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8 [2024宿城期末]如图,在平面直角坐标系中,A,B,C,D四点在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上,线段AC,BD都过原点O,点A的坐标为(4,2),点B的纵坐标为4,连接AB,BC,CD,DA.
(1) 求该反比例函数的表达式;
(2) 当$y≥ -2$时,写出$x$的取值范围;
(3) 求四边形ABCD的面积.
(1) 求该反比例函数的表达式;
(2) 当$y≥ -2$时,写出$x$的取值范围;
(3) 求四边形ABCD的面积.
答案
8. （1）把$A(4,2)$代入$y=\dfrac{k}{x}$,得$2=\dfrac{k}{4}$,解得$k=8$,$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=\dfrac{8}{x}$
（2）在$y=\dfrac{8}{x}$中,当$y=-2$时,$x=-4$.由图象,得当$y≥-2$时,$x$的取值范围是$x≤-4$或$x＞0$
（3）$\because$ 点 $B$ 的纵坐标为4,令$y=\dfrac{8}{x}=4$,则$x=2$,$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为$(2,4)$.$\because$ 易得点 $C$ 的坐标为$(-4,-2)$, 点 $D$ 的坐标为$(-2,-4)$, $\therefore BD=\sqrt{(-2-2)^2+(-4-4)^2}=4\sqrt{5}$,$AC=\sqrt{(-2-2)^2+(-4-4)^2}=4\sqrt{5}$,$\therefore BD=AC$,$\therefore$ 易得$OA=OC$,$OB=OD$,$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是矩形.$\because BC=\sqrt{(-4-2)^2+(-2-4)^2}=6\sqrt{2}$,$AB=\sqrt{(2-4)^2+(4-2)^2}=2\sqrt{2}$,$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 的面积为$AB· BC=2\sqrt{2}×6\sqrt{2}=24$
（2）在$y=\dfrac{8}{x}$中,当$y=-2$时,$x=-4$.由图象,得当$y≥-2$时,$x$的取值范围是$x≤-4$或$x＞0$
（3）$\because$ 点 $B$ 的纵坐标为4,令$y=\dfrac{8}{x}=4$,则$x=2$,$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为$(2,4)$.$\because$ 易得点 $C$ 的坐标为$(-4,-2)$, 点 $D$ 的坐标为$(-2,-4)$, $\therefore BD=\sqrt{(-2-2)^2+(-4-4)^2}=4\sqrt{5}$,$AC=\sqrt{(-2-2)^2+(-4-4)^2}=4\sqrt{5}$,$\therefore BD=AC$,$\therefore$ 易得$OA=OC$,$OB=OD$,$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是矩形.$\because BC=\sqrt{(-4-2)^2+(-2-4)^2}=6\sqrt{2}$,$AB=\sqrt{(2-4)^2+(4-2)^2}=2\sqrt{2}$,$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 的面积为$AB· BC=2\sqrt{2}×6\sqrt{2}=24$
解析
【分析】
(1) 求反比例函数表达式只需确定系数k，已知点A在函数图象上，用待定系数法将A点坐标代入解析式即可求出k。
(2) 求$y≥-2$时x的取值范围，先计算出$y=-2$对应的x值，再结合反比例函数的图象分布和增减性分析：第一象限内x＞0时y恒为正，满足条件；第三象限内y随x增大而减小，因此$y≥-2$时x小于等于$y=-2$对应的x值，注意不要遗漏x＞0的情况。
(3) 求四边形面积时，先利用反比例函数关于原点中心对称的性质，得到$OA=OC$、$OB=OD$，判定四边形是平行四边形；再求出B点坐标，由中心对称得到C、D坐标，计算得对角线长度相等，判定平行四边形为矩形，最后计算矩形邻边长度，用邻边乘积求面积即可。
【解析】
(1) 将点$A(4,2)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得：
$2=\dfrac{k}{4}$，解得$k=8$，
∴反比例函数的表达式为$y=\dfrac{8}{x}$。
(2) 在$y=\dfrac{8}{x}$中，令$y=-2$，则$-2=\dfrac{8}{x}$，解得$x=-4$。
结合图象分析：当$x＞0$时，图象在第一象限，$y＞0$，满足$y≥-2$；当$x＜0$时，图象在第三象限，y随x增大而减小，因此$y≥-2$时$x≤-4$。
综上，$y≥-2$时，x的取值范围是$x≤-4$或$x＞0$。
(3) 点B在反比例函数图象上，且纵坐标为4，令$y=4$，则$4=\dfrac{8}{x}$，解得$x=2$，
∴$B(2,4)$。
∵AC、BD过原点，反比例函数图象关于原点中心对称，
∴C与A关于原点对称，D与B关于原点对称，即$C(-4,-2)$，$D(-2,-4)$。
计算对角线长度：
$BD=\sqrt{(-2-2)^2+(-4-4)^2}=4\sqrt{5}$，
$AC=\sqrt{(-4-4)^2+(-2-2)^2}=4\sqrt{5}$，
∴$AC=BD$，又$OA=OC$，$OB=OD$，
∴四边形ABCD是对角线相等的平行四边形，即矩形。
计算邻边长度：
$AB=\sqrt{(2-4)^2+(4-2)^2}=2\sqrt{2}$，
$BC=\sqrt{(-4-2)^2+(-2-4)^2}=6\sqrt{2}$，
∴四边形ABCD的面积为$AB·BC=2\sqrt{2}×6\sqrt{2}=24$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=\dfrac{8}{x}}$
(2) $\boldsymbol{x≤-4}$或$\boldsymbol{x＞0}$
(3) $\boldsymbol{24}$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，矩形的判定与面积计算
【点评】
本题综合考查反比例函数的相关知识，结合了中心对称性质、特殊四边形的判定和面积计算，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，能结合图象分析自变量取值范围，灵活运用特殊四边形的判定和面积公式求解。
【难度系数】
0.7
(1) 求反比例函数表达式只需确定系数k，已知点A在函数图象上，用待定系数法将A点坐标代入解析式即可求出k。
(2) 求$y≥-2$时x的取值范围，先计算出$y=-2$对应的x值，再结合反比例函数的图象分布和增减性分析：第一象限内x＞0时y恒为正，满足条件；第三象限内y随x增大而减小，因此$y≥-2$时x小于等于$y=-2$对应的x值，注意不要遗漏x＞0的情况。
(3) 求四边形面积时，先利用反比例函数关于原点中心对称的性质，得到$OA=OC$、$OB=OD$，判定四边形是平行四边形；再求出B点坐标，由中心对称得到C、D坐标，计算得对角线长度相等，判定平行四边形为矩形，最后计算矩形邻边长度，用邻边乘积求面积即可。
【解析】
(1) 将点$A(4,2)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得：
$2=\dfrac{k}{4}$，解得$k=8$，
∴反比例函数的表达式为$y=\dfrac{8}{x}$。
(2) 在$y=\dfrac{8}{x}$中，令$y=-2$，则$-2=\dfrac{8}{x}$，解得$x=-4$。
结合图象分析：当$x＞0$时，图象在第一象限，$y＞0$，满足$y≥-2$；当$x＜0$时，图象在第三象限，y随x增大而减小，因此$y≥-2$时$x≤-4$。
综上，$y≥-2$时，x的取值范围是$x≤-4$或$x＞0$。
(3) 点B在反比例函数图象上，且纵坐标为4，令$y=4$，则$4=\dfrac{8}{x}$，解得$x=2$，
∴$B(2,4)$。
∵AC、BD过原点，反比例函数图象关于原点中心对称，
∴C与A关于原点对称，D与B关于原点对称，即$C(-4,-2)$，$D(-2,-4)$。
计算对角线长度：
$BD=\sqrt{(-2-2)^2+(-4-4)^2}=4\sqrt{5}$，
$AC=\sqrt{(-4-4)^2+(-2-2)^2}=4\sqrt{5}$，
∴$AC=BD$，又$OA=OC$，$OB=OD$，
∴四边形ABCD是对角线相等的平行四边形，即矩形。
计算邻边长度：
$AB=\sqrt{(2-4)^2+(4-2)^2}=2\sqrt{2}$，
$BC=\sqrt{(-4-2)^2+(-2-4)^2}=6\sqrt{2}$，
∴四边形ABCD的面积为$AB·BC=2\sqrt{2}×6\sqrt{2}=24$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=\dfrac{8}{x}}$
(2) $\boldsymbol{x≤-4}$或$\boldsymbol{x＞0}$
(3) $\boldsymbol{24}$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，矩形的判定与面积计算
【点评】
本题综合考查反比例函数的相关知识，结合了中心对称性质、特殊四边形的判定和面积计算，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，能结合图象分析自变量取值范围，灵活运用特殊四边形的判定和面积公式求解。
【难度系数】
0.7
9 [2025 河南]汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化。研究发现，某款轮胎的摩擦系数μ与车速v(km/h)之间的函数关系如图所示。下列说法中，错误的是 (
C
) A. 汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9 B. 当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C. 要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于60 km/h D. 若车速从25 km/h增大到60 km/h，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04 答案
9. C
解析
【分析】
这是一道结合实际生活的函数图像分析题，解题时先明确横、纵坐标的含义：横坐标代表车速v，纵坐标代表摩擦系数μ，再结合图像的变化趋势、特殊点的数值，逐一判断每个选项的正误，注意题目要求选出错误的说法。
【解析】
逐一分析各选项：
A. 汽车静止时车速v=0，对应图像与纵轴的交点，可得μ=0.9，即静止时摩擦系数为0.9，该选项正确，不符合题意；
B. 观察0≤v≤60区间的图像，呈下降趋势，说明该范围内摩擦系数随车速的增大而减小，该选项正确，不符合题意；
C. 摩擦系数不低于0.71即μ≥0.71，结合图像可知：当v≤60km/h时，μ≥0.71；当v≥60km/h时，μ=0.71，因此只要车速不超过60km/h即可满足摩擦系数不低于0.71，并非要求车速不低于60km/h，该选项错误，符合题意；
D. 由图像得，v=25km/h时μ=0.75，v=60km/h时μ=0.71，0.75-0.71=0.04，即车速从25km/h增大到60km/h时摩擦系数减小0.04，该选项正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
函数图像的应用；变量变化趋势判断；图像信息提取
【点评】
本题将数学函数图像与行车安全的实际场景结合，考查对图像信息的读取分析能力，解题核心是明确横纵坐标的物理意义，结合特殊点和图像走势逐一验证选项，整体难度较低，认真审题即可得分。
【难度系数】
0.8
这是一道结合实际生活的函数图像分析题，解题时先明确横、纵坐标的含义：横坐标代表车速v，纵坐标代表摩擦系数μ，再结合图像的变化趋势、特殊点的数值，逐一判断每个选项的正误，注意题目要求选出错误的说法。
【解析】
逐一分析各选项：
A. 汽车静止时车速v=0，对应图像与纵轴的交点，可得μ=0.9，即静止时摩擦系数为0.9，该选项正确，不符合题意；
B. 观察0≤v≤60区间的图像，呈下降趋势，说明该范围内摩擦系数随车速的增大而减小，该选项正确，不符合题意；
C. 摩擦系数不低于0.71即μ≥0.71，结合图像可知：当v≤60km/h时，μ≥0.71；当v≥60km/h时，μ=0.71，因此只要车速不超过60km/h即可满足摩擦系数不低于0.71，并非要求车速不低于60km/h，该选项错误，符合题意；
D. 由图像得，v=25km/h时μ=0.75，v=60km/h时μ=0.71，0.75-0.71=0.04，即车速从25km/h增大到60km/h时摩擦系数减小0.04，该选项正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
函数图像的应用；变量变化趋势判断；图像信息提取
【点评】
本题将数学函数图像与行车安全的实际场景结合，考查对图像信息的读取分析能力，解题核心是明确横纵坐标的物理意义，结合特殊点和图像走势逐一验证选项，整体难度较低，认真审题即可得分。
【难度系数】
0.8
10 [2025 沭阳期末]某种电灭蚊器的电阻 $y$(kΩ)随温度 $x$(℃)变化的大致图象如图所示，通电后温度由10 ℃上升到30 ℃时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到30 ℃时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，电阻 $y$(kΩ)与温度 $x$(℃)之间的函数表达式为 $y=\frac{4}{15}x -6(x＞30)$。
（1）当$10≤ x≤ 30$时，求 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式；
（2）该种电灭蚊器在使用过程中，温度 $x$(℃)在什么范围内时，电阻不超过5 kΩ？
（1）当$10≤ x≤ 30$时，求 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式；
（2）该种电灭蚊器在使用过程中，温度 $x$(℃)在什么范围内时，电阻不超过5 kΩ？
答案
10. （1）设$y=\dfrac{m}{x}$.$\because$ 过点$(10,6)$,$\therefore m=10×6=60$,$\therefore$ 当$10≤ x≤ 30$时,$y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为$y=\dfrac{60}{x}$
（2）在$y=\dfrac{60}{x}$中,当$y=5$时,$x=12$;在$y=\dfrac{4}{15}x-6$中,当$y=5$时,$x=41\dfrac{1}{4}$,$\therefore$ 温度 $x(℃)$的取值范围是$12≤ x≤ 41\dfrac{1}{4}$
（2）在$y=\dfrac{60}{x}$中,当$y=5$时,$x=12$;在$y=\dfrac{4}{15}x-6$中,当$y=5$时,$x=41\dfrac{1}{4}$,$\therefore$ 温度 $x(℃)$的取值范围是$12≤ x≤ 41\dfrac{1}{4}$
解析
【分析】
（1）题目明确10≤x≤30时y与x成反比例函数关系，因此先设反比例函数的一般形式$y=\frac{m}{x}(m≠0)$，代入该区间内已知的点坐标求出参数m，再验证端点值是否符合图像，即可得到该段的函数表达式。
（2）电阻不超过5kΩ即$y≤5$，由于函数为分段函数，需分$10≤x≤30$和$x＞30$两个区间分别列不等式求解，最后结合各区间的自变量取值范围，合并得到最终的温度范围。
【解析】
解：（1）当$10≤ x≤ 30$时，设$y$与$x$的函数表达式为$y=\dfrac{m}{x}(m≠ 0)$。
将点$(10,6)$代入解析式得：$6=\dfrac{m}{10}$，解得$m=10× 6=60$。
验证：当$x=30$时，$y=\frac{60}{30}=2$，与图像中点$(30,2)$一致，符合题意。
因此当$10≤ x≤ 30$时，$y$与$x$的函数表达式为$y=\dfrac{60}{x}$。
（2）电阻不超过5kΩ，即$y≤ 5$，分两种情况讨论：
① 当$10≤ x≤ 30$时，令$\dfrac{60}{x}≤ 5$，
由于温度$x＞0$，两边同乘$x$得$60≤ 5x$，解得$x≥ 12$，
结合区间$10≤ x≤ 30$，得此时$x$的取值范围为$12≤ x≤ 30$。
② 当$x＞30$时，令$\dfrac{4}{15}x -6≤ 5$，
移项得$\dfrac{4}{15}x≤ 11$，解得$x≤ \dfrac{165}{4}=41\dfrac{1}{4}$，
结合区间$x＞30$，得此时$x$的取值范围为$30＜x≤ 41\dfrac{1}{4}$。
合并两个区间的解，得温度$x$的取值范围为$12≤ x≤ 41\dfrac{1}{4}$。
【答案】
（1）$y=\dfrac{60}{x}(10≤ x≤ 30)$
（2）$12≤ x≤ 41\dfrac{1}{4}$（单位：℃）
【知识点】
反比例函数解析式确定，一次函数应用，不等式求解
【点评】
本题结合生活实际考查分段函数的应用，解题时需要根据自变量的取值范围选择对应的函数解析式，分情况讨论求解，注意最终结果要结合自变量的实际取值范围整合，避免出现超区间的错误解。
【难度系数】
0.7
（1）题目明确10≤x≤30时y与x成反比例函数关系，因此先设反比例函数的一般形式$y=\frac{m}{x}(m≠0)$，代入该区间内已知的点坐标求出参数m，再验证端点值是否符合图像，即可得到该段的函数表达式。
（2）电阻不超过5kΩ即$y≤5$，由于函数为分段函数，需分$10≤x≤30$和$x＞30$两个区间分别列不等式求解，最后结合各区间的自变量取值范围，合并得到最终的温度范围。
【解析】
解：（1）当$10≤ x≤ 30$时，设$y$与$x$的函数表达式为$y=\dfrac{m}{x}(m≠ 0)$。
将点$(10,6)$代入解析式得：$6=\dfrac{m}{10}$，解得$m=10× 6=60$。
验证：当$x=30$时，$y=\frac{60}{30}=2$，与图像中点$(30,2)$一致，符合题意。
因此当$10≤ x≤ 30$时，$y$与$x$的函数表达式为$y=\dfrac{60}{x}$。
（2）电阻不超过5kΩ，即$y≤ 5$，分两种情况讨论：
① 当$10≤ x≤ 30$时，令$\dfrac{60}{x}≤ 5$，
由于温度$x＞0$，两边同乘$x$得$60≤ 5x$，解得$x≥ 12$，
结合区间$10≤ x≤ 30$，得此时$x$的取值范围为$12≤ x≤ 30$。
② 当$x＞30$时，令$\dfrac{4}{15}x -6≤ 5$，
移项得$\dfrac{4}{15}x≤ 11$，解得$x≤ \dfrac{165}{4}=41\dfrac{1}{4}$，
结合区间$x＞30$，得此时$x$的取值范围为$30＜x≤ 41\dfrac{1}{4}$。
合并两个区间的解，得温度$x$的取值范围为$12≤ x≤ 41\dfrac{1}{4}$。
【答案】
（1）$y=\dfrac{60}{x}(10≤ x≤ 30)$
（2）$12≤ x≤ 41\dfrac{1}{4}$（单位：℃）
【知识点】
反比例函数解析式确定，一次函数应用，不等式求解
【点评】
本题结合生活实际考查分段函数的应用，解题时需要根据自变量的取值范围选择对应的函数解析式，分情况讨论求解，注意最终结果要结合自变量的实际取值范围整合，避免出现超区间的错误解。
【难度系数】
0.7
