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7 新情境 生活实际 某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽。该圆锥的底面圆的周长为$20π$ cm，母线长为30 cm。为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从底面圆周上的点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（
A.30 cm
B.$30\sqrt{3}$ cm
C.60 cm
D.$20π$ cm
B
）A.30 cm
B.$30\sqrt{3}$ cm
C.60 cm
D.$20π$ cm
答案
B
8 如图所示为一个几何体的三视图,则这个几何体的表面积是 （
A.$39π$
B.$45π$
C.$48π$
D.$54π$
B
）A.$39π$
B.$45π$
C.$48π$
D.$54π$
答案
B
9 如图，小珍同学用半径为8 cm、圆心角为100°的扇形纸片，制作一个底面圆的半径为2 cm的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是
$\frac{16π}{9}$
cm²。答案
$\frac{16π}{9}$
10 如图，$\odot O$的半径$OA=3$，$OA$的垂直平分线交$\odot O$于$B$，$C$两点，连接$OB$，$OC$。若用扇形$OBC$围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为
$2\sqrt{2}$或$\sqrt{5}$
。答案
$2\sqrt{2}$或$\sqrt{5}$
【解析】连接AB.$\because BC$ 垂直平分$OA$,$\therefore OB=AB$.
$\because OB = OA$,$\therefore OB = AB = OA$,$\therefore △ OBA$ 是等边三角形,
$\therefore ∠ BOA=60°$. 同理,可得$∠ AOC=60°$,$\therefore ∠ BOC=120°$,$360°-120°=240°$. 设圆锥底面圆的半径为 $r$,则 $2π r=\frac{120π× 3}{180}$ 或 $2π r=\frac{240π× 3}{180}$,解得 $r=1$ 或 $2$,$\therefore$ 围成的圆锥的底面圆的半径为 1 或 2,
$\therefore$ 这个圆锥的高为 $\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$ 或 $\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$.
【解析】连接AB.$\because BC$ 垂直平分$OA$,$\therefore OB=AB$.
$\because OB = OA$,$\therefore OB = AB = OA$,$\therefore △ OBA$ 是等边三角形,
$\therefore ∠ BOA=60°$. 同理,可得$∠ AOC=60°$,$\therefore ∠ BOC=120°$,$360°-120°=240°$. 设圆锥底面圆的半径为 $r$,则 $2π r=\frac{120π× 3}{180}$ 或 $2π r=\frac{240π× 3}{180}$,解得 $r=1$ 或 $2$,$\therefore$ 围成的圆锥的底面圆的半径为 1 或 2,
$\therefore$ 这个圆锥的高为 $\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$ 或 $\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$.
11 如图①,某种食品的外包装可以视为圆锥,它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1:2.制作这种外包装需要用如图②所示的等腰三角形材料,其中AB=AC,AD⊥BC.将扇形AEF围成圆锥的侧面时,AE,AF恰好重合.
(1) 求这种加工材料的顶角∠BAC的度数;
(2) 若圆锥底面圆的直径ED为5 cm,求加工材料剩余部分(图②中涂色部分)的面积(结果保留π).
(1) 求这种加工材料的顶角∠BAC的度数;
(2) 若圆锥底面圆的直径ED为5 cm,求加工材料剩余部分(图②中涂色部分)的面积(结果保留π).
答案
(1) 设$∠ BAC=α$.根据题意,得$\overset{\frown}{EF}$ 的长就是圆锥底面圆的周长,
$\therefore \frac{α}{180°}× π× AD=ED× π$. 又$\because AD=2ED$,$\therefore α=90°$,即$∠ BAC=90°$
(2) $\because$ 圆锥底面圆的直径 $ED$ 为 5 cm,$\therefore AD=2ED=10\ \mathrm{cm}$.
$\because ∠ BAC=90°$,$AB=AC$,$\therefore △ ABC$ 是等腰直角三角形. $\because AD⊥ BC$,$\therefore$ 易得 $BC=2AD=20\ \mathrm{cm}$,$\therefore S_{\mathrm{涂色}}=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}AEF}=\frac{1}{2}BC· AD-\frac{90π× AD^2}{360}=\frac{1}{2}× 20× 10-\frac{90π× 10^2}{360}=(100-25π)\mathrm{cm}^2$
$\therefore \frac{α}{180°}× π× AD=ED× π$. 又$\because AD=2ED$,$\therefore α=90°$,即$∠ BAC=90°$
(2) $\because$ 圆锥底面圆的直径 $ED$ 为 5 cm,$\therefore AD=2ED=10\ \mathrm{cm}$.
$\because ∠ BAC=90°$,$AB=AC$,$\therefore △ ABC$ 是等腰直角三角形. $\because AD⊥ BC$,$\therefore$ 易得 $BC=2AD=20\ \mathrm{cm}$,$\therefore S_{\mathrm{涂色}}=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}AEF}=\frac{1}{2}BC· AD-\frac{90π× AD^2}{360}=\frac{1}{2}× 20× 10-\frac{90π× 10^2}{360}=(100-25π)\mathrm{cm}^2$
12 新情境 游戏活动 如图，有一圆锥形粮堆，其经过轴的截面是边长为6 m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食。此时小猫正在点B处，它要沿圆锥侧面到达点P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是多少？
答案
设圆锥底面圆的半径为 $r$ m,母线长为 $l$ m,展开后圆心角的度数为 $n°$,则底面圆的周长为 $2π r$ m,侧面展开图的弧长为 $\frac{nπ l}{180}$ m. $\therefore 2π r=\frac{nπ l}{180}$. 如图①,$\because$ 轴截面$△ ABC$ 为等边三角形,$\therefore AB=BC$,即 $l=2r=6$,$\therefore r=3$,$\therefore 2π× 3=\frac{nπ× 6}{180}$,$\therefore n=180$,其侧面展开图如图②所示,则$△ ABP$ 为直角三角形,$BP$ 为最短路线,$AP=3\ \mathrm{m}$.在$\mathrm{Rt}△ ABP$ 中,$BP=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}(\mathrm{m}).\ \therefore$ 小猫所经过的最短路程是 $3\sqrt{5}\ \mathrm{m}$
