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1 [2024 聊城]如图，AB，BC，CD 是正n边形的三条边，在同一平面内，以 BC 为边在该正n边形的外部作正方形BCMN.若∠ABN=120°,则n 的值为 （
A.12
B.10
C.8
D.6
A
）A.12
B.10
C.8
D.6
答案
1. A
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先正方形的内角为90°，结合给出的∠ABN=120°，可先求出正n边形的内角度数；再根据正n边形的内角公式列出关于n的方程，解方程即可得到n的值。
步骤思路：1.利用正方形性质求∠CBN的度数；2.结合周角为360°，计算正n边形的内角∠ABC的度数；3.代入正多边形内角公式列方程求解n。
【解析】
解：
∵四边形BCMN是正方形，
∴∠CBN=90°，
∵在点B处，∠ABN+∠CBN+∠ABC=360°，且∠ABN=120°，
∴∠ABC=360°-120°-90°=150°，
∵∠ABC是正n边形的一个内角，正n边形的内角公式为$\frac{(n-2)×180°}{n}$，
∴列方程得：$\frac{(n-2)×180°}{n}=150°$，
两边同乘n得：$180(n-2)=150n$，
展开得：$180n-360=150n$，
移项合并得：$30n=360$，
解得：$n=12$。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质；正多边形内角计算；一元一次方程的应用
【点评】
本题是正多边形性质的基础应用类题目，解题的关键是结合正方形性质和周角定义求出正多边形的内角度数，再套用公式列方程求解，解题时注意角度计算不要出错。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先正方形的内角为90°，结合给出的∠ABN=120°，可先求出正n边形的内角度数；再根据正n边形的内角公式列出关于n的方程，解方程即可得到n的值。
步骤思路：1.利用正方形性质求∠CBN的度数；2.结合周角为360°，计算正n边形的内角∠ABC的度数；3.代入正多边形内角公式列方程求解n。
【解析】
解：
∵四边形BCMN是正方形，
∴∠CBN=90°，
∵在点B处，∠ABN+∠CBN+∠ABC=360°，且∠ABN=120°，
∴∠ABC=360°-120°-90°=150°，
∵∠ABC是正n边形的一个内角，正n边形的内角公式为$\frac{(n-2)×180°}{n}$，
∴列方程得：$\frac{(n-2)×180°}{n}=150°$，
两边同乘n得：$180(n-2)=150n$，
展开得：$180n-360=150n$，
移项合并得：$30n=360$，
解得：$n=12$。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质；正多边形内角计算；一元一次方程的应用
【点评】
本题是正多边形性质的基础应用类题目，解题的关键是结合正方形性质和周角定义求出正多边形的内角度数，再套用公式列方程求解，解题时注意角度计算不要出错。
【难度系数】
0.7
2 如图，正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，点P在$\overset{\frown}{AB}$上，Q是$\overset{\frown}{DE}$的中点，则$∠ CPQ$的度数为（
A.$30°$
B.$45°$
C.$36°$
D.$60°$
B
）A.$30°$
B.$45°$
C.$36°$
D.$60°$
答案
2. B
解析
【分析】
解题时首先回忆正六边形内接于圆的性质：正六边形各边所对的劣弧度数相等，总周角为360°，可先算出每段劣弧的度数。要求∠CPQ的度数，根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，因此只需要求出∠CPQ所对的弧CQ的度数即可。结合Q是弧DE中点的条件，可求出弧DQ的度数，累加得到弧CQ的度数，最后代入圆周角定理计算即可。
【解析】
解：
∵正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，
∴正六边形每条边对应的劣弧度数相等，每段劣弧的度数为$\frac{360°}{6}=60°$，即$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=60°$。
∵Q是$\overset{\frown}{DE}$的中点，
∴$\overset{\frown}{DQ}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{DE}=\frac{1}{2}×60°=30°$，
∴$\overset{\frown}{CQ}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DQ}=60°+30°=90°$。
∵∠CPQ是$\odot O$中$\overset{\frown}{CQ}$所对的圆周角，根据圆周角定理，
∴$∠ CPQ=\frac{1}{2}×\overset{\frown}{CQ}=\frac{1}{2}×90°=45°$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆，圆周角定理
【点评】
本题是正多边形与圆的基础综合题，解题的核心是找准圆周角所对的弧，结合正六边形的弧的性质和圆周角定理即可快速求解，能有效考察学生对基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆正六边形内接于圆的性质：正六边形各边所对的劣弧度数相等，总周角为360°，可先算出每段劣弧的度数。要求∠CPQ的度数，根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，因此只需要求出∠CPQ所对的弧CQ的度数即可。结合Q是弧DE中点的条件，可求出弧DQ的度数，累加得到弧CQ的度数，最后代入圆周角定理计算即可。
【解析】
解：
∵正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，
∴正六边形每条边对应的劣弧度数相等，每段劣弧的度数为$\frac{360°}{6}=60°$，即$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=60°$。
∵Q是$\overset{\frown}{DE}$的中点，
∴$\overset{\frown}{DQ}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{DE}=\frac{1}{2}×60°=30°$，
∴$\overset{\frown}{CQ}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DQ}=60°+30°=90°$。
∵∠CPQ是$\odot O$中$\overset{\frown}{CQ}$所对的圆周角，根据圆周角定理，
∴$∠ CPQ=\frac{1}{2}×\overset{\frown}{CQ}=\frac{1}{2}×90°=45°$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆，圆周角定理
【点评】
本题是正多边形与圆的基础综合题，解题的核心是找准圆周角所对的弧，结合正六边形的弧的性质和圆周角定理即可快速求解，能有效考察学生对基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
3 新情境 生活实际 [2024 遂宁]佩佩在“黄峨古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为$1080°$的正多边形图案，这个正多边形的每个外角的度数为
$45°$
。答案
3. $45°$
解析
【分析】
要计算正多边形每个外角的度数，首先需要确定该正多边形的边数：①第一步可利用正多边形内角和公式$(n-2)×180°$（$n$为边数，$n≥3$且为整数），结合已知的内角和$1080°$列方程求解边数$n$；②第二步根据任意多边形的外角和恒为$360°$，且正多边形的每个外角度数相等，用外角和除以边数即可得到每个外角的度数。
【解析】
设这个正多边形的边数为$n$，根据正多边形内角和公式可得：
$(n-2)×180°=1080°$
解得：$n-2=1080°÷180°=6$，即$n=8$。
因为任意多边形的外角和为$360°$，且正多边形的每个外角都相等，所以这个正八边形每个外角的度数为：
$360°÷8=45°$
【答案】
$45°$
【知识点】
正多边形内角和公式；多边形外角和定理
【点评】
本题结合扎染工艺的生活情境考查正多边形相关性质的基础应用，解题关键是熟练掌握内角和公式与外角和定值，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
要计算正多边形每个外角的度数，首先需要确定该正多边形的边数：①第一步可利用正多边形内角和公式$(n-2)×180°$（$n$为边数，$n≥3$且为整数），结合已知的内角和$1080°$列方程求解边数$n$；②第二步根据任意多边形的外角和恒为$360°$，且正多边形的每个外角度数相等，用外角和除以边数即可得到每个外角的度数。
【解析】
设这个正多边形的边数为$n$，根据正多边形内角和公式可得：
$(n-2)×180°=1080°$
解得：$n-2=1080°÷180°=6$，即$n=8$。
因为任意多边形的外角和为$360°$，且正多边形的每个外角都相等，所以这个正八边形每个外角的度数为：
$360°÷8=45°$
【答案】
$45°$
【知识点】
正多边形内角和公式；多边形外角和定理
【点评】
本题结合扎染工艺的生活情境考查正多边形相关性质的基础应用，解题关键是熟练掌握内角和公式与外角和定值，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
4 [2025泗洪期中]如图，AB，AC分别为$\odot O$的内接正三角形、正四边形的一边，BC是圆内接正n边形的一边，则n的值为
12
。答案
4. 12
解析
【分析】
要确定BC是圆内接正n边形的边对应的n值，核心是先求出BC对应的圆心角（中心角）的度数。正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，因此我们可以先根据AB是正三角形的边、AC是正四边形的边，分别求出它们对应的中心角$∠ AOB$、$∠ AOC$的度数，两者的差就是$∠ BOC$的度数，最后用$360°$除以$∠ BOC$的度数即可得到n的值。
【解析】
解：连接OA、OB、OC。
∵ AB是$\odot O$的内接正三角形的一边，
∴ 正三角形的中心角$∠ AOB = \frac{360°}{3}=120°$。
∵ AC是$\odot O$的内接正四边形的一边，
∴ 正四边形的中心角$∠ AOC = \frac{360°}{4}=90°$。
∴ $∠ BOC = ∠ AOB - ∠ AOC = 120° - 90° = 30°$。
∵ BC是圆内接正n边形的一边，其中心角为$30°$，
∴ $n=\frac{360°}{30°}=12$。
【答案】
12
【知识点】
正多边形与圆，中心角计算
【点评】
本题考查正多边形与圆的相关计算，解题的关键是熟练掌握正n边形的中心角和为$360°$，每一个中心角的度数为$\frac{360°}{n}$，通过已知正多边形的边数求出对应中心角，进而得到待求正多边形的中心角即可求解。
【难度系数】
0.7
要确定BC是圆内接正n边形的边对应的n值，核心是先求出BC对应的圆心角（中心角）的度数。正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，因此我们可以先根据AB是正三角形的边、AC是正四边形的边，分别求出它们对应的中心角$∠ AOB$、$∠ AOC$的度数，两者的差就是$∠ BOC$的度数，最后用$360°$除以$∠ BOC$的度数即可得到n的值。
【解析】
解：连接OA、OB、OC。
∵ AB是$\odot O$的内接正三角形的一边，
∴ 正三角形的中心角$∠ AOB = \frac{360°}{3}=120°$。
∵ AC是$\odot O$的内接正四边形的一边，
∴ 正四边形的中心角$∠ AOC = \frac{360°}{4}=90°$。
∴ $∠ BOC = ∠ AOB - ∠ AOC = 120° - 90° = 30°$。
∵ BC是圆内接正n边形的一边，其中心角为$30°$，
∴ $n=\frac{360°}{30°}=12$。
【答案】
12
【知识点】
正多边形与圆，中心角计算
【点评】
本题考查正多边形与圆的相关计算，解题的关键是熟练掌握正n边形的中心角和为$360°$，每一个中心角的度数为$\frac{360°}{n}$，通过已知正多边形的边数求出对应中心角，进而得到待求正多边形的中心角即可求解。
【难度系数】
0.7
5 如图，正八边形的边长为2，对角线AB，CD相交于点E，则BE的长为
$2+\sqrt{2}$
.答案
5. $2+\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时先从正八边形的基本性质入手：①先计算正八边形的内角度数，推导得到斜向边与水平方向的夹角为45°；②利用特殊角的三角函数计算斜向边长为2时，水平方向的投影长度；③分析BE的线段组成：BE由正八边形的水平边长度，加上斜向边的水平投影长度两部分组成，相加即可得到结果。
【解析】
解：正八边形的内角和为$(8-2) × 180° = 1080°$，因此每个内角的度数为$1080° ÷ 8 = 135°$。
正八边形的斜向边与水平方向的夹角为$135° - 90° = 45°$，已知正八边形边长为2，因此斜向边在水平方向的投影长度为$2 × \cos45° = 2 × \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$。
观察图形可知，水平线段AB与竖直线段CD交于点E，BE的长度等于正八边形水平边的长度2，加上斜向边的水平投影长度$\sqrt{2}$，因此$BE = 2 + \sqrt{2}$。
【答案】
$2+\sqrt{2}$
【知识点】
正多边形的性质，特殊角的三角函数，线段和差计算
【点评】
本题围绕正八边形的性质设计，解题的核心是准确把握正八边形的内角特征，明确斜向边与水平方向的夹角，结合三角函数求出投影长度后拼接线段即可得到答案，侧重考查对正多边形基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.65
解题时先从正八边形的基本性质入手：①先计算正八边形的内角度数，推导得到斜向边与水平方向的夹角为45°；②利用特殊角的三角函数计算斜向边长为2时，水平方向的投影长度；③分析BE的线段组成：BE由正八边形的水平边长度，加上斜向边的水平投影长度两部分组成，相加即可得到结果。
【解析】
解：正八边形的内角和为$(8-2) × 180° = 1080°$，因此每个内角的度数为$1080° ÷ 8 = 135°$。
正八边形的斜向边与水平方向的夹角为$135° - 90° = 45°$，已知正八边形边长为2，因此斜向边在水平方向的投影长度为$2 × \cos45° = 2 × \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$。
观察图形可知，水平线段AB与竖直线段CD交于点E，BE的长度等于正八边形水平边的长度2，加上斜向边的水平投影长度$\sqrt{2}$，因此$BE = 2 + \sqrt{2}$。
【答案】
$2+\sqrt{2}$
【知识点】
正多边形的性质，特殊角的三角函数，线段和差计算
【点评】
本题围绕正八边形的性质设计，解题的核心是准确把握正八边形的内角特征，明确斜向边与水平方向的夹角，结合三角函数求出投影长度后拼接线段即可得到答案，侧重考查对正多边形基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.65
6 如图，M，N 分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P.
（1）求证：△ABM≌△BCN；
（2）求∠APN的度数.
（1）求证：△ABM≌△BCN；
（2）求∠APN的度数.
答案
6. (1) 在正五边形 ABCDE 中，$AB = BC$，$∠ ABM = ∠ C$. 在$△ ABM$和$△ BCN$ 中，$\begin{cases} AB=BC, \\ ∠ ABM=∠ C, \\ BM=CN, \end{cases}$ $\therefore △ ABM ≌ △ BCN$
(2) $\because △ ABM ≌ △ BCN$，$\therefore ∠ BAM = ∠ CBN$. $\because ∠ BAM + ∠ ABP = ∠ APN$，$\therefore ∠ APN = ∠ CBN + ∠ ABP = ∠ ABC = \frac{(5-2)×180°}{5}=108°$
(2) $\because △ ABM ≌ △ BCN$，$\therefore ∠ BAM = ∠ CBN$. $\because ∠ BAM + ∠ ABP = ∠ APN$，$\therefore ∠ APN = ∠ CBN + ∠ ABP = ∠ ABC = \frac{(5-2)×180°}{5}=108°$
解析
【分析】
（1）要证明△ABM≌△BCN，首先利用正五边形的性质可得边相等、内角相等，得到AB=BC、∠ABM=∠C，再结合题干给出的BM=CN，刚好满足全等三角形SAS的判定条件，即可完成证明。
（2）求∠APN的度数时，首先观察到∠APN是△ABP的外角，根据外角性质可得∠APN=∠BAM+∠ABP；再结合第一问的全等结论，将∠BAM替换为相等的∠CBN，即可将∠APN转化为正五边形的内角∠ABC，最后利用多边形内角和公式计算正五边形的内角度数即可。
【解析】
（1）证明：$\because$ 五边形ABCDE是正五边形
$\therefore AB=BC$，$∠ ABM=∠ C$
在$△ ABM$和$△ BCN$中：
$\begin{cases} AB=BC \\ ∠ ABM=∠ C \\ BM=CN \end{cases}$
$\therefore △ ABM ≌ △ BCN$（SAS）
（2）解：$\because △ ABM ≌ △ BCN$
$\therefore ∠ BAM=∠ CBN$
$\because ∠ APN$是$△ ABP$的外角
$\therefore ∠ APN=∠ BAM+∠ ABP$
代入$∠ BAM=∠ CBN$可得：
$∠ APN=∠ CBN+∠ ABP=∠ ABC$
根据多边形内角和公式，正五边形的内角和为$(5-2)×180°=540°$
$\therefore ∠ ABC=\frac{540°}{5}=108°$，即$∠ APN=108°$
【答案】
（1）$△ ABM ≌ △ BCN$，证明成立；
（2）$\boldsymbol{108°}$
【知识点】
正多边形的性质；全等三角形的判定与性质；多边形内角和计算
【点评】
本题属于正多边形相关的基础典型题，综合考查了正多边形的边、角特征，全等三角形的判定及角度的转化计算，解题的核心是利用全等的性质完成角度的等量替换，对基础定理的熟练度要求较高。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△ABM≌△BCN，首先利用正五边形的性质可得边相等、内角相等，得到AB=BC、∠ABM=∠C，再结合题干给出的BM=CN，刚好满足全等三角形SAS的判定条件，即可完成证明。
（2）求∠APN的度数时，首先观察到∠APN是△ABP的外角，根据外角性质可得∠APN=∠BAM+∠ABP；再结合第一问的全等结论，将∠BAM替换为相等的∠CBN，即可将∠APN转化为正五边形的内角∠ABC，最后利用多边形内角和公式计算正五边形的内角度数即可。
【解析】
（1）证明：$\because$ 五边形ABCDE是正五边形
$\therefore AB=BC$，$∠ ABM=∠ C$
在$△ ABM$和$△ BCN$中：
$\begin{cases} AB=BC \\ ∠ ABM=∠ C \\ BM=CN \end{cases}$
$\therefore △ ABM ≌ △ BCN$（SAS）
（2）解：$\because △ ABM ≌ △ BCN$
$\therefore ∠ BAM=∠ CBN$
$\because ∠ APN$是$△ ABP$的外角
$\therefore ∠ APN=∠ BAM+∠ ABP$
代入$∠ BAM=∠ CBN$可得：
$∠ APN=∠ CBN+∠ ABP=∠ ABC$
根据多边形内角和公式，正五边形的内角和为$(5-2)×180°=540°$
$\therefore ∠ ABC=\frac{540°}{5}=108°$，即$∠ APN=108°$
【答案】
（1）$△ ABM ≌ △ BCN$，证明成立；
（2）$\boldsymbol{108°}$
【知识点】
正多边形的性质；全等三角形的判定与性质；多边形内角和计算
【点评】
本题属于正多边形相关的基础典型题，综合考查了正多边形的边、角特征，全等三角形的判定及角度的转化计算，解题的核心是利用全等的性质完成角度的等量替换，对基础定理的熟练度要求较高。
【难度系数】
0.7
7 如图，设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h，r，R，则下列结论不正确的是 (
A.$h=R+r$
B.$R=2r$
C.$r=\frac{\sqrt{3}}{4}a$
D.$R=\frac{\sqrt{3}}{3}a$
C
)A.$h=R+r$
B.$R=2r$
C.$r=\frac{\sqrt{3}}{4}a$
D.$R=\frac{\sqrt{3}}{3}a$
答案
7. C
解析
【分析】
等边三角形的内心、外心、重心、垂心重合，其内切圆与外接圆为同心圆，圆心在三角形的高上。解题时先利用勾股定理求出等边三角形的高h，再结合重心分高为2:1的比例关系，分别推导R、r与a的数量关系，逐一验证选项即可。
【解析】
步骤1：计算等边三角形的高h
边长为a的等边三角形，由勾股定理可得：
$h=\sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$
步骤2：结合重心性质推导R、r的表达式
等边三角形的重心与内外心重合，重心将高分为长度比为2:1的两段，其中外接圆半径R为顶点到圆心的距离（占高的$\frac{2}{3}$），内切圆半径r为圆心到边的距离（占高的$\frac{1}{3}$），因此：
$R=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{3}a$
$r=\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{6}a$
步骤3：逐一判断选项
A选项：$h=R+r$，R和r之和为高的总长度，结论正确；
B选项：$R=2r$，由$R=\frac{2}{3}h$、$r=\frac{1}{3}h$可得该结论正确；
C选项：$r=\frac{\sqrt{3}}{4}a$，计算得$r=\frac{\sqrt{3}}{6}a$，结论错误；
D选项：$R=\frac{\sqrt{3}}{3}a$，和计算结果一致，结论正确。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；三角形的内切圆与外接圆；重心的性质
【点评】
本题考查等边三角形与其内外接圆的数量关系，解题核心是熟记等边三角形四心重合的性质，以及重心分中线为2:1的规律，也可直接记住等边三角形内切圆、外接圆半径和边长的固定比例关系快速解题。
【难度系数】
0.7
等边三角形的内心、外心、重心、垂心重合，其内切圆与外接圆为同心圆，圆心在三角形的高上。解题时先利用勾股定理求出等边三角形的高h，再结合重心分高为2:1的比例关系，分别推导R、r与a的数量关系，逐一验证选项即可。
【解析】
步骤1：计算等边三角形的高h
边长为a的等边三角形，由勾股定理可得：
$h=\sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$
步骤2：结合重心性质推导R、r的表达式
等边三角形的重心与内外心重合，重心将高分为长度比为2:1的两段，其中外接圆半径R为顶点到圆心的距离（占高的$\frac{2}{3}$），内切圆半径r为圆心到边的距离（占高的$\frac{1}{3}$），因此：
$R=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{3}a$
$r=\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{6}a$
步骤3：逐一判断选项
A选项：$h=R+r$，R和r之和为高的总长度，结论正确；
B选项：$R=2r$，由$R=\frac{2}{3}h$、$r=\frac{1}{3}h$可得该结论正确；
C选项：$r=\frac{\sqrt{3}}{4}a$，计算得$r=\frac{\sqrt{3}}{6}a$，结论错误；
D选项：$R=\frac{\sqrt{3}}{3}a$，和计算结果一致，结论正确。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；三角形的内切圆与外接圆；重心的性质
【点评】
本题考查等边三角形与其内外接圆的数量关系，解题核心是熟记等边三角形四心重合的性质，以及重心分中线为2:1的规律，也可直接记住等边三角形内切圆、外接圆半径和边长的固定比例关系快速解题。
【难度系数】
0.7
