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8 [2024呼和浩特]如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD和EF相交于点M，则∠AMF的度数为
$27°$
。答案
8. $27°$ 【解析】如图，连接 OG,OF,OD,OE,DF,AC. $\because$ 四边形ABCD 是正方形，$\therefore ∠ ADC = 90°$，$\therefore AC$ 过圆心 $O$，$\therefore ∠ AOD = \frac{1}{4}×360°=90°$. $\because$ 正五边形 $CEFGH$ 内接于 $\odot O$，$\therefore ∠ FOG = ∠ EOF = \frac{1}{5}×360°=72°$，$\overset{\frown}{GH}=\overset{\frown}{CH}=\overset{\frown}{FE}=\overset{\frown}{CE}$，$\therefore \overset{\frown}{GC}=\overset{\frown}{FC}$，$\therefore ∠ GOC = ∠ FOC$，$\therefore ∠ AOG = ∠ AOF = \frac{1}{2}∠ FOG = 36°$，$\therefore ∠ DOF = 90°-36°=54°$，$\therefore ∠ DOE=72°-54°=18°$，$\therefore ∠ AMF=∠ MFD + ∠ MDF = \frac{1}{2}∠ DOE + \frac{1}{2}∠ AOF = \frac{1}{2}×18° + \frac{1}{2}×36°=27°$.
解析
【分析】
要解决本题，首先回忆正多边形内接于圆的性质：正n边形的每条边对应的圆心角为$\frac{360°}{n}$；其次要求∠AMF的度数，可利用三角形外角的性质将其转化为两个圆周角的和，而圆周角等于对应弧所对圆心角的一半，因此只需先计算出相关圆心角的度数即可。解题步骤可分为：1. 连接圆心与正多边形的顶点，分别计算正四边形、正五边形的中心角；2. 通过角的和差关系求出两个目标圆心角的度数；3. 结合圆周角定理计算两个圆周角的和，得到∠AMF的度数。
【解析】
如图，连接OG,OF,OD,OE.
∵ 四边形ABCD是正四边形，内接于$\odot O$，
∴ 正四边形的中心角$∠ AOD = \frac{1}{4}×360°=90°$.
∵ 五边形CEFGH是正五边形，内接于$\odot O$，
∴ 正五边形的每个中心角相等，$∠ EOF = ∠ FOG = \frac{1}{5}×360°=72°$，且各边所对弧相等，可得$∠ AOF = \frac{1}{2}∠ FOG = 36°$.
∴ $∠ DOF = ∠ AOD - ∠ AOF = 90° - 36° = 54°$，
∴ $∠ DOE = ∠ EOF - ∠ DOF = 72° - 54° = 18°$.
由三角形外角性质可得$∠ AMF = ∠ MFD + ∠ MDF$，
根据圆周角定理：圆周角等于对应弧所对圆心角的一半，得$∠ MFD = \frac{1}{2}∠ DOE$，$∠ MDF = \frac{1}{2}∠ AOF$，
∴ $∠ AMF = \frac{1}{2}×18° + \frac{1}{2}×36° = 9° + 18° = 27°$.
【答案】
$27°$
【知识点】
正多边形与圆、圆心角计算、圆周角定理
【点评】
本题结合正多边形与圆的性质考查角度计算，解题关键是熟练掌握正多边形中心角的计算方法，能灵活运用圆周角定理和三角形外角性质完成角度的转化，对学生的几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先回忆正多边形内接于圆的性质：正n边形的每条边对应的圆心角为$\frac{360°}{n}$；其次要求∠AMF的度数，可利用三角形外角的性质将其转化为两个圆周角的和，而圆周角等于对应弧所对圆心角的一半，因此只需先计算出相关圆心角的度数即可。解题步骤可分为：1. 连接圆心与正多边形的顶点，分别计算正四边形、正五边形的中心角；2. 通过角的和差关系求出两个目标圆心角的度数；3. 结合圆周角定理计算两个圆周角的和，得到∠AMF的度数。
【解析】
如图，连接OG,OF,OD,OE.
∵ 四边形ABCD是正四边形，内接于$\odot O$，
∴ 正四边形的中心角$∠ AOD = \frac{1}{4}×360°=90°$.
∵ 五边形CEFGH是正五边形，内接于$\odot O$，
∴ 正五边形的每个中心角相等，$∠ EOF = ∠ FOG = \frac{1}{5}×360°=72°$，且各边所对弧相等，可得$∠ AOF = \frac{1}{2}∠ FOG = 36°$.
∴ $∠ DOF = ∠ AOD - ∠ AOF = 90° - 36° = 54°$，
∴ $∠ DOE = ∠ EOF - ∠ DOF = 72° - 54° = 18°$.
由三角形外角性质可得$∠ AMF = ∠ MFD + ∠ MDF$，
根据圆周角定理：圆周角等于对应弧所对圆心角的一半，得$∠ MFD = \frac{1}{2}∠ DOE$，$∠ MDF = \frac{1}{2}∠ AOF$，
∴ $∠ AMF = \frac{1}{2}×18° + \frac{1}{2}×36° = 9° + 18° = 27°$.
【答案】
$27°$
【知识点】
正多边形与圆、圆心角计算、圆周角定理
【点评】
本题结合正多边形与圆的性质考查角度计算，解题关键是熟练掌握正多边形中心角的计算方法，能灵活运用圆周角定理和三角形外角性质完成角度的转化，对学生的几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
9 [2025宿迁一模]如图，$\odot O$与正六边形ABCDEF的边CD，EF分别相切于点C，F.若$AB=2$，则$\odot O$的半径为
$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
.答案
9. $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
解析
【分析】本题需结合切线性质、正六边形性质和解直角三角形知识求解：1. 先连接圆心与切点，利用切线性质得到两条垂直于对应边的半径，且半径相等；2. 利用正六边形对角线与边长的关系求出CF的长度，结合等腰三角形三线合一得到CM的长；3. 求出圆心角∠COF的度数，在直角三角形中利用三角函数即可求出半径。
【解析】
解：连接$OC$、$OF$、$CF$，过点$O$作$OM ⊥ CF$于点$M$。
1. 由切线的性质可知：$\odot O$与$CD$、$EF$分别相切于点$C$、$F$，故$OC ⊥ CD$，$OF ⊥ EF$，且$OC=OF=r$（$r$为$\odot O$的半径）。
2.
∵ 六边形$ABCDEF$是正六边形，$AB=2$，
∴ 正六边形每个内角为$120°$，对角线$CF=2AB=4$（正六边形中相隔两个顶点的对角线长度为边长的2倍）。
3.
∵ $OC=OF$，$OM ⊥ CF$，
∴ $CM=\frac{1}{2}CF=2$，$∠ COM=\frac{1}{2}∠ COF$。
由正六边形和切线的性质可求得$∠ COF=120°$，故$∠ COM=60°$。
4. 在$\mathrm{Rt}△ COM$中，$\sin∠ COM=\frac{CM}{OC}$，
代入得$\sin60°=\frac{2}{r}$，
解得$r=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。
【答案】$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
【知识点】切线的性质；正多边形的性质；解直角三角形
【点评】本题综合考查了圆的切线性质、正六边形的基本性质以及解直角三角形的应用，解题的关键是正确作出辅助线，找到已知线段和半径之间的关系。
【难度系数】0.6
【解析】
解：连接$OC$、$OF$、$CF$，过点$O$作$OM ⊥ CF$于点$M$。
1. 由切线的性质可知：$\odot O$与$CD$、$EF$分别相切于点$C$、$F$，故$OC ⊥ CD$，$OF ⊥ EF$，且$OC=OF=r$（$r$为$\odot O$的半径）。
2.
∵ 六边形$ABCDEF$是正六边形，$AB=2$，
∴ 正六边形每个内角为$120°$，对角线$CF=2AB=4$（正六边形中相隔两个顶点的对角线长度为边长的2倍）。
3.
∵ $OC=OF$，$OM ⊥ CF$，
∴ $CM=\frac{1}{2}CF=2$，$∠ COM=\frac{1}{2}∠ COF$。
由正六边形和切线的性质可求得$∠ COF=120°$，故$∠ COM=60°$。
4. 在$\mathrm{Rt}△ COM$中，$\sin∠ COM=\frac{CM}{OC}$，
代入得$\sin60°=\frac{2}{r}$，
解得$r=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。
【答案】$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
【知识点】切线的性质；正多边形的性质；解直角三角形
【点评】本题综合考查了圆的切线性质、正六边形的基本性质以及解直角三角形的应用，解题的关键是正确作出辅助线，找到已知线段和半径之间的关系。
【难度系数】0.6
10 分类讨论思想 [2025 上海]已知平面内有一个角，一个圆与这个角的两边都有两个交点。若此圆在角的边上截得的两条弦恰好是某正五边形的一边，则这个角的度数为
$108°或36°$
。答案
10. $108°或36°$ 【解析】如图①，$∠ MPN$ 是正五边形的一个内角，此时$∠ MPN=\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$；如图②，$∠ OAB$ 和 $∠ OBA$ 是正五边形的两个外角，$\therefore ∠ OAB=∠ OBA=\frac{360°}{5}=72°$，此时$∠ AOB=180°-72°-72°=36°$.因此满足题意的角的度数为$108°或36°$.
解析
【分析】
解题时需结合正五边形的性质，分类讨论角与圆的位置关系：首先明确正五边形内角、外角的计算方法，再分两种情况分析：第一种是角的顶点在圆上，此时该角为正五边形的内角；第二种是角的顶点在圆外，角的两边截圆得到的弦为正五边形的边，此时两条弦与角的两边构成的三角形的两个底角为正五边形的外角，最后结合三角形内角和定理计算角的度数。
【解析】
分两种情况求解：
1. 对应图①的情况：角的顶点在圆上，该角为正五边形的内角。
正五边形内角和为$(5-2)×180°$，因此单个内角的度数为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，即该角为$108°$。
2. 对应图②的情况：角的顶点在圆外，角的两条边截圆得到的弦为正五边形的边。
正五边形的外角和为$360°$，因此单个外角的度数为$\frac{360°}{5}=72°$，此时$△ OAB$的两个底角$∠ OAB$、$∠ OBA$均为正五边形的外角，即$∠ OAB=∠ OBA=72°$，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ AOB=180°-72°-72°=36°$，即该角为$36°$。
综上，这个角的度数为$108°$或$36°$。
【答案】
$108°或36°$
【知识点】
正多边形的内外角计算，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题结合正多边形与圆的知识考查分类讨论思想，解题时需要考虑角的顶点与圆的两种位置关系，避免漏解，同时要熟练掌握正多边形内角、外角的计算方法。
【难度系数】
0.6
解题时需结合正五边形的性质，分类讨论角与圆的位置关系：首先明确正五边形内角、外角的计算方法，再分两种情况分析：第一种是角的顶点在圆上，此时该角为正五边形的内角；第二种是角的顶点在圆外，角的两边截圆得到的弦为正五边形的边，此时两条弦与角的两边构成的三角形的两个底角为正五边形的外角，最后结合三角形内角和定理计算角的度数。
【解析】
分两种情况求解：
1. 对应图①的情况：角的顶点在圆上，该角为正五边形的内角。
正五边形内角和为$(5-2)×180°$，因此单个内角的度数为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，即该角为$108°$。
2. 对应图②的情况：角的顶点在圆外，角的两条边截圆得到的弦为正五边形的边。
正五边形的外角和为$360°$，因此单个外角的度数为$\frac{360°}{5}=72°$，此时$△ OAB$的两个底角$∠ OAB$、$∠ OBA$均为正五边形的外角，即$∠ OAB=∠ OBA=72°$，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ AOB=180°-72°-72°=36°$，即该角为$36°$。
综上，这个角的度数为$108°$或$36°$。
【答案】
$108°或36°$
【知识点】
正多边形的内外角计算，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题结合正多边形与圆的知识考查分类讨论思想，解题时需要考虑角的顶点与圆的两种位置关系，避免漏解，同时要熟练掌握正多边形内角、外角的计算方法。
【难度系数】
0.6
11 如图①所示为地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形。如图②，AE是$\odot O$的直径，用无刻度的直尺和圆规作$\odot O$的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）。
（第11题）
（第11题）答案
11. 如图
解析
【分析】
要作$\odot O$的内接正八边形，核心是将圆周8等分，每段弧对应的中心角为$360°÷8=45°$。已知AE是$\odot O$的直径，第一步先作AE的垂直平分线，得到与AE互相垂直的另一条直径，可将周角分为4个$90°$的圆心角；再将每个$90°$的圆心角平分，即可得到8个$45°$的圆心角，这些角的边与$\odot O$的交点就是正八边形的8个顶点，顺次连接顶点即可得到所求正八边形。
【解析】
作图步骤为：
1. 过圆心O作AE的垂直平分线，交$\odot O$于C、G两点，得到两条互相垂直的直径AE、CG，此时形成4个$90°$的圆心角；
2. 分别作$∠ AOC$、$∠ COE$、$∠ EOG$、$∠ GOA$的角平分线，依次交$\odot O$于B、D、F、H四点；
3. 顺次连接A、B、C、D、E、F、G、H八个点，所得图形即为$\odot O$的内接正八边形ABCDEFGH，保留作图痕迹即可。
【答案】
【知识点】
正多边形与圆，尺规作图，垂直平分线作法
【点评】
本题考查圆内接正多边形的作图方法，解题关键是利用正八边形中心角为$45°$的特点，通过作垂直平分线、角平分线等分圆心角，实现圆周的等分进而得到正多边形顶点，作图时需注意按要求保留作图痕迹。
【难度系数】
0.7
要作$\odot O$的内接正八边形，核心是将圆周8等分，每段弧对应的中心角为$360°÷8=45°$。已知AE是$\odot O$的直径，第一步先作AE的垂直平分线，得到与AE互相垂直的另一条直径，可将周角分为4个$90°$的圆心角；再将每个$90°$的圆心角平分，即可得到8个$45°$的圆心角，这些角的边与$\odot O$的交点就是正八边形的8个顶点，顺次连接顶点即可得到所求正八边形。
【解析】
作图步骤为：
1. 过圆心O作AE的垂直平分线，交$\odot O$于C、G两点，得到两条互相垂直的直径AE、CG，此时形成4个$90°$的圆心角；
2. 分别作$∠ AOC$、$∠ COE$、$∠ EOG$、$∠ GOA$的角平分线，依次交$\odot O$于B、D、F、H四点；
3. 顺次连接A、B、C、D、E、F、G、H八个点，所得图形即为$\odot O$的内接正八边形ABCDEFGH，保留作图痕迹即可。
【答案】
【知识点】
正多边形与圆，尺规作图，垂直平分线作法
【点评】
本题考查圆内接正多边形的作图方法，解题关键是利用正八边形中心角为$45°$的特点，通过作垂直平分线、角平分线等分圆心角，实现圆周的等分进而得到正多边形顶点，作图时需注意按要求保留作图痕迹。
【难度系数】
0.7
12 如图，正五边形ABCDE内接于$\odot O$，先作直径AF；再以点F为圆心，FO长为半径作圆弧，与$\odot O$交于点M，N；最后连接AM，MN，NA，DN.
（1）求$∠ ABC$的度数.
（2）$△ AMN$是正三角形吗？请说明理由.
（3）从点A开始，以DN长为半径，在$\odot O$上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正$n$边形，求$n$的值.
（1）求$∠ ABC$的度数.
（2）$△ AMN$是正三角形吗？请说明理由.
（3）从点A开始，以DN长为半径，在$\odot O$上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正$n$边形，求$n$的值.
答案
12. (1) $\because$ 五边形 $ABCDE$ 是正五边形，$\therefore ∠ ABC=\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$
(2) $△ AMN$ 是正三角形 理由：连接 $ON$，$NF$. 由作图，得$FN=OF$. $\because OF=ON$，$\therefore FN=OF=ON$，$\therefore △ FON$ 是等边三角形，$\therefore ∠ NFA=60°$. $\because \overset{\frown}{AN}=\overset{\frown}{AN}$，$\therefore ∠ NMA=∠ NFA=60°$. 同理，可得$∠ ANM=60°$，$\therefore$ 在$△ AMN$中，$∠ MAN=60°$，$\therefore ∠ NMA=∠ ANM=∠ MAN$，$\therefore △ AMN$ 是正三角形.
(3) 由(2)，得$△ AMN$是正三角形，$\therefore ∠ AON=2∠ AMN=120°$. 连接 $OD$，则$∠ AOD=2×\frac{360°}{5}=144°$，$\therefore ∠ DON=∠ AOD-∠ AON=24°$，$\therefore n=\frac{360°}{24°}=15$
(2) $△ AMN$ 是正三角形 理由：连接 $ON$，$NF$. 由作图，得$FN=OF$. $\because OF=ON$，$\therefore FN=OF=ON$，$\therefore △ FON$ 是等边三角形，$\therefore ∠ NFA=60°$. $\because \overset{\frown}{AN}=\overset{\frown}{AN}$，$\therefore ∠ NMA=∠ NFA=60°$. 同理，可得$∠ ANM=60°$，$\therefore$ 在$△ AMN$中，$∠ MAN=60°$，$\therefore ∠ NMA=∠ ANM=∠ MAN$，$\therefore △ AMN$ 是正三角形.
(3) 由(2)，得$△ AMN$是正三角形，$\therefore ∠ AON=2∠ AMN=120°$. 连接 $OD$，则$∠ AOD=2×\frac{360°}{5}=144°$，$\therefore ∠ DON=∠ AOD-∠ AON=24°$，$\therefore n=\frac{360°}{24°}=15$
解析
【分析】
（1）求正五边形内角$∠ ABC$，直接利用正$n$边形内角公式：正$n$边形每个内角度数为$\frac{(n-2)×180°}{n}$，代入$n=5$即可计算。
（2）判断$△ AMN$是否为正三角形，需证明三个内角均为$60°$。结合作图条件$FN=FO$，且$OF、ON$都是$\odot O$的半径，可推出$△ FON$是等边三角形，得到$∠ NFA=60°$，再利用同弧所对圆周角相等，推导得到$△ AMN$的三个内角均为$60°$即可。
（3）求正$n$边形的边数$n$，只需先求出弦$DN$对应的圆心角度数，再用$360°$除以该圆心角度数即可。首先结合正三角形的性质求出$\overset{\frown}{AN}$对应的圆心角$∠ AON$，再求出正五边形中$\overset{\frown}{AD}$对应的圆心角$∠ AOD$，二者相减得到$\overset{\frown}{DN}$对应的圆心角，最后计算$n$即可。
【解析】
（1）$\because$五边形$ABCDE$是正五边形，其内角和为$(5-2)×180°$，且每个内角相等，
$\therefore ∠ ABC=\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$。
（2）$△ AMN$是正三角形，理由如下：
连接$ON$、$NF$。
由作图可知$FN=FO$，
又$\because OF、ON$都是$\odot O$的半径，$\therefore OF=ON$，
$\therefore FN=OF=ON$，即$△ FON$是等边三角形，
$\therefore ∠ NFA=60°$。
$\because$同弧$\overset{\frown}{AN}$所对的圆周角相等，$\therefore ∠ NMA=∠ NFA=60°$，
同理可得$∠ ANM=60°$，
$\therefore$在$△ AMN$中，$∠ MAN=180°-60°-60°=60°$，
$\therefore ∠ NMA=∠ ANM=∠ MAN=60°$，
$\therefore △ AMN$是正三角形。
（3）由（2）知$△ AMN$是正三角形，
$\therefore ∠ AMN=60°$，根据同弧所对圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ AON=2∠ AMN=120°$。
连接$OD$，$\because$正五边形$ABCDE$内接于$\odot O$，
$\therefore \overset{\frown}{AD}$对应的圆心角$∠ AOD=2×\frac{360°}{5}=144°$，
$\therefore \overset{\frown}{DN}$对应的圆心角$∠ DON=∠ AOD-∠ AON=144°-120°=24°$，
$\therefore$正$n$边形的边数$n=\frac{360°}{24°}=15$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{108°}$
(2) $△ AMN$是正三角形，理由见解析
(3) $\boldsymbol{15}$
【知识点】
1. 正多边形内角计算
2. 圆周角定理
3. 正多边形与圆的关系
【点评】
本题将正多边形性质和圆的相关定理结合考查，既包含基础的内角计算，也需要通过辅助线推导角度关系，解题核心是明确正多边形边数和对应圆心角的关联，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
（1）求正五边形内角$∠ ABC$，直接利用正$n$边形内角公式：正$n$边形每个内角度数为$\frac{(n-2)×180°}{n}$，代入$n=5$即可计算。
（2）判断$△ AMN$是否为正三角形，需证明三个内角均为$60°$。结合作图条件$FN=FO$，且$OF、ON$都是$\odot O$的半径，可推出$△ FON$是等边三角形，得到$∠ NFA=60°$，再利用同弧所对圆周角相等，推导得到$△ AMN$的三个内角均为$60°$即可。
（3）求正$n$边形的边数$n$，只需先求出弦$DN$对应的圆心角度数，再用$360°$除以该圆心角度数即可。首先结合正三角形的性质求出$\overset{\frown}{AN}$对应的圆心角$∠ AON$，再求出正五边形中$\overset{\frown}{AD}$对应的圆心角$∠ AOD$，二者相减得到$\overset{\frown}{DN}$对应的圆心角，最后计算$n$即可。
【解析】
（1）$\because$五边形$ABCDE$是正五边形，其内角和为$(5-2)×180°$，且每个内角相等，
$\therefore ∠ ABC=\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$。
（2）$△ AMN$是正三角形，理由如下：
连接$ON$、$NF$。
由作图可知$FN=FO$，
又$\because OF、ON$都是$\odot O$的半径，$\therefore OF=ON$，
$\therefore FN=OF=ON$，即$△ FON$是等边三角形，
$\therefore ∠ NFA=60°$。
$\because$同弧$\overset{\frown}{AN}$所对的圆周角相等，$\therefore ∠ NMA=∠ NFA=60°$，
同理可得$∠ ANM=60°$，
$\therefore$在$△ AMN$中，$∠ MAN=180°-60°-60°=60°$，
$\therefore ∠ NMA=∠ ANM=∠ MAN=60°$，
$\therefore △ AMN$是正三角形。
（3）由（2）知$△ AMN$是正三角形，
$\therefore ∠ AMN=60°$，根据同弧所对圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ AON=2∠ AMN=120°$。
连接$OD$，$\because$正五边形$ABCDE$内接于$\odot O$，
$\therefore \overset{\frown}{AD}$对应的圆心角$∠ AOD=2×\frac{360°}{5}=144°$，
$\therefore \overset{\frown}{DN}$对应的圆心角$∠ DON=∠ AOD-∠ AON=144°-120°=24°$，
$\therefore$正$n$边形的边数$n=\frac{360°}{24°}=15$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{108°}$
(2) $△ AMN$是正三角形，理由见解析
(3) $\boldsymbol{15}$
【知识点】
1. 正多边形内角计算
2. 圆周角定理
3. 正多边形与圆的关系
【点评】
本题将正多边形性质和圆的相关定理结合考查，既包含基础的内角计算，也需要通过辅助线推导角度关系，解题核心是明确正多边形边数和对应圆心角的关联，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
