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7 [2025 泗阳期中]如图,在直径为$2\sqrt{2}$ cm 的圆形纸片$\odot O$中,剪一个圆心角为$90°$的扇形,则这个扇形的弧长为
$π$
cm.答案
7. $π$
解析
【分析】
要求扇形的弧长，需先明确弧长公式的两个必要条件：扇形的圆心角度数、扇形的半径。本题已给出扇形圆心角为90°，因此核心是求解扇形的半径。首先结合图形和圆周角定理，可发现90°的扇形圆心角作为圆周角时，它所对的弦是已知圆的直径，再通过勾股定理即可求出扇形半径，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
已知圆形纸片$\odot O$的直径为$2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，观察图形可知，该90°圆心角的扇形的三个顶点均在$\odot O$上，扇形的90°角为圆周角。
根据圆周角定理：90°的圆周角所对的弦是圆的直径，因此扇形两条半径的端点连线长为$2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
设扇形的半径为$r$，扇形的两条半径与端点连线构成等腰直角三角形，由勾股定理得：
$r^2+r^2=(2\sqrt{2})^2$
$2r^2=8$
解得$r=2\ \mathrm{cm}$（半径为正数，舍去负根）。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径），代入$n=90°$，$r=2\ \mathrm{cm}$得：
$l=\frac{90×π×2}{180}=π\ \mathrm{cm}$
【答案】
$π$
【知识点】
弧长的计算，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题结合图形考查圆的性质与弧长计算，解题关键是梳理已知圆和待求扇形的边长关系，熟记相关定理和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要求扇形的弧长，需先明确弧长公式的两个必要条件：扇形的圆心角度数、扇形的半径。本题已给出扇形圆心角为90°，因此核心是求解扇形的半径。首先结合图形和圆周角定理，可发现90°的扇形圆心角作为圆周角时，它所对的弦是已知圆的直径，再通过勾股定理即可求出扇形半径，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
已知圆形纸片$\odot O$的直径为$2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，观察图形可知，该90°圆心角的扇形的三个顶点均在$\odot O$上，扇形的90°角为圆周角。
根据圆周角定理：90°的圆周角所对的弦是圆的直径，因此扇形两条半径的端点连线长为$2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
设扇形的半径为$r$，扇形的两条半径与端点连线构成等腰直角三角形，由勾股定理得：
$r^2+r^2=(2\sqrt{2})^2$
$2r^2=8$
解得$r=2\ \mathrm{cm}$（半径为正数，舍去负根）。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径），代入$n=90°$，$r=2\ \mathrm{cm}$得：
$l=\frac{90×π×2}{180}=π\ \mathrm{cm}$
【答案】
$π$
【知识点】
弧长的计算，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题结合图形考查圆的性质与弧长计算，解题关键是梳理已知圆和待求扇形的边长关系，熟记相关定理和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
8 [2025青海]如图，线段AB经过圆心O，交$\odot O$于点A，C，AD为$\odot O$的弦，连接BD。若$∠ A=∠ B=30°$，$BC=2$，则$\overset{\frown}{DC}$的长为________。
答案
8. $\frac{2π}{3}$
解析
【分析】
要求$\overset{\frown}{DC}$的长，需先求出$\odot O$的半径和$\overset{\frown}{DC}$对应的圆心角度数。首先连接辅助线OD，利用等腰三角形性质和三角形外角定理求出圆心角$∠ DOC$的度数，再结合直角三角形的性质求出圆的半径，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
连接OD。
1. 求圆心角$∠ DOC$的度数：
∵ OA、OD均为$\odot O$的半径，
∴ $OA=OD$，
∴ $∠ ADO=∠ A=30°$。
根据三角形外角性质，$∠ DOB=∠ A+∠ ADO=30°+30°=60°$，即$\overset{\frown}{DC}$对应的圆心角为$60°$。
2. 求$\odot O$的半径：
在$△ ODB$中，$∠ B=30°$，$∠ DOB=60°$，
∴ $∠ ODB=180°-30°-60°=90°$，即$△ ODB$是直角三角形。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OD=r$，$OB=OC+BC=r+2$。
∵ 在$Rt△ ODB$中，$30°$角对的直角边等于斜边的一半，
∴ $OD=\frac{1}{2}OB$，即$r=\frac{1}{2}(r+2)$，解得$r=2$。
3. 计算弧长：
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径），代入$n=60$，$r=2$，得：
$\overset{\frown}{DC}$的长$=\frac{60π×2}{180}=\frac{2π}{3}$。
【答案】
$\frac{2π}{3}$
【知识点】
弧长计算，含30°角的直角三角形性质，等腰三角形性质
【点评】
本题是圆的性质与弧长计算的综合应用题，解题关键是正确连接半径OD构造直角三角形，结合特殊三角形的性质求出半径和圆心角，解题思路清晰，是弧长相关计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
要求$\overset{\frown}{DC}$的长，需先求出$\odot O$的半径和$\overset{\frown}{DC}$对应的圆心角度数。首先连接辅助线OD，利用等腰三角形性质和三角形外角定理求出圆心角$∠ DOC$的度数，再结合直角三角形的性质求出圆的半径，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
连接OD。
1. 求圆心角$∠ DOC$的度数：
∵ OA、OD均为$\odot O$的半径，
∴ $OA=OD$，
∴ $∠ ADO=∠ A=30°$。
根据三角形外角性质，$∠ DOB=∠ A+∠ ADO=30°+30°=60°$，即$\overset{\frown}{DC}$对应的圆心角为$60°$。
2. 求$\odot O$的半径：
在$△ ODB$中，$∠ B=30°$，$∠ DOB=60°$，
∴ $∠ ODB=180°-30°-60°=90°$，即$△ ODB$是直角三角形。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OD=r$，$OB=OC+BC=r+2$。
∵ 在$Rt△ ODB$中，$30°$角对的直角边等于斜边的一半，
∴ $OD=\frac{1}{2}OB$，即$r=\frac{1}{2}(r+2)$，解得$r=2$。
3. 计算弧长：
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径），代入$n=60$，$r=2$，得：
$\overset{\frown}{DC}$的长$=\frac{60π×2}{180}=\frac{2π}{3}$。
【答案】
$\frac{2π}{3}$
【知识点】
弧长计算，含30°角的直角三角形性质，等腰三角形性质
【点评】
本题是圆的性质与弧长计算的综合应用题，解题关键是正确连接半径OD构造直角三角形，结合特殊三角形的性质求出半径和圆心角，解题思路清晰，是弧长相关计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
9 整体思想 如图，在$△ ABC$中，$AB=5$，$AC=3$，$BC=4$，将$△ ABC$绕点$A$按逆时针方向旋转$40°$得到$△ ADE$，点$B$经过的路径为$\overset{\frown}{BD}$，则图中阴影部分的面积为
$\frac{25π}{9}$
。答案
9. $\frac{25π}{9}$
【解析】根据旋转的性质,得$S_{△ ADE}=S_{△ ABC}$.由题图,可知$S_{阴影}=S_{△ ADE}+S_{扇形ADB}-S_{△ ABC}=S_{扇形ADB}=\frac{40×π×5^2}{360}=\frac{25π}{9}$.
【解析】根据旋转的性质,得$S_{△ ADE}=S_{△ ABC}$.由题图,可知$S_{阴影}=S_{△ ADE}+S_{扇形ADB}-S_{△ ABC}=S_{扇形ADB}=\frac{40×π×5^2}{360}=\frac{25π}{9}$.
解析
【分析】
解题时先回忆旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应边相等、面积相等。观察阴影部分是不规则图形，考虑用割补法转化为规则图形面积计算：阴影部分面积可表示为△ADE的面积加上扇形ADB的面积，再减去△ABC的面积，由于旋转后△ADE和△ABC面积相等，二者可抵消，因此阴影部分面积等于扇形ADB的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°得到△ADE，
∴△ADE≌△ABC，即$S_{△ ADE}=S_{△ ABC}$，且AB=AD=5，旋转角∠BAD=40°。
结合图形可知阴影部分面积为：
$S_{阴影}=S_{△ ADE} + S_{扇形ADB} - S_{△ ABC}$
将$S_{△ ADE}=S_{△ ABC}$代入得：
$S_{阴影}=S_{扇形ADB}$
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为扇形半径），代入n=40，r=5：
$S_{扇形ADB}=\frac{40× π × 5^2}{360}=\frac{25π}{9}$
【答案】
$\frac{25π}{9}$
【知识点】
旋转的性质，扇形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题通过旋转的性质实现面积的等量代换，将不规则的阴影面积转化为规则的扇形面积求解，核心是运用整体转化的思想简化计算，是几何面积计算的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应边相等、面积相等。观察阴影部分是不规则图形，考虑用割补法转化为规则图形面积计算：阴影部分面积可表示为△ADE的面积加上扇形ADB的面积，再减去△ABC的面积，由于旋转后△ADE和△ABC面积相等，二者可抵消，因此阴影部分面积等于扇形ADB的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°得到△ADE，
∴△ADE≌△ABC，即$S_{△ ADE}=S_{△ ABC}$，且AB=AD=5，旋转角∠BAD=40°。
结合图形可知阴影部分面积为：
$S_{阴影}=S_{△ ADE} + S_{扇形ADB} - S_{△ ABC}$
将$S_{△ ADE}=S_{△ ABC}$代入得：
$S_{阴影}=S_{扇形ADB}$
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为扇形半径），代入n=40，r=5：
$S_{扇形ADB}=\frac{40× π × 5^2}{360}=\frac{25π}{9}$
【答案】
$\frac{25π}{9}$
【知识点】
旋转的性质，扇形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题通过旋转的性质实现面积的等量代换，将不规则的阴影面积转化为规则的扇形面积求解，核心是运用整体转化的思想简化计算，是几何面积计算的常见题型。
【难度系数】
0.7
10 如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，$AB$是$\odot O$的直径，$CE$平分$∠ ACB$，交$\odot O$于点$E$，过点$E$作$EF // AB$，交$CA$的延长线于点$F$.
（1）求证：$EF$与$\odot O$相切.
（2）过点$E$作$EG ⊥ AC$于点$M$，交$\odot O$于点$G$，交$AB$于点$N$.若$∠ CAB=30°$，$AB=8$，求$\overset{\frown}{AG}$的长.
（1）求证：$EF$与$\odot O$相切.
（2）过点$E$作$EG ⊥ AC$于点$M$，交$\odot O$于点$G$，交$AB$于点$N$.若$∠ CAB=30°$，$AB=8$，求$\overset{\frown}{AG}$的长.
答案
10. (1) 如图,连接OE.
∵ AB是$\odot O$的直径,
∴ $∠ ACB=90°$.
∵ CE平分$∠ ACB$,
∴ $∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACB=45°$.
∵ $\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{AE}$,
∴ $∠ AOE=2∠ ACE=90°$.
∵ $EF// AB$,
∴ $∠ AOE+∠ FEO=180°$,
∴ $∠ FEO=90°$,
∴ $OE⊥ FE$.又
∵ OE是$\odot O$的半径,
∴ EF与$\odot O$相切
(2) 如图,连接OG,OC.
∵ $∠ CAB=30°$,$∠ ACB=90°$,
∴ $∠ B=60°$.
∵ $OB=OC$,
∴ $△ OBC$为等边三角形,
∴ $∠ COB=60°$,
∴ $∠ AOC=180°-∠ COB=120°$.
∵ $EG⊥ AC$,$∠ ACE=45°$,
∴ $∠ MEC=45°$.
∵ $\overset{\frown}{CG}=\overset{\frown}{CG}$,
∴ $∠ GOC=2∠ MEC=90°$,
∴ $∠ AOG=∠ AOC-∠ GOC=30°$.
∵ $AB=8$,$AB$是$\odot O$的直径,
∴ $OA=OG=4$,
∴ $\overset{\frown}{AG}$的长$=\frac{30π×4}{180}=\frac{2π}{3}$
解析
【分析】
（1）要证明EF是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需连接半径OE，证明$OE⊥EF$即可。首先利用直径所对圆周角为直角得$∠ACB=90°$，结合角平分线性质得$∠ACE=45°$，再由圆周角定理得圆心角$∠AOE=90°$，最后根据$EF// AB$可推出$∠FEO=90°$，即可得证。
（2）要求$\overset{\frown}{AG}$的长，需先确定弧AG对应的圆心角$∠AOG$的度数和$\odot O$的半径。首先由已知$∠CAB=30°$推出$△ OBC$为等边三角形，得到$∠AOC=120°$；再结合$EG⊥AC$、$∠ACE=45°$得$∠MEC=45°$，由圆周角定理得$∠GOC=90°$，进而求出$∠AOG=30°$；已知$AB=8$得半径为4，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：如图，连接OE。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ACB=90°$。
∵ CE平分$∠ ACB$，
∴ $∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACB=45°$。
∵ $\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{AE}$，
∴ $∠ AOE=2∠ ACE=90°$。
∵ $EF// AB$，
∴ $∠ AOE+∠ FEO=180°$，
∴ $∠ FEO=90°$，
∴ $OE⊥ FE$。
又
∵ OE是$\odot O$的半径，
∴ EF与$\odot O$相切。
(2) 解：如图，连接OG，OC。
∵ $∠ CAB=30°$,$∠ ACB=90°$,
∴ $∠ B=60°$。
∵ $OB=OC$,
∴ $△ OBC$为等边三角形，
∴ $∠ COB=60°$,
∴ $∠ AOC=180°-∠ COB=120°$。
∵ $EG⊥ AC$,$∠ ACE=45°$,
∴ $∠ MEC=45°$。
∵ $\overset{\frown}{CG}=\overset{\frown}{CG}$,
∴ $∠ GOC=2∠ MEC=90°$,
∴ $∠ AOG=∠ AOC-∠ GOC=30°$。
∵ $AB=8$,$AB$是$\odot O$的直径，
∴ $OA=OG=4$,
∴ $\overset{\frown}{AG}$的长$=\frac{30π×4}{180}=\frac{2π}{3}$。
【答案】
(1) EF与$\odot O$相切，证明如上；
(2) $\overset{\frown}{AG}$的长为$\frac{2π}{3}$。
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；弧长计算
【点评】
本题属于圆的综合类题目，结合了切线判定、圆周角与圆心角的关系、弧长计算多个考点，解题的核心是正确添加辅助线，梳理清楚角度之间的数量关系，熟练运用相关定理和公式即可求解。
【难度系数】
0.6
（1）要证明EF是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需连接半径OE，证明$OE⊥EF$即可。首先利用直径所对圆周角为直角得$∠ACB=90°$，结合角平分线性质得$∠ACE=45°$，再由圆周角定理得圆心角$∠AOE=90°$，最后根据$EF// AB$可推出$∠FEO=90°$，即可得证。
（2）要求$\overset{\frown}{AG}$的长，需先确定弧AG对应的圆心角$∠AOG$的度数和$\odot O$的半径。首先由已知$∠CAB=30°$推出$△ OBC$为等边三角形，得到$∠AOC=120°$；再结合$EG⊥AC$、$∠ACE=45°$得$∠MEC=45°$，由圆周角定理得$∠GOC=90°$，进而求出$∠AOG=30°$；已知$AB=8$得半径为4，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：如图，连接OE。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ACB=90°$。
∵ CE平分$∠ ACB$，
∴ $∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACB=45°$。
∵ $\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{AE}$，
∴ $∠ AOE=2∠ ACE=90°$。
∵ $EF// AB$，
∴ $∠ AOE+∠ FEO=180°$，
∴ $∠ FEO=90°$，
∴ $OE⊥ FE$。
又
∵ OE是$\odot O$的半径，
∴ EF与$\odot O$相切。
(2) 解：如图，连接OG，OC。
∵ $∠ CAB=30°$,$∠ ACB=90°$,
∴ $∠ B=60°$。
∵ $OB=OC$,
∴ $△ OBC$为等边三角形，
∴ $∠ COB=60°$,
∴ $∠ AOC=180°-∠ COB=120°$。
∵ $EG⊥ AC$,$∠ ACE=45°$,
∴ $∠ MEC=45°$。
∵ $\overset{\frown}{CG}=\overset{\frown}{CG}$,
∴ $∠ GOC=2∠ MEC=90°$,
∴ $∠ AOG=∠ AOC-∠ GOC=30°$。
∵ $AB=8$,$AB$是$\odot O$的直径，
∴ $OA=OG=4$,
∴ $\overset{\frown}{AG}$的长$=\frac{30π×4}{180}=\frac{2π}{3}$。
【答案】
(1) EF与$\odot O$相切，证明如上；
(2) $\overset{\frown}{AG}$的长为$\frac{2π}{3}$。
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；弧长计算
【点评】
本题属于圆的综合类题目，结合了切线判定、圆周角与圆心角的关系、弧长计算多个考点，解题的核心是正确添加辅助线，梳理清楚角度之间的数量关系，熟练运用相关定理和公式即可求解。
【难度系数】
0.6
11 [2025 南通]如图，PA与$\odot O$相切于点A，AC为$\odot O$的直径，点B在$\odot O$上，连接OB，PB，PC，且$PA=PB$.
（1）求证：$OB ⊥ PB$；
（2）若$∠ APB=60°$，$PA=2\sqrt{3}$，求图中阴影部分的面积.
（1）求证：$OB ⊥ PB$；
（2）若$∠ APB=60°$，$PA=2\sqrt{3}$，求图中阴影部分的面积.
答案
11. (1) 如图,连接OP.
∵ PA与$\odot O$相切,
∴ $OA⊥ PA$,
∴ $∠ OAP=90°$.在$△ AOP$ 和$△ BOP$ 中,$\begin{cases} OA=OB, \\ PA=PB, \\ OP=OP, \end{cases}$
∴ $△ AOP≌△ BOP$,
∴ $∠ OAP=∠ OBP=90°$,
∴ $OB⊥ PB$
(2) 如图,连接BC.
∵ 四边形AOBP的内角和为$360°$,$∠ OBP=∠ OAP=90°$,$∠ APB=60°$,
∴ $∠ AOB=120°$,
∴ $∠ COB=180°-120°=60°$.
∵ $OB=OC$,
∴ $△ BOC$为等边三角形,
∴ $∠ OCB=60°$.
∵ $△ AOP≌△ BOP$,
∴ $∠ AOP=∠ BOP=60°$,$∠ APO=∠ BPO=30°$,$PA=PB=2\sqrt{3}$,
∴ $∠ AOP=∠ OCB$,
∴ $OP// BC$,
∴ $S_{△ PCB}=S_{△ OCB}$.
∵ 在$\mathrm{Rt}△ OBP$中,$∠ BPO=30°$,
∴ $OP=2OB$.
∵ $OB^2+PB^2=OP^2$,
∴ $OB^2+(2\sqrt{3})^2=(2OB)^2$,解得$OB=2$(负值舍去).
∴ $S_{阴影部分}=S_{扇形OCB}=\frac{60π×2^2}{360}=\frac{2π}{3}$
解析
【分析】
（1）要证明$OB⊥PB$，即需证$∠OBP=90°$。已知$PA$是$\odot O$的切线，可得$∠OAP=90°$，连接$OP$后，结合已知条件$PA=PB$、同圆半径相等得$OA=OB$，且$OP$为公共边，可通过SSS证明$△ AOP≌△ BOP$，从而推出$∠OBP=∠OAP=90°$即可得证。
（2）阴影部分为不规则图形，可通过等积转化求解。首先根据四边形内角和求出$∠AOB$的度数，进而得到$∠COB=60°$，可证$△ BOC$是等边三角形；再结合全等三角形的性质证明$OP// BC$，可得$△ PCB$和$△ OCB$同底等高，面积相等，因此阴影面积等价于扇形$OCB$的面积。再通过$Rt△ OBP$的边角关系求出半径$OB$的长度，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：如图，连接$OP$。
∵ $PA$与$\odot O$相切，
∴ $OA⊥ PA$，即$∠ OAP=90°$。
在$△ AOP$ 和$△ BOP$ 中，
$\begin{cases} OA=OB, \\ PA=PB, \\ OP=OP, \end{cases}$
∴ $△ AOP≌△ BOP$（SSS），
∴ $∠ OAP=∠ OBP=90°$，
∴ $OB⊥ PB$。
(2) 解：如图，连接$BC$。
∵ 四边形$AOBP$的内角和为$360°$，$∠ OBP=∠ OAP=90°$，$∠ APB=60°$，
∴ $∠ AOB=360°-90°-90°-60°=120°$，
∴ $∠ COB=180°-120°=60°$。
∵ $OB=OC$（同圆半径相等），
∴ $△ BOC$为等边三角形，
∴ $∠ OCB=60°$。
∵ $△ AOP≌△ BOP$，
∴ $∠ AOP=∠ BOP=60°$，$∠ APO=∠ BPO=30°$，$PA=PB=2\sqrt{3}$，
∴ $∠ AOP=∠ OCB=60°$，
∴ $OP// BC$（同位角相等，两直线平行），
∴ $S_{△ PCB}=S_{△ OCB}$（同底等高的三角形面积相等）。
∵ 在$\mathrm{Rt}△ OBP$中，$∠ BPO=30°$，
∴ $OP=2OB$。
由勾股定理得$OB^2+PB^2=OP^2$，
代入数值：$OB^2+(2\sqrt{3})^2=(2OB)^2$，
解得$OB=2$（负值舍去）。
∴ $S_{阴影部分}=S_{扇形OCB}=\frac{60π×2^2}{360}=\frac{2π}{3}$。
【答案】
11. (1) 如图,连接OP.
∵ PA与$\odot O$相切,
∴ $OA⊥ PA$,
∴ $∠ OAP=90°$.在$△ AOP$ 和$△ BOP$ 中,$\begin{cases} OA=OB, \\ PA=PB, \\ OP=OP, \end{cases}$
∴ $△ AOP≌△ BOP$,
∴ $∠ OAP=∠ OBP=90°$,
∴ $OB⊥ PB$
(2) 如图,连接BC.
∵ 四边形AOBP的内角和为$360°$,$∠ OBP=∠ OAP=90°$,$∠ APB=60°$,
∴ $∠ AOB=120°$,
∴ $∠ COB=180°-120°=60°$.
∵ $OB=OC$,
∴ $△ BOC$为等边三角形,
∴ $∠ OCB=60°$.
∵ $△ AOP≌△ BOP$,
∴ $∠ AOP=∠ BOP=60°$,$∠ APO=∠ BPO=30°$,$PA=PB=2\sqrt{3}$,
∴ $∠ AOP=∠ OCB$,
∴ $OP// BC$,
∴ $S_{△ PCB}=S_{△ OCB}$.
∵ 在$\mathrm{Rt}△ OBP$中,$∠ BPO=30°$,
∴ $OP=2OB$.
∵ $OB^2+PB^2=OP^2$,
∴ $OB^2+(2\sqrt{3})^2=(2OB)^2$,解得$OB=2$(负值舍去).
∴ $S_{阴影部分}=S_{扇形OCB}=\frac{60π×2^2}{360}=\frac{2π}{3}$
【知识点】
切线的性质；全等三角形判定与性质；扇形面积计算
【点评】
本题属于圆的综合类考题，既考查了切线性质、全等三角形证明等基础知识点，又需要学生运用等积转化法求解不规则图形的面积，对图形分析转化能力有一定要求，是圆章节的典型考查题型。
【难度系数】
0.6
（1）要证明$OB⊥PB$，即需证$∠OBP=90°$。已知$PA$是$\odot O$的切线，可得$∠OAP=90°$，连接$OP$后，结合已知条件$PA=PB$、同圆半径相等得$OA=OB$，且$OP$为公共边，可通过SSS证明$△ AOP≌△ BOP$，从而推出$∠OBP=∠OAP=90°$即可得证。
（2）阴影部分为不规则图形，可通过等积转化求解。首先根据四边形内角和求出$∠AOB$的度数，进而得到$∠COB=60°$，可证$△ BOC$是等边三角形；再结合全等三角形的性质证明$OP// BC$，可得$△ PCB$和$△ OCB$同底等高，面积相等，因此阴影面积等价于扇形$OCB$的面积。再通过$Rt△ OBP$的边角关系求出半径$OB$的长度，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：如图，连接$OP$。
∵ $PA$与$\odot O$相切，
∴ $OA⊥ PA$，即$∠ OAP=90°$。
在$△ AOP$ 和$△ BOP$ 中，
$\begin{cases} OA=OB, \\ PA=PB, \\ OP=OP, \end{cases}$
∴ $△ AOP≌△ BOP$（SSS），
∴ $∠ OAP=∠ OBP=90°$，
∴ $OB⊥ PB$。
(2) 解：如图，连接$BC$。
∵ 四边形$AOBP$的内角和为$360°$，$∠ OBP=∠ OAP=90°$，$∠ APB=60°$，
∴ $∠ AOB=360°-90°-90°-60°=120°$，
∴ $∠ COB=180°-120°=60°$。
∵ $OB=OC$（同圆半径相等），
∴ $△ BOC$为等边三角形，
∴ $∠ OCB=60°$。
∵ $△ AOP≌△ BOP$，
∴ $∠ AOP=∠ BOP=60°$，$∠ APO=∠ BPO=30°$，$PA=PB=2\sqrt{3}$，
∴ $∠ AOP=∠ OCB=60°$，
∴ $OP// BC$（同位角相等，两直线平行），
∴ $S_{△ PCB}=S_{△ OCB}$（同底等高的三角形面积相等）。
∵ 在$\mathrm{Rt}△ OBP$中，$∠ BPO=30°$，
∴ $OP=2OB$。
由勾股定理得$OB^2+PB^2=OP^2$，
代入数值：$OB^2+(2\sqrt{3})^2=(2OB)^2$，
解得$OB=2$（负值舍去）。
∴ $S_{阴影部分}=S_{扇形OCB}=\frac{60π×2^2}{360}=\frac{2π}{3}$。
【答案】
11. (1) 如图,连接OP.
∵ PA与$\odot O$相切,
∴ $OA⊥ PA$,
∴ $∠ OAP=90°$.在$△ AOP$ 和$△ BOP$ 中,$\begin{cases} OA=OB, \\ PA=PB, \\ OP=OP, \end{cases}$
∴ $△ AOP≌△ BOP$,
∴ $∠ OAP=∠ OBP=90°$,
∴ $OB⊥ PB$
(2) 如图,连接BC.
∵ 四边形AOBP的内角和为$360°$,$∠ OBP=∠ OAP=90°$,$∠ APB=60°$,
∴ $∠ AOB=120°$,
∴ $∠ COB=180°-120°=60°$.
∵ $OB=OC$,
∴ $△ BOC$为等边三角形,
∴ $∠ OCB=60°$.
∵ $△ AOP≌△ BOP$,
∴ $∠ AOP=∠ BOP=60°$,$∠ APO=∠ BPO=30°$,$PA=PB=2\sqrt{3}$,
∴ $∠ AOP=∠ OCB$,
∴ $OP// BC$,
∴ $S_{△ PCB}=S_{△ OCB}$.
∵ 在$\mathrm{Rt}△ OBP$中,$∠ BPO=30°$,
∴ $OP=2OB$.
∵ $OB^2+PB^2=OP^2$,
∴ $OB^2+(2\sqrt{3})^2=(2OB)^2$,解得$OB=2$(负值舍去).
∴ $S_{阴影部分}=S_{扇形OCB}=\frac{60π×2^2}{360}=\frac{2π}{3}$
【知识点】
切线的性质；全等三角形判定与性质；扇形面积计算
【点评】
本题属于圆的综合类考题，既考查了切线性质、全等三角形证明等基础知识点，又需要学生运用等积转化法求解不规则图形的面积，对图形分析转化能力有一定要求，是圆章节的典型考查题型。
【难度系数】
0.6
