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一、选择题
1 如图，P，Q，M，N为$\odot O$所在平面内的4个点.若$\odot O$的半径为6，则到圆心O距离为5的可能是 （
A.点M
B.点N
C.点P
D.点Q
1 如图，P，Q，M，N为$\odot O$所在平面内的4个点.若$\odot O$的半径为6，则到圆心O距离为5的可能是 （
C
）A.点M
B.点N
C.点P
D.点Q
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先回忆点与圆的位置关系的判定方法：先明确圆的半径长度，再将点到圆心的距离与半径作比较，即可判断点的位置。本题中⊙O半径为6，要找的点到圆心距离为5，5小于6，说明该点在圆内部，只需判断四个选项中哪个点在圆内即可得到答案。
【解析】
设⊙O的半径为$r$，任意一点到圆心$O$的距离为$d$，点与圆的位置关系判定规则如下：
1. 若$d＞r$，则点在圆外；
2. 若$d=r$，则点在圆上；
3. 若$d＜r$，则点在圆内。
已知$r=6$，所求点满足$d=5$，因为$5＜6$，所以该点在⊙O的内部。
观察四个点：点M、Q在圆外，点N在圆上，只有点P在圆内，因此符合要求的是点P。
【答案】
C
【知识点】
点与圆的位置关系
【点评】
本题是基础题，核心考查点与圆位置关系的判定，解题的关键是掌握点到圆心的距离和半径的大小关系对应的点的位置，熟练掌握规则即可快速得分。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆点与圆的位置关系的判定方法：先明确圆的半径长度，再将点到圆心的距离与半径作比较，即可判断点的位置。本题中⊙O半径为6，要找的点到圆心距离为5，5小于6，说明该点在圆内部，只需判断四个选项中哪个点在圆内即可得到答案。
【解析】
设⊙O的半径为$r$，任意一点到圆心$O$的距离为$d$，点与圆的位置关系判定规则如下：
1. 若$d＞r$，则点在圆外；
2. 若$d=r$，则点在圆上；
3. 若$d＜r$，则点在圆内。
已知$r=6$，所求点满足$d=5$，因为$5＜6$，所以该点在⊙O的内部。
观察四个点：点M、Q在圆外，点N在圆上，只有点P在圆内，因此符合要求的是点P。
【答案】
C
【知识点】
点与圆的位置关系
【点评】
本题是基础题，核心考查点与圆位置关系的判定，解题的关键是掌握点到圆心的距离和半径的大小关系对应的点的位置，熟练掌握规则即可快速得分。
【难度系数】
0.8
2 如图，AB，AC，BD是$\odot O$的切线，切点分别是P，C，D.若$AB=10$，$AC=6$，则BD的长是（
A.3
B.4
C.5
D.6
B
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
2. B
解析
【分析】
解题时首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。第一步先找到点A引出的两条切线AC、AP，利用切线长相等求出AP的长度；第二步用AB的长度减去AP的长度得到PB的长度；第三步找到点B引出的两条切线BP、BD，再次利用切线长相等，即可得到BD的长度。
【解析】
∵AC、AP都是⊙O的切线，切点分别为C、P，根据切线长定理可得：
$AC = AP = 6$
又
∵$AB = 10$
∴$PB = AB - AP = 10 - 6 = 4$
∵BD、BP都是⊙O的切线，切点分别为D、P，根据切线长定理可得：
$BD = PB = 4$
【答案】
B
【知识点】
切线长定理、线段和差计算
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考查切线长定理的应用，解题关键是识别同一点向圆引出的两条切线，利用切线长相等完成等量代换，计算过程简单，掌握定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。第一步先找到点A引出的两条切线AC、AP，利用切线长相等求出AP的长度；第二步用AB的长度减去AP的长度得到PB的长度；第三步找到点B引出的两条切线BP、BD，再次利用切线长相等，即可得到BD的长度。
【解析】
∵AC、AP都是⊙O的切线，切点分别为C、P，根据切线长定理可得：
$AC = AP = 6$
又
∵$AB = 10$
∴$PB = AB - AP = 10 - 6 = 4$
∵BD、BP都是⊙O的切线，切点分别为D、P，根据切线长定理可得：
$BD = PB = 4$
【答案】
B
【知识点】
切线长定理、线段和差计算
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考查切线长定理的应用，解题关键是识别同一点向圆引出的两条切线，利用切线长相等完成等量代换，计算过程简单，掌握定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3 [2025宿迁开学]如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA。若∠CAI=34°，则∠OBC的度数为（
A.$27°$
B.$24°$
C.$22°$
D.$20°$
C
）A.$27°$
B.$24°$
C.$22°$
D.$20°$
答案
3. C
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，利用三角形内心的性质，内心是三角形内角平分线的交点，已知∠CAI的度数可求出∠BAC的度数；第二步，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可求出圆心角∠BOC的度数；第三步，结合外心的性质可知OB=OC，△OBC为等腰三角形，利用三角形内角和即可求出∠OBC的度数。
【解析】
∵点I是△ABC的内心，
∴IA平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠CAI=2×34°=68°。
∵点O是△ABC外接圆的圆心，∠BOC与∠BAC均对应弧BC，
根据圆周角定理，得∠BOC=2∠BAC=2×68°=136°。
又
∵OB=OC（都是外接圆的半径），
∴△OBC是等腰三角形，
∴∠OBC=(180°-∠BOC)÷2=(180°-136°)÷2=22°。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题是三角形特殊点性质的基础综合题，解题核心是熟练掌握内心、外心的相关性质，结合圆周角定理和等腰三角形角度计算规律即可求解，是三角形与圆结合部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，利用三角形内心的性质，内心是三角形内角平分线的交点，已知∠CAI的度数可求出∠BAC的度数；第二步，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可求出圆心角∠BOC的度数；第三步，结合外心的性质可知OB=OC，△OBC为等腰三角形，利用三角形内角和即可求出∠OBC的度数。
【解析】
∵点I是△ABC的内心，
∴IA平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠CAI=2×34°=68°。
∵点O是△ABC外接圆的圆心，∠BOC与∠BAC均对应弧BC，
根据圆周角定理，得∠BOC=2∠BAC=2×68°=136°。
又
∵OB=OC（都是外接圆的半径），
∴△OBC是等腰三角形，
∴∠OBC=(180°-∠BOC)÷2=(180°-136°)÷2=22°。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题是三角形特殊点性质的基础综合题，解题核心是熟练掌握内心、外心的相关性质，结合圆周角定理和等腰三角形角度计算规律即可求解，是三角形与圆结合部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
4 如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，P是BC延长线上一点，连接OA，OC，PA，且$∠ PCA=∠ PAB$，D是AC的中点，OD的延长线交AP于点Q。有下列结论：① $∠ B=∠ AOD$；② OQ垂直平分AC；③ 直线PA和CQ都是$\odot O$的切线；④ $CQ// AO$。其中，正确的是（
A.①④
B.②③
C.①②③
D.①②③④
C
）A.①④
B.②③
C.①②③
D.①②③④
答案
4. C 【解析】$\because$ D 是 AC 的中点，$\therefore AD = CD. \because OA = OC$，$\therefore OQ⊥ AC,∠ AOD=∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOC,\therefore OQ$ 垂直平分 AC. 故②正确. $\because ∠ B = \frac{1}{2}∠ AOC, \therefore ∠ B = ∠ AOD$. 故 ① 正确.$\because ∠ PCA=∠ PAB,\therefore ∠ PAC = 180° - ∠ P - ∠ PCA = 180° - ∠ P - ∠ PAB = ∠ B. \because ∠ B = ∠ AOD, \therefore ∠ PAC = ∠ AOD.$$\because ∠ ADO=90°,\therefore ∠ PAO=∠ PAC+∠ OAC=∠ AOD+∠ OAC=90°.$$\because OQ$ 垂直平分 AC,$\therefore QC=QA,\therefore ∠ QCA=∠ QAC. \because OC=OA,\therefore ∠ OCA=∠ OAC,\therefore ∠ QCO=∠ OCA+∠ QCA=∠ OAC+∠ QAC=∠ QAO=90°. \because OA,OC$ 都是$\odot O$ 的半径,$PA⊥ OA,CQ⊥ OC,\therefore$ 直线 PA 和 CQ 都是$\odot O$ 的切线.故③正确.假设 $CQ// AO$,则$∠ AQC=180°-∠ QAO=90°,\therefore ∠ AQC=∠ QAO=∠ QCO=90°,\therefore ∠ AOC=360°-∠ AQC-∠ QAO-∠ QCO=90°,\therefore ∠ B=\frac{1}{2}∠ AOC=45°$,显然与已知条件不符,$\therefore CQ// AO$ 不正确.故④不正确.综上所述,正确的是①②③.
解析
【分析】
本题需逐一验证4个结论是否正确：1. 验证结论①②：先利用等腰三角形三线合一的性质，结合D是AC中点、OA=OC，可判断OQ与AC的位置关系，再结合圆周角定理，推导∠B和∠AOD的数量关系；2. 验证结论③：要证直线是圆的切线，需证明直线垂直于过切点的半径，先结合已知角相等的条件推导∠PAC=∠B，再结合结论①的角相等关系，推导∠PAO=90°证明PA是切线，再利用线段垂直平分线的性质和等角代换推导∠QCO=90°证明CQ是切线；3. 验证结论④：采用反证法，假设CQ//AO，推导得出∠B=45°，该结论无已知条件支撑，即可判断④错误。
【解析】
∵ D是AC的中点，
∴ $AD=CD$，
∵ $OA=OC$，
∴ $△ OAC$是等腰三角形，由等腰三角形三线合一可得：$OQ⊥AC$，$∠AOD=∠COD=\frac{1}{2}∠AOC$，
∴ OQ垂直平分AC，故②正确；
∵ $∠B$是弧AC所对的圆周角，$∠AOC$是弧AC所对的圆心角，由圆周角定理得$∠B=\frac{1}{2}∠AOC$，
∴ $∠B=∠AOD$，故①正确；
∵ $∠PCA=∠PAB$，
在$△ PAB$中，$∠B=180°-∠P-∠PAB$，
在$△ PAC$中，$∠PAC=180°-∠P-∠PCA$，
∴ $∠PAC=∠B$，
结合①的结论得$∠PAC=∠AOD$，
∵ $OQ⊥AC$，
∴ $∠ADO=90°$，
在$Rt△ ADO$中，$∠AOD+∠OAC=90°$，
∴ $∠PAC+∠OAC=90°$，即$∠PAO=90°$，
∵ OA是$\odot O$的半径，$PA⊥OA$，
∴ PA是$\odot O$的切线；
∵ OQ垂直平分AC，
∴ $QC=QA$，
∴ $∠QCA=∠QAC$，
∵ $OC=OA$，
∴ $∠OCA=∠OAC$，
∴ $∠QCO=∠OCA+∠QCA=∠OAC+∠QAC=∠PAO=90°$，
∵ OC是$\odot O$的半径，$CQ⊥OC$，
∴ CQ是$\odot O$的切线，故③正确；
假设$CQ// AO$，则$∠AQC+∠QAO=180°$，
∵ $∠QAO=90°$，
∴ $∠AQC=90°$，
此时四边形QCOA中，$∠AQC=∠QAO=∠QCO=90°$，
∴ $∠AOC=360°-90°×3=90°$，
由圆周角定理得$∠B=\frac{1}{2}∠AOC=45°$，题目无相关条件能推导$∠B=45°$，假设不成立，故④错误。
综上，正确的结论是①②③。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，切线的判定，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于圆的综合基础题，解题时需逐个验证结论，充分利用等腰三角形性质、圆周角定理等知识推导，判断错误结论时可采用反证法简化推导过程。
【难度系数】
0.6
本题需逐一验证4个结论是否正确：1. 验证结论①②：先利用等腰三角形三线合一的性质，结合D是AC中点、OA=OC，可判断OQ与AC的位置关系，再结合圆周角定理，推导∠B和∠AOD的数量关系；2. 验证结论③：要证直线是圆的切线，需证明直线垂直于过切点的半径，先结合已知角相等的条件推导∠PAC=∠B，再结合结论①的角相等关系，推导∠PAO=90°证明PA是切线，再利用线段垂直平分线的性质和等角代换推导∠QCO=90°证明CQ是切线；3. 验证结论④：采用反证法，假设CQ//AO，推导得出∠B=45°，该结论无已知条件支撑，即可判断④错误。
【解析】
∵ D是AC的中点，
∴ $AD=CD$，
∵ $OA=OC$，
∴ $△ OAC$是等腰三角形，由等腰三角形三线合一可得：$OQ⊥AC$，$∠AOD=∠COD=\frac{1}{2}∠AOC$，
∴ OQ垂直平分AC，故②正确；
∵ $∠B$是弧AC所对的圆周角，$∠AOC$是弧AC所对的圆心角，由圆周角定理得$∠B=\frac{1}{2}∠AOC$，
∴ $∠B=∠AOD$，故①正确；
∵ $∠PCA=∠PAB$，
在$△ PAB$中，$∠B=180°-∠P-∠PAB$，
在$△ PAC$中，$∠PAC=180°-∠P-∠PCA$，
∴ $∠PAC=∠B$，
结合①的结论得$∠PAC=∠AOD$，
∵ $OQ⊥AC$，
∴ $∠ADO=90°$，
在$Rt△ ADO$中，$∠AOD+∠OAC=90°$，
∴ $∠PAC+∠OAC=90°$，即$∠PAO=90°$，
∵ OA是$\odot O$的半径，$PA⊥OA$，
∴ PA是$\odot O$的切线；
∵ OQ垂直平分AC，
∴ $QC=QA$，
∴ $∠QCA=∠QAC$，
∵ $OC=OA$，
∴ $∠OCA=∠OAC$，
∴ $∠QCO=∠OCA+∠QCA=∠OAC+∠QAC=∠PAO=90°$，
∵ OC是$\odot O$的半径，$CQ⊥OC$，
∴ CQ是$\odot O$的切线，故③正确；
假设$CQ// AO$，则$∠AQC+∠QAO=180°$，
∵ $∠QAO=90°$，
∴ $∠AQC=90°$，
此时四边形QCOA中，$∠AQC=∠QAO=∠QCO=90°$，
∴ $∠AOC=360°-90°×3=90°$，
由圆周角定理得$∠B=\frac{1}{2}∠AOC=45°$，题目无相关条件能推导$∠B=45°$，假设不成立，故④错误。
综上，正确的结论是①②③。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，切线的判定，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于圆的综合基础题，解题时需逐个验证结论，充分利用等腰三角形性质、圆周角定理等知识推导，判断错误结论时可采用反证法简化推导过程。
【难度系数】
0.6
5 [2025 宿城段考]已知$\odot O$的半径为4，圆心$O$到直线$l$的距离为3，则直线$l$与$\odot O$的位置关系是
相交
.答案
5. 相交
解析
【分析】
要判断直线与圆的位置关系，核心方法是比较圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小：当d＜r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离。本题已直接给出半径和圆心到直线的距离，只需代入对比大小即可得出结论。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=4$，圆心$O$到直线$l$的距离$d=3$，
因为$3＜4$，即$d＜r$，
根据直线与圆的位置关系判定规则，可知直线$l$与$\odot O$相交。
【答案】
相交
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题是基础类题目，只要熟练掌握直线与圆位置关系的判定规则，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
要判断直线与圆的位置关系，核心方法是比较圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小：当d＜r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离。本题已直接给出半径和圆心到直线的距离，只需代入对比大小即可得出结论。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=4$，圆心$O$到直线$l$的距离$d=3$，
因为$3＜4$，即$d＜r$，
根据直线与圆的位置关系判定规则，可知直线$l$与$\odot O$相交。
【答案】
相交
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题是基础类题目，只要熟练掌握直线与圆位置关系的判定规则，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
6 [2025宿迁期中]如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ A=90°$，$AB=5$，$AC=12$，$\odot O$是$Rt△ ABC$的内切圆，切点分别为$D$，$E$，$F$，则$CF=$
（第6题）
10
。（第6题）答案
6. 10
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先利用勾股定理计算Rt△ABC的斜边BC的长度；第二步，根据切线长定理，得到从三角形各顶点到内切圆切点的两条切线长度相等，设未知数表示各段切线长，结合三角形三边长度建立等量关系，解方程即可求出CF的长度。
【解析】
在$Rt△ABC$中，$∠ A=90°$，$AB=5$，$AC=12$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$。
设$AF=AD=x$，$BD=BE=y$，$CE=CF=z$，根据切线长定理可得：
$\begin{cases}x+y=AB=5 \\y+z=BC=13 \\x+z=AC=12\end{cases}$
将后两个方程相加再减去第一个方程，得：$(y+z)+(x+z)-(x+y)=13+12-5$，
化简得$2z=20$，解得$z=10$，即$CF=10$。
【答案】
10
【知识点】
勾股定理；切线长定理；三角形内切圆
【点评】
本题是三角形内切圆的基础计算题，解题核心是熟练运用切线长定理得到线段的等量关系，结合勾股定理即可快速求解，是内切圆相关考点的典型考法。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，先利用勾股定理计算Rt△ABC的斜边BC的长度；第二步，根据切线长定理，得到从三角形各顶点到内切圆切点的两条切线长度相等，设未知数表示各段切线长，结合三角形三边长度建立等量关系，解方程即可求出CF的长度。
【解析】
在$Rt△ABC$中，$∠ A=90°$，$AB=5$，$AC=12$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$。
设$AF=AD=x$，$BD=BE=y$，$CE=CF=z$，根据切线长定理可得：
$\begin{cases}x+y=AB=5 \\y+z=BC=13 \\x+z=AC=12\end{cases}$
将后两个方程相加再减去第一个方程，得：$(y+z)+(x+z)-(x+y)=13+12-5$，
化简得$2z=20$，解得$z=10$，即$CF=10$。
【答案】
10
【知识点】
勾股定理；切线长定理；三角形内切圆
【点评】
本题是三角形内切圆的基础计算题，解题核心是熟练运用切线长定理得到线段的等量关系，结合勾股定理即可快速求解，是内切圆相关考点的典型考法。
【难度系数】
0.7
7[2025宿城段考]如图，正方形ABCD的边AD与$\odot O$相切于点P，点B，C在$\odot O$上.若$BC=8$，则$\odot O$的半径是
5
.答案
7. 5 【解析】如图，连接 PO 并延长，交 BC 于点 Q，连接 OB. 由条件可知 $AB=BC=8,∠ A=∠ ABC=90°. \because AD$ 与$\odot O$ 相切于点 P，$\therefore OP⊥ AD,\therefore ∠ APQ=∠ A=∠ ABC=90°,\therefore$ 四边形 ABQP 是矩形,$\therefore PQ = AB = 8,∠ PQB = 90°$, 即 $PQ ⊥ BC, \therefore BQ = CQ =\frac{1}{2} BC=4$. 设 $OP=OB=a$, 则 $OQ=PQ-OP=8-a$. 在 $Rt△ OBQ$中,$OB^2=OQ^2+BQ^2,\therefore a^2=(8-a)^2+4^2$,解得 $a=5$,即$\odot O$ 的半径是 5。
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件回忆相关性质：圆的切线垂直于过切点的半径，正方形四边相等、四个角都是直角，垂径定理等。首先通过切线的性质得到$OP⊥AD$，结合正方形$AD// BC$的特点，延长$OP$交$BC$于点$Q$，可得$OQ⊥BC$，同时可证四边形$ABQP$是矩形，得到$PQ$的长度；再连接$OB$，构造直角三角形$OBQ$，设圆的半径为未知数，利用勾股定理列方程即可求解半径长度。
【解析】
如图，连接$PO$并延长，交$BC$于点$Q$，连接$OB$。
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AB=BC=8$，$∠A=∠ABC=90°$，$AD// BC$。
∵$AD$与$\odot O$相切于点$P$，
∴$OP⊥AD$，
∴$∠APQ=∠A=∠ABC=90°$，
∴四边形$ABQP$是矩形，
∴$PQ=AB=8$，$∠PQB=90°$，即$PQ⊥BC$，
根据垂径定理可得$BQ = CQ =\frac{1}{2} BC=4$。
设$\odot O$的半径为$a$，则$OP=OB=a$，
∴$OQ=PQ-OP=8-a$。
在$Rt△OBQ$中，由勾股定理得$OB^2=OQ^2+BQ^2$，
代入得：$a^2=(8-a)^2+4^2$，
展开计算：$a^2=64-16a+a^2+16$，
化简得$16a=80$，解得$a=5$。
【答案】
5
【知识点】
切线的性质；正方形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆与特殊四边形结合的常见题型，解题的关键是合理作出辅助线，构造矩形和直角三角形，结合方程思想利用勾股定理求解，能较好地考察学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合已知条件回忆相关性质：圆的切线垂直于过切点的半径，正方形四边相等、四个角都是直角，垂径定理等。首先通过切线的性质得到$OP⊥AD$，结合正方形$AD// BC$的特点，延长$OP$交$BC$于点$Q$，可得$OQ⊥BC$，同时可证四边形$ABQP$是矩形，得到$PQ$的长度；再连接$OB$，构造直角三角形$OBQ$，设圆的半径为未知数，利用勾股定理列方程即可求解半径长度。
【解析】
如图，连接$PO$并延长，交$BC$于点$Q$，连接$OB$。
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AB=BC=8$，$∠A=∠ABC=90°$，$AD// BC$。
∵$AD$与$\odot O$相切于点$P$，
∴$OP⊥AD$，
∴$∠APQ=∠A=∠ABC=90°$，
∴四边形$ABQP$是矩形，
∴$PQ=AB=8$，$∠PQB=90°$，即$PQ⊥BC$，
根据垂径定理可得$BQ = CQ =\frac{1}{2} BC=4$。
设$\odot O$的半径为$a$，则$OP=OB=a$，
∴$OQ=PQ-OP=8-a$。
在$Rt△OBQ$中，由勾股定理得$OB^2=OQ^2+BQ^2$，
代入得：$a^2=(8-a)^2+4^2$，
展开计算：$a^2=64-16a+a^2+16$，
化简得$16a=80$，解得$a=5$。
【答案】
5
【知识点】
切线的性质；正方形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆与特殊四边形结合的常见题型，解题的关键是合理作出辅助线，构造矩形和直角三角形，结合方程思想利用勾股定理求解，能较好地考察学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
8 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4$，$BC=2$，点$O$在$△ ABC$的内部。若以点$O$为圆心，$OC$长为半径的圆与直线$AB$始终相离，则$OC$长的取值范围是
$0＜OC＜\frac{2\sqrt{5}}{5}$
。答案
8. $0＜OC＜\frac{2\sqrt{5}}{5}$ 【解析】在$△ ABC$ 中,$∠ C=90°,AC=4,BC=2$,由勾股定理,得 $AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=2\sqrt{5}$. 设$\odot O$ 恰好与直线 $AB$ 相切时,切点为 $E$,过点 $C$ 作 $CD⊥ AB$ 于点 $D$,连接 $CE,OC,OE$.$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2} AB · CD=\frac{1}{2} AC · BC,\therefore CD=\frac{AC · BC}{AB}=\frac{2×4}{2\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}. \because OC+OE=2OC≥ CE≥ CD,\therefore$ 当点 $E$ 和点 $D$ 重合,且 $O,C,D$ 三点共线时,$OC$ 的长取得最小值,最小值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,$\therefore$ 当$\odot O$ 与直线$AB$ 始终相离时,$OC$ 长的取值范围是 $0＜OC＜\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
解析
【分析】
要确定OC的取值范围，首先需明确圆与直线AB相离的条件：圆心O到AB的距离大于半径OC。首先利用勾股定理求出斜边AB的长度，再用面积法求出点C到AB的垂线段长度（即点C到AB的最短距离）；接着找到圆与AB刚好相切的临界情况，此时圆心到AB的距离等于OC，结合垂线段最短的性质求出此时OC的临界最大值，最后结合O在三角形内部、OC长度大于0，即可得到取值范围。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4$，$BC=2$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。
过点C作$CD⊥ AB$于点D，根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CD$，
代入数值计算得：$CD=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{4×2}{2\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$。
当$\odot O$恰好与直线AB相切时，设切点为E，连接OE，则$OE⊥ AB$，且$OE=OC$（均为$\odot O$的半径）。
根据两点之间线段最短，可得$OC+OE≥ CE≥ CD$，当且仅当C、O、E三点共线且E与D重合时，等号成立，此时$2OC=CD$，即$OC=\frac{1}{2}CD=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，此为OC的临界最大值。
若$\odot O$与AB始终相离，则圆心到AB的距离大于OC，故OC需小于该临界值，又OC为长度且O在$△ ABC$内部，故$OC＞0$。
因此OC的取值范围是$0＜OC＜\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$0＜OC＜\frac{2\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
勾股定理，直线与圆的位置关系，面积法求高
【点评】
本题属于几何综合题，解题的关键是抓住圆与直线相切的临界状态，结合直角三角形的性质和垂线段最短的原理推导临界值，需要具备一定的几何分析能力。
【难度系数】
0.6
要确定OC的取值范围，首先需明确圆与直线AB相离的条件：圆心O到AB的距离大于半径OC。首先利用勾股定理求出斜边AB的长度，再用面积法求出点C到AB的垂线段长度（即点C到AB的最短距离）；接着找到圆与AB刚好相切的临界情况，此时圆心到AB的距离等于OC，结合垂线段最短的性质求出此时OC的临界最大值，最后结合O在三角形内部、OC长度大于0，即可得到取值范围。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4$，$BC=2$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。
过点C作$CD⊥ AB$于点D，根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CD$，
代入数值计算得：$CD=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{4×2}{2\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$。
当$\odot O$恰好与直线AB相切时，设切点为E，连接OE，则$OE⊥ AB$，且$OE=OC$（均为$\odot O$的半径）。
根据两点之间线段最短，可得$OC+OE≥ CE≥ CD$，当且仅当C、O、E三点共线且E与D重合时，等号成立，此时$2OC=CD$，即$OC=\frac{1}{2}CD=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，此为OC的临界最大值。
若$\odot O$与AB始终相离，则圆心到AB的距离大于OC，故OC需小于该临界值，又OC为长度且O在$△ ABC$内部，故$OC＞0$。
因此OC的取值范围是$0＜OC＜\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$0＜OC＜\frac{2\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
勾股定理，直线与圆的位置关系，面积法求高
【点评】
本题属于几何综合题，解题的关键是抓住圆与直线相切的临界状态，结合直角三角形的性质和垂线段最短的原理推导临界值，需要具备一定的几何分析能力。
【难度系数】
0.6
