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1 [2025 海南]如图,在△ABC中,∠C=30°,AB=1,以AB为直径的半圆O交AC于点D.若BC与半圆O相切于点B,则$\overset{\frown}{BD}$的长为 (
A.$\frac{π}{5}$
B.$\frac{π}{4}$
C.$\frac{π}{3}$
D.$\frac{π}{2}$
(第1题)
C
)A.$\frac{π}{5}$
B.$\frac{π}{4}$
C.$\frac{π}{3}$
D.$\frac{π}{2}$
(第1题)答案
1. C
解析
【分析】
解题时先结合切线的性质得到直角，再利用直角三角形的内角关系求出圆周角∠A的度数，接着根据圆周角定理得到弧BD对应的圆心角度数，再确定半圆的半径，最后代入弧长公式计算即可。具体思考步骤：①看到切线，首先想到切线垂直于过切点的半径，因此AB⊥BC，得到Rt△ABC；②已知∠C=30°，可算出∠A的度数；③弧长计算需要知道圆心角和半径，连接OD后，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可求出∠BOD的度数；④AB是直径长度为1，可得半径长度，代入弧长公式就能求出结果。
【解析】
解：
∵BC与半圆O相切于点B，AB是半圆O的直径，
∴AB⊥BC，即∠ABC=90°。
在Rt△ABC中，∠C=30°，
∴∠BAC=90°-∠C=60°。
连接OD，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴∠BOD=2∠BAC=120°。
∵AB=1，
∴半圆O的半径$r=\frac{1}{2}$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为圆心角度数，r为半径），
得$\overset{\frown}{BD}$的长为$\frac{120×π×\frac{1}{2}}{180}=\frac{π}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；弧长计算
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题关键是结合切线性质、圆周角定理求出弧长计算所需的圆心角和半径，整体考查的都是基础知识点，掌握相关性质和公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时先结合切线的性质得到直角，再利用直角三角形的内角关系求出圆周角∠A的度数，接着根据圆周角定理得到弧BD对应的圆心角度数，再确定半圆的半径，最后代入弧长公式计算即可。具体思考步骤：①看到切线，首先想到切线垂直于过切点的半径，因此AB⊥BC，得到Rt△ABC；②已知∠C=30°，可算出∠A的度数；③弧长计算需要知道圆心角和半径，连接OD后，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可求出∠BOD的度数；④AB是直径长度为1，可得半径长度，代入弧长公式就能求出结果。
【解析】
解：
∵BC与半圆O相切于点B，AB是半圆O的直径，
∴AB⊥BC，即∠ABC=90°。
在Rt△ABC中，∠C=30°，
∴∠BAC=90°-∠C=60°。
连接OD，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴∠BOD=2∠BAC=120°。
∵AB=1，
∴半圆O的半径$r=\frac{1}{2}$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为圆心角度数，r为半径），
得$\overset{\frown}{BD}$的长为$\frac{120×π×\frac{1}{2}}{180}=\frac{π}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；弧长计算
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题关键是结合切线性质、圆周角定理求出弧长计算所需的圆心角和半径，整体考查的都是基础知识点，掌握相关性质和公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
2 [2024青岛]如图，A，B，C，D是$\odot O$上的点，半径$OA=3$，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，$∠ DBC=25°$，连接$AD$，则扇形$OAB$的面积为（
A.$\frac{5}{4}π$
B.$\frac{5}{8}π$
C.$\frac{5}{2}π$
D.$\frac{5}{12}π$
A
）A.$\frac{5}{4}π$
B.$\frac{5}{8}π$
C.$\frac{5}{2}π$
D.$\frac{5}{12}π$
答案
2. A
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，结合已知∠DBC=25°，先求出$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角度数；第二步，根据等弧的性质，由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$得到扇形OAB的圆心角度数；第三步，将圆心角度数和半径代入扇形面积公式计算结果即可。
【解析】
∵∠DBC是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角为圆周角的2倍，
∴$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角度数为$2×25°=50°$。
又
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，同圆中等弧所对的圆心角相等，
∴扇形OAB的圆心角$∠ AOB=50°$。
已知半径$OA=3$，扇形面积公式为$S=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为半径），代入得：
$S_{扇形OAB}=\frac{50π×3^2}{360}=\frac{450π}{360}=\frac{5}{4}π$。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，扇形面积计算，等弧的性质
【点评】
本题侧重考查圆的基础性质的应用，解题的核心是准确找到圆周角对应的弧，再通过等弧关系转化得到目标扇形的圆心角，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，结合已知∠DBC=25°，先求出$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角度数；第二步，根据等弧的性质，由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$得到扇形OAB的圆心角度数；第三步，将圆心角度数和半径代入扇形面积公式计算结果即可。
【解析】
∵∠DBC是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角为圆周角的2倍，
∴$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角度数为$2×25°=50°$。
又
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，同圆中等弧所对的圆心角相等，
∴扇形OAB的圆心角$∠ AOB=50°$。
已知半径$OA=3$，扇形面积公式为$S=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为半径），代入得：
$S_{扇形OAB}=\frac{50π×3^2}{360}=\frac{450π}{360}=\frac{5}{4}π$。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，扇形面积计算，等弧的性质
【点评】
本题侧重考查圆的基础性质的应用，解题的核心是准确找到圆周角对应的弧，再通过等弧关系转化得到目标扇形的圆心角，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7
3 [2024哈尔滨]若$90°$圆心角所对的弧长是$3π$ cm，则此弧所在圆的半径是
6
cm.答案
3. 6
解析
【分析】
题目已知圆心角度数和对应弧长，要求圆的半径，解题时首先回忆弧长计算公式：$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径），我们已知$l$和$n$的数值，只需将已知量代入公式，解关于$r$的一元一次方程即可求出半径。
【解析】
解：设此弧所在圆的半径为$r$ cm，
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，将$l=3π$、$n=90$代入得：
$3π=\frac{90π r}{180}$
化简右侧可得：$\frac{90π r}{180}=\frac{π r}{2}$
即$3π=\frac{π r}{2}$，两边同时除以$π$得：$3=\frac{r}{2}$
解得：$r=6$
【答案】
6
【知识点】
弧长公式；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题，核心考查弧长公式的直接应用，解题关键是熟记弧长公式，代入数值计算时注意约分化简即可，不易出错。
【难度系数】
0.9
题目已知圆心角度数和对应弧长，要求圆的半径，解题时首先回忆弧长计算公式：$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径），我们已知$l$和$n$的数值，只需将已知量代入公式，解关于$r$的一元一次方程即可求出半径。
【解析】
解：设此弧所在圆的半径为$r$ cm，
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，将$l=3π$、$n=90$代入得：
$3π=\frac{90π r}{180}$
化简右侧可得：$\frac{90π r}{180}=\frac{π r}{2}$
即$3π=\frac{π r}{2}$，两边同时除以$π$得：$3=\frac{r}{2}$
解得：$r=6$
【答案】
6
【知识点】
弧长公式；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题，核心考查弧长公式的直接应用，解题关键是熟记弧长公式，代入数值计算时注意约分化简即可，不易出错。
【难度系数】
0.9
4 [2025 泗洪期中]如图①是小区围墙上的花窗,其形状是扇形的一部分,图②是其几何示意图(涂色部分为花窗).通过测量得到扇形OAB的圆心角为$90°$,$OA=2\ \mathrm{m}$,$C$,$D$分别为$OA$,$OB$的中点,则花窗的面积为
$(π-\frac{1}{2})$
$\mathrm{m}^2$(结果保留$π$).答案
4. $(π-\frac{1}{2})$
解析
【分析】
计算花窗的面积即求涂色不规则图形的面积，可利用“割补法”将其转化为规则图形面积的差：涂色部分面积=扇形OAB的面积-直角三角形OCD的面积。首先根据扇形的圆心角和半径求出扇形OAB的面积，再根据中点定义求出OC、OD的长度，结合直角条件求出三角形OCD的面积，最后作差即可得到结果。
【解析】
解：已知扇形OAB的圆心角∠AOB=90°，半径OA=2m，
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$，可得：
$S_{\mathrm{扇形}OAB}=\frac{90π × 2^2}{360}=π\ \mathrm{m}^2$。
∵C、D分别为OA、OB的中点，
∴$OC=\frac{1}{2}OA=1\ \mathrm{m}$，$OD=\frac{1}{2}OB=1\ \mathrm{m}$，
又
∵∠O=90°，
∴直角三角形OCD的面积为：
$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}× OC × OD=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}\ \mathrm{m}^2$。
因此花窗的面积为：
$S=S_{\mathrm{扇形}OAB}-S_{△ OCD}=π-\frac{1}{2}\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
$(π-\dfrac{1}{2})$
【知识点】
扇形面积计算，直角三角形面积计算，中点的性质
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，核心思路是将不规则图形的面积转化为熟悉的规则图形面积的和差，只要熟练掌握扇形和直角三角形的面积公式，就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
计算花窗的面积即求涂色不规则图形的面积，可利用“割补法”将其转化为规则图形面积的差：涂色部分面积=扇形OAB的面积-直角三角形OCD的面积。首先根据扇形的圆心角和半径求出扇形OAB的面积，再根据中点定义求出OC、OD的长度，结合直角条件求出三角形OCD的面积，最后作差即可得到结果。
【解析】
解：已知扇形OAB的圆心角∠AOB=90°，半径OA=2m，
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$，可得：
$S_{\mathrm{扇形}OAB}=\frac{90π × 2^2}{360}=π\ \mathrm{m}^2$。
∵C、D分别为OA、OB的中点，
∴$OC=\frac{1}{2}OA=1\ \mathrm{m}$，$OD=\frac{1}{2}OB=1\ \mathrm{m}$，
又
∵∠O=90°，
∴直角三角形OCD的面积为：
$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}× OC × OD=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}\ \mathrm{m}^2$。
因此花窗的面积为：
$S=S_{\mathrm{扇形}OAB}-S_{△ OCD}=π-\frac{1}{2}\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
$(π-\dfrac{1}{2})$
【知识点】
扇形面积计算，直角三角形面积计算，中点的性质
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，核心思路是将不规则图形的面积转化为熟悉的规则图形面积的和差，只要熟练掌握扇形和直角三角形的面积公式，就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
5 如图，在$□ ABCD$中，以点A为圆心、AB长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA，交$\odot A$于点F。若$\overset{\frown}{EF}$的长为$\frac{π}{2}$，求图中阴影部分的面积。
答案
5. 连接AC.
∵ DC是$\odot A$的切线,
∴ $AC⊥ CD$.又
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ $AB=AC=CD$,$AB// CD$,
∴ $△ ACD$是等腰直角三角形,
∴ $∠ CAD=45°$,$∠ CAF=90°$,
∴ $∠ EAF=∠ CAF-∠ CAD=45°$.设$\odot A$的半径为r.
∵ $\overset{\frown}{EF}$的长为$\frac{π}{2}$,
∴ $\frac{π}{2}=\frac{45π r}{180}$,解得$r=2$,
∴ $AC=CD=2$,
∴ $S_{阴影}=S_{△ ACD}-S_{扇形ACE}=\frac{1}{2}×2×2-\frac{45π×2^2}{360}=2-\frac{π}{2}$
∵ DC是$\odot A$的切线,
∴ $AC⊥ CD$.又
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ $AB=AC=CD$,$AB// CD$,
∴ $△ ACD$是等腰直角三角形,
∴ $∠ CAD=45°$,$∠ CAF=90°$,
∴ $∠ EAF=∠ CAF-∠ CAD=45°$.设$\odot A$的半径为r.
∵ $\overset{\frown}{EF}$的长为$\frac{π}{2}$,
∴ $\frac{π}{2}=\frac{45π r}{180}$,解得$r=2$,
∴ $AC=CD=2$,
∴ $S_{阴影}=S_{△ ACD}-S_{扇形ACE}=\frac{1}{2}×2×2-\frac{45π×2^2}{360}=2-\frac{π}{2}$
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影为不规则图形，可通过割补法转化为规则图形面积的差，即$△ ACD$的面积减去扇形$ACE$的面积。解题思路如下：①看到$CD$是$\odot A$的切线，首先连接半径$AC$，根据切线性质可得$AC⊥ CD$；②结合平行四边形对边平行且相等的性质，可推出$AC=CD$，进而得到$△ ACD$是等腰直角三角形，求出$∠ CAD=45°$，同时得到弧$EF$对应的圆心角度数；③已知弧$EF$的长，利用弧长公式求出$\odot A$的半径$r$；④分别计算$△ ACD$的面积和扇形$ACE$的面积，作差即可得到阴影面积。
【解析】
解：连接$AC$，
∵ $DC$是$\odot A$的切线，
∴ $AC⊥ CD$，
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB=CD$，$AB// CD$，
又
∵$AB$是$\odot A$的半径，$AC=AB$，
∴ $AC=CD$，
∴ $△ ACD$是等腰直角三角形，
∴ $∠ CAD=45°$，$∠ CAF=∠ ACD=90°$，
∴ $∠ EAF=∠ CAF - ∠ CAD=45°$，
设$\odot A$的半径为$r$，
∵ $\overset{\frown}{EF}$的长为$\frac{π}{2}$，由弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$得：
$\frac{π}{2}=\frac{45π r}{180}$，
解得$r=2$，
∴ $AC=CD=2$，
∴ $S_{阴影}=S_{△ ACD}-S_{扇形ACE}=\frac{1}{2}×2×2-\frac{45π×2^2}{360}=2-\frac{π}{2}$。
【答案】
$\boxed{2-\dfrac{π}{2}}$
【知识点】
切线的性质，弧长公式，扇形面积计算
【点评】
本题综合考查了圆的相关性质、平行四边形的性质以及不规则图形面积的计算，解题的关键是正确连接辅助线，利用弧长公式求出圆的半径，再通过割补法将不规则阴影面积转化为规则图形面积的差进行求解。
【难度系数】
0.6
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影为不规则图形，可通过割补法转化为规则图形面积的差，即$△ ACD$的面积减去扇形$ACE$的面积。解题思路如下：①看到$CD$是$\odot A$的切线，首先连接半径$AC$，根据切线性质可得$AC⊥ CD$；②结合平行四边形对边平行且相等的性质，可推出$AC=CD$，进而得到$△ ACD$是等腰直角三角形，求出$∠ CAD=45°$，同时得到弧$EF$对应的圆心角度数；③已知弧$EF$的长，利用弧长公式求出$\odot A$的半径$r$；④分别计算$△ ACD$的面积和扇形$ACE$的面积，作差即可得到阴影面积。
【解析】
解：连接$AC$，
∵ $DC$是$\odot A$的切线，
∴ $AC⊥ CD$，
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB=CD$，$AB// CD$，
又
∵$AB$是$\odot A$的半径，$AC=AB$，
∴ $AC=CD$，
∴ $△ ACD$是等腰直角三角形，
∴ $∠ CAD=45°$，$∠ CAF=∠ ACD=90°$，
∴ $∠ EAF=∠ CAF - ∠ CAD=45°$，
设$\odot A$的半径为$r$，
∵ $\overset{\frown}{EF}$的长为$\frac{π}{2}$，由弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$得：
$\frac{π}{2}=\frac{45π r}{180}$，
解得$r=2$，
∴ $AC=CD=2$，
∴ $S_{阴影}=S_{△ ACD}-S_{扇形ACE}=\frac{1}{2}×2×2-\frac{45π×2^2}{360}=2-\frac{π}{2}$。
【答案】
$\boxed{2-\dfrac{π}{2}}$
【知识点】
切线的性质，弧长公式，扇形面积计算
【点评】
本题综合考查了圆的相关性质、平行四边形的性质以及不规则图形面积的计算，解题的关键是正确连接辅助线，利用弧长公式求出圆的半径，再通过割补法将不规则阴影面积转化为规则图形面积的差进行求解。
【难度系数】
0.6
6 [2025 成都]如图，$\odot O$ 的半径为 1，A，B，C 是$\odot O$ 上的三个点. 若四边形 OABC 为平行四边形，连接 AC，则图中涂色部分的面积为 （
A.$\frac{π}{3}$
B.$\frac{π}{4}$
C.$\frac{π}{6}$
D.$\frac{π}{12}$
C
）A.$\frac{π}{3}$
B.$\frac{π}{4}$
C.$\frac{π}{6}$
D.$\frac{π}{12}$
答案
6. C
解析
【分析】
解题时首先结合圆的半径相等和平行四边形的性质，判断出四边形OABC为菱形，进而推出△OAB是等边三角形得到圆心角∠AOB的度数；再利用平行线间距离相等，得到△ABC和△OAB面积相等，可将不规则的阴影部分面积转化为规则的扇形OAB的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
连接OB，
∵⊙O的半径为1，
∴OA=OB=OC=1，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB=OC=1，BC=OA=1，
∴OA=AB=OB=1，即△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC//AB，
∴点C和点O到直线AB的距离相等，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}$，
∴阴影部分面积 = $S_{弓形AB} + S_{△ ABC}$ = $S_{弓形AB} + S_{△ OAB}$ = $S_{扇形OAB}$，
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$，代入n=60，r=1得：
$S_{扇形OAB}=\frac{60π×1^2}{360}=\frac{π}{6}$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；扇形面积计算；等积变换求面积
【点评】
本题将圆、平行四边形的性质与面积计算结合，解题的核心是利用等积变换将不规则阴影面积转化为规则扇形面积，很好地考查了转化思想的运用。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合圆的半径相等和平行四边形的性质，判断出四边形OABC为菱形，进而推出△OAB是等边三角形得到圆心角∠AOB的度数；再利用平行线间距离相等，得到△ABC和△OAB面积相等，可将不规则的阴影部分面积转化为规则的扇形OAB的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
连接OB，
∵⊙O的半径为1，
∴OA=OB=OC=1，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB=OC=1，BC=OA=1，
∴OA=AB=OB=1，即△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC//AB，
∴点C和点O到直线AB的距离相等，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}$，
∴阴影部分面积 = $S_{弓形AB} + S_{△ ABC}$ = $S_{弓形AB} + S_{△ OAB}$ = $S_{扇形OAB}$，
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$，代入n=60，r=1得：
$S_{扇形OAB}=\frac{60π×1^2}{360}=\frac{π}{6}$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；扇形面积计算；等积变换求面积
【点评】
本题将圆、平行四边形的性质与面积计算结合，解题的核心是利用等积变换将不规则阴影面积转化为规则扇形面积，很好地考查了转化思想的运用。
【难度系数】
0.6
