7 如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A，B，C在平面直角坐标系中的坐标分别为(3,6)，(-3,3)，(7,-2)，则△ABC的内心的坐标为。

7. (2,3)

【分析】
要解决这个问题，首先要明确三角形内心的定义：它是三角形三个内角角平分线的交点，到三角形三边的距离相等。我们可以借助网格的特点简化计算：首先观察角B的两条边BA、BC的倾斜程度，发现它们关于过点B的水平线y=3对称，因此角B的角平分线就是直线y=3，即内心的纵坐标为3；接下来只需要找到另一个内角的角平分线，和y=3的交点就是内心，或者在y=3上找在三角形内部、到另外两边距离相等的点，即可得到横坐标。也可以通过计算三边长度，代入内心坐标公式求解。
【解析】
方法一：几何法
1. 计算BA、BC的斜率：
点A(3,6)、B(-3,3)、C(7,-2)，则$k_{BA}=\frac{6-3}{3-(-3)}=\frac{1}{2}$，$k_{BC}=\frac{-2-3}{7-(-3)}=-\frac{1}{2}$，可知BA、BC关于过B点的水平线$y=3$对称，因此∠B的角平分线为直线$y=3$，即内心的纵坐标为3。
2. 观察网格可知，点(2,3)在直线$y=3$上，且在△ABC内部，验证可得该点到AB、AC、BC三边的距离相等，因此是△ABC的内心。
方法二：公式法
1. 用两点间距离公式计算三边长度：
$AB=\sqrt{(3+3)^2+(6-3)^2}=3\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{(7+3)^2+(-2-3)^2}=5\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{(7-3)^2+(-2-6)^2}=4\sqrt{5}$
2. 代入内心坐标公式：若三顶点为$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$、$C(x_3,y_3)$，对应对边长度为$a、b、c$，则内心坐标为$(\frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c},\frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c})$
代入得横坐标：$\frac{5\sqrt{5}×3+4\sqrt{5}×(-3)+3\sqrt{5}×7}{12\sqrt{5}}=2$，纵坐标：$\frac{5\sqrt{5}×6+4\sqrt{5}×3+3\sqrt{5}×(-2)}{12\sqrt{5}}=3$
【答案】
(2,3)
【知识点】
三角形内心性质，两点间距离公式，角平分线的对称性
【点评】
本题结合网格坐标系考查三角形内心的相关知识，既可以通过几何作图、利用角平分线的对称性快速求解，也可以通过代数计算得出结果，能很好地锻炼学生数形结合的解题思维。
【难度系数】
0.7

知△ABC的周长为$l$，其内切圆的面积为$π r^2$，则△ABC的面积为.

8. $\frac{1}{2}rl$

【分析】
解题时首先回忆三角形内切圆的性质：三角形内切圆的圆心（内心）到三角形三边的距离均等于内切圆的半径r。我们可以采用分割法求面积：连接内心和三角形的三个顶点，将原三角形拆分为3个分别以原三角形三边为底、高均为r的小三角形，这3个小三角形的面积和就是原三角形的面积，再结合三角形周长是三边之和的定义，代入化简即可得到结果。
【解析】
设△ABC的三边长度分别为a、b、c，由题意得周长$l=a+b+c$，内切圆半径为r。
连接内切圆圆心O与△ABC的三个顶点A、B、C，将△ABC分为△OAB、△OBC、△OAC三个小三角形。
∵内切圆与△ABC三边均相切，
∴点O到AB、BC、AC的距离均等于内切圆半径r。
根据三角形面积公式，三个小三角形的面积分别为：
$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}cr$，$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}ar$，$S_{△ OAC}=\frac{1}{2}br$
则△ABC的面积：
$S=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}$
$=\frac{1}{2}cr+\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br$
$=\frac{1}{2}r(a+b+c)$
代入$a+b+c=l$，得$S=\frac{1}{2}rl$。
【答案】
$\frac{1}{2}rl$
【知识点】
三角形内切圆性质；割补法求面积；三角形面积计算
【点评】
本题是三角形内切圆的基础题型，核心解题思路是利用分割法将原三角形面积转化为三个等高小三角形的面积和，结合周长定义简化计算，熟练掌握内切圆的性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8

9 如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,点I是$△ ABC$的内心,$∠ AIC=124°$,点E在AD的延长线上,连接AC,则$∠ CDE$的度数为.

9. 68°

【分析】
解题时先利用三角形内心的性质，推导∠AIC与∠ABC的数量关系，求出∠ABC的度数；再结合圆内接四边形的外角等于内对角的性质，即可求出∠CDE的度数。第一步：明确内心是三角形角平分线的交点，得到∠IAC、∠ICA分别是∠BAC、∠ACB的一半，结合三角形内角和定理推导∠AIC和∠B的关系；第二步：代入已知∠AIC的度数求出∠B；第三步：利用圆内接四边形的外角性质得到∠CDE=∠B，得出结果。
【解析】
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，CI平分∠ACB，
∴$∠ IAC=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ ICA=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在△AIC中，$∠ AIC=180°-(∠ IAC+∠ ICA)$，
代入得$∠ AIC=180°-\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ ACB)$。
在△ABC中，$∠ BAC+∠ ACB=180°-∠ ABC$，
∴$∠ AIC=180°-\frac{1}{2}(180°-∠ ABC)=90°+\frac{1}{2}∠ ABC$。
已知$∠ AIC=124°$，代入得：
$124°=90°+\frac{1}{2}∠ ABC$，
解得$∠ ABC=68°$。
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，∠CDE是四边形ABCD的外角，
根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，可得$∠ CDE=∠ ABC=68°$。
【答案】
$68°$
【知识点】
三角形内心性质，圆内接四边形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形内心与圆内接四边形性质的综合应用题，解题的核心是熟练掌握两个性质的角度转化关系，先求出对应内对角的度数即可得到所求外角的度数，属于基础综合类考题。
【难度系数】
0.7

10 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ BAC$,$∠ ABC$的平分线交于点$D$,$DE⊥ BC$于点$E$,$DF⊥ AC$于点$F$.
（1）求证:四边形$CFDE$是正方形；
（2）若$AC=6$,$BC=8$,求$△ ABC$的内切圆的周长.

10. (1) 如图,过点D作DN⊥AB于点N.
∵ ∠C=90°,DE⊥BC,DF⊥AC,
∴ ∠C=∠DEC=∠DFC=90°,
∴ 四边形CFDE是矩形.
∵ ∠BAC,∠ABC的平分线交于点D,DE⊥BC,DF⊥AC,DN⊥AB,
∴ DE=DN,DN=DF,
∴ DF=DE,
∴ 四边形CFDE是正方形
(2) 在Rt△ABC中,AC=6,BC=8,根据勾股定理,得AB=√(AC²+BC²)=10. 设△ABC的内切圆的半径为r.
∵ S△ABC=1/2 AC·BC=1/2 r·(AC+BC+AB),
∴ 1/2×6×8=1/2 r·(6+8+10),解得r=2.
∴ △ABC的内切圆的周长为2π×2=4π

【分析】
（1）要证明四边形$CFDE$是正方形，首先可根据已知的三个直角先判定该四边形是矩形，再证明一组邻边相等即可。结合$AD$是$∠ BAC$的角平分线、$BD$是$∠ ABC$的角平分线，利用角平分线的性质，可得$D$到三边的距离相等，即$DF=DE$，即可证明矩形$CFDE$是正方形。
（2）求$△ ABC$内切圆的周长，需先求出内切圆半径$r$。首先用勾股定理计算斜边$AB$的长度，再利用三角形面积的两种计算方法：直角三角形面积等于两直角边乘积的一半，也等于内切圆半径乘以三角形周长的一半，列等式求出$r$，最后代入圆的周长公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：如图，过点$D$作$DN⊥ AB$于点$N$。
$\because ∠ C=90°$，$DE⊥ BC$，$DF⊥ AC$，
$\therefore ∠ C=∠ DEC=∠ DFC=90°$，
$\therefore$ 四边形$CFDE$是矩形。
$\because AD$平分$∠ BAC$，$BD$平分$∠ ABC$，$DE⊥ BC$，$DF⊥ AC$，$DN⊥ AB$，
$\therefore$ 根据角平分线的性质得$DE=DN$，$DN=DF$，
$\therefore DF=DE$，
$\therefore$ 矩形$CFDE$是正方形。
(2) 解：在$Rt△ ABC$中，$AC=6$，$BC=8$，根据勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
设$△ ABC$的内切圆半径为$r$，
$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2} AC· BC=\frac{1}{2} r· (AC+BC+AB)$，
代入数值得$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2} r· (6+8+10)$，
解得$r=2$，
$\therefore △ ABC$的内切圆周长为$2π r=2π×2=4π$。
【答案】
(1) 四边形$CFDE$是正方形，证明过程如上；
(2) $\boxed{4π}$

【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 正方形的判定
3. 三角形内切圆计算
【点评】
本题是几何基础综合题，同时考查了特殊四边形的判定和三角形内切圆的相关计算，解题关键是熟练掌握角平分线的性质推导线段相等关系，以及用面积法求解内切圆半径的方法，是三角形与四边形结合的典型常考题。
【难度系数】
0.75

11 [2024 烟台]如图，AB是$\odot O$的直径，$△ ABC$内接于$\odot O$，点$I$为$△ ABC$的内心，连接$CI$并延长，交$\odot O$于点$D$，$E$是$\overset{\frown}{BC}$上任意一点，连接$AD$，$BD$，$BE$，$CE$.
（1）若$∠ ABC=25°$，求$∠ CEB$的度数；
（2）找出图中所有与$DI$相等的线段，并说明理由.

11. (1)
∵ AB 是⊙O 的直径,
∴ ∠ACB=90°.
∵ ∠ABC=25°,
∴ ∠CAB=90°−25°=65°.
∵ 四边形 ABEC 是⊙O 的内接四边形,
∴ ∠CEB+∠CAB=180°,
∴ ∠CEB=180°−∠CAB=115°
(2) DI=AD=BD 理由:连接 AI.
∵ 点 I 为△ABC 的内心,
∴ ∠CAI=∠BAI,∠ACI=∠BCI,
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$,
∴ ∠DAB=∠DCB=∠ACI,AD=BD.
∵ ∠DAI=∠DAB+∠BAI,∠DIA=∠ACI+∠CAI,
∴ ∠DAI=∠DIA,
∴ DI=AD,
∴ DI=AD=BD.

【分析】
（1）求解∠CEB的度数时，首先看到AB是⊙O的直径，根据直径所对圆周角为直角的性质，可先算出△ABC中∠CAB的度数；再结合四边形ABEC是圆的内接四边形，利用圆内接四边形对角互补的性质，就能求出∠CEB的度数。
（2）要找出与DI相等的线段，首先由点I是△ABC的内心，可知CI是∠ACB的角平分线，根据圆周角定理可推出$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，得到AD=BD；再连接AI，通过角的等量代换证明∠DAI=∠DIA，得到△DAI为等腰三角形，即DI=AD，最终即可得到所有和DI相等的线段。
【解析】
（1）
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ACB=90°$。
∵ $∠ ABC=25°$，
∴ $∠ CAB=90° - 25° = 65°$。
∵ 四边形ABEC是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ CEB+∠ CAB=180°$，
∴ $∠ CEB=180° - 65° = 115°$。
（2）与DI相等的线段为AD、BD，即$DI=AD=BD$，理由如下：
连接AI。
∵ 点$I$为$△ ABC$的内心，
∴ $∠ CAI=∠ BAI$，$∠ ACI=∠ BCI$，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ $∠ DAB=∠ DCB=∠ ACI$，$AD=BD$。
∵ $∠ DAI=∠ DAB+∠ BAI$，$∠ DIA=∠ ACI+∠ CAI$，
∴ $∠ DAI=∠ DIA$，
∴ $DI=AD$，
∴ $DI=AD=BD$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠ CEB=115°}$；
（2）$\boldsymbol{DI=AD=BD}$
【知识点】
1. 直径的圆周角性质
2. 圆内接四边形的性质
3. 三角形内心的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型题型，第一问直接考查圆的基础性质，难度较低；第二问需要结合角平分线性质、圆周角定理以及等腰三角形的判定进行推理，对几何逻辑推导能力有一定要求，能够较好地考查学生对基础性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.65