登录
三、解答题
9 如图，AB，BC，CD分别与$\odot O$相切于E，F，G三点，且$AB// CD$，$BO=6\ \mathrm{cm}$，$CO=8\ \mathrm{cm}$。
（1）求证：$∠ BOC=90°$；
（2）求BE的长。
9 如图，AB，BC，CD分别与$\odot O$相切于E，F，G三点，且$AB// CD$，$BO=6\ \mathrm{cm}$，$CO=8\ \mathrm{cm}$。
（1）求证：$∠ BOC=90°$；
（2）求BE的长。
答案
9. （1）如图，连接$OE,OF$. $\because AB,BC,CD$ 分别与$\odot O$ 相切于 $E$，$F,G$ 三点，$\therefore BE=BF,OE⊥ AB,OF⊥ BC$,即$∠ OEB=∠ OFB=90°$. 在 $Rt△ OEB$ 和 $Rt△ OFB$ 中，$\begin{cases}OB=OB,\\OE=OF,\end{cases}$ $\therefore Rt△ OEB ≌Rt△ OFB(\mathrm{HL}),\therefore ∠ OBE=∠ OBF,\therefore ∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$. 同理,得$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ DCB$. $\because AB// CD,\therefore ∠ ABC+∠ DCB=180°$,$\therefore ∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ DCB)=90°,\therefore ∠ BOC=90°$
（2）$\because OB=6\ \mathrm{cm},OC=8\ \mathrm{cm},∠ BOC=90°,\therefore BC=\sqrt{6^2+8^2}=10(\mathrm{cm}). \because OF⊥ BC,\therefore \frac{1}{2} OB · OC=\frac{1}{2} OF · BC,\therefore OF=\frac{OB · OC}{BC}=\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}(\mathrm{cm})$. 在 $Rt△ OBF$ 中,$BF=\sqrt{BO^2-OF^2}=\frac{18}{5}\ \mathrm{cm},\therefore BE=BF=\frac{18}{5}\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
（1）要证明$∠ BOC=90°$，首先根据切线的性质和切线长定理可推出$BO$平分$∠ ABC$，$CO$平分$∠ DCB$；再结合$AB// CD$的性质，得到同旁内角$∠ ABC+∠ DCB=180°$，进而推出$∠ OBC+∠ OCB=90°$，最后根据三角形内角和定理即可证得$∠ BOC=90°$。
（2）求$BE$的长时，由切线长定理可知$BE=BF$，因此只需算出$BF$的长即可：先在$Rt△ BOC$中用勾股定理计算$BC$的长度，再用面积法求出半径$OF$的长度，最后在$Rt△ OBF$中用勾股定理算出$BF$的长，即可得到$BE$的长度。
【解析】
（1）证明：连接$OE$、$OF$。
$\because AB、BC、CD$分别与$\odot O$相切于$E、F、G$三点，
$\therefore BE=BF$，$OE⊥ AB$，$OF⊥ BC$，即$∠ OEB=∠ OFB=90°$。
在$Rt△ OEB$和$Rt△ OFB$中：
$\begin{cases}OB=OB\\OE=OF\end{cases}$
$\therefore Rt△ OEB≌ Rt△ OFB(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ OBE=∠ OBF$，即$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$。
同理可得$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ DCB$。
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ ABC+∠ DCB=180°$，
$\therefore ∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ DCB)=\frac{1}{2}×180°=90°$，
在$△ BOC$中，$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=90°$，得证。
（2）解：在$Rt△ BOC$中，$OB=6\ \mathrm{cm}$，$OC=8\ \mathrm{cm}$，$∠ BOC=90°$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm{cm}$。
$\because OF⊥ BC$，
$\therefore S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OB· OC=\frac{1}{2}BC· OF$，
代入数据得$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× OF$，
解得$OF=\frac{24}{5}\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△ OBF$中，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{OB^2-OF^2}=\sqrt{6^2-(\frac{24}{5})^2}=\frac{18}{5}\ \mathrm{cm}$，
由切线长定理得$BE=BF$，
$\therefore BE=\frac{18}{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
9. （1）如图，连接$OE,OF$. $\because AB,BC,CD$ 分别与$\odot O$ 相切于 $E$，$F,G$ 三点，$\therefore BE=BF,OE⊥ AB,OF⊥ BC$,即$∠ OEB=∠ OFB=90°$. 在 $Rt△ OEB$ 和 $Rt△ OFB$ 中，$\begin{cases}OB=OB,\\OE=OF,\end{cases}$ $\therefore Rt△ OEB ≌Rt△ OFB(\mathrm{HL}),\therefore ∠ OBE=∠ OBF,\therefore ∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$. 同理,得$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ DCB$. $\because AB// CD,\therefore ∠ ABC+∠ DCB=180°$,$\therefore ∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ DCB)=90°,\therefore ∠ BOC=90°$
（2）$\because OB=6\ \mathrm{cm},OC=8\ \mathrm{cm},∠ BOC=90°,\therefore BC=\sqrt{6^2+8^2}=10(\mathrm{cm}). \because OF⊥ BC,\therefore \frac{1}{2} OB · OC=\frac{1}{2} OF · BC,\therefore OF=\frac{OB · OC}{BC}=\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}(\mathrm{cm})$. 在 $Rt△ OBF$ 中,$BF=\sqrt{BO^2-OF^2}=\frac{18}{5}\ \mathrm{cm},\therefore BE=BF=\frac{18}{5}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
切线长定理，勾股定理，平行线的性质
【点评】
本题属于圆与三角形的基础综合题，解题的关键是掌握“连接圆心与切点”这一圆类问题的常用辅助线做法，灵活运用切线长定理得到等线段和角平分线关系，结合平行线性质、勾股定理和面积法即可求解，需要熟练掌握切线相关性质的应用。
【难度系数】
0.65
（1）要证明$∠ BOC=90°$，首先根据切线的性质和切线长定理可推出$BO$平分$∠ ABC$，$CO$平分$∠ DCB$；再结合$AB// CD$的性质，得到同旁内角$∠ ABC+∠ DCB=180°$，进而推出$∠ OBC+∠ OCB=90°$，最后根据三角形内角和定理即可证得$∠ BOC=90°$。
（2）求$BE$的长时，由切线长定理可知$BE=BF$，因此只需算出$BF$的长即可：先在$Rt△ BOC$中用勾股定理计算$BC$的长度，再用面积法求出半径$OF$的长度，最后在$Rt△ OBF$中用勾股定理算出$BF$的长，即可得到$BE$的长度。
【解析】
（1）证明：连接$OE$、$OF$。
$\because AB、BC、CD$分别与$\odot O$相切于$E、F、G$三点，
$\therefore BE=BF$，$OE⊥ AB$，$OF⊥ BC$，即$∠ OEB=∠ OFB=90°$。
在$Rt△ OEB$和$Rt△ OFB$中：
$\begin{cases}OB=OB\\OE=OF\end{cases}$
$\therefore Rt△ OEB≌ Rt△ OFB(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ OBE=∠ OBF$，即$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$。
同理可得$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ DCB$。
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ ABC+∠ DCB=180°$，
$\therefore ∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ DCB)=\frac{1}{2}×180°=90°$，
在$△ BOC$中，$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=90°$，得证。
（2）解：在$Rt△ BOC$中，$OB=6\ \mathrm{cm}$，$OC=8\ \mathrm{cm}$，$∠ BOC=90°$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm{cm}$。
$\because OF⊥ BC$，
$\therefore S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OB· OC=\frac{1}{2}BC· OF$，
代入数据得$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× OF$，
解得$OF=\frac{24}{5}\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△ OBF$中，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{OB^2-OF^2}=\sqrt{6^2-(\frac{24}{5})^2}=\frac{18}{5}\ \mathrm{cm}$，
由切线长定理得$BE=BF$，
$\therefore BE=\frac{18}{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
9. （1）如图，连接$OE,OF$. $\because AB,BC,CD$ 分别与$\odot O$ 相切于 $E$，$F,G$ 三点，$\therefore BE=BF,OE⊥ AB,OF⊥ BC$,即$∠ OEB=∠ OFB=90°$. 在 $Rt△ OEB$ 和 $Rt△ OFB$ 中，$\begin{cases}OB=OB,\\OE=OF,\end{cases}$ $\therefore Rt△ OEB ≌Rt△ OFB(\mathrm{HL}),\therefore ∠ OBE=∠ OBF,\therefore ∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$. 同理,得$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ DCB$. $\because AB// CD,\therefore ∠ ABC+∠ DCB=180°$,$\therefore ∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ DCB)=90°,\therefore ∠ BOC=90°$
（2）$\because OB=6\ \mathrm{cm},OC=8\ \mathrm{cm},∠ BOC=90°,\therefore BC=\sqrt{6^2+8^2}=10(\mathrm{cm}). \because OF⊥ BC,\therefore \frac{1}{2} OB · OC=\frac{1}{2} OF · BC,\therefore OF=\frac{OB · OC}{BC}=\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}(\mathrm{cm})$. 在 $Rt△ OBF$ 中,$BF=\sqrt{BO^2-OF^2}=\frac{18}{5}\ \mathrm{cm},\therefore BE=BF=\frac{18}{5}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
切线长定理，勾股定理，平行线的性质
【点评】
本题属于圆与三角形的基础综合题，解题的关键是掌握“连接圆心与切点”这一圆类问题的常用辅助线做法，灵活运用切线长定理得到等线段和角平分线关系，结合平行线性质、勾股定理和面积法即可求解，需要熟练掌握切线相关性质的应用。
【难度系数】
0.65
10 如图，$\odot O$是四边形$ABCD$的外接圆，$AC$是$\odot O$的直径，$BD$平分$∠ ABC$.
（1）若$∠ ACB=25°$，求$∠ BDC$的度数；
（2）已知$E$是弦$BD$上一点，且点$E$是$△ ABC$的内心，连接$AE$，求证：$DA=DE$.
（1）若$∠ ACB=25°$，求$∠ BDC$的度数；
（2）已知$E$是弦$BD$上一点，且点$E$是$△ ABC$的内心，连接$AE$，求证：$DA=DE$.
答案
10. （1）$\because \odot O$ 是四边形 $ABCD$ 的外接圆,$AC$ 是$\odot O$ 的直径，$\therefore ∠ ABC=90°. \because ∠ ACB=25°,\therefore ∠ BAC=90°-∠ ACB=65°$,$\therefore ∠ BDC=∠ BAC=65°$ （2）$\because BD$ 平分$∠ ABC,\therefore ∠ ABD=∠ CBD. \because ∠ CBD=∠ CAD,\therefore ∠ ABD=∠ CAD. \because E$ 是$△ ABC$ 的内心,$\therefore AE$ 平分$∠ BAC,\therefore ∠ BAE=∠ CAE,\therefore ∠ BAE +∠ ABD=∠ CAE+∠ CAD. \because ∠ DEA=∠ BAE+∠ ABD,∠ DAE=∠ CAE+∠ CAD,\therefore ∠ DEA=∠ DAE,\therefore DA=DE$.
解析
【分析】
（1）求∠BDC的度数：首先根据AC是圆的直径，利用直径所对圆周角为直角的性质，得到∠ABC=90°，结合已知∠ACB的度数可算出∠BAC的度数；再根据同弧所对的圆周角相等，可知∠BDC与∠BAC度数相等，即可得出结果。
（2）证明DA=DE：要证两条边相等，可转化为证明两条边所对的角相等，即证∠DAE=∠DEA。首先利用BD平分∠ABC，结合同弧所对圆周角相等的性质，得到∠ABD=∠CAD；再根据E是△ABC的内心，可知AE平分∠BAC，即∠BAE=∠CAE；通过角的和差关系结合三角形外角的性质，可推出∠DAE=∠DEA，最后根据等角对等边即可得证。
【解析】
（1）解：
∵$\odot O$是四边形$ABCD$的外接圆，$AC$是$\odot O$的直径，
∴$∠ ABC=90°$。
∵$∠ ACB=25°$，
∴$∠ BAC=90°-∠ ACB=65°$。
∵$∠ BDC$和$∠ BAC$均为弧$BC$所对的圆周角，
∴$∠ BDC=∠ BAC=65°$。
（2）证明：
∵$BD$平分$∠ ABC$，
∴$∠ ABD=∠ CBD$。
∵$∠ CBD$和$∠ CAD$均为弧$CD$所对的圆周角，
∴$∠ CBD=∠ CAD$，
∴$∠ ABD=∠ CAD$。
∵$E$是$△ ABC$的内心，
∴$AE$平分$∠ BAC$，即$∠ BAE=∠ CAE$，
∴$∠ BAE +∠ ABD=∠ CAE+∠ CAD$。
∵$∠ DEA$是$△ ABE$的外角，
∴$∠ DEA=∠ BAE+∠ ABD$，
又
∵$∠ DAE=∠ CAE+∠ CAD$，
∴$∠ DEA=∠ DAE$，
∴$DA=DE$。
【答案】
（1）$\boxed{65°}$；（2）证明如上。
【知识点】
圆周角定理，三角形内心的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础综合题，考查了多个基础性质的应用，解题的关键是找准角之间的等量关系，熟练掌握相关定理就能快速推导得出结论。
【难度系数】
0.7
（1）求∠BDC的度数：首先根据AC是圆的直径，利用直径所对圆周角为直角的性质，得到∠ABC=90°，结合已知∠ACB的度数可算出∠BAC的度数；再根据同弧所对的圆周角相等，可知∠BDC与∠BAC度数相等，即可得出结果。
（2）证明DA=DE：要证两条边相等，可转化为证明两条边所对的角相等，即证∠DAE=∠DEA。首先利用BD平分∠ABC，结合同弧所对圆周角相等的性质，得到∠ABD=∠CAD；再根据E是△ABC的内心，可知AE平分∠BAC，即∠BAE=∠CAE；通过角的和差关系结合三角形外角的性质，可推出∠DAE=∠DEA，最后根据等角对等边即可得证。
【解析】
（1）解：
∵$\odot O$是四边形$ABCD$的外接圆，$AC$是$\odot O$的直径，
∴$∠ ABC=90°$。
∵$∠ ACB=25°$，
∴$∠ BAC=90°-∠ ACB=65°$。
∵$∠ BDC$和$∠ BAC$均为弧$BC$所对的圆周角，
∴$∠ BDC=∠ BAC=65°$。
（2）证明：
∵$BD$平分$∠ ABC$，
∴$∠ ABD=∠ CBD$。
∵$∠ CBD$和$∠ CAD$均为弧$CD$所对的圆周角，
∴$∠ CBD=∠ CAD$，
∴$∠ ABD=∠ CAD$。
∵$E$是$△ ABC$的内心，
∴$AE$平分$∠ BAC$，即$∠ BAE=∠ CAE$，
∴$∠ BAE +∠ ABD=∠ CAE+∠ CAD$。
∵$∠ DEA$是$△ ABE$的外角，
∴$∠ DEA=∠ BAE+∠ ABD$，
又
∵$∠ DAE=∠ CAE+∠ CAD$，
∴$∠ DEA=∠ DAE$，
∴$DA=DE$。
【答案】
（1）$\boxed{65°}$；（2）证明如上。
【知识点】
圆周角定理，三角形内心的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础综合题，考查了多个基础性质的应用，解题的关键是找准角之间的等量关系，熟练掌握相关定理就能快速推导得出结论。
【难度系数】
0.7
11 [2025宿迁模拟]如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，且$AB=AC$，连接$BO$并延长，交$\odot O$于点$D$，过点$A$作$AE ⊥ BD$，垂足为$E$，点$F$在$BD$的延长线上，连接$AF$，使$∠ FAE=2∠ ABD$，连接$OA$。
（1）判断直线$AF$与$\odot O$的位置关系，并说明理由；
（2）若$DE=1$，$BC=4$，求$\odot O$的半径。
（1）判断直线$AF$与$\odot O$的位置关系，并说明理由；
（2）若$DE=1$，$BC=4$，求$\odot O$的半径。
答案
11. （1）直线 $AF$ 与$\odot O$ 相切 理由:$\because ∠ FAE=2∠ ABD,∠ FOA=2∠ ABD,\therefore ∠ FAE = ∠ FOA. \because AE ⊥ BD,\therefore ∠ AEO = 90°$,$\therefore ∠ FOA+∠ EAO=90°,\therefore ∠ FAE+∠ EAO=90°$,即$∠ FAO=90°$,$\therefore OA⊥ FA. \because OA$ 为$\odot O$ 的半径,$\therefore$ 直线 $AF$ 与$\odot O$ 相切.
（2）如图,延长 $AE$ 交$\odot O$ 于点 $H$,连接 $BH. \because BD$ 为$\odot O$ 的直径,$AE⊥ BD,\therefore BD$ 平分 $AH$,即 $BD$ 为 $AH$ 的垂直平分线,$\therefore BA=BH. \because AB=AC,\therefore BH=AC,\therefore \overset{\frown}{BH}=\overset{\frown}{AC},\therefore \overset{\frown}{AH}=\overset{\frown}{BC}$,$\therefore AH=BC=4. \therefore AE=\frac{1}{2} AH=2$. 设$\odot O$ 的半径为 $r$,则 $OE=OD-DE=r-1$. 在 $Rt△ OAE$ 中,$\because AE^2+OE^2=OA^2,\therefore 2^2+(r-1)^2=r^2$,解得 $r=2.5$. $\therefore \odot O$ 的半径为 2.5。
解析
【分析】
（1）判断直线与圆的位置关系优先考虑切线判定定理，即需证明半径与直线垂直：首先利用圆周角定理可得圆心角∠FOA=2∠ABD，结合已知∠FAE=2∠ABD可推出两角相等；再由AE⊥BD得到直角，通过角的代换即可证明∠FAO=90°，从而证得AF与⊙O相切。
（2）求圆的半径可利用勾股定理列方程求解：先作辅助线延长AE交⊙O于H、连接BH，根据垂径定理可得BD垂直平分AH，推出AB=BH，结合AB=AC可推导得弧AH=弧BC，进而得到AH=BC=4，求出AE的长度；再设半径为r，用含r的式子表示OE，在Rt△OAE中用勾股定理列方程即可解得半径。
【解析】
（1）直线$AF$与$\odot O$相切，理由如下：
$\because$ 同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$\therefore ∠ FOA=2∠ ABD$，
又$\because ∠ FAE=2∠ ABD$，$\therefore ∠ FAE = ∠ FOA$，
$\because AE ⊥ BD$，$\therefore ∠ AEO = 90°$，
$\therefore$ 在$Rt△AEO$中，$∠ FOA+∠ EAO=90°$，
$\therefore ∠ FAE+∠ EAO=90°$，即$∠ FAO=90°$，
$\therefore OA⊥ FA$，
又$\because OA$ 为$\odot O$ 的半径，
$\therefore$ 直线 $AF$ 与$\odot O$ 相切。
（2）如图，延长 $AE$ 交$\odot O$ 于点 $H$，连接 $BH$：
$\because BD$ 为$\odot O$ 的直径，$AE⊥ BD$，
$\therefore$ 根据垂径定理，$BD$ 平分 $AH$，即 $BD$ 为 $AH$ 的垂直平分线，
$\therefore BA=BH$，
$\because AB=AC$，$\therefore BH=AC$，
$\therefore \overset{\frown}{BH}=\overset{\frown}{AC}$，
$\therefore \overset{\frown}{BH}+\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{AB}$，即$\overset{\frown}{AH}=\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore AH=BC=4$，
$\therefore AE=\frac{1}{2} AH=2$。
设$\odot O$ 的半径为 $r$，则$OA=OD=r$，$OE=OD-DE=r-1$，
在 $Rt△ OAE$ 中，由勾股定理得$AE^2+OE^2=OA^2$，
$\therefore 2^2+(r-1)^2=r^2$，
展开化简得$5-2r=0$，解得 $r=2.5$。
【答案】
（1）直线$AF$与$\odot O$相切，理由见解析；
（2）$\odot O$的半径为$\boldsymbol{2.5}$。
【知识点】
切线的判定；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的典型综合题，解题的关键是熟练掌握切线的判定思路，以及圆中通过构造辅助线结合垂径定理转化相等线段、用勾股定理列方程求半径的常用方法，对学生的角转化能力和辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
（1）判断直线与圆的位置关系优先考虑切线判定定理，即需证明半径与直线垂直：首先利用圆周角定理可得圆心角∠FOA=2∠ABD，结合已知∠FAE=2∠ABD可推出两角相等；再由AE⊥BD得到直角，通过角的代换即可证明∠FAO=90°，从而证得AF与⊙O相切。
（2）求圆的半径可利用勾股定理列方程求解：先作辅助线延长AE交⊙O于H、连接BH，根据垂径定理可得BD垂直平分AH，推出AB=BH，结合AB=AC可推导得弧AH=弧BC，进而得到AH=BC=4，求出AE的长度；再设半径为r，用含r的式子表示OE，在Rt△OAE中用勾股定理列方程即可解得半径。
【解析】
（1）直线$AF$与$\odot O$相切，理由如下：
$\because$ 同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$\therefore ∠ FOA=2∠ ABD$，
又$\because ∠ FAE=2∠ ABD$，$\therefore ∠ FAE = ∠ FOA$，
$\because AE ⊥ BD$，$\therefore ∠ AEO = 90°$，
$\therefore$ 在$Rt△AEO$中，$∠ FOA+∠ EAO=90°$，
$\therefore ∠ FAE+∠ EAO=90°$，即$∠ FAO=90°$，
$\therefore OA⊥ FA$，
又$\because OA$ 为$\odot O$ 的半径，
$\therefore$ 直线 $AF$ 与$\odot O$ 相切。
（2）如图，延长 $AE$ 交$\odot O$ 于点 $H$，连接 $BH$：
$\because BD$ 为$\odot O$ 的直径，$AE⊥ BD$，
$\therefore$ 根据垂径定理，$BD$ 平分 $AH$，即 $BD$ 为 $AH$ 的垂直平分线，
$\therefore BA=BH$，
$\because AB=AC$，$\therefore BH=AC$，
$\therefore \overset{\frown}{BH}=\overset{\frown}{AC}$，
$\therefore \overset{\frown}{BH}+\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{AB}$，即$\overset{\frown}{AH}=\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore AH=BC=4$，
$\therefore AE=\frac{1}{2} AH=2$。
设$\odot O$ 的半径为 $r$，则$OA=OD=r$，$OE=OD-DE=r-1$，
在 $Rt△ OAE$ 中，由勾股定理得$AE^2+OE^2=OA^2$，
$\therefore 2^2+(r-1)^2=r^2$，
展开化简得$5-2r=0$，解得 $r=2.5$。
【答案】
（1）直线$AF$与$\odot O$相切，理由见解析；
（2）$\odot O$的半径为$\boldsymbol{2.5}$。
【知识点】
切线的判定；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的典型综合题，解题的关键是熟练掌握切线的判定思路，以及圆中通过构造辅助线结合垂径定理转化相等线段、用勾股定理列方程求半径的常用方法，对学生的角转化能力和辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
