8 [2024呼和浩特]如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD和EF相交于点M，则∠AMF的度数为。

8. $27°$ 【解析】如图，连接 OG,OF,OD,OE,DF,AC. $\because$ 四边形ABCD 是正方形，$\therefore ∠ ADC = 90°$，$\therefore AC$ 过圆心 $O$，$\therefore ∠ AOD = \frac{1}{4}×360°=90°$. $\because$ 正五边形 $CEFGH$ 内接于 $\odot O$，$\therefore ∠ FOG = ∠ EOF = \frac{1}{5}×360°=72°$，$\overset{\frown}{GH}=\overset{\frown}{CH}=\overset{\frown}{FE}=\overset{\frown}{CE}$，$\therefore \overset{\frown}{GC}=\overset{\frown}{FC}$，$\therefore ∠ GOC = ∠ FOC$，$\therefore ∠ AOG = ∠ AOF = \frac{1}{2}∠ FOG = 36°$，$\therefore ∠ DOF = 90°-36°=54°$，$\therefore ∠ DOE=72°-54°=18°$，$\therefore ∠ AMF=∠ MFD + ∠ MDF = \frac{1}{2}∠ DOE + \frac{1}{2}∠ AOF = \frac{1}{2}×18° + \frac{1}{2}×36°=27°$.

9 [2025宿迁一模]如图，$\odot O$与正六边形ABCDEF的边CD，EF分别相切于点C，F.若$AB=2$，则$\odot O$的半径为.

9. $\frac{4\sqrt{3}}{3}$

10 分类讨论思想 [2025 上海]已知平面内有一个角，一个圆与这个角的两边都有两个交点。若此圆在角的边上截得的两条弦恰好是某正五边形的一边，则这个角的度数为。

10. $108°或36°$ 【解析】如图①，$∠ MPN$ 是正五边形的一个内角，此时$∠ MPN=\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$；如图②，$∠ OAB$ 和 $∠ OBA$ 是正五边形的两个外角，$\therefore ∠ OAB=∠ OBA=\frac{360°}{5}=72°$，此时$∠ AOB=180°-72°-72°=36°$.因此满足题意的角的度数为$108°或36°$.

11 如图①所示为地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形。如图②，AE是$\odot O$的直径，用无刻度的直尺和圆规作$\odot O$的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）。（第11题）

11. 如图

12 如图，正五边形ABCDE内接于$\odot O$，先作直径AF；再以点F为圆心，FO长为半径作圆弧，与$\odot O$交于点M，N；最后连接AM，MN，NA，DN.
（1）求$∠ ABC$的度数.
（2）$△ AMN$是正三角形吗？请说明理由.
（3）从点A开始，以DN长为半径，在$\odot O$上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正$n$边形，求$n$的值.

12. (1) $\because$ 五边形 $ABCDE$ 是正五边形，$\therefore ∠ ABC=\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$
(2) $△ AMN$ 是正三角形 理由：连接 $ON$，$NF$. 由作图，得$FN=OF$. $\because OF=ON$，$\therefore FN=OF=ON$，$\therefore △ FON$ 是等边三角形，$\therefore ∠ NFA=60°$. $\because \overset{\frown}{AN}=\overset{\frown}{AN}$，$\therefore ∠ NMA=∠ NFA=60°$. 同理，可得$∠ ANM=60°$，$\therefore$ 在$△ AMN$中，$∠ MAN=60°$，$\therefore ∠ NMA=∠ ANM=∠ MAN$，$\therefore △ AMN$ 是正三角形.
(3) 由(2)，得$△ AMN$是正三角形，$\therefore ∠ AON=2∠ AMN=120°$. 连接 $OD$，则$∠ AOD=2×\frac{360°}{5}=144°$，$\therefore ∠ DON=∠ AOD-∠ AON=24°$，$\therefore n=\frac{360°}{24°}=15$