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1 从1,2,3,4,5,5六个数中随机选取一个数,这个数恰为该组数据的众数的概率为 (
A.$\dfrac{1}{6}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{2}{3}$
B
)A.$\dfrac{1}{6}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{2}{3}$
答案
1. B
解析
【分析】
解题时可分三步进行：第一步，根据众数的定义找出这组数据的众数；第二步，确定随机选取一个数的总等可能结果数，以及选到众数的结果数；第三步，利用概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算最终结果即可。
【解析】
首先确定这组数据的众数：在1,2,3,4,5,5六个数中，数字5出现的次数最多（共出现2次），因此该组数据的众数为5。
从6个数中随机选取1个数，共有6种等可能的结果，其中选取的数恰好是众数（即选到5）的结果有2种。
根据概率公式可得，所求概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
众数的定义；简单概率计算
【点评】
本题属于基础题，将统计中众数的识别与简单概率计算结合考查，只要熟练掌握众数的概念和等可能事件的概率计算方法，即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.8
解题时可分三步进行：第一步，根据众数的定义找出这组数据的众数；第二步，确定随机选取一个数的总等可能结果数，以及选到众数的结果数；第三步，利用概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算最终结果即可。
【解析】
首先确定这组数据的众数：在1,2,3,4,5,5六个数中，数字5出现的次数最多（共出现2次），因此该组数据的众数为5。
从6个数中随机选取1个数，共有6种等可能的结果，其中选取的数恰好是众数（即选到5）的结果有2种。
根据概率公式可得，所求概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
众数的定义；简单概率计算
【点评】
本题属于基础题，将统计中众数的识别与简单概率计算结合考查，只要熟练掌握众数的概念和等可能事件的概率计算方法，即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.8
2 如图，任意将图中的某一白色方块涂灰后，能使所有灰色方块构成的图形是轴对称图形的概率为（
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{6}$
A
）A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{6}$
答案
2. A
解析
【分析】
解决本题需按三步推导：第一步先统计图中白色方块的总数量，得到所有等可能的涂灰情况数；第二步逐个判断将每个白色方块涂灰后，灰色部分组成的图形是否为轴对称图形，统计满足要求的情况数；第三步结合概率公式“概率=符合条件的情况数÷总等可能情况数”计算最终结果。
【解析】
观察3×3方格可知，总共有9个小方块，其中已涂灰的方块有3个，因此白色方块共$9-3=6$个，即任意涂一个白色方块的总等可能情况有6种。
逐一判断涂每个白色方块后灰色图形的轴对称性：
1. 涂第一行第一列白色方块：灰色图形沿左上到右下的对角线对折后完全重合，是轴对称图形；
2. 涂第一行第三列白色方块：灰色图形沿右上到左下的对角线对折后完全重合，是轴对称图形；
3. 涂第二行第三列白色方块：灰色图形沿第二列所在的竖直直线对折后完全重合，是轴对称图形；
4. 涂第三行第二列白色方块：灰色图形沿第二列所在的竖直直线对折后完全重合，是轴对称图形；
其余2个白色方块涂灰后，灰色图形找不到对称轴，不属于轴对称图形。
因此符合要求的情况有4种，根据概率公式得：
$P=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
【答案】
A
【知识点】
轴对称图形判定，概率计算
【点评】
本题结合轴对称图形的识别与概率计算，考查基础图形性质的应用，解题关键是不重不漏地找出所有符合轴对称要求的涂法，判断时可以通过找对称轴的方法逐一验证，避免出错。
【难度系数】
0.6
解决本题需按三步推导：第一步先统计图中白色方块的总数量，得到所有等可能的涂灰情况数；第二步逐个判断将每个白色方块涂灰后，灰色部分组成的图形是否为轴对称图形，统计满足要求的情况数；第三步结合概率公式“概率=符合条件的情况数÷总等可能情况数”计算最终结果。
【解析】
观察3×3方格可知，总共有9个小方块，其中已涂灰的方块有3个，因此白色方块共$9-3=6$个，即任意涂一个白色方块的总等可能情况有6种。
逐一判断涂每个白色方块后灰色图形的轴对称性：
1. 涂第一行第一列白色方块：灰色图形沿左上到右下的对角线对折后完全重合，是轴对称图形；
2. 涂第一行第三列白色方块：灰色图形沿右上到左下的对角线对折后完全重合，是轴对称图形；
3. 涂第二行第三列白色方块：灰色图形沿第二列所在的竖直直线对折后完全重合，是轴对称图形；
4. 涂第三行第二列白色方块：灰色图形沿第二列所在的竖直直线对折后完全重合，是轴对称图形；
其余2个白色方块涂灰后，灰色图形找不到对称轴，不属于轴对称图形。
因此符合要求的情况有4种，根据概率公式得：
$P=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
【答案】
A
【知识点】
轴对称图形判定，概率计算
【点评】
本题结合轴对称图形的识别与概率计算，考查基础图形性质的应用，解题关键是不重不漏地找出所有符合轴对称要求的涂法，判断时可以通过找对称轴的方法逐一验证，避免出错。
【难度系数】
0.6
3 新情境 数学文化 [2024 湖北]小亮了解了祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶这 5 位著名数学家的生平简介，知晓他们取得的伟大成就对我国乃至世界数学发展起到的巨大推进作用，准备在数学课上随机选取其中一位的成就进行分享，选到数学家赵爽的概率是
$\dfrac{1}{5}$
。答案
3. $\dfrac{1}{5}$
解析
【分析】
这是一道基础的等可能事件概率计算题，解题思路如下：第一步先确定所有等可能的总结果数，本题中随机选取1位数学家，总共有5种等可能的选择结果；第二步找到符合“选到赵爽”这一事件的结果数，符合条件的结果只有1种；第三步代入概率计算公式即可求出结果。
【解析】
解：随机从5位数学家中选取1位进行分享时，每位数学家被选到的可能性相等，即所有等可能的结果共有5种，其中选到赵爽的结果有1种。
根据概率公式$P=\dfrac{\mathrm{事件对应的结果数}}{\mathrm{所有等可能的总结果数}}$，可得选到赵爽的概率为：
$P=\dfrac{1}{5}$
【答案】
$\dfrac{1}{5}$
【知识点】
简单事件概率计算，概率公式应用
【点评】
本题结合我国古代数学文化背景命题，在考查基础概率知识的同时渗透了数学文化教育，属于基础题型，只要掌握概率的基本计算方法就能快速作答。
【难度系数】
0.9
这是一道基础的等可能事件概率计算题，解题思路如下：第一步先确定所有等可能的总结果数，本题中随机选取1位数学家，总共有5种等可能的选择结果；第二步找到符合“选到赵爽”这一事件的结果数，符合条件的结果只有1种；第三步代入概率计算公式即可求出结果。
【解析】
解：随机从5位数学家中选取1位进行分享时，每位数学家被选到的可能性相等，即所有等可能的结果共有5种，其中选到赵爽的结果有1种。
根据概率公式$P=\dfrac{\mathrm{事件对应的结果数}}{\mathrm{所有等可能的总结果数}}$，可得选到赵爽的概率为：
$P=\dfrac{1}{5}$
【答案】
$\dfrac{1}{5}$
【知识点】
简单事件概率计算，概率公式应用
【点评】
本题结合我国古代数学文化背景命题，在考查基础概率知识的同时渗透了数学文化教育，属于基础题型，只要掌握概率的基本计算方法就能快速作答。
【难度系数】
0.9
4 在平面直角坐标系中有五个点，分别是$A(1,2)$，$B(-3,4)$，$C(-2,-3)$，$D(4,3)$，$E(2,-3)$，从中任选一个点恰好在第一象限的概率是
$\dfrac{2}{5}$
。答案
4. $\dfrac{2}{5}$
解析
【分析】
解题需明确两个核心要点：一是第一象限内点的坐标特征为横坐标大于0、纵坐标大于0；二是简单随机事件的概率计算公式为$P=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{所有等可能的总情况数}}$。第一步先逐个判断5个点中位于第一象限的点的数量，第二步代入概率公式计算即可得到结果。
【解析】
首先明确第一象限的点满足：横坐标$＞0$，纵坐标$＞0$，逐个判断各点：
$A(1,2)$：$1＞0$，$2＞0$，在第一象限；
$B(-3,4)$：$-3＜0$，不在第一象限；
$C(-2,-3)$：$-2＜0$、$-3＜0$，不在第一象限；
$D(4,3)$：$4＞0$，$3＞0$，在第一象限；
$E(2,-3)$：$-3＜0$，不在第一象限。
综上，符合条件的点共有2个，总共有5种等可能的选择，代入概率公式得：$P=\frac{2}{5}$。
【答案】
$\dfrac{2}{5}$
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征 2. 简单概率计算
【点评】
本题属于基础题，结合了平面直角坐标系基础概念和概率计算考点，只要掌握各象限坐标符号特点和概率基本计算公式，细心判断即可得分。
【难度系数】
0.8
解题需明确两个核心要点：一是第一象限内点的坐标特征为横坐标大于0、纵坐标大于0；二是简单随机事件的概率计算公式为$P=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{所有等可能的总情况数}}$。第一步先逐个判断5个点中位于第一象限的点的数量，第二步代入概率公式计算即可得到结果。
【解析】
首先明确第一象限的点满足：横坐标$＞0$，纵坐标$＞0$，逐个判断各点：
$A(1,2)$：$1＞0$，$2＞0$，在第一象限；
$B(-3,4)$：$-3＜0$，不在第一象限；
$C(-2,-3)$：$-2＜0$、$-3＜0$，不在第一象限；
$D(4,3)$：$4＞0$，$3＞0$，在第一象限；
$E(2,-3)$：$-3＜0$，不在第一象限。
综上，符合条件的点共有2个，总共有5种等可能的选择，代入概率公式得：$P=\frac{2}{5}$。
【答案】
$\dfrac{2}{5}$
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征 2. 简单概率计算
【点评】
本题属于基础题，结合了平面直角坐标系基础概念和概率计算考点，只要掌握各象限坐标符号特点和概率基本计算公式，细心判断即可得分。
【难度系数】
0.8
5 [2025昆山市段考]如图所示为一圆形飞镖游戏板，大圆的半径$OB=2$，小圆的半径$OA=1$，向游戏板随机投掷一枚飞镖(飞镖每次都击中游戏板)，则飞镖击中涂色部分的概率是
$\dfrac{3}{4}$
。答案
5. $\dfrac{3}{4}$
解析
【分析】
这是一道面积型几何概率题，飞镖击中游戏板任意位置的可能性相等，因此击中涂色部分的概率等于涂色区域面积与游戏板总面积的比值。解题时先分别计算大圆（整个游戏板）的面积、小圆的面积，再求出涂色圆环的面积，最后计算两者的比值即可得到结果。
【解析】
解：已知大圆半径$OB=2$，根据圆的面积公式$S=π r^2$，
可得大圆面积：$S_{\mathrm{大圆}}=π × 2^2=4π$，
已知小圆半径$OA=1$，可得小圆面积：$S_{\mathrm{小圆}}=π × 1^2=π$，
则涂色部分（圆环）的面积：$S_{\mathrm{涂色}}=S_{\mathrm{大圆}}-S_{\mathrm{小圆}}=4π-π=3π$，
因此飞镖击中涂色部分的概率：$P=\frac{S_{\mathrm{涂色}}}{S_{\mathrm{大圆}}}=\frac{3π}{4π}=\frac{3}{4}$。
【答案】
$\dfrac{3}{4}$
【知识点】
1. 几何概率计算 2. 圆的面积计算 3. 圆环面积计算
【点评】
本题属于几何概率的基础常规题，解题核心是掌握面积型概率的计算逻辑，即事件发生概率等于所求区域面积与总区域面积的比值，只要正确运用圆的面积公式计算对应面积即可顺利求解，得分率较高。
【难度系数】
0.8
这是一道面积型几何概率题，飞镖击中游戏板任意位置的可能性相等，因此击中涂色部分的概率等于涂色区域面积与游戏板总面积的比值。解题时先分别计算大圆（整个游戏板）的面积、小圆的面积，再求出涂色圆环的面积，最后计算两者的比值即可得到结果。
【解析】
解：已知大圆半径$OB=2$，根据圆的面积公式$S=π r^2$，
可得大圆面积：$S_{\mathrm{大圆}}=π × 2^2=4π$，
已知小圆半径$OA=1$，可得小圆面积：$S_{\mathrm{小圆}}=π × 1^2=π$，
则涂色部分（圆环）的面积：$S_{\mathrm{涂色}}=S_{\mathrm{大圆}}-S_{\mathrm{小圆}}=4π-π=3π$，
因此飞镖击中涂色部分的概率：$P=\frac{S_{\mathrm{涂色}}}{S_{\mathrm{大圆}}}=\frac{3π}{4π}=\frac{3}{4}$。
【答案】
$\dfrac{3}{4}$
【知识点】
1. 几何概率计算 2. 圆的面积计算 3. 圆环面积计算
【点评】
本题属于几何概率的基础常规题，解题核心是掌握面积型概率的计算逻辑，即事件发生概率等于所求区域面积与总区域面积的比值，只要正确运用圆的面积公式计算对应面积即可顺利求解，得分率较高。
【难度系数】
0.8
6 一个不透明的袋中装有 5 个黄球、13 个黑球和 22 个红球，它们除颜色外其他都相同.
（1）求从袋中摸出 1 个球是黄球的概率；
（2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后，从袋中摸出 1 个球是黄球的概率不小于$\frac{1}{3}$，则至少取出了多少个黑球？
（1）求从袋中摸出 1 个球是黄球的概率；
（2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后，从袋中摸出 1 个球是黄球的概率不小于$\frac{1}{3}$，则至少取出了多少个黑球？
答案
6. (1) $P$(摸出 1 个球是黄球)$=\dfrac{5}{5+13+22}=\dfrac{1}{8}$
(2) 设取出了 $x$ 个黑球.根据题意,得$\dfrac{5+x}{5+13+22}≥ \dfrac{1}{3}$,解得 $x≥ \dfrac{25}{3}$.$\therefore x$ 的最小正整数值是9,$\therefore$ 至少取出了9个黑球
(2) 设取出了 $x$ 个黑球.根据题意,得$\dfrac{5+x}{5+13+22}≥ \dfrac{1}{3}$,解得 $x≥ \dfrac{25}{3}$.$\therefore x$ 的最小正整数值是9,$\therefore$ 至少取出了9个黑球
解析
【分析】
（1）求解摸出黄球的概率，需依据概率计算公式，先算出袋中球的总数量，再用黄球的数量除以总数量就能得到结果。
（2）先设取出黑球的个数为x，由于取出x个黑球的同时放入了x个黄球，因此此时黄球的个数变为$(5+x)$个，且袋中球的总个数不变（取出和放入的数量相等）。根据“摸出黄球的概率不小于$\frac{1}{3}$”即概率≥$\frac{1}{3}$，结合概率公式列出一元一次不等式，解不等式后结合x为正整数的隐含条件，就能求出x的最小取值。
【解析】
（1）先计算袋中球的总个数：$5+13+22=40$（个）
根据概率公式：$P(\mathrm{摸出1个球是黄球})=\dfrac{\mathrm{黄球个数}}{\mathrm{总球数}}=\dfrac{5}{40}=\dfrac{1}{8}$。
（2）设取出了$x$个黑球，则放入了$x$个黄球，此时袋中黄球的个数为$(5+x)$个，总球数仍为40个。
根据题意列不等式：$\dfrac{5+x}{40}≥ \dfrac{1}{3}$
解不等式：
两边同乘120去分母得：$3(5+x)≥ 40$
展开得：$15+3x≥ 40$
移项合并得：$3x≥ 25$
解得：$x≥ \dfrac{25}{3}\approx 8.33$
因为$x$是取出黑球的个数，必须为正整数，所以$x$的最小正整数值是9，即至少取出了9个黑球。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{8}$；(2) 9个
【知识点】
概率公式；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合概率计算与不等式的实际应用，第一问属于基础概率计算，掌握概率公式即可快速求解；第二问的解题关键是明确操作后黄球数量的变化规律以及总球数不变的特点，列不等式时要准确理解“不小于”的含义是大于等于，最后要结合实际意义取x的正整数值，整体侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
（1）求解摸出黄球的概率，需依据概率计算公式，先算出袋中球的总数量，再用黄球的数量除以总数量就能得到结果。
（2）先设取出黑球的个数为x，由于取出x个黑球的同时放入了x个黄球，因此此时黄球的个数变为$(5+x)$个，且袋中球的总个数不变（取出和放入的数量相等）。根据“摸出黄球的概率不小于$\frac{1}{3}$”即概率≥$\frac{1}{3}$，结合概率公式列出一元一次不等式，解不等式后结合x为正整数的隐含条件，就能求出x的最小取值。
【解析】
（1）先计算袋中球的总个数：$5+13+22=40$（个）
根据概率公式：$P(\mathrm{摸出1个球是黄球})=\dfrac{\mathrm{黄球个数}}{\mathrm{总球数}}=\dfrac{5}{40}=\dfrac{1}{8}$。
（2）设取出了$x$个黑球，则放入了$x$个黄球，此时袋中黄球的个数为$(5+x)$个，总球数仍为40个。
根据题意列不等式：$\dfrac{5+x}{40}≥ \dfrac{1}{3}$
解不等式：
两边同乘120去分母得：$3(5+x)≥ 40$
展开得：$15+3x≥ 40$
移项合并得：$3x≥ 25$
解得：$x≥ \dfrac{25}{3}\approx 8.33$
因为$x$是取出黑球的个数，必须为正整数，所以$x$的最小正整数值是9，即至少取出了9个黑球。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{8}$；(2) 9个
【知识点】
概率公式；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合概率计算与不等式的实际应用，第一问属于基础概率计算，掌握概率公式即可快速求解；第二问的解题关键是明确操作后黄球数量的变化规律以及总球数不变的特点，列不等式时要准确理解“不小于”的含义是大于等于，最后要结合实际意义取x的正整数值，整体侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
7 [2025 兰州]现有甲、乙两个不透明盒子，其中甲盒装有分别写着d，t，l的三张声母卡片，乙盒装有分别写着a，e，i的三张韵母卡片（卡片除汉语拼音字母外，其余完全相同）。若小明分别从甲、乙盒子中随机各抽取一张卡片，则两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是（
A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{3}$
A
）A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
7. A
解析
【分析】
本题属于古典概型的概率求解问题，解题思路如下：首先确定两步抽取的所有等可能结果总数，甲盒有3种抽取结果，乙盒有3种抽取结果，用分步计数可算出总结果数；再明确“德”的读音为“de”，对应需抽到甲盒的“d”和乙盒的“e”，统计符合条件的结果数；最后代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
【解析】
解：从甲盒中随机抽取1张卡片，共有3种等可能的结果，从乙盒中随机抽取1张卡片，共有3种等可能的结果，因此各抽1张的所有等可能结果总数为：$3×3=9$种。
“德”字的读音为“de”，即两张卡片的组合为“d”和“e”，仅存在1种符合要求的结果。
根据概率公式可得，两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率为：$P=\frac{1}{9}$。
【答案】
A
【知识点】
1. 古典概型概率计算
2. 分步计数原理
【点评】
本题结合拼音背景考查基础概率的计算，题型常规，难度较低，核心是准确统计总结果数和符合条件的结果数。
【难度系数】
0.9
本题属于古典概型的概率求解问题，解题思路如下：首先确定两步抽取的所有等可能结果总数，甲盒有3种抽取结果，乙盒有3种抽取结果，用分步计数可算出总结果数；再明确“德”的读音为“de”，对应需抽到甲盒的“d”和乙盒的“e”，统计符合条件的结果数；最后代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
【解析】
解：从甲盒中随机抽取1张卡片，共有3种等可能的结果，从乙盒中随机抽取1张卡片，共有3种等可能的结果，因此各抽1张的所有等可能结果总数为：$3×3=9$种。
“德”字的读音为“de”，即两张卡片的组合为“d”和“e”，仅存在1种符合要求的结果。
根据概率公式可得，两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率为：$P=\frac{1}{9}$。
【答案】
A
【知识点】
1. 古典概型概率计算
2. 分步计数原理
【点评】
本题结合拼音背景考查基础概率的计算，题型常规，难度较低，核心是准确统计总结果数和符合条件的结果数。
【难度系数】
0.9
