登录
11 如图，正比例函数$y=mx$、一次函数$y=ax+b$和反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在同一平面直角坐标系中.若$\frac{k}{x}＞mx＞ax+b$，则自变量$x$的取值范围是 （
A.$x＜-1$
B.$-0.5＜x＜0$或$x＞1$
C.$0＜x＜1$
D.$x＜-1$或$0＜x＜1$
（第11题）
D
）A.$x＜-1$
B.$-0.5＜x＜0$或$x＞1$
C.$0＜x＜1$
D.$x＜-1$或$0＜x＜1$
（第11题）答案
11. D
解析
【分析】
要解不等式$\frac{k}{x}＞mx＞ax+b$，需结合函数图象的上下位置关系判断：不等式表示在同一$x$取值下，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在正比例函数$y=mx$图象的上方，同时正比例函数$y=mx$的图象在一次函数$y=ax+b$图象的上方。首先找到三个函数两两交点的横坐标，再分区间判断图象的上下位置，最后取同时满足两个不等式的$x$范围即可。
【解析】
观察图象可知：
1. 先找满足$\frac{k}{x}＞mx$（即反比例函数图象在正比例函数上方）的$x$范围：
三个函数在第一象限交于$x=1$处，第三象限反比例函数与正比例函数交于$x=-1$处。
当$x＜-1$或$0＜x＜1$时，反比例函数图象在正比例函数图象上方，满足$\frac{k}{x}＞mx$。
2. 再判断上述区间内是否满足$mx＞ax+b$（即正比例函数图象在一次函数上方）：
当$x＜-1$时，正比例函数图象在一次函数图象上方，满足$mx＞ax+b$；
当$0＜x＜1$时，正比例函数图象也在一次函数图象上方，满足$mx＞ax+b$。
综上，同时满足$\frac{k}{x}＞mx＞ax+b$的$x$的取值范围是$x＜-1$或$0＜x＜1$。
【答案】
D
【知识点】
函数与不等式的关系，反比例函数的图象，一次函数的图象
【点评】
本题考查利用函数图象解不等式，解题核心是理解“函数值越大对应图象位置越靠上”的规律，通过交点横坐标划分判断区间，结合图象分析即可得到解集，渗透了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
要解不等式$\frac{k}{x}＞mx＞ax+b$，需结合函数图象的上下位置关系判断：不等式表示在同一$x$取值下，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在正比例函数$y=mx$图象的上方，同时正比例函数$y=mx$的图象在一次函数$y=ax+b$图象的上方。首先找到三个函数两两交点的横坐标，再分区间判断图象的上下位置，最后取同时满足两个不等式的$x$范围即可。
【解析】
观察图象可知：
1. 先找满足$\frac{k}{x}＞mx$（即反比例函数图象在正比例函数上方）的$x$范围：
三个函数在第一象限交于$x=1$处，第三象限反比例函数与正比例函数交于$x=-1$处。
当$x＜-1$或$0＜x＜1$时，反比例函数图象在正比例函数图象上方，满足$\frac{k}{x}＞mx$。
2. 再判断上述区间内是否满足$mx＞ax+b$（即正比例函数图象在一次函数上方）：
当$x＜-1$时，正比例函数图象在一次函数图象上方，满足$mx＞ax+b$；
当$0＜x＜1$时，正比例函数图象也在一次函数图象上方，满足$mx＞ax+b$。
综上，同时满足$\frac{k}{x}＞mx＞ax+b$的$x$的取值范围是$x＜-1$或$0＜x＜1$。
【答案】
D
【知识点】
函数与不等式的关系，反比例函数的图象，一次函数的图象
【点评】
本题考查利用函数图象解不等式，解题核心是理解“函数值越大对应图象位置越靠上”的规律，通过交点横坐标划分判断区间，结合图象分析即可得到解集，渗透了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
12 [2025宿迁模拟]如图，$□ OABC$的顶点A在x轴的正半轴上，点$D(4,3)$在对角线OB上，函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象经过C，D两点。已知$□ OABC$的面积是36，则点B的坐标为（
A.$(8,6)$
B.$(6,8)$
C.$(7,6)$
D.$(6,4)$
A
）A.$(8,6)$
B.$(6,8)$
C.$(7,6)$
D.$(6,4)$
答案
12. A
解析
【分析】
解题思路如下：①先利用点D在反比例函数图象上的特征求出k值，确定反比例函数解析式；②由点D在对角线OB上，求出直线OB的解析式，进而将点B的坐标用含参数t的形式表示；③根据平行四边形对边平行的性质，得出点C的纵坐标与点B相同，代入反比例函数解析式求出点C的横坐标；④最后结合平行四边形面积公式列方程求解参数t，即可得到点B的坐标。
【解析】
1. 求反比例函数解析式
∵点$D(4,3)$在$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上，
∴$k=4×3=12$，即反比例函数解析式为$y=\frac{12}{x}$。
2. 求直线OB的解析式，设点B坐标
设直线OB的解析式为$y=mx$，将$D(4,3)$代入得：$3=4m$，解得$m=\frac{3}{4}$，
∴直线OB的解析式为$y=\frac{3}{4}x$，
∵点B在OB上，设$t＞0$，可设B点坐标为$(4t,3t)$。
3. 求点C的坐标
∵四边形$OABC$是平行四边形，$OA$在x轴上，
∴$BC// OA$，即BC平行于x轴，因此点C的纵坐标与点B相同，为$3t$，
将$y=3t$代入$y=\frac{12}{x}$得：$3t=\frac{12}{x}$，解得$x=\frac{4}{t}$，即点C坐标为$(\frac{4}{t},3t)$。
4. 利用平行四边形面积求t
平行四边形$OABC$的面积=底$BC$×高（BC到x轴的距离），其中$BC=4t-\frac{4}{t}$，高为$3t$，
由题意得：$(4t-\frac{4}{t})×3t=36$，
化简得：$12t^2-12=36$，解得$t^2=4$，
∵$t＞0$，
∴$t=2$，
∴点B的坐标为$(4×2,3×2)=(8,6)$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数性质，平行四边形的性质，一次函数解析式求解
【点评】
本题是反比例函数与几何图形的综合题，核心是结合直线解析式设点、利用平行四边形性质关联点坐标，再通过面积建立方程求解，很好地考查了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：①先利用点D在反比例函数图象上的特征求出k值，确定反比例函数解析式；②由点D在对角线OB上，求出直线OB的解析式，进而将点B的坐标用含参数t的形式表示；③根据平行四边形对边平行的性质，得出点C的纵坐标与点B相同，代入反比例函数解析式求出点C的横坐标；④最后结合平行四边形面积公式列方程求解参数t，即可得到点B的坐标。
【解析】
1. 求反比例函数解析式
∵点$D(4,3)$在$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上，
∴$k=4×3=12$，即反比例函数解析式为$y=\frac{12}{x}$。
2. 求直线OB的解析式，设点B坐标
设直线OB的解析式为$y=mx$，将$D(4,3)$代入得：$3=4m$，解得$m=\frac{3}{4}$，
∴直线OB的解析式为$y=\frac{3}{4}x$，
∵点B在OB上，设$t＞0$，可设B点坐标为$(4t,3t)$。
3. 求点C的坐标
∵四边形$OABC$是平行四边形，$OA$在x轴上，
∴$BC// OA$，即BC平行于x轴，因此点C的纵坐标与点B相同，为$3t$，
将$y=3t$代入$y=\frac{12}{x}$得：$3t=\frac{12}{x}$，解得$x=\frac{4}{t}$，即点C坐标为$(\frac{4}{t},3t)$。
4. 利用平行四边形面积求t
平行四边形$OABC$的面积=底$BC$×高（BC到x轴的距离），其中$BC=4t-\frac{4}{t}$，高为$3t$，
由题意得：$(4t-\frac{4}{t})×3t=36$，
化简得：$12t^2-12=36$，解得$t^2=4$，
∵$t＞0$，
∴$t=2$，
∴点B的坐标为$(4×2,3×2)=(8,6)$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数性质，平行四边形的性质，一次函数解析式求解
【点评】
本题是反比例函数与几何图形的综合题，核心是结合直线解析式设点、利用平行四边形性质关联点坐标，再通过面积建立方程求解，很好地考查了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.65
13 [2025 宿城段考]如图,直线$y=x-2$与$y$轴交于点$C$,与$x$轴交于点$B$,与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第一象限的一支交于点$A$,连接$OA$.若$S_{△ AOB}:S_{△ BOC}=1:2$,则$k$的值为
3
.答案
13. 3 【解析】$\because$ 直线$y=x-2$与$y$轴交于点$C$,与$x$轴交于点$B$,$\therefore$ 易得点 $C$ 的坐标为$(0,-2)$,点 $B$ 的坐标为$(2,0)$,$\therefore OB=2$,$OC=2$,$\therefore S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}OB· OC=\dfrac{1}{2}×2×2=2$.$\because S_{△ AOB}:S_{△ BOC}=1:2$,$\therefore S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}S_{△ BOC}=1$,$\therefore \dfrac{1}{2}×2× y_A=1$,$\therefore y_A=1$.把 $y=1$ 代入$y=x-2$,得$1=x-2$,$\therefore x=3$,$\therefore$ 点 $A$ 的坐标为$(3,1)$.$\because$ 反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象过点$A$,$\therefore k=3×1=3$.
解析
【分析】
解题时首先根据一次函数解析式求出它与x轴、y轴的交点B、C的坐标，计算出△BOC的面积；再结合已知的面积比求出△AOB的面积，△AOB以OB为底，高为点A的纵坐标，据此可求出点A的纵坐标；之后将点A的纵坐标代入一次函数解析式，求出点A的横坐标，得到点A的完整坐标；最后将点A坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值。
【解析】
∵ 直线$y=x-2$与$y$轴交于点$C$，与$x$轴交于点$B$，
∴ 令$x=0$，得$y=-2$，即点$C$的坐标为$(0,-2)$，$OC=2$；
令$y=0$，得$x=2$，即点$B$的坐标为$(2,0)$，$OB=2$。
∴ $S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}OB· OC=\dfrac{1}{2}×2×2=2$。
∵ $S_{△ AOB}:S_{△ BOC}=1:2$，
∴ $S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}S_{△ BOC}=1$。
设点$A$的纵坐标为$y_A$，△AOB以OB为底时，高为$y_A$，
∴ $\dfrac{1}{2}×OB× y_A=1$，代入$OB=2$得$\dfrac{1}{2}×2× y_A=1$，解得$y_A=1$。
把 $y=1$ 代入$y=x-2$，得$1=x-2$，解得$x=3$，
∴ 点 $A$ 的坐标为$(3,1)$。
∵ 反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象过点$A$，
∴ $k=xy=3×1=3$。
【答案】
3
【知识点】
一次函数的图象与性质；反比例函数的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，解题的核心是通过三角形的面积关系确定两个函数交点A的坐标，再利用代入法求解k值，解题思路清晰，注重基础知识点的结合应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据一次函数解析式求出它与x轴、y轴的交点B、C的坐标，计算出△BOC的面积；再结合已知的面积比求出△AOB的面积，△AOB以OB为底，高为点A的纵坐标，据此可求出点A的纵坐标；之后将点A的纵坐标代入一次函数解析式，求出点A的横坐标，得到点A的完整坐标；最后将点A坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值。
【解析】
∵ 直线$y=x-2$与$y$轴交于点$C$，与$x$轴交于点$B$，
∴ 令$x=0$，得$y=-2$，即点$C$的坐标为$(0,-2)$，$OC=2$；
令$y=0$，得$x=2$，即点$B$的坐标为$(2,0)$，$OB=2$。
∴ $S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}OB· OC=\dfrac{1}{2}×2×2=2$。
∵ $S_{△ AOB}:S_{△ BOC}=1:2$，
∴ $S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}S_{△ BOC}=1$。
设点$A$的纵坐标为$y_A$，△AOB以OB为底时，高为$y_A$，
∴ $\dfrac{1}{2}×OB× y_A=1$，代入$OB=2$得$\dfrac{1}{2}×2× y_A=1$，解得$y_A=1$。
把 $y=1$ 代入$y=x-2$，得$1=x-2$，解得$x=3$，
∴ 点 $A$ 的坐标为$(3,1)$。
∵ 反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象过点$A$，
∴ $k=xy=3×1=3$。
【答案】
3
【知识点】
一次函数的图象与性质；反比例函数的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，解题的核心是通过三角形的面积关系确定两个函数交点A的坐标，再利用代入法求解k值，解题思路清晰，注重基础知识点的结合应用。
【难度系数】
0.7
14 如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上,顶点B,C在第一象限,顶点D的坐标为$(\dfrac{5}{2},2)$.若函数$y=\dfrac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象恰好经过正方形ABCD的两个顶点,则k的值为
5或22.5
.答案
14. 5 或 22.5 【解析】如图,过点 $D$ 作 $DM⊥ x$ 轴于点 $M$,过点 $B$ 作$BN⊥ x$轴于点 $N$,过点 $C$ 作 $x$ 轴的平行线,交 $MD$ 的延长线于点 $E$,交 $NB$ 的延长线于点 $F$,则易证$△ ADM≌△ BAN$. $\therefore AM=BN$,$DM=AN$.$\because$ 顶点 $D$ 的坐标为$(\dfrac{5}{2},2)$,$\therefore OM=\dfrac{5}{2}$,$DM=2$. 易证$△ ADM≌△ DCE$,$\therefore AM=DE$,$DM=CE$,$\therefore AM=BN=DE$,$DM=AN=CE=2$. 设$AM=BN=DE=m(m＞0)$,则易得点 $B$ 的坐标为$(4.5+m,m)$,点 $C$ 的坐标为$(4.5,2+m)$. 当函数$y=\dfrac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象经过点 $B,D$ 时,$k=\dfrac{5}{2}×2=5$. 当函数$y=\dfrac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象经过点 $B,C$ 时,$k=(4.5+m)· m=4.5(2+m)$,解得$m=3$(负值舍去). $\therefore k=4.5×(2+3)=22.5$. 综上所述,$k$ 的值为 5 或 22.5。
解析
【分析】
本题结合正方形性质与反比例函数性质求解，解题思路如下：1. 利用正方形邻边垂直且相等的特点，构造“三垂直”模型证明三角形全等，将未知线段长度用同一个参数表示；2. 结合已知点D的坐标，推导得到点B、点C的坐标表达式；3. 分反比例函数经过B、D两点和经过B、C两点两种情况，代入反比例函数解析式计算k的值，舍去不符合题意的解即可得到结果。
【解析】
如图，过点 $D$ 作 $DM⊥ x$ 轴于点 $M$，过点 $B$ 作$BN⊥ x$轴于点 $N$，过点 $C$ 作 $x$ 轴的平行线，交 $MD$ 的延长线于点 $E$，交 $NB$ 的延长线于点 $F$。
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AD=AB$，$∠ DAB=90°$，
∴$∠ DAM+∠ BAN=90°$，又$∠ DAM+∠ ADM=90°$，
∴$∠ ADM=∠ BAN$，又$∠ AMD=∠ BNA=90°$，
∴$△ ADM≌△ BAN$，得$AM=BN$，$DM=AN$。
已知$D(\dfrac{5}{2},2)$，
∴$OM=\dfrac{5}{2}$，$DM=2$。
同理可证$△ ADM≌△ DCE$，
∴$AM=DE$，$DM=CE$，综上得$AM=BN=DE$，$DM=AN=CE=2$。
设$AM=BN=DE=m(m＞0)$，则：
点B的横坐标为$\dfrac{5}{2}+2+m=\dfrac{9}{2}+m$，纵坐标为$m$，即$B(\dfrac{9}{2}+m,m)$；
点C的横坐标为$\dfrac{5}{2}+2=\dfrac{9}{2}$，纵坐标为$2+m$，即$C(\dfrac{9}{2},2+m)$。
分两种情况讨论：
① 当函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象经过点B、D时，代入$D(\dfrac{5}{2},2)$得：$k=\dfrac{5}{2}×2=5$；
② 当函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象经过点B、C时，两点都满足$xy=k$，因此$(\dfrac{9}{2}+m)m=\dfrac{9}{2}(2+m)$，整理得$m^2=9$，解得$m=3$（$m=-3$不符合$m＞0$的要求，舍去），代入得$k=\dfrac{9}{2}×(2+3)=22.5$。
综上，$k$的值为5或22.5。
【答案】
5 或 22.5
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的性质
【点评】
本题是几何与函数的综合题，解题的关键是通过构造三垂直全等模型，用参数表示出未知顶点的坐标，再结合反比例函数的性质分情况讨论求解，解题过程中要注意结合参数的实际意义舍去不符合的解。
【难度系数】
0.6
本题结合正方形性质与反比例函数性质求解，解题思路如下：1. 利用正方形邻边垂直且相等的特点，构造“三垂直”模型证明三角形全等，将未知线段长度用同一个参数表示；2. 结合已知点D的坐标，推导得到点B、点C的坐标表达式；3. 分反比例函数经过B、D两点和经过B、C两点两种情况，代入反比例函数解析式计算k的值，舍去不符合题意的解即可得到结果。
【解析】
如图，过点 $D$ 作 $DM⊥ x$ 轴于点 $M$，过点 $B$ 作$BN⊥ x$轴于点 $N$，过点 $C$ 作 $x$ 轴的平行线，交 $MD$ 的延长线于点 $E$，交 $NB$ 的延长线于点 $F$。
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AD=AB$，$∠ DAB=90°$，
∴$∠ DAM+∠ BAN=90°$，又$∠ DAM+∠ ADM=90°$，
∴$∠ ADM=∠ BAN$，又$∠ AMD=∠ BNA=90°$，
∴$△ ADM≌△ BAN$，得$AM=BN$，$DM=AN$。
已知$D(\dfrac{5}{2},2)$，
∴$OM=\dfrac{5}{2}$，$DM=2$。
同理可证$△ ADM≌△ DCE$，
∴$AM=DE$，$DM=CE$，综上得$AM=BN=DE$，$DM=AN=CE=2$。
设$AM=BN=DE=m(m＞0)$，则：
点B的横坐标为$\dfrac{5}{2}+2+m=\dfrac{9}{2}+m$，纵坐标为$m$，即$B(\dfrac{9}{2}+m,m)$；
点C的横坐标为$\dfrac{5}{2}+2=\dfrac{9}{2}$，纵坐标为$2+m$，即$C(\dfrac{9}{2},2+m)$。
分两种情况讨论：
① 当函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象经过点B、D时，代入$D(\dfrac{5}{2},2)$得：$k=\dfrac{5}{2}×2=5$；
② 当函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象经过点B、C时，两点都满足$xy=k$，因此$(\dfrac{9}{2}+m)m=\dfrac{9}{2}(2+m)$，整理得$m^2=9$，解得$m=3$（$m=-3$不符合$m＞0$的要求，舍去），代入得$k=\dfrac{9}{2}×(2+3)=22.5$。
综上，$k$的值为5或22.5。
【答案】
5 或 22.5
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的性质
【点评】
本题是几何与函数的综合题，解题的关键是通过构造三垂直全等模型，用参数表示出未知顶点的坐标，再结合反比例函数的性质分情况讨论求解，解题过程中要注意结合参数的实际意义舍去不符合的解。
【难度系数】
0.6
15 如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点O与坐标原点重合,点C的坐标为(0,3),点A在x轴的负半轴上,点D,M分别在边AB,OA上,且$AD=2DB$,$AM=2MO$,一次函数$y=kx+b$的图象经过点D,M,反比例函数$y=\frac{m}{x}$在第二象限内的图象经过点D,与BC的交点为N.
(1) 求反比例函数和一次函数的表达式.
(2) 连接MN.若点P在直线DM上,且$△ OPM$的面积与四边形OMNC的面积相等,求点P的坐标.
(1) 求反比例函数和一次函数的表达式.
(2) 连接MN.若点P在直线DM上,且$△ OPM$的面积与四边形OMNC的面积相等,求点P的坐标.
答案
15. （1）$\because$ 正方形 $OABC$ 的顶点 $C$ 的坐标为$(0,3)$,$\therefore OA=AB=BC=OC=3$,$∠ OAB=∠ B=∠ BCO=90°$.$\because AD=2DB$,$\therefore AD=\dfrac{2}{3}AB=2$,$\therefore$ 点 $D$ 的坐标为$(-3,2)$. 把 $D(-3,2)$ 代入 $y=\dfrac{m}{x}$,得$m=-6$,$\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=-\dfrac{6}{x}$.$\because AM=2MO$,$\therefore MO=\dfrac{1}{3}OA=1$,$\therefore$ 点 $M$ 的坐标为$(-1,0)$. 把 $M(-1,0)$,$D(-3,2)$代入$y=kx+b$,得$\begin{cases}-k+b=0,\\-3k+b=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=-1.\end{cases}$ $\therefore$ 一次函数的表达式为$y=-x-1$
（2）把 $y=3$ 代入 $y=-\dfrac{6}{x}$,得$x=-2$,$\therefore$ 点 $N$ 的坐标为$(-2,3)$,即 $NC=2$. 设点 $P$ 的坐标为$(x_P,y_P)$.$\because △ OPM$ 的面积与四边形 $OMNC$ 的面积相等,$\therefore \dfrac{1}{2}MO· |y_P|=\dfrac{1}{2}(MO+NC)· OC$,即$\dfrac{1}{2}×1· |y_P|=\dfrac{1}{2}×(1+2)×3$,$\therefore |y_P|=9$,解得$y_P=\pm9$. 当 $y_P=9$ 时,易得 $x_P=-10$; 当 $y_P=-9$ 时,易得 $x_P=8$.$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为$(-10,9)$或$(8,-9)$
（2）把 $y=3$ 代入 $y=-\dfrac{6}{x}$,得$x=-2$,$\therefore$ 点 $N$ 的坐标为$(-2,3)$,即 $NC=2$. 设点 $P$ 的坐标为$(x_P,y_P)$.$\because △ OPM$ 的面积与四边形 $OMNC$ 的面积相等,$\therefore \dfrac{1}{2}MO· |y_P|=\dfrac{1}{2}(MO+NC)· OC$,即$\dfrac{1}{2}×1· |y_P|=\dfrac{1}{2}×(1+2)×3$,$\therefore |y_P|=9$,解得$y_P=\pm9$. 当 $y_P=9$ 时,易得 $x_P=-10$; 当 $y_P=-9$ 时,易得 $x_P=8$.$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为$(-10,9)$或$(8,-9)$
解析
【分析】
（1）先根据正方形顶点C的坐标确定正方形边长，结合线段比例关系求出点D、M的坐标：将D点坐标代入反比例函数解析式即可求出m，得到反比例函数表达式；再将D、M两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组求出k、b，得到一次函数表达式。
（2）先由N点在BC上的特征（纵坐标为3）代入反比例函数求出N点坐标，得到NC的长度；四边形OMNC是梯形，利用梯形面积公式求出其面积，再结合△OPM的面积与该梯形面积相等的关系，列方程求出P点纵坐标的可能值，最后将纵坐标代入一次函数解析式求出对应的横坐标，即可得到P点坐标，注意不要漏解。
【解析】
（1）
∵正方形OABC的顶点C的坐标为(0,3)，
∴OA=AB=BC=OC=3，∠OAB=∠B=∠BCO=90°，
∵AD=2DB，
∴AD=$\frac{2}{3}$AB=2，
∴点D的坐标为(-3,2)，
把D(-3,2)代入$y=\frac{m}{x}$，得$2=\frac{m}{-3}$，解得m=-6，
∴反比例函数的表达式为$y=-\frac{6}{x}$。
∵AM=2MO，
∴MO=$\frac{1}{3}$OA=1，
∴点M的坐标为(-1,0)，
把M(-1,0)、D(-3,2)代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}-k+b=0 \\ -3k+b=2 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\ b=-1 \end{cases}$
∴一次函数的表达式为$y=-x-1$。
（2）
∵点N在BC边上，BC上所有点的纵坐标都为3，
∴把y=3代入$y=-\frac{6}{x}$，得$3=-\frac{6}{x}$，解得x=-2，
∴点N的坐标为(-2,3)，即NC=2。
设点P的坐标为$(x_P,y_P)$，
∵△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，
四边形OMNC是梯形，上底OM=1，下底NC=2，高OC=3，
∴$\frac{1}{2}·MO·|y_P|=\frac{1}{2}·(MO+NC)·OC$，
代入数值：$\frac{1}{2}×1×|y_P|=\frac{1}{2}×(1+2)×3$，
解得$|y_P|=9$，即$y_P=9$或$y_P=-9$。
当$y_P=9$时，代入$y=-x-1$得$9=-x_P-1$，解得$x_P=-10$；
当$y_P=-9$时，代入$y=-x-1$得$-9=-x_P-1$，解得$x_P=8$。
∴点P的坐标为(-10,9)或(8,-9)。
【答案】
（1）反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{6}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=-x-1}$；
（2）点P的坐标为$\boldsymbol{(-10,9)}$或$\boldsymbol{(8,-9)}$。
【知识点】
待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象与性质，图形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，结合正方形的性质考查点坐标的求解，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，处理面积问题时注意点的纵坐标的绝对值的应用，避免漏解。
【难度系数】
0.65
（1）先根据正方形顶点C的坐标确定正方形边长，结合线段比例关系求出点D、M的坐标：将D点坐标代入反比例函数解析式即可求出m，得到反比例函数表达式；再将D、M两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组求出k、b，得到一次函数表达式。
（2）先由N点在BC上的特征（纵坐标为3）代入反比例函数求出N点坐标，得到NC的长度；四边形OMNC是梯形，利用梯形面积公式求出其面积，再结合△OPM的面积与该梯形面积相等的关系，列方程求出P点纵坐标的可能值，最后将纵坐标代入一次函数解析式求出对应的横坐标，即可得到P点坐标，注意不要漏解。
【解析】
（1）
∵正方形OABC的顶点C的坐标为(0,3)，
∴OA=AB=BC=OC=3，∠OAB=∠B=∠BCO=90°，
∵AD=2DB，
∴AD=$\frac{2}{3}$AB=2，
∴点D的坐标为(-3,2)，
把D(-3,2)代入$y=\frac{m}{x}$，得$2=\frac{m}{-3}$，解得m=-6，
∴反比例函数的表达式为$y=-\frac{6}{x}$。
∵AM=2MO，
∴MO=$\frac{1}{3}$OA=1，
∴点M的坐标为(-1,0)，
把M(-1,0)、D(-3,2)代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}-k+b=0 \\ -3k+b=2 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\ b=-1 \end{cases}$
∴一次函数的表达式为$y=-x-1$。
（2）
∵点N在BC边上，BC上所有点的纵坐标都为3，
∴把y=3代入$y=-\frac{6}{x}$，得$3=-\frac{6}{x}$，解得x=-2，
∴点N的坐标为(-2,3)，即NC=2。
设点P的坐标为$(x_P,y_P)$，
∵△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，
四边形OMNC是梯形，上底OM=1，下底NC=2，高OC=3，
∴$\frac{1}{2}·MO·|y_P|=\frac{1}{2}·(MO+NC)·OC$，
代入数值：$\frac{1}{2}×1×|y_P|=\frac{1}{2}×(1+2)×3$，
解得$|y_P|=9$，即$y_P=9$或$y_P=-9$。
当$y_P=9$时，代入$y=-x-1$得$9=-x_P-1$，解得$x_P=-10$；
当$y_P=-9$时，代入$y=-x-1$得$-9=-x_P-1$，解得$x_P=8$。
∴点P的坐标为(-10,9)或(8,-9)。
【答案】
（1）反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{6}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=-x-1}$；
（2）点P的坐标为$\boldsymbol{(-10,9)}$或$\boldsymbol{(8,-9)}$。
【知识点】
待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象与性质，图形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，结合正方形的性质考查点坐标的求解，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，处理面积问题时注意点的纵坐标的绝对值的应用，避免漏解。
【难度系数】
0.65
