7 [2025 泗阳期中]如图,在直径为$2\sqrt{2}$ cm 的圆形纸片$\odot O$中,剪一个圆心角为$90°$的扇形,则这个扇形的弧长为 cm.

7. $π$

8 [2025青海]如图，线段AB经过圆心O，交$\odot O$于点A，C，AD为$\odot O$的弦，连接BD。若$∠ A=∠ B=30°$，$BC=2$，则$\overset{\frown}{DC}$的长为________。

8. $\frac{2π}{3}$

9 整体思想 如图，在$△ ABC$中，$AB=5$，$AC=3$，$BC=4$，将$△ ABC$绕点$A$按逆时针方向旋转$40°$得到$△ ADE$，点$B$经过的路径为$\overset{\frown}{BD}$，则图中阴影部分的面积为。

9. $\frac{25π}{9}$
【解析】根据旋转的性质,得$S_{△ ADE}=S_{△ ABC}$.由题图,可知$S_{阴影}=S_{△ ADE}+S_{扇形ADB}-S_{△ ABC}=S_{扇形ADB}=\frac{40×π×5^2}{360}=\frac{25π}{9}$.

10 如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，$AB$是$\odot O$的直径，$CE$平分$∠ ACB$，交$\odot O$于点$E$，过点$E$作$EF // AB$，交$CA$的延长线于点$F$.
（1）求证：$EF$与$\odot O$相切.
（2）过点$E$作$EG ⊥ AC$于点$M$，交$\odot O$于点$G$，交$AB$于点$N$.若$∠ CAB=30°$，$AB=8$，求$\overset{\frown}{AG}$的长.

10. (1) 如图,连接OE.
∵ AB是$\odot O$的直径,
∴ $∠ ACB=90°$.
∵ CE平分$∠ ACB$,
∴ $∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACB=45°$.
∵ $\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{AE}$,
∴ $∠ AOE=2∠ ACE=90°$.
∵ $EF// AB$,
∴ $∠ AOE+∠ FEO=180°$,
∴ $∠ FEO=90°$,
∴ $OE⊥ FE$.又
∵ OE是$\odot O$的半径,
∴ EF与$\odot O$相切
(2) 如图,连接OG,OC.
∵ $∠ CAB=30°$,$∠ ACB=90°$,
∴ $∠ B=60°$.
∵ $OB=OC$,
∴ $△ OBC$为等边三角形,
∴ $∠ COB=60°$,
∴ $∠ AOC=180°-∠ COB=120°$.
∵ $EG⊥ AC$,$∠ ACE=45°$,
∴ $∠ MEC=45°$.
∵ $\overset{\frown}{CG}=\overset{\frown}{CG}$,
∴ $∠ GOC=2∠ MEC=90°$,
∴ $∠ AOG=∠ AOC-∠ GOC=30°$.
∵ $AB=8$,$AB$是$\odot O$的直径,
∴ $OA=OG=4$,
∴ $\overset{\frown}{AG}$的长$=\frac{30π×4}{180}=\frac{2π}{3}$

11 [2025 南通]如图，PA与$\odot O$相切于点A，AC为$\odot O$的直径，点B在$\odot O$上，连接OB，PB，PC，且$PA=PB$.
（1）求证：$OB ⊥ PB$；
（2）若$∠ APB=60°$，$PA=2\sqrt{3}$，求图中阴影部分的面积.

11. (1) 如图,连接OP.
∵ PA与$\odot O$相切,
∴ $OA⊥ PA$,
∴ $∠ OAP=90°$.在$△ AOP$ 和$△ BOP$ 中,$\begin{cases} OA=OB, \\ PA=PB, \\ OP=OP, \end{cases}$
∴ $△ AOP≌△ BOP$,
∴ $∠ OAP=∠ OBP=90°$,
∴ $OB⊥ PB$
(2) 如图,连接BC.
∵ 四边形AOBP的内角和为$360°$,$∠ OBP=∠ OAP=90°$,$∠ APB=60°$,
∴ $∠ AOB=120°$,
∴ $∠ COB=180°-120°=60°$.
∵ $OB=OC$,
∴ $△ BOC$为等边三角形,
∴ $∠ OCB=60°$.
∵ $△ AOP≌△ BOP$,
∴ $∠ AOP=∠ BOP=60°$,$∠ APO=∠ BPO=30°$,$PA=PB=2\sqrt{3}$,
∴ $∠ AOP=∠ OCB$,
∴ $OP// BC$,
∴ $S_{△ PCB}=S_{△ OCB}$.
∵ 在$\mathrm{Rt}△ OBP$中,$∠ BPO=30°$,
∴ $OP=2OB$.
∵ $OB^2+PB^2=OP^2$,
∴ $OB^2+(2\sqrt{3})^2=(2OB)^2$,解得$OB=2$(负值舍去).
∴ $S_{阴影部分}=S_{扇形OCB}=\frac{60π×2^2}{360}=\frac{2π}{3}$