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1 [2025云南]若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为$90°$，母线长为40 cm，则该圆锥的底面圆的半径为（
A.9 cm
B.10 cm
C.11 cm
D.12 cm
B
）A.9 cm
B.10 cm
C.11 cm
D.12 cm
答案
B
解析
【分析】
解题的核心是明确圆锥侧面展开图的对应关系：圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。我们可以先利用弧长公式求出侧面展开扇形的弧长，再结合圆的周长公式建立等式，即可求解底面圆的半径。
【解析】
设该圆锥底面圆的半径为$ r $。
1. 圆锥侧面展开扇形的半径等于母线长，即$ R = 40\ \mathrm{cm} $，扇形圆心角$ n = 90° $。
根据弧长公式，扇形的弧长为：
$ l = \frac{nπ R}{180} = \frac{90π × 40}{180} = 20π\ \mathrm{cm} $
2. 由于扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，底面圆周长$ C = 2π r $，因此可得等式：
$ 2π r = 20π $
两边同时除以$ 2π $，解得$ r = 10\ \mathrm{cm} $。
【答案】
B
【知识点】
圆锥展开图性质、弧长计算、圆的周长计算
【点评】
本题属于圆锥计算的基础题型，重点考查侧面展开图和圆锥各部分的对应等量关系，熟练掌握相关公式就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题的核心是明确圆锥侧面展开图的对应关系：圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。我们可以先利用弧长公式求出侧面展开扇形的弧长，再结合圆的周长公式建立等式，即可求解底面圆的半径。
【解析】
设该圆锥底面圆的半径为$ r $。
1. 圆锥侧面展开扇形的半径等于母线长，即$ R = 40\ \mathrm{cm} $，扇形圆心角$ n = 90° $。
根据弧长公式，扇形的弧长为：
$ l = \frac{nπ R}{180} = \frac{90π × 40}{180} = 20π\ \mathrm{cm} $
2. 由于扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，底面圆周长$ C = 2π r $，因此可得等式：
$ 2π r = 20π $
两边同时除以$ 2π $，解得$ r = 10\ \mathrm{cm} $。
【答案】
B
【知识点】
圆锥展开图性质、弧长计算、圆的周长计算
【点评】
本题属于圆锥计算的基础题型，重点考查侧面展开图和圆锥各部分的对应等量关系，熟练掌握相关公式就能快速解题。
【难度系数】
0.8
2 如图，在$Rt△ ABC$中，$AC=5\ \mathrm{cm}$，$BC=12\ \mathrm{cm}$，$∠ ACB=90°$. 把$Rt△ ABC$沿$BC$所在的直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的侧面积为 （
A.$60π\ \mathrm{cm}^2$
B.$65π\ \mathrm{cm}^2$
C.$120π\ \mathrm{cm}^2$
D.$130π\ \mathrm{cm}^2$
（第2题）
B
）A.$60π\ \mathrm{cm}^2$
B.$65π\ \mathrm{cm}^2$
C.$120π\ \mathrm{cm}^2$
D.$130π\ \mathrm{cm}^2$
（第2题）答案
B
解析
【分析】
首先判断Rt△ABC沿BC所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥，要计算圆锥侧面积，需先明确圆锥的底面半径r和母线长l：绕BC旋转时，垂直于BC的AC为底面半径，三角形的斜边AB为圆锥母线。接下来先用勾股定理求出AB的长度，再代入圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$计算即可得到结果。
【解析】
解：在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$AC=5\ \mathrm{cm}$，$BC=12\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{cm}$，
把$Rt△ABC$沿BC所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥，
该圆锥的底面半径$r=AC=5\ \mathrm{cm}$，母线长$l=AB=13\ \mathrm{cm}$，
根据圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，代入得：
$S_{\mathrm{侧}}=π×5×13=65π\ \mathrm{cm}^2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 圆锥的形成
2. 勾股定理
3. 圆锥侧面积计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是明确旋转后所得圆锥的底面半径、母线长与原直角三角形边长的对应关系，熟记圆锥侧面积计算公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.75
首先判断Rt△ABC沿BC所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥，要计算圆锥侧面积，需先明确圆锥的底面半径r和母线长l：绕BC旋转时，垂直于BC的AC为底面半径，三角形的斜边AB为圆锥母线。接下来先用勾股定理求出AB的长度，再代入圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$计算即可得到结果。
【解析】
解：在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$AC=5\ \mathrm{cm}$，$BC=12\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{cm}$，
把$Rt△ABC$沿BC所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥，
该圆锥的底面半径$r=AC=5\ \mathrm{cm}$，母线长$l=AB=13\ \mathrm{cm}$，
根据圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，代入得：
$S_{\mathrm{侧}}=π×5×13=65π\ \mathrm{cm}^2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 圆锥的形成
2. 勾股定理
3. 圆锥侧面积计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是明确旋转后所得圆锥的底面半径、母线长与原直角三角形边长的对应关系，熟记圆锥侧面积计算公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.75
3 已知一个圆锥的侧面展开图是一个扇形，圆锥的底面半径为2，则扇形的弧长是
$4π$
.答案
$4π$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆圆锥侧面展开图的对应性质：圆锥侧面展开得到的扇形的弧长与圆锥底面圆的周长相等。因此我们只需要根据已知的底面半径求出底面圆的周长，即可得到扇形的弧长。
【解析】
∵ 圆锥侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，
已知圆锥底面半径$r=2$，根据圆的周长公式$C=2π r$，
代入得：$C=2π × 2=4π$，
∴ 扇形的弧长为$4π$。
【答案】
$4π$
【知识点】
圆锥的侧面展开图；圆的周长计算
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是掌握圆锥侧面展开图中扇形弧长和底面周长的等量关系，牢记对应公式即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，首先回忆圆锥侧面展开图的对应性质：圆锥侧面展开得到的扇形的弧长与圆锥底面圆的周长相等。因此我们只需要根据已知的底面半径求出底面圆的周长，即可得到扇形的弧长。
【解析】
∵ 圆锥侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，
已知圆锥底面半径$r=2$，根据圆的周长公式$C=2π r$，
代入得：$C=2π × 2=4π$，
∴ 扇形的弧长为$4π$。
【答案】
$4π$
【知识点】
圆锥的侧面展开图；圆的周长计算
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是掌握圆锥侧面展开图中扇形弧长和底面周长的等量关系，牢记对应公式即可快速作答。
【难度系数】
0.9
4（1）[2025潍坊]如图，圆锥的底面圆心为O，顶点为A，母线l长为4，母线l与高AO的夹角为$30°$，那么圆锥侧面展开图的面积为
（2）[2024徐州]将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为$4π \ \mathrm{cm}^2$，圆心角$θ$为$90°$，圆锥的底面圆的半径为
$8π$
；（2）[2024徐州]将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为$4π \ \mathrm{cm}^2$，圆心角$θ$为$90°$，圆锥的底面圆的半径为
$1$
cm。答案
(1) $8π$ (2) $1$
解析
【分析】
（1）要求圆锥侧面展开图的面积，需用到圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$（$r$是底面圆半径，$l$是母线长）。已知母线长$l=4$，只需先求出底面半径$r$即可。母线、圆锥的高、底面半径恰好构成直角三角形，已知母线与高的夹角为$30°$，根据直角三角形中$30°$角对的直角边等于斜边的一半，可直接求出$r$，再代入公式计算侧面积。
（2）已知圆锥侧面展开扇形的面积和圆心角，首先利用扇形面积公式求出母线长；再根据“侧面展开扇形的弧长=圆锥底面圆的周长”这一对应关系，即可求出底面圆的半径。
【解析】
（1）在由母线$l$、高$AO$、底面半径$r$构成的直角三角形中，$30°$角对的直角边为底面半径$r$，斜边为母线长4，因此：
$r = \frac{1}{2} × 4 = 2$
代入圆锥侧面积公式：
$S_{\mathrm{侧}} = π r l = π × 2 × 4 = 8π$
（2）设圆锥母线长为$R$，底面圆半径为$r$。
第一步，根据扇形面积公式$S=\frac{n}{360°}π R^2$（$n$为圆心角度数），代入$S=4π$，$n=90°$：
$4π = \frac{90°}{360°}π R^2$
化简得：$4π = \frac{1}{4}π R^2$，两边同时除以$π$得$R^2=16$，解得$R=4$（长度取正值）。
第二步，侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，弧长公式为$l_{\mathrm{弧}}=\frac{n}{180°}π R$，底面周长为$2π r$，因此：
$\frac{90°}{180°}π × 4 = 2π r$
化简左边得$2π = 2π r$，解得$r=1$。
【答案】
(1) $8π$；(2) $1$
【知识点】
圆锥侧面积计算，圆锥展开图性质，扇形相关计算
【点评】
这两道题是圆锥相关的基础题型，核心考察圆锥和其侧面展开扇形之间的量的对应关系，熟练掌握相关公式及对应转换规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
（1）要求圆锥侧面展开图的面积，需用到圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$（$r$是底面圆半径，$l$是母线长）。已知母线长$l=4$，只需先求出底面半径$r$即可。母线、圆锥的高、底面半径恰好构成直角三角形，已知母线与高的夹角为$30°$，根据直角三角形中$30°$角对的直角边等于斜边的一半，可直接求出$r$，再代入公式计算侧面积。
（2）已知圆锥侧面展开扇形的面积和圆心角，首先利用扇形面积公式求出母线长；再根据“侧面展开扇形的弧长=圆锥底面圆的周长”这一对应关系，即可求出底面圆的半径。
【解析】
（1）在由母线$l$、高$AO$、底面半径$r$构成的直角三角形中，$30°$角对的直角边为底面半径$r$，斜边为母线长4，因此：
$r = \frac{1}{2} × 4 = 2$
代入圆锥侧面积公式：
$S_{\mathrm{侧}} = π r l = π × 2 × 4 = 8π$
（2）设圆锥母线长为$R$，底面圆半径为$r$。
第一步，根据扇形面积公式$S=\frac{n}{360°}π R^2$（$n$为圆心角度数），代入$S=4π$，$n=90°$：
$4π = \frac{90°}{360°}π R^2$
化简得：$4π = \frac{1}{4}π R^2$，两边同时除以$π$得$R^2=16$，解得$R=4$（长度取正值）。
第二步，侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，弧长公式为$l_{\mathrm{弧}}=\frac{n}{180°}π R$，底面周长为$2π r$，因此：
$\frac{90°}{180°}π × 4 = 2π r$
化简左边得$2π = 2π r$，解得$r=1$。
【答案】
(1) $8π$；(2) $1$
【知识点】
圆锥侧面积计算，圆锥展开图性质，扇形相关计算
【点评】
这两道题是圆锥相关的基础题型，核心考察圆锥和其侧面展开扇形之间的量的对应关系，熟练掌握相关公式及对应转换规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5 [2024宿迁期末]如图,在直径为2 dm的圆形纸片⊙O上裁剪出圆心角为90°的扇形CAB.
（1）求涂色部分的面积；
（2）用裁剪出的扇形纸片CAB围成一个圆锥的侧面,求该圆锥底面圆的半径.
（1）求涂色部分的面积；
（2）用裁剪出的扇形纸片CAB围成一个圆锥的侧面,求该圆锥底面圆的半径.
答案
(1) 如图,连接AB,OC. $\because ∠ ACB=90°,\therefore AB$ 是$\odot O$ 的直径,
$\therefore A,O,B$ 三点共线,$\therefore OB=OC=OA$. 又$\because AC=BC,\therefore AO⊥ OC$.
$\because \odot O$ 的直径为 2 dm, $\therefore$ 易得 $AC=BC=\sqrt{2}\ \mathrm{dm},\therefore S_{\mathrm{扇形}CAB}=\frac{90π× (\sqrt{2})^2}{360}=\frac{1}{2}π(\mathrm{dm}^2),\therefore S_{\mathrm{涂色}}=π× 1^2-\frac{1}{2}π=\frac{1}{2}π(\mathrm{dm}^2)$
(2) 在扇形 $CAB$ 中,$\overset{\frown}{AB}$ 的长为$\frac{90π× \sqrt{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}π}{2}\ \mathrm{dm}$. 设该圆锥底面圆的半径为 $R\ \mathrm{dm}$,则 $2π R=\frac{\sqrt{2}π}{2}$,解得 $R=\frac{\sqrt{2}}{4}$,$\therefore$ 该圆锥底面圆的半径是$\frac{\sqrt{2}}{4}\ \mathrm{dm}$
解析
【分析】
（1）求解涂色部分面积可采用整体减空白的思路：涂色部分面积 = ⊙O的面积 - 扇形CAB的面积。首先根据圆周角定理，90°的圆周角所对的弦为直径，可确定AB是⊙O的直径，长度为2dm；再由△ACB为等腰直角三角形，算出扇形的半径AC的长度，分别计算圆面积和扇形面积后作差即可得到结果。
（2）圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，先计算扇形CAB中弧AB的长度，再结合圆的周长公式列方程，即可求出圆锥底面圆的半径。
【解析】
(1) 连接AB，OC。
∵ ∠ACB=90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，可得AB是⊙O的直径，
∴ A、O、B三点共线，$OB=OC=OA=1\ \mathrm{dm}$。
又
∵ $AC=BC$，
∴ $CO⊥AB$，
在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，由勾股定理得$AC=\sqrt{OA^2+OC^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$，
扇形CAB的面积：$S_{\mathrm{扇形}CAB}=\frac{90π× (\sqrt{2})^2}{360}=\frac{1}{2}π(\mathrm{dm}^2)$，
⊙O的面积：$S_{\odot O}=π× 1^2=π(\mathrm{dm}^2)$，
因此涂色部分面积：$S_{\mathrm{涂色}}=S_{\odot O}-S_{\mathrm{扇形}CAB}=π-\frac{1}{2}π=\frac{1}{2}π(\mathrm{dm}^2)$。
(2) 先计算扇形CAB中$\overset{\frown}{AB}$的长度：$l_{\overset{\frown}{AB}}=\frac{90π× \sqrt{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}π}{2}\ \mathrm{dm}$。
设该圆锥底面圆的半径为$R\ \mathrm{dm}$，
∵ 圆锥底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长，
∴ $2π R=\frac{\sqrt{2}π}{2}$，
解得 $R=\frac{\sqrt{2}}{4}$。
【答案】
(1) 涂色部分的面积为$\frac{1}{2}π\ \mathrm{dm}^2$；
(2) 该圆锥底面圆的半径是$\frac{\sqrt{2}}{4}\ \mathrm{dm}$。
【知识点】
圆周角定理，扇形弧长与面积计算，圆锥侧面展开图性质
【点评】
本题属于圆与圆锥的综合基础题，解题的关键是明确两类等量关系：一是90°圆周角对应直径，以此确定扇形的半径；二是圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，计算时要注意公式的正确代入，避免混淆各边长的对应关系。
【难度系数】
0.7
（1）求解涂色部分面积可采用整体减空白的思路：涂色部分面积 = ⊙O的面积 - 扇形CAB的面积。首先根据圆周角定理，90°的圆周角所对的弦为直径，可确定AB是⊙O的直径，长度为2dm；再由△ACB为等腰直角三角形，算出扇形的半径AC的长度，分别计算圆面积和扇形面积后作差即可得到结果。
（2）圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，先计算扇形CAB中弧AB的长度，再结合圆的周长公式列方程，即可求出圆锥底面圆的半径。
【解析】
(1) 连接AB，OC。
∵ ∠ACB=90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，可得AB是⊙O的直径，
∴ A、O、B三点共线，$OB=OC=OA=1\ \mathrm{dm}$。
又
∵ $AC=BC$，
∴ $CO⊥AB$，
在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，由勾股定理得$AC=\sqrt{OA^2+OC^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$，
扇形CAB的面积：$S_{\mathrm{扇形}CAB}=\frac{90π× (\sqrt{2})^2}{360}=\frac{1}{2}π(\mathrm{dm}^2)$，
⊙O的面积：$S_{\odot O}=π× 1^2=π(\mathrm{dm}^2)$，
因此涂色部分面积：$S_{\mathrm{涂色}}=S_{\odot O}-S_{\mathrm{扇形}CAB}=π-\frac{1}{2}π=\frac{1}{2}π(\mathrm{dm}^2)$。
(2) 先计算扇形CAB中$\overset{\frown}{AB}$的长度：$l_{\overset{\frown}{AB}}=\frac{90π× \sqrt{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}π}{2}\ \mathrm{dm}$。
设该圆锥底面圆的半径为$R\ \mathrm{dm}$，
∵ 圆锥底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长，
∴ $2π R=\frac{\sqrt{2}π}{2}$，
解得 $R=\frac{\sqrt{2}}{4}$。
【答案】
(1) 涂色部分的面积为$\frac{1}{2}π\ \mathrm{dm}^2$；
(2) 该圆锥底面圆的半径是$\frac{\sqrt{2}}{4}\ \mathrm{dm}$。
【知识点】
圆周角定理，扇形弧长与面积计算，圆锥侧面展开图性质
【点评】
本题属于圆与圆锥的综合基础题，解题的关键是明确两类等量关系：一是90°圆周角对应直径，以此确定扇形的半径；二是圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，计算时要注意公式的正确代入，避免混淆各边长的对应关系。
【难度系数】
0.7
6 [2025宿城二模]要从一张圆形纸片上剪出一个小圆形和一个扇形分别作为圆锥的底面和侧面，其中小圆的直径是大圆的半径，则下列剪法恰好能配成一个圆锥的是（
D
）答案
D
解析
【分析】
要判断哪种剪法能恰好配成圆锥，核心依据是：圆锥侧面展开得到的扇形的弧长，必须等于圆锥底面小圆的周长。我们可以先设大圆半径为R，结合已知条件先算出小圆周长，再根据扇形弧长公式列等量关系，求出对应扇形的圆心角，再匹配选项即可。
【解析】
设大圆的半径为$ R $，由题意得小圆的直径等于大圆半径，因此小圆的半径$ r=\frac{R}{2} $。
1. 计算圆锥底面小圆的周长：
$ C_{\mathrm{底}}=2π r=2π×\frac{R}{2}=π R $
2. 圆锥侧面扇形的半径等于大圆半径$ R $，设扇形圆心角为$ n° $，根据扇形弧长公式，扇形弧长$ l=\frac{nπ R}{180} $。
3. 要配成圆锥，需满足扇形弧长=底面小圆周长，列等式：
$ \frac{nπ R}{180}=π R $
约去$ π R $（$ R≠0 $），解得$ n=180 $，即扇形圆心角为$ 180° $，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
圆锥的计算，弧长的计算
【点评】
本题考查圆锥与侧面展开扇形的对应关系，解题关键是牢记“扇形弧长等于圆锥底面周长”这一核心等量关系，计算时要注意区分扇形半径（即圆锥母线长）和圆锥底面半径，避免代入公式时混淆。
【难度系数】
0.7
要判断哪种剪法能恰好配成圆锥，核心依据是：圆锥侧面展开得到的扇形的弧长，必须等于圆锥底面小圆的周长。我们可以先设大圆半径为R，结合已知条件先算出小圆周长，再根据扇形弧长公式列等量关系，求出对应扇形的圆心角，再匹配选项即可。
【解析】
设大圆的半径为$ R $，由题意得小圆的直径等于大圆半径，因此小圆的半径$ r=\frac{R}{2} $。
1. 计算圆锥底面小圆的周长：
$ C_{\mathrm{底}}=2π r=2π×\frac{R}{2}=π R $
2. 圆锥侧面扇形的半径等于大圆半径$ R $，设扇形圆心角为$ n° $，根据扇形弧长公式，扇形弧长$ l=\frac{nπ R}{180} $。
3. 要配成圆锥，需满足扇形弧长=底面小圆周长，列等式：
$ \frac{nπ R}{180}=π R $
约去$ π R $（$ R≠0 $），解得$ n=180 $，即扇形圆心角为$ 180° $，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
圆锥的计算，弧长的计算
【点评】
本题考查圆锥与侧面展开扇形的对应关系，解题关键是牢记“扇形弧长等于圆锥底面周长”这一核心等量关系，计算时要注意区分扇形半径（即圆锥母线长）和圆锥底面半径，避免代入公式时混淆。
【难度系数】
0.7
