综合与实践:分式与糖水浓度.
数学活动:溶液的质量百分比浓度
素材一 溶液由溶质和溶剂组成,溶液的质量百分比浓度$=\frac{溶质质量}{溶液质量}×100\%$,其中,溶液质量=溶质质量+溶剂质量.例如,糖水是一种溶液,它由糖和水组成,其中糖为溶质,水为溶剂.10 g糖溶于90 g水,得到的糖水的质量百分比浓度为10%
素材二 在生活中,有这样一种现象:一杯糖水,向其中加入一点水,糖水变淡;向其中加入一点糖,糖水变甜
任务一 计算溶液浓度 用数学知识解释:
设原来的糖水中水的质量是a g,糖的质量为b g($a＞b＞0$),假设糖均能完全溶于水.则糖水的质量百分比浓度为$\frac{b}{a+b}$
(1)如果在原糖水中加入c g水,糖水的质量百分比浓度变为,因为糖水变淡,可以得到不等式①;
(2)如果在原糖水中加入c g糖,糖水的质量百分比浓度变为,因为糖水变甜,可以得到不等式②
任务二 证明 当$a＞0,b＞0,c＞0$时,证明任务一中的不等式②
任务三 结论运用 请运用任务1的两个不等式证明:若$a＞0,b＞0,c＞0$,则$1＜\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}＜2$
根据以上材料,分别完成三个任务中的问题

【任务一】
(1) 糖水的质量百分比浓度为$\frac{b}{a+b+c}$，对应不等式为$\frac{b}{a+b}＞\frac{b}{a+b+c}$
(2) 糖水的质量百分比浓度为$\frac{b+c}{a+b+c}$，对应不等式为$\frac{b}{a+b}＜\frac{b+c}{a+b+c}$
【任务二】证明:$\frac{b}{a+b}-\frac{b+c}{a+b+c} = \frac{b(a+b+c)}{(a+b)(a+b+c)} - \frac{(b+c)(a+b)}{(a+b)(a+b+c)} = \frac{ab+b^2+bc-ab-b^2-ac-bc}{(a+b)(a+b+c)} = \frac{-ac}{(a+b)(a+b+c)}$. 当$a＞0,b＞0,c＞0$时,$a+b＞0,a+b+c＞0,-ac＜0$,$\therefore (a+b)(a+b+c)＞0$,$\frac{-ac}{(a+b)(a+b+c)}＜0$,即$\frac{b}{a+b}-\frac{b+c}{a+b+c}＜0$.$\therefore \frac{b}{a+b}＜\frac{b+c}{a+b+c}$.
【任务三】证明:$\because a＞0,b＞0,c＞0$,由(1)得,$\frac{a}{b+c}＜\frac{a+a}{a+b+c}$,$\frac{b}{a+c}＜\frac{b+b}{a+b+c}$,$\frac{c}{a+b}＜\frac{c+c}{a+b+c}$,$\therefore \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}＜\frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}$.
$\therefore \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}＜\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}$.$\therefore \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}＜2$.$\because \frac{a}{b+c}＞\frac{a}{a+b+c}$,$\frac{b}{a+c}＞\frac{b}{a+b+c}$,$\frac{c}{a+b}＞\frac{c}{a+b+c}$,$\therefore \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}＞\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}$.
$\therefore \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}＞\frac{a+b+c}{a+b+c}$.$\therefore \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}＞1$.$\therefore 1＜\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}＜2$.

【分析】
本题结合生活中的糖水浓度现象，通过分式表示溶液浓度，利用浓度变化的直观现象推导不等式，再进行不等式的证明与应用。解题思路为：先根据溶液浓度公式计算加入水或糖后的浓度，结合“糖水变淡、变甜”的现象写出对应不等式；任务二采用作差法证明不等式；任务三利用任务一得到的两个不等式，对目标分式进行放缩，从而证明其取值范围。
【解析】
任务一
(1) 加入$c\ \mathrm{g}$水后，溶质质量仍为$b\ \mathrm{g}$，溶液质量变为$(a+b+c)\ \mathrm{g}$，因此糖水的质量百分比浓度为$\frac{b}{a+b+c}$；糖水变淡说明原浓度大于新浓度，故不等式①为$\frac{b}{a+b} ＞ \frac{b}{a+b+c}$。
(2) 加入$c\ \mathrm{g}$糖后，溶质质量变为$(b+c)\ \mathrm{g}$，溶液质量变为$(a+b+c)\ \mathrm{g}$，因此糖水的质量百分比浓度为$\frac{b+c}{a+b+c}$；糖水变甜说明原浓度小于新浓度，故不等式②为$\frac{b}{a+b} ＜ \frac{b+c}{a+b+c}$。
任务二
证明不等式②：
计算$\frac{b}{a+b} - \frac{b+c}{a+b+c}$，通分后公分母为$(a+b)(a+b+c)$，则：
$\begin{aligned}\frac{b}{a+b} - \frac{b+c}{a+b+c} &= \frac{b(a+b+c) - (b+c)(a+b)}{(a+b)(a+b+c)} \\&= \frac{ab + b^2 + bc - (ab + b^2 + ac + bc)}{(a+b)(a+b+c)} \\&= \frac{-ac}{(a+b)(a+b+c)}\end{aligned}$
因为$a＞0,b＞0,c＞0$，所以分子$-ac ＜ 0$，分母$(a+b)(a+b+c) ＞ 0$，因此$\frac{-ac}{(a+b)(a+b+c)} ＜ 0$，即$\frac{b}{a+b} - \frac{b+c}{a+b+c} ＜ 0$，故$\frac{b}{a+b} ＜ \frac{b+c}{a+b+c}$，不等式②得证。
任务三
证明$1 ＜ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} ＜ 2$：
1. 证明左边：根据任务一的不等式，对每个分式有：
$\frac{a}{b+c} ＞ \frac{a}{a+b+c}$，$\frac{b}{a+c} ＞ \frac{b}{a+b+c}$，$\frac{c}{a+b} ＞ \frac{c}{a+b+c}$，
三个不等式相加得：
$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} ＞ \frac{a+b+c}{a+b+c} = 1$
2. 证明右边：根据任务一的不等式，对每个分式有：
$\frac{a}{b+c} ＜ \frac{2a}{a+b+c}$，$\frac{b}{a+c} ＜ \frac{2b}{a+b+c}$，$\frac{c}{a+b} ＜ \frac{2c}{a+b+c}$，
三个不等式相加得：
$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} ＜ \frac{2a+2b+2c}{a+b+c} = 2$
综上，$1 ＜ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} ＜ 2$得证。
【答案】
【任务一】
(1) $\frac{b}{a+b+c}$；$\frac{b}{a+b} ＞ \frac{b}{a+b+c}$
(2) $\frac{b+c}{a+b+c}$；$\frac{b}{a+b} ＜ \frac{b+c}{a+b+c}$
【任务二】证明过程见解析
【任务三】证明过程见解析
【知识点】
分式运算、不等式性质、分式比较大小
【点评】
本题结合生活实例考查数学知识的应用，将浓度变化与不等式推导结合，既考查了分式运算、不等式的基本性质，又涉及放缩法的应用，体现了数学的实用性，需要学生理解题意并掌握分式比较大小的方法。
【难度系数】
0.6