1 教材P29例9·变式（2025扬州月考）如图，已知AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，若AC=DB，则可判定Rt△ABC≌Rt△DCB，其依据是（）

A.ASA
B.AAS
C.HL
D.SAS
（第1题）

1. C

【分析】
首先观察图形特征和已知条件，先判断三角形类型：由AB⊥BC、DC⊥BC可知△ABC和△DCB都是直角三角形，再结合给出的边相等的条件分析全等依据：已知斜边AC=DB，两个三角形还共享直角边BC，符合直角三角形特有的全等判定条件，对应HL定理即可得出答案。
【解析】
解：
∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠ABC=∠DCB=90°，即△ABC和△DCB均为直角三角形。
在Rt△ABC和Rt△DCB中：
$\{\begin{array}{l}AC=DB（已知）\\BC=CB（公共边）\end{array} $
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），因此选C。
【答案】
C
【知识点】
HL定理；直角三角形全等判定；垂直的定义
【点评】
本题重点考查直角三角形专属的全等判定定理HL的应用，要注意HL仅适用于直角三角形，解题时首先要确认三角形为直角三角形，再对应找到相等的斜边和一条直角边即可快速解题。
【难度系数】
0.9

2 下列条件不能判定两个直角三角形全等的是 （）

A.斜边和一直角边对应相等
B.两个锐角对应相等
C.一锐角和斜边对应相等
D.两条直角边对应相等

2. B

【分析】
要解决这道题，首先明确题目要求是选出不能判定两个直角三角形全等的选项。解题思路为：先回顾直角三角形全等的所有判定方法，包括普通三角形通用的SSS、SAS、ASA、AAS，以及直角三角形特有的HL判定定理，再逐一分析每个选项是否符合全等判定的要求，最终选出符合题意的选项。注意全等三角形判定必须有边的参与，仅角相等无法判定全等。
【解析】
直角三角形全等的判定方法包含：普通三角形通用的SSS、SAS、ASA、AAS，以及直角三角形特有的HL定理（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）。我们逐一分析选项：
选项A：斜边和一直角边对应相等，符合HL判定定理，可判定两个直角三角形全等，不符合题意；
选项B：两个锐角对应相等，仅能说明两个三角形形状相似，没有对应边相等的条件，无法判定两个三角形大小相等，因此不能判定全等，符合题意；
选项C：一锐角和斜边对应相等，结合两个三角形的直角相等，满足AAS判定条件，可判定全等，不符合题意；
选项D：两条直角边对应相等，结合两条直角边的夹角为直角（相等），满足SAS判定条件，可判定全等，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形全等的判定、全等三角形的判定条件
【点评】
本题是全等判定的基础题，重点考查对直角三角形全等判定规则的理解，需要注意的是，任何全等判定都必须有边的参与，仅角对应相等只能证明三角形相似，不能证明全等，做题时要注意审题，明确题目要求是选“不能判定”的选项，避免粗心出错。
【难度系数】
0.85

3（2025宿迁宿城期中）如图，在$△ ABC$和$△ ABD$中，$∠ C=∠ D=90°$，若利用“HL”证明$△ ABC≌△ ABD$，则需要添加的条件是.（添加一个即可）

3. AC=AD(或BC=BD)

【分析】
首先明确“HL”判定直角三角形全等的条件：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。观察图形可知，△ABC和△ABD均为直角三角形，且二者共用斜边AB，即已经满足斜边相等的条件，因此只需补充一组直角边对应相等，即可用“HL”证明两三角形全等，可添加的条件为AC=AD或BC=BD。
【解析】
要使用“HL”证明△ABC≌△ABD，步骤如下：
1. 确定三角形类型：已知∠C=∠D=90°，因此△ABC和△ABD都是直角三角形。
2. 找已有的相等边：两个三角形的斜边AB为公共边，因此AB=AB，已经满足“HL”中斜边相等的要求。
3. 补充缺少的条件：只需再添加一组直角边对应相等即可：
若添加$AC=AD$，在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\begin{cases}AB=AB\\AC=AD\end{cases}$，可证$\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ ABD(\mathrm{HL})$；
若添加$BC=BD$，在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\begin{cases}AB=AB\\BC=BD\end{cases}$，可证$\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ ABD(\mathrm{HL})$。
【答案】
AC=AD(或BC=BD)
【知识点】
直角三角形全等的HL判定、公共边的性质
【点评】
本题是全等判定的基础题型，核心考查对HL判定定理的理解，解题时要先明确HL仅适用于直角三角形，再结合已知条件和图形特征补全缺失的判定条件即可。
【难度系数】
0.8

4（2025连云港赣榆期中）如图，$EC⊥ BD$，垂足为C，A是EC上一点，且$AC=CD$，连接AB，ED，$AB=DE$。若$AC=3.5$，$BD=9$，则CE的长为。

4. 5.5

【分析】首先观察图形，由EC垂直BD可得两个直角三角形Rt△DCE和Rt△BCA，已知斜边AB=DE、一组直角边AC=CD，可先通过HL定理证明两个直角三角形全等，得到对应边CE=CB、CD=AC；再结合已知的AC和BD的长度，先求出CB的长度，即可得到CE的长度。
【解析】
∵ EC⊥BD，
∴ ∠DCE=∠ACB=90°，即△DCE和△BCA均为直角三角形。
在Rt△DCE和Rt△BCA中：
$\{\begin{array}{l}CD=AC \\DE=AB\end{array} $
∴ Rt△DCE≌Rt△BCA（HL），
∴ CE=CB，CD=AC。
已知AC=3.5，
∴ CD=3.5，
又
∵ BD=9，
∴ CB=BD - CD=9 - 3.5=5.5，
∴ CE=CB=5.5。
【答案】5.5
【知识点】1. HL判定直角三角形全等；2. 全等三角形的性质
【点评】本题是几何基础计算题，解题的核心是先利用HL证明直角三角形全等，得到对应边的等量关系，再结合线段的和差运算求解，解题时注意直角三角形全等判定的适用条件。
【难度系数】0.7

5 教材P32习题T7·变式 如图,在$△ ABC$中,$BD=CD$,$DE⊥ AB$于点$E$,$DF⊥ AC$于点$F$,若$BE=CF$.求证:$AD$平分$∠ BAC$.

5. 证明:因为 $DE⊥ AB,DF⊥ AC$,
所以$∠ BED=∠ CFD=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ DBE$和$\mathrm{Rt}△ DCF$中,$\begin{cases} BD=CD,\\ BE=CF, \end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△ DBE≌\mathrm{Rt}△ DCF(\mathrm{HL})$,所以$DE=DF$.
因为$DE=DF,AD=AD,DE⊥ AB,DF⊥ AC$,
所以$\mathrm{Rt}△ DAE≌\mathrm{Rt}△ DAF(\mathrm{HL})$,
所以$∠ EAD=∠ FAD$,即$AD$平分$∠ BAC$.

【分析】
要证明AD平分∠BAC，可通过证明∠EAD=∠FAD实现。已知DE⊥AB、DF⊥AC，且给出BD=CD、BE=CF，可先利用HL定理证明Rt△DBE和Rt△DCF全等，得到DE=DF，再用HL证明Rt△DAE和Rt△DAF全等，即可得到对应角相等，完成证明。
【解析】
证明：$\because DE⊥ AB,DF⊥ AC$，
$\therefore ∠ BED=∠ CFD=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ DBE$和$\mathrm{Rt}△ DCF$中，
$\begin{cases} BD=CD \\ BE=CF \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ DBE≌ \mathrm{Rt}△ DCF(\mathrm{HL})$，
$\therefore DE=DF$。
在$\mathrm{Rt}△ DAE$和$\mathrm{Rt}△ DAF$中，
$\begin{cases} DE=DF \\ AD=AD \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ DAE≌ \mathrm{Rt}△ DAF(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ EAD=∠ FAD$，即$AD$平分$∠ BAC$。
【答案】
证明：因为 $DE⊥ AB,DF⊥ AC$,
所以$∠ BED=∠ CFD=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ DBE$和$\mathrm{Rt}△ DCF$中,$\begin{cases} BD=CD,\\ BE=CF, \end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△ DBE≌\mathrm{Rt}△ DCF(\mathrm{HL})$,所以$DE=DF$.
因为$DE=DF,AD=AD,DE⊥ AB,DF⊥ AC$,
所以$\mathrm{Rt}△ DAE≌\mathrm{Rt}△ DAF(\mathrm{HL})$,
所以$∠ EAD=∠ FAD$,即$AD$平分$∠ BAC$.
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题侧重考查直角三角形全等的判定及应用，解题时要注意HL定理的适用范围仅为直角三角形，通过两次全等推导角相等的思路是几何证明中常用的方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7

6 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD\bot BC$,$CE\bot AB$,$AE=CE$. 求证:
(1) $△ AEF≌△ CEB$;
(2) $AF=2CD$.

6. 证明:(1) 因为 $CE⊥ AB$,所以$∠ AEF=∠ CEB=90°$,
所以$∠ AFE+∠ EAF=90°$.
因为$AD⊥ BC$,所以$∠ ADC=90°$,
所以$∠ CFD+∠ ECB=90°$.
又因为$∠ AFE=∠ CFD$,所以$∠ EAF=∠ ECB$.
在$△ AEF$和$△ CEB$中,$\begin{cases} ∠ EAF=∠ ECB,\\ AE=CE,\\ ∠ AEF=∠ CEB, \end{cases}$
所以$△ AEF≌△ CEB(\mathrm{ASA})$.
(2) 因为$△ AEF≌△ CEB$,所以$AF=CB$.
因为$AB=AC,AD=AD,AD⊥ BC$,
所以$\mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ ACD(\mathrm{HL})$,
所以$BD=CD,BC=2CD$,
所以$AF=BC=2CD$.

【分析】
(1)要证明$△ AEF≌△ CEB$，已知$AE=CE$，由$CE⊥AB$可得$∠ AEF=∠ CEB=90°$，因此只需再推导一组对应角相等即可。结合$AD⊥BC$的条件，利用同角的余角相等可证得$∠ EAF=∠ ECB$，满足ASA的全等判定条件。
(2)要证明$AF=2CD$，首先由(1)的全等结论可得到$AF=BC$，再结合$△ ABC$是等腰三角形且$AD⊥BC$的条件，根据等腰三角形三线合一的性质可知$D$为$BC$的中点，即$BC=2CD$，通过等量代换即可完成证明。
【解析】
(1) 因为 $CE⊥ AB$,所以$∠ AEF=∠ CEB=90°$,
所以$∠ AFE+∠ EAF=90°$.
因为$AD⊥ BC$,所以$∠ ADC=90°$,
所以$∠ CFD+∠ ECB=90°$.
又因为$∠ AFE=∠ CFD$,所以$∠ EAF=∠ ECB$.
在$△ AEF$和$△ CEB$中,$\begin{cases} ∠ EAF=∠ ECB,\\ AE=CE,\\ ∠ AEF=∠ CEB, \end{cases}$
所以$△ AEF≌△ CEB(\mathrm{ASA})$.
(2) 因为$△ AEF≌△ CEB$,所以$AF=CB$.
因为$AB=AC,AD=AD,AD⊥ BC$,
所以$\mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ ACD(\mathrm{HL})$,
所以$BD=CD,BC=2CD$,
所以$AF=BC=2CD$.
【答案】
(1) $△ AEF≌△ CEB$，证明如上；
(2) $AF=2CD$，证明如上。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，余角的性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，重点考查全等三角形判定、等腰三角形三线合一的应用，解题关键是准确找到全等的对应条件，通过线段等量代换推导结论，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7