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7 新情境 生活实际 某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽。该圆锥的底面圆的周长为$20π$ cm，母线长为30 cm。为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从底面圆周上的点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（
A.30 cm
B.$30\sqrt{3}$ cm
C.60 cm
D.$20π$ cm
B
）A.30 cm
B.$30\sqrt{3}$ cm
C.60 cm
D.$20π$ cm
答案
B
解析
【分析】
解决圆锥侧面绕一周的最短路径问题，核心采用“化曲为平”的思路：①首先将圆锥侧面展开为平面扇形，把曲面路径转化为平面内的路径问题，利用“两点之间线段最短”确定最短路径是展开图中两个对应点的连线；②先根据圆锥底面周长等于展开扇形的弧长，计算扇形的圆心角；③最后结合扇形的半径（即圆锥母线长），利用等腰三角形的性质求线段长度即可。
【解析】
设圆锥侧面展开图的扇形圆心角为$n°$：
1. 求扇形圆心角：
圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，已知底面周长为$20π\ \mathrm{cm}$，母线长（即扇形半径）$R=30\ \mathrm{cm}$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，代入得：
$20π=\frac{nπ×30}{180}$
约去$π$后解得$n=120$，即扇形圆心角为$120°$。
2. 求最短彩带长度：
将圆锥侧面展开后，底面点$A$对应扇形上的两个端点$A$、$A'$，最短彩带长度即为线段$AA'$的长度。
过扇形圆心$O$作$OM⊥ AA'$于点$M$，因为$OA=OA'=30\ \mathrm{cm}$，$∠ AOA'=120°$，由等腰三角形三线合一可得$∠ AOM=60°$，$AA'=2AM$。
在$Rt△ AOM$中，$AM=OA·\sin60°=30×\frac{\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，因此$AA'=2×15\sqrt{3}=30\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
圆锥的侧面展开图；弧长公式；最短路径计算
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题关键是掌握“化曲为平”的转化思想，能准确建立圆锥参数和侧面展开扇形参数的对应关系，再结合解三角形的知识计算线段长度。
【难度系数】
0.6
解决圆锥侧面绕一周的最短路径问题，核心采用“化曲为平”的思路：①首先将圆锥侧面展开为平面扇形，把曲面路径转化为平面内的路径问题，利用“两点之间线段最短”确定最短路径是展开图中两个对应点的连线；②先根据圆锥底面周长等于展开扇形的弧长，计算扇形的圆心角；③最后结合扇形的半径（即圆锥母线长），利用等腰三角形的性质求线段长度即可。
【解析】
设圆锥侧面展开图的扇形圆心角为$n°$：
1. 求扇形圆心角：
圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，已知底面周长为$20π\ \mathrm{cm}$，母线长（即扇形半径）$R=30\ \mathrm{cm}$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，代入得：
$20π=\frac{nπ×30}{180}$
约去$π$后解得$n=120$，即扇形圆心角为$120°$。
2. 求最短彩带长度：
将圆锥侧面展开后，底面点$A$对应扇形上的两个端点$A$、$A'$，最短彩带长度即为线段$AA'$的长度。
过扇形圆心$O$作$OM⊥ AA'$于点$M$，因为$OA=OA'=30\ \mathrm{cm}$，$∠ AOA'=120°$，由等腰三角形三线合一可得$∠ AOM=60°$，$AA'=2AM$。
在$Rt△ AOM$中，$AM=OA·\sin60°=30×\frac{\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，因此$AA'=2×15\sqrt{3}=30\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
圆锥的侧面展开图；弧长公式；最短路径计算
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题关键是掌握“化曲为平”的转化思想，能准确建立圆锥参数和侧面展开扇形参数的对应关系，再结合解三角形的知识计算线段长度。
【难度系数】
0.6
8 如图所示为一个几何体的三视图,则这个几何体的表面积是 （
A.$39π$
B.$45π$
C.$48π$
D.$54π$
B
）A.$39π$
B.$45π$
C.$48π$
D.$54π$
答案
B
解析
【分析】
首先根据三视图判断该几何体是由上方的圆锥和下方的圆柱组合而成，计算组合体表面积时需注意：圆锥底面与圆柱上底面重合，这部分面积不计入总表面积，因此总表面积=圆锥侧面积+圆柱侧面积+圆柱下底面面积。接下来先根据三视图标注的尺寸确定各参数：圆柱底面直径为6，可得半径r=3；圆锥母线长l=4，圆柱的高h=4，再分别代入对应面积公式计算求和即可。
【解析】
解：由三视图可知，该几何体是圆锥与圆柱的组合体，
底面半径$ r = 6÷2 = 3 $，圆锥母线长$ l=4 $，圆柱的高$ h=4 $。
1. 计算圆锥侧面积：$ S_{\mathrm{圆锥侧}} = π r l = π × 3 × 4 = 12π $
2. 计算圆柱侧面积：$ S_{\mathrm{圆柱侧}} = 2π r h = 2π × 3 × 4 = 24π $
3. 计算圆柱下底面积：$ S_{\mathrm{圆柱底}} = π r^2 = π × 3^2 = 9π $
总表面积$ S = S_{\mathrm{圆锥侧}} + S_{\mathrm{圆柱侧}} + S_{\mathrm{圆柱底}} = 12π + 24π + 9π = 45π $
【答案】
B
【知识点】
三视图识别几何体；圆锥侧面积计算；圆柱表面积计算
【点评】
本题考查组合体表面积的求解，解题的关键是准确根据三视图还原几何体，明确各部分的尺寸，同时注意组合体重合的面不需要计入表面积，避免多算或漏算面积导致错误。
【难度系数】
0.7
首先根据三视图判断该几何体是由上方的圆锥和下方的圆柱组合而成，计算组合体表面积时需注意：圆锥底面与圆柱上底面重合，这部分面积不计入总表面积，因此总表面积=圆锥侧面积+圆柱侧面积+圆柱下底面面积。接下来先根据三视图标注的尺寸确定各参数：圆柱底面直径为6，可得半径r=3；圆锥母线长l=4，圆柱的高h=4，再分别代入对应面积公式计算求和即可。
【解析】
解：由三视图可知，该几何体是圆锥与圆柱的组合体，
底面半径$ r = 6÷2 = 3 $，圆锥母线长$ l=4 $，圆柱的高$ h=4 $。
1. 计算圆锥侧面积：$ S_{\mathrm{圆锥侧}} = π r l = π × 3 × 4 = 12π $
2. 计算圆柱侧面积：$ S_{\mathrm{圆柱侧}} = 2π r h = 2π × 3 × 4 = 24π $
3. 计算圆柱下底面积：$ S_{\mathrm{圆柱底}} = π r^2 = π × 3^2 = 9π $
总表面积$ S = S_{\mathrm{圆锥侧}} + S_{\mathrm{圆柱侧}} + S_{\mathrm{圆柱底}} = 12π + 24π + 9π = 45π $
【答案】
B
【知识点】
三视图识别几何体；圆锥侧面积计算；圆柱表面积计算
【点评】
本题考查组合体表面积的求解，解题的关键是准确根据三视图还原几何体，明确各部分的尺寸，同时注意组合体重合的面不需要计入表面积，避免多算或漏算面积导致错误。
【难度系数】
0.7
9 如图，小珍同学用半径为8 cm、圆心角为100°的扇形纸片，制作一个底面圆的半径为2 cm的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是
$\frac{16π}{9}$
cm²。答案
$\frac{16π}{9}$
解析
【分析】
要计算圆锥上粘贴部分的面积，首先明确粘贴部分是原扇形比围成圆锥实际所需扇形多出来的部分，因此解题思路为：①先根据圆锥底面周长等于其侧面展开图的弧长，算出围成圆锥需要的扇形圆心角；②计算原扇形圆心角与实际所需圆心角的差值，该差值对应的扇形面积就是粘贴部分的面积；③结合扇形面积公式计算即可。
【解析】
第一步：计算圆锥底面周长，即围成圆锥所需扇形的弧长：
已知圆锥底面半径$r=2\ \mathrm{cm}$，底面周长$C=2πr=2π×2=4π\ \mathrm{cm}$。
第二步：求围成圆锥所需扇形的圆心角：
设所需圆心角为$n°$，扇形半径$R=8\ \mathrm{cm}$，根据弧长公式$l=\frac{nπR}{180}$，代入$l=4π$得：
$4π=\frac{nπ×8}{180}$
约去$π$后解得：$n=\frac{4×180}{8}=90$
第三步：计算粘贴部分对应的圆心角：
原扇形圆心角为$100°$，因此多余的圆心角度数为$100°-90°=10°$。
第四步：计算粘贴部分的面积，即圆心角为$10°$、半径为$8\ \mathrm{cm}$的扇形面积：
根据扇形面积公式$S=\frac{θπR^2}{360}$（$θ$为圆心角度数），代入$θ=10$，$R=8$得：
$S=\frac{10×π×8^2}{360}=\frac{640π}{360}=\frac{16π}{9}\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$\frac{16π}{9}$
【知识点】
弧长计算、扇形面积计算、圆锥侧面展开图性质
【点评】
本题需要理清扇形和圆锥的对应关系，核心是抓住圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长这一关键等量关系，再结合扇形相关公式求解，能较好地考查对几何体展开图的理解和公式应用能力。
【难度系数】
0.7
要计算圆锥上粘贴部分的面积，首先明确粘贴部分是原扇形比围成圆锥实际所需扇形多出来的部分，因此解题思路为：①先根据圆锥底面周长等于其侧面展开图的弧长，算出围成圆锥需要的扇形圆心角；②计算原扇形圆心角与实际所需圆心角的差值，该差值对应的扇形面积就是粘贴部分的面积；③结合扇形面积公式计算即可。
【解析】
第一步：计算圆锥底面周长，即围成圆锥所需扇形的弧长：
已知圆锥底面半径$r=2\ \mathrm{cm}$，底面周长$C=2πr=2π×2=4π\ \mathrm{cm}$。
第二步：求围成圆锥所需扇形的圆心角：
设所需圆心角为$n°$，扇形半径$R=8\ \mathrm{cm}$，根据弧长公式$l=\frac{nπR}{180}$，代入$l=4π$得：
$4π=\frac{nπ×8}{180}$
约去$π$后解得：$n=\frac{4×180}{8}=90$
第三步：计算粘贴部分对应的圆心角：
原扇形圆心角为$100°$，因此多余的圆心角度数为$100°-90°=10°$。
第四步：计算粘贴部分的面积，即圆心角为$10°$、半径为$8\ \mathrm{cm}$的扇形面积：
根据扇形面积公式$S=\frac{θπR^2}{360}$（$θ$为圆心角度数），代入$θ=10$，$R=8$得：
$S=\frac{10×π×8^2}{360}=\frac{640π}{360}=\frac{16π}{9}\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$\frac{16π}{9}$
【知识点】
弧长计算、扇形面积计算、圆锥侧面展开图性质
【点评】
本题需要理清扇形和圆锥的对应关系，核心是抓住圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长这一关键等量关系，再结合扇形相关公式求解，能较好地考查对几何体展开图的理解和公式应用能力。
【难度系数】
0.7
10 如图，$\odot O$的半径$OA=3$，$OA$的垂直平分线交$\odot O$于$B$，$C$两点，连接$OB$，$OC$。若用扇形$OBC$围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为
$2\sqrt{2}$或$\sqrt{5}$
。答案
$2\sqrt{2}$或$\sqrt{5}$
【解析】连接AB.$\because BC$ 垂直平分$OA$,$\therefore OB=AB$.
$\because OB = OA$,$\therefore OB = AB = OA$,$\therefore △ OBA$ 是等边三角形,
$\therefore ∠ BOA=60°$. 同理,可得$∠ AOC=60°$,$\therefore ∠ BOC=120°$,$360°-120°=240°$. 设圆锥底面圆的半径为 $r$,则 $2π r=\frac{120π× 3}{180}$ 或 $2π r=\frac{240π× 3}{180}$,解得 $r=1$ 或 $2$,$\therefore$ 围成的圆锥的底面圆的半径为 1 或 2,
$\therefore$ 这个圆锥的高为 $\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$ 或 $\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$.
【解析】连接AB.$\because BC$ 垂直平分$OA$,$\therefore OB=AB$.
$\because OB = OA$,$\therefore OB = AB = OA$,$\therefore △ OBA$ 是等边三角形,
$\therefore ∠ BOA=60°$. 同理,可得$∠ AOC=60°$,$\therefore ∠ BOC=120°$,$360°-120°=240°$. 设圆锥底面圆的半径为 $r$,则 $2π r=\frac{120π× 3}{180}$ 或 $2π r=\frac{240π× 3}{180}$,解得 $r=1$ 或 $2$,$\therefore$ 围成的圆锥的底面圆的半径为 1 或 2,
$\therefore$ 这个圆锥的高为 $\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$ 或 $\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$.
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先利用线段垂直平分线的性质得到OB=AB，结合圆的半径相等可知OB=OA=AB，判定△OBA是等边三角形，进而求出∠BOC的度数，此处要注意扇形OBC包含劣弧BOC和优弧BOC两种情况，对应圆心角为120°和240°；第二步，根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，分别列方程求出两种情况下圆锥底面圆的半径；第三步，圆锥的母线长为扇形的半径即3，结合勾股定理即可求出对应圆锥的高。
【解析】
连接AB，
∵BC垂直平分OA，
∴OB=AB，
又
∵OB、OA都是⊙O的半径，
∴OB=OA=3，
∴OB=AB=OA，即△OBA是等边三角形，
∴∠BOA=60°，同理可得∠AOC=60°，
∴∠BOC=∠BOA+∠AOC=120°，对应的优弧BOC的圆心角为360°-120°=240°。
设圆锥底面圆的半径为r，
当扇形圆心角为120°时，圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长，即$2π r=\frac{120π×3}{180}$，解得$r=1$；
当扇形圆心角为240°时，同理得$2π r=\frac{240π×3}{180}$，解得$r=2$。
圆锥的母线长为扇形半径3，根据勾股定理，圆锥的高为$\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$或$\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$或$\sqrt{5}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质、圆锥侧面展开图的性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质、圆锥的相关计算，解题时要注意扇形围成圆锥存在两种情况，需分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.5
解题思路如下：第一步，先利用线段垂直平分线的性质得到OB=AB，结合圆的半径相等可知OB=OA=AB，判定△OBA是等边三角形，进而求出∠BOC的度数，此处要注意扇形OBC包含劣弧BOC和优弧BOC两种情况，对应圆心角为120°和240°；第二步，根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，分别列方程求出两种情况下圆锥底面圆的半径；第三步，圆锥的母线长为扇形的半径即3，结合勾股定理即可求出对应圆锥的高。
【解析】
连接AB，
∵BC垂直平分OA，
∴OB=AB，
又
∵OB、OA都是⊙O的半径，
∴OB=OA=3，
∴OB=AB=OA，即△OBA是等边三角形，
∴∠BOA=60°，同理可得∠AOC=60°，
∴∠BOC=∠BOA+∠AOC=120°，对应的优弧BOC的圆心角为360°-120°=240°。
设圆锥底面圆的半径为r，
当扇形圆心角为120°时，圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长，即$2π r=\frac{120π×3}{180}$，解得$r=1$；
当扇形圆心角为240°时，同理得$2π r=\frac{240π×3}{180}$，解得$r=2$。
圆锥的母线长为扇形半径3，根据勾股定理，圆锥的高为$\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$或$\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$或$\sqrt{5}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质、圆锥侧面展开图的性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质、圆锥的相关计算，解题时要注意扇形围成圆锥存在两种情况，需分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.5
11 如图①,某种食品的外包装可以视为圆锥,它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1:2.制作这种外包装需要用如图②所示的等腰三角形材料,其中AB=AC,AD⊥BC.将扇形AEF围成圆锥的侧面时,AE,AF恰好重合.
(1) 求这种加工材料的顶角∠BAC的度数;
(2) 若圆锥底面圆的直径ED为5 cm,求加工材料剩余部分(图②中涂色部分)的面积(结果保留π).
(1) 求这种加工材料的顶角∠BAC的度数;
(2) 若圆锥底面圆的直径ED为5 cm,求加工材料剩余部分(图②中涂色部分)的面积(结果保留π).
答案
(1) 设$∠ BAC=α$.根据题意,得$\overset{\frown}{EF}$ 的长就是圆锥底面圆的周长,
$\therefore \frac{α}{180°}× π× AD=ED× π$. 又$\because AD=2ED$,$\therefore α=90°$,即$∠ BAC=90°$
(2) $\because$ 圆锥底面圆的直径 $ED$ 为 5 cm,$\therefore AD=2ED=10\ \mathrm{cm}$.
$\because ∠ BAC=90°$,$AB=AC$,$\therefore △ ABC$ 是等腰直角三角形. $\because AD⊥ BC$,$\therefore$ 易得 $BC=2AD=20\ \mathrm{cm}$,$\therefore S_{\mathrm{涂色}}=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}AEF}=\frac{1}{2}BC· AD-\frac{90π× AD^2}{360}=\frac{1}{2}× 20× 10-\frac{90π× 10^2}{360}=(100-25π)\mathrm{cm}^2$
$\therefore \frac{α}{180°}× π× AD=ED× π$. 又$\because AD=2ED$,$\therefore α=90°$,即$∠ BAC=90°$
(2) $\because$ 圆锥底面圆的直径 $ED$ 为 5 cm,$\therefore AD=2ED=10\ \mathrm{cm}$.
$\because ∠ BAC=90°$,$AB=AC$,$\therefore △ ABC$ 是等腰直角三角形. $\because AD⊥ BC$,$\therefore$ 易得 $BC=2AD=20\ \mathrm{cm}$,$\therefore S_{\mathrm{涂色}}=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}AEF}=\frac{1}{2}BC· AD-\frac{90π× AD^2}{360}=\frac{1}{2}× 20× 10-\frac{90π× 10^2}{360}=(100-25π)\mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
(1) 要求顶角∠BAC的度数，需利用圆锥侧面展开图的核心性质：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。已知底面直径ED与母线AD的比为1:2，设∠BAC为α，分别表示出扇形AEF的弧长和圆锥底面周长，建立等式即可求出α的度数。
(2) 涂色部分属于不规则图形，可通过割补法求解，即涂色部分面积等于等腰△ABC的面积减去扇形AEF的面积。先根据ED的长度求出母线AD的长，结合(1)中得到的∠BAC=90°，利用等腰直角三角形的性质求出BC的长度，分别计算三角形面积和扇形面积，作差即可得到剩余部分的面积。
【解析】
(1) 设$∠ BAC=α$，由题意可知，扇形AEF的弧长等于圆锥底面圆的周长。
根据弧长公式，弧$\overset{\frown}{EF}$的长为$\frac{α}{180°} × π × AD$，圆锥底面圆的周长为$π × ED$，因此可得等式：
$\frac{α}{180°} × π × AD = π × ED$
又已知$AD=2ED$，代入上式约去公共项后解得$α=90°$，即$∠ BAC=90°$。
(2) 已知圆锥底面圆直径$ED=5\ \mathrm{cm}$，因此$AD=2ED=2×5=10\ \mathrm{cm}$。
因为$AB=AC$，$∠ BAC=90°$，所以$△ ABC$是等腰直角三角形，又$AD⊥ BC$，可得$BC=2AD=2×10=20\ \mathrm{cm}$。
涂色部分面积为$△ ABC$面积与扇形AEF面积的差：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{涂色}}&=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}AEF}\\&=\frac{1}{2} × BC × AD - \frac{90° × π × AD^2}{360°}\\&=\frac{1}{2}×20×10 - \frac{90π × 10^2}{360}\\&=100-25π\end{aligned}$
即涂色部分面积为$(100-25π)\mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $∠ BAC=90°$
(2) $\boxed{(100-25π)\mathrm{cm}^2}$
【知识点】
圆锥侧面展开图性质、弧长计算、扇形面积计算
【点评】
本题考查圆锥与平面展开图的对应关系，解题核心是掌握圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，不规则图形面积常通过割补法转化为规则图形面积的和差，是几何部分的常见题型。
【难度系数】
0.6
(1) 要求顶角∠BAC的度数，需利用圆锥侧面展开图的核心性质：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。已知底面直径ED与母线AD的比为1:2，设∠BAC为α，分别表示出扇形AEF的弧长和圆锥底面周长，建立等式即可求出α的度数。
(2) 涂色部分属于不规则图形，可通过割补法求解，即涂色部分面积等于等腰△ABC的面积减去扇形AEF的面积。先根据ED的长度求出母线AD的长，结合(1)中得到的∠BAC=90°，利用等腰直角三角形的性质求出BC的长度，分别计算三角形面积和扇形面积，作差即可得到剩余部分的面积。
【解析】
(1) 设$∠ BAC=α$，由题意可知，扇形AEF的弧长等于圆锥底面圆的周长。
根据弧长公式，弧$\overset{\frown}{EF}$的长为$\frac{α}{180°} × π × AD$，圆锥底面圆的周长为$π × ED$，因此可得等式：
$\frac{α}{180°} × π × AD = π × ED$
又已知$AD=2ED$，代入上式约去公共项后解得$α=90°$，即$∠ BAC=90°$。
(2) 已知圆锥底面圆直径$ED=5\ \mathrm{cm}$，因此$AD=2ED=2×5=10\ \mathrm{cm}$。
因为$AB=AC$，$∠ BAC=90°$，所以$△ ABC$是等腰直角三角形，又$AD⊥ BC$，可得$BC=2AD=2×10=20\ \mathrm{cm}$。
涂色部分面积为$△ ABC$面积与扇形AEF面积的差：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{涂色}}&=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}AEF}\\&=\frac{1}{2} × BC × AD - \frac{90° × π × AD^2}{360°}\\&=\frac{1}{2}×20×10 - \frac{90π × 10^2}{360}\\&=100-25π\end{aligned}$
即涂色部分面积为$(100-25π)\mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $∠ BAC=90°$
(2) $\boxed{(100-25π)\mathrm{cm}^2}$
【知识点】
圆锥侧面展开图性质、弧长计算、扇形面积计算
【点评】
本题考查圆锥与平面展开图的对应关系，解题核心是掌握圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，不规则图形面积常通过割补法转化为规则图形面积的和差，是几何部分的常见题型。
【难度系数】
0.6
12 新情境 游戏活动 如图，有一圆锥形粮堆，其经过轴的截面是边长为6 m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食。此时小猫正在点B处，它要沿圆锥侧面到达点P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是多少？
答案
设圆锥底面圆的半径为 $r$ m,母线长为 $l$ m,展开后圆心角的度数为 $n°$,则底面圆的周长为 $2π r$ m,侧面展开图的弧长为 $\frac{nπ l}{180}$ m. $\therefore 2π r=\frac{nπ l}{180}$. 如图①,$\because$ 轴截面$△ ABC$ 为等边三角形,$\therefore AB=BC$,即 $l=2r=6$,$\therefore r=3$,$\therefore 2π× 3=\frac{nπ× 6}{180}$,$\therefore n=180$,其侧面展开图如图②所示,则$△ ABP$ 为直角三角形,$BP$ 为最短路线,$AP=3\ \mathrm{m}$.在$\mathrm{Rt}△ ABP$ 中,$BP=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}(\mathrm{m}).\ \therefore$ 小猫所经过的最短路程是 $3\sqrt{5}\ \mathrm{m}$
解析
【分析】
要计算圆锥侧面上两点的最短路程，核心思路是将立体的圆锥侧面展开为平面图形，利用“两点之间，线段最短”确定最短路径为展开图中两点的连线段长。首先根据轴截面是正三角形的条件，得到圆锥的母线长和底面半径；再利用圆锥底面周长等于侧面展开图的弧长，计算出展开图的圆心角度数，确定展开图的形状；最后找到B、P两点在展开图中的对应位置，结合几何性质用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
设圆锥底面圆的半径为$r$ m，母线长为$l$ m，侧面展开图圆心角的度数为$n°$。
圆锥底面圆的周长等于侧面展开图的弧长，因此有等式：$2π r=\frac{nπ l}{180}$。
已知轴截面$△ABC$是边长为6m的等边三角形，因此母线长$l=AB=AC=6\ \mathrm{m}$，底面直径$BC=6\ \mathrm{m}$，即$2r=6$，得$r=3\ \mathrm{m}$。
将$l=6$，$r=3$代入弧长等式：$2π×3=\frac{nπ×6}{180}$，解得$n=180$，即圆锥侧面展开图是圆心角为180°的半圆，如图②所示。
在展开图中，A为半圆的圆心，B为半圆直径的一个端点，AC为垂直于直径的半径，P是AC的中点，因此$AP=\frac{1}{2}AC=3\ \mathrm{m}$，且$∠BAP=90°$，线段BP即为小猫走的最短路程。
在$\mathrm{Rt}△ABP$中，由勾股定理得：$BP=\sqrt{AB^2+AP^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}\ (\mathrm{m})$。
【答案】
小猫所经过的最短路程是$3\sqrt{5}\ \mathrm{m}$
【知识点】
圆锥侧面展开图，弧长计算，勾股定理
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的典型应用，解题的关键是合理将立体图形展开为平面图形，将空间最短路径转化为平面内的线段长度计算，解题时要注意准确对应展开图中点的位置，结合已知几何性质求解。
【难度系数】
0.6
要计算圆锥侧面上两点的最短路程，核心思路是将立体的圆锥侧面展开为平面图形，利用“两点之间，线段最短”确定最短路径为展开图中两点的连线段长。首先根据轴截面是正三角形的条件，得到圆锥的母线长和底面半径；再利用圆锥底面周长等于侧面展开图的弧长，计算出展开图的圆心角度数，确定展开图的形状；最后找到B、P两点在展开图中的对应位置，结合几何性质用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
设圆锥底面圆的半径为$r$ m，母线长为$l$ m，侧面展开图圆心角的度数为$n°$。
圆锥底面圆的周长等于侧面展开图的弧长，因此有等式：$2π r=\frac{nπ l}{180}$。
已知轴截面$△ABC$是边长为6m的等边三角形，因此母线长$l=AB=AC=6\ \mathrm{m}$，底面直径$BC=6\ \mathrm{m}$，即$2r=6$，得$r=3\ \mathrm{m}$。
将$l=6$，$r=3$代入弧长等式：$2π×3=\frac{nπ×6}{180}$，解得$n=180$，即圆锥侧面展开图是圆心角为180°的半圆，如图②所示。
在展开图中，A为半圆的圆心，B为半圆直径的一个端点，AC为垂直于直径的半径，P是AC的中点，因此$AP=\frac{1}{2}AC=3\ \mathrm{m}$，且$∠BAP=90°$，线段BP即为小猫走的最短路程。
在$\mathrm{Rt}△ABP$中，由勾股定理得：$BP=\sqrt{AB^2+AP^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}\ (\mathrm{m})$。
【答案】
小猫所经过的最短路程是$3\sqrt{5}\ \mathrm{m}$
【知识点】
圆锥侧面展开图，弧长计算，勾股定理
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的典型应用，解题的关键是合理将立体图形展开为平面图形，将空间最短路径转化为平面内的线段长度计算，解题时要注意准确对应展开图中点的位置，结合已知几何性质求解。
【难度系数】
0.6
