7 (2025连云港海州月考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,CF交AB于点E,BD⊥CF,AF⊥CF,则下列结论:①∠ACF=∠CBD;②BD=FC;③FC=FD+AF;④AE=DC,其中正确的结论是 ()

A.①②
B.②③
C.①②③④
D.①②③

7. D

【分析】
解题时先结合等腰直角三角形的性质和多个垂直的已知条件，利用同角的余角相等推导角的等量关系，再通过AAS判定三角形全等，最后利用全等三角形对应边相等的性质逐一验证4个结论：首先推导∠ACF和∠CBD与同一个角互余，验证①；再证明△AFC和△CDB全等，用全等性质验证②；结合线段和差关系代入对应边相等的结论验证③；最后判断是否有依据证明AE和DC相等，验证④即可。
【解析】
1. 验证结论①：
∵∠ACB=90°，
∴∠ACF+∠BCD=90°
∵BD⊥CF，
∴∠CBD+∠BCD=90°
根据同角的余角相等，可得∠ACF=∠CBD，故①正确。
2. 验证结论②：
∵AF⊥CF，BD⊥CF，
∴∠F=∠CDB=90°
在$△ AFC$和$△ CDB$中：
$\begin{cases}∠ F=∠ CDB \\∠ ACF=∠ CBD \\AC=CB\end{cases}$
∴$△ AFC≌△ CDB$（AAS）
∴BD=FC，CD=AF，故②正确。
3. 验证结论③：
由线段和的关系可得$FC=FD+CD$，结合$CD=AF$，代入得$FC=FD+AF$，故③正确。
4. 验证结论④：
由全等仅能得到$CD=AF$，没有条件可证明$AE=AF$，因此无法推出$AE=DC$，故④错误。
综上，正确的结论为①②③。
【答案】
D
【知识点】
同角的余角相等；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形的综合应用题，解题关键是利用垂直条件找到角的等量关系，证明全等后结合线段和差关系判断结论，需注意没有明确推导依据的结论不能随意判定为正确。
【难度系数】
0.7

8 如图,在四边形ABEF中,AB=4,EF=6,C是BE上一点,连接AC,CF,若AC=CF,∠B=∠E=∠ACF,则BE的长为.

8. 10

【分析】
要求BE的长度，观察可知BE=BC+CE，因此需要将BC、CE与已知的AB、EF建立联系。已知给出了一组等边AC=CF，三组等角∠B=∠E=∠ACF，可先通过平角性质和三角形内角和定理推导相等的角，再利用全等三角形判定定理证明△ABC与△CEF全等，借助全等三角形对应边相等的性质，即可得到BC、CE与AB、EF的等量关系，进而计算BE的长。
【解析】
∵ 点B、C、E共线，
∴ ∠ACB + ∠ACF + ∠FCE = 180°（平角的定义）。
在△ABC中，根据三角形内角和定理得：
∠B + ∠BAC + ∠ACB = 180°。
又
∵ ∠B = ∠ACF（已知），
∴ 代入得∠ACF + ∠BAC + ∠ACB = 180°，
对比平角的等式可得：∠BAC = ∠FCE。
在△ABC和△CEF中：
$\{\begin{array}{l}∠ B = ∠ E \\∠ BAC = ∠ ECF \\AC = CF\end{array} $
∴ △ABC ≌ △CEF（AAS）。
根据全等三角形对应边相等，得：
AB = CE，BC = EF。
已知AB=4，EF=6，
∴ CE=4，BC=6，
∴ BE = BC + CE = 6 + 4 = 10。
【答案】
10
【知识点】
三角形内角和定理，全等三角形AAS判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题的关键是通过角度的等量代换得到全等需要的对应等角，将未知线段转化为已知线段求解，能够很好地考察学生对全等判定和性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7

9 (2025南京建邺月考)如图，AC，DF相交于点G，且AC=DF.D，C是边BE上两点，∠B=∠E=∠1.若BE=1，AB=m，EF=n，则CD的长为.

9. $m+n-1$

【分析】
解题时先利用三角形内角和定理与已知等角条件，推导△ABC和△DEF的对应角相等，结合已知AC=DF，用AAS判定两三角形全等，得到对应边相等的结论，再通过线段BE的组成关系，找到BC、DE、BE和CD的数量关系，代入数值即可求出CD的长度。
【解析】
1. 推导对应角相等：
在△DGC中，$∠ 1 + ∠ GDC + ∠ GCD = 180°$；
在△ABC中，$∠ B + ∠ A + ∠ ACB = 180°$。
已知$∠ 1=∠ B$，且$∠ GCD=∠ ACB$（公共角），因此$∠ A=∠ GDC=∠ FDE$。
同理可证$∠ F=∠ ACB$。
2. 证明三角形全等：
在△ABC和△DEF中：
$\begin{cases}∠ A=∠ FDE \\∠ ACB=∠ F \\AC=DF\end{cases}$
因此$△ ABC ≌ △ DEF$（AAS）。
3. 得到对应边关系：
由全等性质得：$BC=EF=n$，$DE=AB=m$。
4. 计算CD的长度：
观察线段关系可得：$BC + DE = BE + CD$，
变形得$CD = BC + DE - BE$，代入$BE=1$、$BC=n$、$DE=m$，得$CD=m+n-1$。
【答案】
$m+n-1$
【知识点】
三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，线段和差计算
【点评】
本题是全等三角形的典型综合应用题，解题核心是通过角度关系推导全等条件，再结合线段重叠部分的和差关系求解，能很好地考查逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6

10 如图,点A,C,D在同一条直线上,BC⊥AD,垂足为C,BC=CD,点E在线段BC上,AC=EC,连接AB,DE.
(1) 求证:$△ ABC ≌ △ EDC$;
(2) 写出AB与DE的位置关系,并说明理由.

10. (1) 证明:因为$BC⊥AD$,所以$∠ACB=∠ECD=90°$。
在$△ABC$和$△EDC$中,$\begin{cases} BC=DC, \\ ∠ACB=∠ECD, \\ AC=EC, \end{cases}$
所以$△ABC≌△EDC(\mathrm{SAS})$。
(2) 解:$AB⊥DE$. 理由如下:
延长$DE$交$AB$于点$F$。
因为$△ABC≌△EDC$,所以$∠B=∠D$。
因为$∠ACB=90°$,所以$∠A+∠B=90°$,
所以$∠D+∠A=90°$,所以$∠AFD=90°$,即$AB⊥DE$。

【分析】
(1) 要证明△ABC≌△EDC，先从已知的垂直条件入手，BC⊥AD可得到∠ACB和∠ECD都是90°，二者相等；再结合题目给出的BC=DC、AC=EC两组边相等的条件，正好符合“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”的SAS判定规则，即可完成证明。
(2) 判断AB和DE的位置关系时，可先利用全等三角形的性质得到对应角∠B=∠D，再结合Rt△ABC中两锐角互余，即∠A+∠B=90°，将∠B替换为∠D可得∠A+∠D=90°，说明AB和DE的夹角为90°，二者垂直；推导时可通过延长DE交AB于点F，利用三角形内角和验证夹角为直角即可。
【解析】
(1) 证明：因为$BC⊥AD$，所以$∠ACB=∠ECD=90°$。
在$△ABC$和$△EDC$中，
$\begin{cases} BC=DC, \\ ∠ACB=∠ECD, \\ AC=EC, \end{cases}$
所以$△ABC≌△EDC(\mathrm{SAS})$。
(2) 解：$AB⊥DE$，理由如下：
延长$DE$交$AB$于点$F$。
因为$△ABC≌△EDC$，所以$∠B=∠D$。
因为$∠ACB=90°$，所以$∠A+∠B=90°$，
等量代换得$∠D+∠A=90°$，所以$∠AFD=90°$，即$AB⊥DE$。
【答案】
(1) $△ABC ≌ △ EDC$，证明成立；
(2) $AB⊥DE$。
【知识点】
SAS判定三角形全等，全等三角形的性质，垂直的判定
【点评】
本题属于全等三角形的基础综合题，重点考察全等的判定和性质的应用，解题时要注意挖掘题目中垂直隐含的等角条件，找准全等的对应元素，再通过角度的等量代换即可推出线段的位置关系，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7

11 新趋势 开放探究 如图，AD，BC相交于点E，连接AB，CD，CF平分∠BCD，交AB的延长线于点F.
（1）给出下列三个事项：①AB//CD；②AE=ED；③EB=EC.
请你从其中选取两个事项作为条件，另一个事项作为结论组成命题，并证明你的结论；
你选的条件：，结论：.（填序号）
（2）在（1）中的条件下，若∠F=35°，求∠ABC的度数.

11. 解:(1) 当选①②为条件,③为结论时,
因为$AB// CD$,所以$∠A=∠D$。
在$△AEB$和$△DEC$中,$\begin{cases} ∠A=∠D, \\ AE=DE, \\ ∠AEB=∠DEC, \end{cases}$
所以$△AEB≌△DEC(\mathrm{ASA})$,所以$EB=EC$。
当选①③为条件,②为结论时,
同理可证明$△AEB≌△DEC(\mathrm{AAS})$,
所以$AE=ED$。
当选②③为条件,①为结论时,
在$△AEB$和$△DEC$中,$\begin{cases} AE=DE, \\ ∠AEB=∠DEC, \\ EB=EC, \end{cases}$
所以$△AEB≌△DEC(\mathrm{SAS})$,
所以$∠A=∠D$,所以$AB// CD$。
(2) 由(1)可知,三个条件都成立,
所以$AB// CD$,所以$∠F=∠DCF=35°$。
因为$CF$平分$∠BCD$,
所以$∠BCD=2∠DCF=70°$,
所以$∠ABC=∠BCD=70°$。

【分析】
（1）这是开放型命题类题目，可任选两个事项作为条件推导剩余的一个事项。若选择平行和一组边相等作为条件，可先通过平行线性质得到内错角相等，结合对顶角相等，利用ASA或AAS证明三角形全等，即可得到对应边相等的结论；若选择两组边相等作为条件，可先利用SAS证明三角形全等，得到对应角相等，进而推导得到两直线平行的结论。
（2）第二问先利用平行线的内错角相等求出∠DCF的度数，结合角平分线的定义求出∠BCD的度数，再根据平行线的内错角相等即可求出∠ABC的度数。
【解析】
（1）我们以选择条件①②、结论③为例证明：
因为$AB// CD$，所以$∠ A=∠ D$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ AEB$和$△ DEC$中：
$\begin{cases} ∠ A=∠ D \\ AE=DE \\ ∠ AEB=∠ DEC（对顶角相等） \end{cases}$
所以$△ AEB≌△ DEC(\mathrm{ASA})$，因此$EB=EC$，结论成立。
*其余选法均成立：选①③为条件可通过AAS证全等得$AE=ED$；选②③为条件可通过SAS证全等得$∠ A=∠ D$，进而推出$AB// CD$。
（2）由（1）可得$AB// CD$，所以$∠ F=∠ DCF=35°$（两直线平行，内错角相等）。
因为$CF$平分$∠ BCD$，所以$∠ BCD=2∠ DCF=2×35°=70°$。
又因为$AB// CD$，所以$∠ ABC=∠ BCD=70°$（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
（1）示例：条件①②，结论③（其余组合证明合理即可）；
（2）$∠ ABC$的度数为$70°$。
【知识点】
三角形全等的判定与性质、平行线的判定与性质、角平分线的定义
【点评】
本题属于开放探究类基础几何题，既考查了全等三角形、平行线、角平分线相关基础知识点的掌握，也能锻炼学生自主构建命题、逻辑推导的能力，是几何综合应用的典型习题。
【难度系数】
0.7