三、解答题
9 如图，AB，BC，CD分别与$\odot O$相切于E，F，G三点，且$AB// CD$，$BO=6\ \mathrm{cm}$，$CO=8\ \mathrm{cm}$。
（1）求证：$∠ BOC=90°$；
（2）求BE的长。

9. （1）如图，连接$OE,OF$. $\because AB,BC,CD$ 分别与$\odot O$ 相切于 $E$，$F,G$ 三点，$\therefore BE=BF,OE⊥ AB,OF⊥ BC$,即$∠ OEB=∠ OFB=90°$. 在 $Rt△ OEB$ 和 $Rt△ OFB$ 中，$\begin{cases}OB=OB,\\OE=OF,\end{cases}$ $\therefore Rt△ OEB ≌Rt△ OFB(\mathrm{HL}),\therefore ∠ OBE=∠ OBF,\therefore ∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$. 同理,得$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ DCB$. $\because AB// CD,\therefore ∠ ABC+∠ DCB=180°$,$\therefore ∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ DCB)=90°,\therefore ∠ BOC=90°$
（2）$\because OB=6\ \mathrm{cm},OC=8\ \mathrm{cm},∠ BOC=90°,\therefore BC=\sqrt{6^2+8^2}=10(\mathrm{cm}). \because OF⊥ BC,\therefore \frac{1}{2} OB · OC=\frac{1}{2} OF · BC,\therefore OF=\frac{OB · OC}{BC}=\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}(\mathrm{cm})$. 在 $Rt△ OBF$ 中,$BF=\sqrt{BO^2-OF^2}=\frac{18}{5}\ \mathrm{cm},\therefore BE=BF=\frac{18}{5}\ \mathrm{cm}$。

10 如图，$\odot O$是四边形$ABCD$的外接圆，$AC$是$\odot O$的直径，$BD$平分$∠ ABC$.
（1）若$∠ ACB=25°$，求$∠ BDC$的度数；
（2）已知$E$是弦$BD$上一点，且点$E$是$△ ABC$的内心，连接$AE$，求证：$DA=DE$.

10. （1）$\because \odot O$ 是四边形 $ABCD$ 的外接圆,$AC$ 是$\odot O$ 的直径，$\therefore ∠ ABC=90°. \because ∠ ACB=25°,\therefore ∠ BAC=90°-∠ ACB=65°$,$\therefore ∠ BDC=∠ BAC=65°$ （2）$\because BD$ 平分$∠ ABC,\therefore ∠ ABD=∠ CBD. \because ∠ CBD=∠ CAD,\therefore ∠ ABD=∠ CAD. \because E$ 是$△ ABC$ 的内心,$\therefore AE$ 平分$∠ BAC,\therefore ∠ BAE=∠ CAE,\therefore ∠ BAE +∠ ABD=∠ CAE+∠ CAD. \because ∠ DEA=∠ BAE+∠ ABD,∠ DAE=∠ CAE+∠ CAD,\therefore ∠ DEA=∠ DAE,\therefore DA=DE$.

11 [2025宿迁模拟]如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，且$AB=AC$，连接$BO$并延长，交$\odot O$于点$D$，过点$A$作$AE ⊥ BD$，垂足为$E$，点$F$在$BD$的延长线上，连接$AF$，使$∠ FAE=2∠ ABD$，连接$OA$。
（1）判断直线$AF$与$\odot O$的位置关系，并说明理由；
（2）若$DE=1$，$BC=4$，求$\odot O$的半径。

11. （1）直线 $AF$ 与$\odot O$ 相切 理由:$\because ∠ FAE=2∠ ABD,∠ FOA=2∠ ABD,\therefore ∠ FAE = ∠ FOA. \because AE ⊥ BD,\therefore ∠ AEO = 90°$,$\therefore ∠ FOA+∠ EAO=90°,\therefore ∠ FAE+∠ EAO=90°$,即$∠ FAO=90°$,$\therefore OA⊥ FA. \because OA$ 为$\odot O$ 的半径,$\therefore$ 直线 $AF$ 与$\odot O$ 相切.
（2）如图,延长 $AE$ 交$\odot O$ 于点 $H$,连接 $BH. \because BD$ 为$\odot O$ 的直径,$AE⊥ BD,\therefore BD$ 平分 $AH$,即 $BD$ 为 $AH$ 的垂直平分线,$\therefore BA=BH. \because AB=AC,\therefore BH=AC,\therefore \overset{\frown}{BH}=\overset{\frown}{AC},\therefore \overset{\frown}{AH}=\overset{\frown}{BC}$,$\therefore AH=BC=4. \therefore AE=\frac{1}{2} AH=2$. 设$\odot O$ 的半径为 $r$,则 $OE=OD-DE=r-1$. 在 $Rt△ OAE$ 中,$\because AE^2+OE^2=OA^2,\therefore 2^2+(r-1)^2=r^2$,解得 $r=2.5$. $\therefore \odot O$ 的半径为 2.5。