互补的∠BCD的度数，再结合平角为180°计算即可。第一步回忆平行四边形对角相等的性质，得到∠BCD和已知∠A的等量关系，第二步利用平角定义，用180°减去∠BCD的度数就能得到∠MCD的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD = ∠A = 115°（平行四边形的对角相等），
∵点M在BC的延长线上，∠BCM是平角，
∴∠BCD + ∠MCD = 180°，
∴∠MCD = 180° - 115° = 65°。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，平角的计算
【点评】
本题是平行四边形性质的基础应用题，主要考察学生对平行四边形角的相关性质的掌握程度，解题时结合平角的特征即可快速得出结果，属于基础常规题型。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先观察图形，要求∠MCD的度数，我们可以先利用平行四边形的性质求出和∠MCD互补的∠BCD的度数，再结合平角为180°计算即可。第一步回忆平行四边形对角相等的性质，得到∠BCD和已知∠A的等量关系，第二步利用平角定义，用180°减去∠BCD的度数就能得到∠MCD的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD = ∠A = 115°（平行四边形的对角相等），
∵点M在BC的延长线上，∠BCM是平角，
∴∠BCD + ∠MCD = 180°，
∴∠MCD = 180° - 115° = 65°。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，平角的计算
【点评】
本题是平行四边形性质的基础应用题，主要考察学生对平行四边形角的相关性质的掌握程度，解题时结合平角的特征即可快速得出结果，属于基础常规题型。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在$□ ABCD$中,$∠ ODA=90°$,$AC=10\ \mathrm{cm}$,$BD=6\ \mathrm{cm}$,则$AD$的长为 (
A.4 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.8 cm
A
)A.4 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.8 cm
答案
2.A
解析
【分析】
解题时先利用平行四边形对角线互相平分的性质，求出直角△ODA的两条边OA、OD的长度，再结合勾股定理即可计算出AD的长。第一步：根据平行四边形对角线互相平分，由AC、BD的总长求出OA和OD的长度；第二步：确定△ODA是直角三角形，代入勾股公式计算AD。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O
∴OA = $\frac{1}{2}$AC，OD = $\frac{1}{2}$BD（平行四边形对角线互相平分）
已知AC=10cm，BD=6cm，
∴OA = $\frac{1}{2}$×10 = 5cm，OD = $\frac{1}{2}$×6 = 3cm
又
∵∠ODA=90°，即△ODA是直角三角形
根据勾股定理：$AD^2 + OD^2 = OA^2$
∴$AD = \sqrt{OA^2 - OD^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\mathrm{cm}$
故选A
【答案】A
【知识点】
平行四边形的性质，勾股定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的核心是熟练运用平行四边形的性质转化已知条件，结合勾股定理求解直角三角形的边长，掌握平行四边形的基本性质是解此类题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时先利用平行四边形对角线互相平分的性质，求出直角△ODA的两条边OA、OD的长度，再结合勾股定理即可计算出AD的长。第一步：根据平行四边形对角线互相平分，由AC、BD的总长求出OA和OD的长度；第二步：确定△ODA是直角三角形，代入勾股公式计算AD。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O
∴OA = $\frac{1}{2}$AC，OD = $\frac{1}{2}$BD（平行四边形对角线互相平分）
已知AC=10cm，BD=6cm，
∴OA = $\frac{1}{2}$×10 = 5cm，OD = $\frac{1}{2}$×6 = 3cm
又
∵∠ODA=90°，即△ODA是直角三角形
根据勾股定理：$AD^2 + OD^2 = OA^2$
∴$AD = \sqrt{OA^2 - OD^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\mathrm{cm}$
故选A
【答案】A
【知识点】
平行四边形的性质，勾股定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的核心是熟练运用平行四边形的性质转化已知条件，结合勾股定理求解直角三角形的边长，掌握平行四边形的基本性质是解此类题的关键。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O. 下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 (
A.$AO=CO,BO=DO$
B.$∠ ABC=∠ ADC,∠ BAD=∠ DCB$
C.$AB// CD,AD// BC$
D.$AB// CD,AD=BC$
D
)A.$AO=CO,BO=DO$
B.$∠ ABC=∠ ADC,∠ BAD=∠ DCB$
C.$AB// CD,AD// BC$
D.$AB// CD,AD=BC$
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查平行四边形的判定定理，解题时需结合平行四边形的判定条件逐一分析每个选项，排除可判定为平行四边形的选项，最终选出无法判定的选项。首先回忆平行四边形的核心判定依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再对应选项逐一验证。
【解析】
对各选项逐一分析：
A选项：由AO=CO，BO=DO可知四边形ABCD的对角线互相平分，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
B选项：由∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠DCB可知四边形ABCD两组对角分别相等，根据“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
C选项：由AB//CD，AD//BC可知四边形ABCD两组对边分别平行，根据平行四边形的定义，可判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
D选项：AB//CD，AD=BC时，该四边形除了是平行四边形外，还可能是等腰梯形，无法唯一判定为平行四边形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定、等腰梯形的特征
【点评】
本题是平行四边形判定的基础题，重点考查对判定定理的掌握程度，需注意“一组对边平行，另一组对边相等”是常见的易错判定条件，不要和“一组对边平行且相等”的正确判定混淆。
【难度系数】
0.85
本题考查平行四边形的判定定理，解题时需结合平行四边形的判定条件逐一分析每个选项，排除可判定为平行四边形的选项，最终选出无法判定的选项。首先回忆平行四边形的核心判定依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再对应选项逐一验证。
【解析】
对各选项逐一分析：
A选项：由AO=CO，BO=DO可知四边形ABCD的对角线互相平分，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
B选项：由∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠DCB可知四边形ABCD两组对角分别相等，根据“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
C选项：由AB//CD，AD//BC可知四边形ABCD两组对边分别平行，根据平行四边形的定义，可判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
D选项：AB//CD，AD=BC时，该四边形除了是平行四边形外，还可能是等腰梯形，无法唯一判定为平行四边形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定、等腰梯形的特征
【点评】
本题是平行四边形判定的基础题，重点考查对判定定理的掌握程度，需注意“一组对边平行，另一组对边相等”是常见的易错判定条件，不要和“一组对边平行且相等”的正确判定混淆。
【难度系数】
0.85
4. 如图，$l_1 // l_2$，平行四边形、三角形、梯形放置于$l_1$和$l_2$之间，它们的面积分别记为$S_1, S_2, S_3$，则下列正确的是（
A.$S_1 ＞ S_2 ＞ S_3$
B.$S_1 = S_2 ＞ S_3$
C.$S_1 ＞ S_2 = S_3$
D.$S_1 = S_2 = S_3$
D
）A.$S_1 ＞ S_2 ＞ S_3$
B.$S_1 = S_2 ＞ S_3$
C.$S_1 ＞ S_2 = S_3$
D.$S_1 = S_2 = S_3$
答案
4.D
解析
【分析】
因为$l_1// l_2$，两条平行线之间的距离处处相等，所以三个图形的高相同，我们设这个高为$h$，接下来分别代入平行四边形、三角形、梯形的面积公式计算三个面积，再比较大小即可得到结论。
【解析】
设平行线$l_1$和$l_2$之间的距离为$h$，即三个图形的高均为$h$：
1. 平行四边形面积：$S_1=\mathrm{底}×\mathrm{高}=5× h=5h$
2. 三角形面积：$S_2=\frac{1}{2}×\mathrm{底}×\mathrm{高}=\frac{1}{2}×10× h=5h$
3. 梯形面积：$S_3=\frac{1}{2}×(\mathrm{上底}+\mathrm{下底})×\mathrm{高}=\frac{1}{2}×(3+7)× h=5h$
因此$S_1=S_2=S_3$，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平行线间的距离；平面图形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是利用平行线间距离处处相等的性质，确定三个图形的高相同，再熟练运用对应图形的面积公式计算比较即可。
【难度系数】
0.8
因为$l_1// l_2$，两条平行线之间的距离处处相等，所以三个图形的高相同，我们设这个高为$h$，接下来分别代入平行四边形、三角形、梯形的面积公式计算三个面积，再比较大小即可得到结论。
【解析】
设平行线$l_1$和$l_2$之间的距离为$h$，即三个图形的高均为$h$：
1. 平行四边形面积：$S_1=\mathrm{底}×\mathrm{高}=5× h=5h$
2. 三角形面积：$S_2=\frac{1}{2}×\mathrm{底}×\mathrm{高}=\frac{1}{2}×10× h=5h$
3. 梯形面积：$S_3=\frac{1}{2}×(\mathrm{上底}+\mathrm{下底})×\mathrm{高}=\frac{1}{2}×(3+7)× h=5h$
因此$S_1=S_2=S_3$，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平行线间的距离；平面图形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是利用平行线间距离处处相等的性质，确定三个图形的高相同，再熟练运用对应图形的面积公式计算比较即可。
【难度系数】
0.8
5. 如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC,BD$ 相交于点 $O$，$∠ ADC$ 的平分线与边 $AB$ 相交于点 $P$，$E$ 是 $PD$ 的中点. 若 $AD=6,CD=9$，则 $EO$ 的长为 （
A.1
B.$\dfrac{3}{2}$
C.2
D.3
B
）A.1
B.$\dfrac{3}{2}$
C.2
D.3
答案
5.B
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先利用平行四边形的性质，得到对边平行且相等、对角线互相平分的结论；第二步，结合角平分线的定义和平行线的内错角相等，推导出△ADP是等腰三角形，得到AP=AD，进而求出PB的长度；第三步，观察到E是PD中点、O是BD中点，符合三角形中位线的条件，利用中位线定理即可求出EO的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD=9，对角线AC、BD互相平分，即O为BD的中点。
∵DP平分∠ADC，
∴∠ADP=∠CDP。
∵AB//CD，
∴∠CDP=∠APD（两直线平行，内错角相等），
∴∠ADP=∠APD，
∴AP=AD=6，
∴PB=AB-AP=9-6=3。
又
∵E是PD的中点，O是BD的中点，
∴EO是△DPB的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，
∴EO=$\frac{1}{2}$PB=$\frac{1}{2}$×3=$\frac{3}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定；三角形中位线定理
【点评】
本题是平行四边形相关的基础综合题，将角平分线、平行线的性质、等腰三角形判定和中位线定理结合考查，解题的关键是通过角的等量关系推出等腰三角形，找到中位线对应的第三边长度，需要熟练掌握各基础知识点的灵活运用。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，先利用平行四边形的性质，得到对边平行且相等、对角线互相平分的结论；第二步，结合角平分线的定义和平行线的内错角相等，推导出△ADP是等腰三角形，得到AP=AD，进而求出PB的长度；第三步，观察到E是PD中点、O是BD中点，符合三角形中位线的条件，利用中位线定理即可求出EO的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD=9，对角线AC、BD互相平分，即O为BD的中点。
∵DP平分∠ADC，
∴∠ADP=∠CDP。
∵AB//CD，
∴∠CDP=∠APD（两直线平行，内错角相等），
∴∠ADP=∠APD，
∴AP=AD=6，
∴PB=AB-AP=9-6=3。
又
∵E是PD的中点，O是BD的中点，
∴EO是△DPB的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，
∴EO=$\frac{1}{2}$PB=$\frac{1}{2}$×3=$\frac{3}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定；三角形中位线定理
【点评】
本题是平行四边形相关的基础综合题，将角平分线、平行线的性质、等腰三角形判定和中位线定理结合考查，解题的关键是通过角的等量关系推出等腰三角形，找到中位线对应的第三边长度，需要熟练掌握各基础知识点的灵活运用。
【难度系数】
0.7
6. 在平面直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别是A(1,0),B(-1,3),C(-2,-1),再找一点D,使它与点A,B,C构成的四边形是平行四边形,则点D的坐标不可能是 (
A.(-3,2)
B.(-4,2)
C.(0,-4)
D.(2,4)
A
)A.(-3,2)
B.(-4,2)
C.(0,-4)
D.(2,4)
答案
6.A
解析
【分析】
我们可以利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合平面直角坐标系的中点坐标公式解题。由于未明确平行四边形的对角线，需分三种情况讨论：分别以AB、AC、BC为平行四边形的对角线，根据“平行四边形两条对角线的中点重合”列等式求出对应D点的坐标，排除可能的坐标后即可得到不可能的选项。
【解析】
平面直角坐标系中，若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点连线的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。设点$D$的坐标为$(x,y)$，分三种情况讨论：
1. 当$AB$为平行四边形的对角线时，$AB$与$CD$的中点重合：
$AB$的中点为$(\frac{1+(-1)}{2},\frac{0+3}{2})=(0,\frac{3}{2})$，因此$\frac{-2+x}{2}=0$，$\frac{-1+y}{2}=\frac{3}{2}$，解得$x=2$，$y=4$，即$D(2,4)$，对应选项D，是可能的，排除。
2. 当$AC$为平行四边形的对角线时，$AC$与$BD$的中点重合：
$AC$的中点为$(\frac{1+(-2)}{2},\frac{0+(-1)}{2})=(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$，因此$\frac{-1+x}{2}=-\frac{1}{2}$，$\frac{3+y}{2}=-\frac{1}{2}$，解得$x=0$，$y=-4$，即$D(0,-4)$，对应选项C，是可能的，排除。
3. 当$BC$为平行四边形的对角线时，$BC$与$AD$的中点重合：
$BC$的中点为$(\frac{-1+(-2)}{2},\frac{3+(-1)}{2})=(-\frac{3}{2},1)$，因此$\frac{1+x}{2}=-\frac{3}{2}$，$\frac{0+y}{2}=1$，解得$x=-4$，$y=2$，即$D(-4,2)$，对应选项B，是可能的，排除。
综上，点$D$的坐标不可能是$(-3,2)$。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质；中点坐标公式；分类讨论思想
【点评】
本题是平行四边形在平面直角坐标系中应用的常见题型，解题关键是牢记平行四边形对角线互相平分的性质，注意分情况讨论不同的对角线组合，避免漏解。
【难度系数】
0.7
我们可以利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合平面直角坐标系的中点坐标公式解题。由于未明确平行四边形的对角线，需分三种情况讨论：分别以AB、AC、BC为平行四边形的对角线，根据“平行四边形两条对角线的中点重合”列等式求出对应D点的坐标，排除可能的坐标后即可得到不可能的选项。
【解析】
平面直角坐标系中，若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点连线的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。设点$D$的坐标为$(x,y)$，分三种情况讨论：
1. 当$AB$为平行四边形的对角线时，$AB$与$CD$的中点重合：
$AB$的中点为$(\frac{1+(-1)}{2},\frac{0+3}{2})=(0,\frac{3}{2})$，因此$\frac{-2+x}{2}=0$，$\frac{-1+y}{2}=\frac{3}{2}$，解得$x=2$，$y=4$，即$D(2,4)$，对应选项D，是可能的，排除。
2. 当$AC$为平行四边形的对角线时，$AC$与$BD$的中点重合：
$AC$的中点为$(\frac{1+(-2)}{2},\frac{0+(-1)}{2})=(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$，因此$\frac{-1+x}{2}=-\frac{1}{2}$，$\frac{3+y}{2}=-\frac{1}{2}$，解得$x=0$，$y=-4$，即$D(0,-4)$，对应选项C，是可能的，排除。
3. 当$BC$为平行四边形的对角线时，$BC$与$AD$的中点重合：
$BC$的中点为$(\frac{-1+(-2)}{2},\frac{3+(-1)}{2})=(-\frac{3}{2},1)$，因此$\frac{1+x}{2}=-\frac{3}{2}$，$\frac{0+y}{2}=1$，解得$x=-4$，$y=2$，即$D(-4,2)$，对应选项B，是可能的，排除。
综上，点$D$的坐标不可能是$(-3,2)$。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质；中点坐标公式；分类讨论思想
【点评】
本题是平行四边形在平面直角坐标系中应用的常见题型，解题关键是牢记平行四边形对角线互相平分的性质，注意分情况讨论不同的对角线组合，避免漏解。
【难度系数】
0.7
7. 如图,在四边形ABCD中,AB=DC,AD=BC.请你写出一个正确的结论:
∠A=∠C(答案不唯一)
.答案
7. ∠A=∠C(答案不唯一)
解析
【分析】
首先观察已知条件，题目给出四边形ABCD的两组对边分别相等，结合平行四边形的判定定理，可先判定该四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质（对角相等、对边平行、邻角互补等），任意写出一个符合性质的正确结论即可。
【解析】
已知在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD是平行四边形。
根据平行四边形“对角相等”的性质，可得出结论∠A=∠C，也可根据平行四边形其他性质写出∠B=∠D、AB//CD、AD//BC等结论，任选其一即可。
【答案】
∠A=∠C(答案不唯一)
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题为开放性基础题，主要考查平行四边形判定与性质的综合应用，只要熟练掌握相关定理，就能快速写出正确结论，解题时注意结论要符合数学逻辑即可。
【难度系数】
0.9
首先观察已知条件，题目给出四边形ABCD的两组对边分别相等，结合平行四边形的判定定理，可先判定该四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质（对角相等、对边平行、邻角互补等），任意写出一个符合性质的正确结论即可。
【解析】
已知在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD是平行四边形。
根据平行四边形“对角相等”的性质，可得出结论∠A=∠C，也可根据平行四边形其他性质写出∠B=∠D、AB//CD、AD//BC等结论，任选其一即可。
【答案】
∠A=∠C(答案不唯一)
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题为开放性基础题，主要考查平行四边形判定与性质的综合应用，只要熟练掌握相关定理，就能快速写出正确结论，解题时注意结论要符合数学逻辑即可。
【难度系数】
0.9
8.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O作BD的垂线交BC于点E,连接DE.已知△DCE的周长是9 cm,则平行四边形ABCD的周长是
18 cm
.答案
8. 18 cm
解析
【分析】
解题时首先结合平行四边形的性质，明确对角线交点O是BD的中点；再根据OE垂直BD，可得OE是BD的垂直平分线，利用垂直平分线的性质可推出BE=DE；接着将△DCE的周长中的DE替换为BE，可发现△DCE的周长恰好等于平行四边形一组邻边的和；最后根据平行四边形周长是邻边和的2倍，即可求出结果。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，
又
∵OE⊥BD，
∴OE是线段BD的垂直平分线，
∴BE=DE，
已知△DCE的周长为9 cm，即：
$CD + CE + DE = 9\ \mathrm{cm}$，
将DE替换为BE，可得：
$CD + CE + BE = CD + BC = 9\ \mathrm{cm}$，
∴平行四边形ABCD的周长$=2×(BC + CD)=2×9=18\ \mathrm{cm}$。
【答案】
18 cm
【知识点】
平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质；周长计算
【点评】
本题是平行四边形性质与垂直平分线性质的综合基础题，解题的核心是利用垂直平分线的性质实现线段的等量转化，将三角形周长转化为平行四边形的邻边之和，整体解题思路清晰，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.75
解题时首先结合平行四边形的性质，明确对角线交点O是BD的中点；再根据OE垂直BD，可得OE是BD的垂直平分线，利用垂直平分线的性质可推出BE=DE；接着将△DCE的周长中的DE替换为BE，可发现△DCE的周长恰好等于平行四边形一组邻边的和；最后根据平行四边形周长是邻边和的2倍，即可求出结果。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，
又
∵OE⊥BD，
∴OE是线段BD的垂直平分线，
∴BE=DE，
已知△DCE的周长为9 cm，即：
$CD + CE + DE = 9\ \mathrm{cm}$，
将DE替换为BE，可得：
$CD + CE + BE = CD + BC = 9\ \mathrm{cm}$，
∴平行四边形ABCD的周长$=2×(BC + CD)=2×9=18\ \mathrm{cm}$。
【答案】
18 cm
【知识点】
平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质；周长计算
【点评】
本题是平行四边形性质与垂直平分线性质的综合基础题，解题的核心是利用垂直平分线的性质实现线段的等量转化，将三角形周长转化为平行四边形的邻边之和，整体解题思路清晰，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.75
9. 如图,在$□ ABCD$中,对角线AC,BD相交于点O,EF过点O,交AD于点F,交BC于点E.若AB=3,AC=4,AD=5,则图中阴影部分的面积是
3
.答案
9. 3
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，利用平行四边形的性质推导△AOF和△COE全等，将不规则的两块阴影面积转化为规则的△BOC的面积；第二步，根据给出的三边长，用勾股定理逆定理判断△ABC是直角三角形，计算出△ABC的面积；第三步，结合平行四边形对角线平分面积的性质，求出△BOC的面积，也就是阴影部分的面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=5，OA=OC，AD//BC，
∴∠OAF=∠OCE，
在△AOF和△COE中：
$\{\begin{array}{l}∠OAF=∠OCE \\OA=OC \\∠AOF=∠COE\end{array} $
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴$S_{△ AOF}=S_{△ COE}$，
∴阴影部分面积$S_{阴}=S_{△ AOF}+S_{△ BOE}=S_{△ COE}+S_{△ BOE}=S_{△ BOC}$。
在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∵$3^2+4^2=25=5^2$，满足勾股定理逆定理，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AB×AC=\frac{1}{2}×3×4=6$。
∵平行四边形对角线互相平分，O是AC中点，
∴△BOC和△BOA等底同高，面积相等，
∴$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=3$，
即阴影部分面积为3。
【答案】
3
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题的核心是利用全等实现不规则阴影面积的转化，避免分别计算两块阴影面积的繁琐，同时结合勾股定理逆定理快速求出三角形面积，是平行四边形面积计算的典型题型，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
解题思路可分为三步：第一步，利用平行四边形的性质推导△AOF和△COE全等，将不规则的两块阴影面积转化为规则的△BOC的面积；第二步，根据给出的三边长，用勾股定理逆定理判断△ABC是直角三角形，计算出△ABC的面积；第三步，结合平行四边形对角线平分面积的性质，求出△BOC的面积，也就是阴影部分的面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=5，OA=OC，AD//BC，
∴∠OAF=∠OCE，
在△AOF和△COE中：
$\{\begin{array}{l}∠OAF=∠OCE \\OA=OC \\∠AOF=∠COE\end{array} $
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴$S_{△ AOF}=S_{△ COE}$，
∴阴影部分面积$S_{阴}=S_{△ AOF}+S_{△ BOE}=S_{△ COE}+S_{△ BOE}=S_{△ BOC}$。
在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∵$3^2+4^2=25=5^2$，满足勾股定理逆定理，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AB×AC=\frac{1}{2}×3×4=6$。
∵平行四边形对角线互相平分，O是AC中点，
∴△BOC和△BOA等底同高，面积相等，
∴$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=3$，
即阴影部分面积为3。
【答案】
3
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题的核心是利用全等实现不规则阴影面积的转化，避免分别计算两块阴影面积的繁琐，同时结合勾股定理逆定理快速求出三角形面积，是平行四边形面积计算的典型题型，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
