7. (2024秋·苏州期末)勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠. 被誉为清代“历算第一名家”的著名数学家梅文鼎先生()在《梅氏丛书辑要》(由其孙子梅彀成编纂)的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法. 其中一种是在的基础上,运用“出入相补”原理完成的. 在△ABC中,∠ACB=90°,四边形ABDE,ACFG,BCHI均为正方形,HI与AE相交于点J,可以证明点D在直线HI上.若△AHJ,△DEJ的面积分别为2和6,求直角边AC的长.

7. $\because$ 四边形ABDE,BCHI 为正方形, $\therefore AB = BD, BC = BI$,
$∠ ACB=∠ DIB=90°,\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DBI(\mathrm{HL})$,
$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ DBI}$,设 $AC=a,BC=b,AB=c$,由勾股定理得, $a^2 + b^2 = c^2$,即 $S_{\mathrm{正方形}ACFG} + S_{\mathrm{正方形}BCHI} = S_{\mathrm{正方形}ABDE}$,$S_{\mathrm{正方形}ACFG} + S_{△ ABC} + S_{△ AHJ} + S_{\mathrm{四边形}AJIB} = S_{△ BID} + S_{△ DEJ} + S_{\mathrm{四边形}AJIB}$, $\therefore S_{\mathrm{正方形}ACFG} + S_{△ AHJ} = S_{△ DEJ}$ , $\therefore S_{\mathrm{正方形}ACFG} = S_{△ DEJ} - S_{△ AHJ} = 6-2=4$, $\therefore a^2=4, \therefore a=2$(负值舍去),即 $AC=2$.

8. (2023·天津)如图,在△ABC中,分别以点A和点C为圆心,大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等),两弧相交于M,N两点,直线MN分别与边BC,AC相交于点D,E,连接AD.若$BD=DC$,$AE=4$,$AD=5$,则AB的长为 ()

A.9
B.8
C.7
D.6
第8题

8. D

9. (2025春·香坊区阶段考)如图所示的数轴,点M表示的数是.

9. $\sqrt{17}$

10. (2023·郴州)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=6$,$BC=8$,点$M$是$AB$的中点,求$CM=$.

10. 5

11. (2025·汇川区模拟)如图，Rt△ABC中，AC=6，BC=8，则其内部五个小直角三角形的周长之和为。

11. 24

12. (2025春·长沙期中)如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$AB=12$,$BC=5$,在$AC$上截取$CD=CB$,在$AB$上截取$AP=AD$,则$AP=$.

12. 8

13. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AB=5\ \mathrm{cm}$,$BC=3\ \mathrm{cm}$,$CD⊥ AB$于点$D$.求:
（1）$AC$的长；
（2）$△ ABC$的面积；
（3）$CD$的长.

13. （1）4 cm
（2）$6\ \mathrm{cm}^2$
（3）$\frac{12}{5}\ \mathrm{cm}$