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8 [2025 宁夏]为提升学生艺术素养，学校在周三同时开展了多种文艺社团活动，现从参加器乐、舞蹈和声乐这三个文艺社团的学生中随机抽取两名，他们恰好参加同一社团的概率为
$\dfrac{1}{3}$
。答案
8. $\dfrac{1}{3}$
解析
【分析】
这是一道古典概型的概率计算问题，解题思路如下：首先给三个社团做标记方便后续列举，由于是随机抽取，每名学生属于三个社团的可能性相等，我们可以通过列表法列举出抽取两名学生的所有等可能的社团组合结果，再从中找出“两名学生恰好参加同一社团”的符合条件的结果数，最后代入概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}$计算即可得到答案。
【解析】
我们将器乐、舞蹈、声乐三个社团分别记为A、B、C，用列表法列出抽取两名学生的所有等可能的社团组合：
| 第一名学生社团\第二名学生社团 | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由上表可得，共有9种等可能的结果，其中两名学生恰好参加同一社团的结果有(A,A)、(B,B)、(C,C)，共3种。
代入概率公式计算：
$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
列表法求概率；概率公式
【点评】
本题属于概率基础题型，重点考查对古典概型的理解和列举法的运用，解题时只要准确列举所有等可能结果，避免漏算或重复计算，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
这是一道古典概型的概率计算问题，解题思路如下：首先给三个社团做标记方便后续列举，由于是随机抽取，每名学生属于三个社团的可能性相等，我们可以通过列表法列举出抽取两名学生的所有等可能的社团组合结果，再从中找出“两名学生恰好参加同一社团”的符合条件的结果数，最后代入概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}$计算即可得到答案。
【解析】
我们将器乐、舞蹈、声乐三个社团分别记为A、B、C，用列表法列出抽取两名学生的所有等可能的社团组合：
| 第一名学生社团\第二名学生社团 | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由上表可得，共有9种等可能的结果，其中两名学生恰好参加同一社团的结果有(A,A)、(B,B)、(C,C)，共3种。
代入概率公式计算：
$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
列表法求概率；概率公式
【点评】
本题属于概率基础题型，重点考查对古典概型的理解和列举法的运用，解题时只要准确列举所有等可能结果，避免漏算或重复计算，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
9 [2025浙江]现有六张分别标有数字1,2,3,4,5,6的卡片，其中标有数字1,4,5的卡片在甲手中，标有数字2,3,6的卡片在乙手中.两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是
$\dfrac{4}{9}$
.答案
9. $\dfrac{4}{9}$
解析
【分析】
本题考查古典概型的概率计算，解题思路如下：首先确定两人各出一张卡片的所有等可能结果总数，甲有3张卡片、乙有3张卡片，各出一张的总等可能结果数为3×3=9种；接下来逐一枚举所有情况，找出甲的卡片数字大于乙的结果数；最后根据概率公式“P(事件)=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可得到答案。
【解析】
解：两人各随机出一张卡片，所有等可能的结果共有：
(1,2)、(1,3)、(1,6)、(4,2)、(4,3)、(4,6)、(5,2)、(5,3)、(5,6)，共9种。
其中满足甲出的卡片数字比乙大的结果有：(4,2)、(4,3)、(5,2)、(5,3)，共4种。
根据概率计算公式可得：$P=\dfrac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\dfrac{4}{9}$。
【答案】
$\dfrac{4}{9}$
【知识点】
古典概型，概率公式，列举法求概率
【点评】
本题属于概率计算的基础题型，解题的核心是不重不漏地列举出所有等可能的结果，再筛选出符合条件的结果代入公式计算，需注意枚举时要按顺序罗列，避免漏数或多数。
【难度系数】
0.7
本题考查古典概型的概率计算，解题思路如下：首先确定两人各出一张卡片的所有等可能结果总数，甲有3张卡片、乙有3张卡片，各出一张的总等可能结果数为3×3=9种；接下来逐一枚举所有情况，找出甲的卡片数字大于乙的结果数；最后根据概率公式“P(事件)=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可得到答案。
【解析】
解：两人各随机出一张卡片，所有等可能的结果共有：
(1,2)、(1,3)、(1,6)、(4,2)、(4,3)、(4,6)、(5,2)、(5,3)、(5,6)，共9种。
其中满足甲出的卡片数字比乙大的结果有：(4,2)、(4,3)、(5,2)、(5,3)，共4种。
根据概率计算公式可得：$P=\dfrac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\dfrac{4}{9}$。
【答案】
$\dfrac{4}{9}$
【知识点】
古典概型，概率公式，列举法求概率
【点评】
本题属于概率计算的基础题型，解题的核心是不重不漏地列举出所有等可能的结果，再筛选出符合条件的结果代入公式计算，需注意枚举时要按顺序罗列，避免漏数或多数。
【难度系数】
0.7
10 [2024 苏州]一个不透明的盒子中装有 4 张书签，分别描绘“春”“夏”“秋”“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将 4 张书签充分搅匀.
（1）若从盒子中任意抽取 1 张书签，恰好抽到“夏”的概率为
（2）若从盒子中任意抽取 2 张书签（先抽取 1 张书签，且这张书签不放回，再抽取 1 张书签），求抽取的书签恰好 1 张为“春”，1 张为“秋”的概率（请用画树状图或列表的方法求解）.
（1）若从盒子中任意抽取 1 张书签，恰好抽到“夏”的概率为
$\dfrac{1}{4}$
；（2）若从盒子中任意抽取 2 张书签（先抽取 1 张书签，且这张书签不放回，再抽取 1 张书签），求抽取的书签恰好 1 张为“春”，1 张为“秋”的概率（请用画树状图或列表的方法求解）.
答案
10. (1) $\dfrac{1}{4}$
(2) 列表如下：
| 第 2 张
第 1 张 | 春 | 夏 | 秋 | 冬 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 春 | | (春,夏) | (春,秋) | (春,冬) |
| 夏 | (夏,春) | | (夏,秋) | (夏,冬) |
| 秋 | (秋,春) | (秋,夏) | | (秋,冬) |
| 冬 | (冬,春) | (冬,夏) | (冬,秋) | |
由表,可知从盒子中任意抽取2张书签共有12种等可能的结果,其中抽取的书签恰好1张为“春”,1张为“秋”的结果有2种,$\therefore P$(抽取的书签恰好1张为“春”,1张为“秋”)$=\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$
(2) 列表如下：
| 第 2 张
第 1 张 | 春 | 夏 | 秋 | 冬 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 春 | | (春,夏) | (春,秋) | (春,冬) |
| 夏 | (夏,春) | | (夏,秋) | (夏,冬) |
| 秋 | (秋,春) | (秋,夏) | | (秋,冬) |
| 冬 | (冬,春) | (冬,夏) | (冬,秋) | |
由表,可知从盒子中任意抽取2张书签共有12种等可能的结果,其中抽取的书签恰好1张为“春”,1张为“秋”的结果有2种,$\therefore P$(抽取的书签恰好1张为“春”,1张为“秋”)$=\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$
解析
【分析】
（1）第一问属于简单古典概型问题，抽取1张书签时，总共有4种等可能的结果，其中恰好抽到“夏”的结果只有1种，根据概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”即可直接计算。
（2）第二问是不放回抽取2张的概率问题，首先明确抽取规则：第一次抽取后不放回，因此第二次抽取时总样本数减少1，且不会抽到和第一次相同的书签。我们可以通过列表法列举出所有等可能的抽取结果，再从中找出“1张为春、1张为秋”的符合条件的结果数，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
（1）盒子中共有4张除图案外均相同的书签，任意抽取1张共有4种等可能的结果，其中恰好抽到“夏”的结果有1种，因此恰好抽到“夏”的概率为$\frac{1}{4}$。
（2）列表列举所有不放回抽取2张书签的结果如下：
| 第2张\第1张 | 春 | 夏 | 秋 | 冬 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 春 | — | (春,夏) | (春,秋) | (春,冬) |
| 夏 | (夏,春) | — | (夏,秋) | (夏,冬) |
| 秋 | (秋,春) | (秋,夏) | — | (秋,冬) |
| 冬 | (冬,春) | (冬,夏) | (冬,秋) | — |
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中恰好1张为“春”、1张为“秋”的结果有2种，分别是(春,秋)和(秋,春)。
因此$P(\mathrm{抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”})=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{4}$；(2) $\dfrac{1}{6}$
【知识点】
简单概率计算、列表法求概率、不放回抽样概率
【点评】
本题是概率的基础常考题，第一问直接考查古典概型的基础计算，第二问需要掌握列表法或树状图法列举所有等可能结果，解题时需注意“不放回”的抽取规则，避免出现重复计数的错误。
【难度系数】
0.8
（1）第一问属于简单古典概型问题，抽取1张书签时，总共有4种等可能的结果，其中恰好抽到“夏”的结果只有1种，根据概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”即可直接计算。
（2）第二问是不放回抽取2张的概率问题，首先明确抽取规则：第一次抽取后不放回，因此第二次抽取时总样本数减少1，且不会抽到和第一次相同的书签。我们可以通过列表法列举出所有等可能的抽取结果，再从中找出“1张为春、1张为秋”的符合条件的结果数，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
（1）盒子中共有4张除图案外均相同的书签，任意抽取1张共有4种等可能的结果，其中恰好抽到“夏”的结果有1种，因此恰好抽到“夏”的概率为$\frac{1}{4}$。
（2）列表列举所有不放回抽取2张书签的结果如下：
| 第2张\第1张 | 春 | 夏 | 秋 | 冬 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 春 | — | (春,夏) | (春,秋) | (春,冬) |
| 夏 | (夏,春) | — | (夏,秋) | (夏,冬) |
| 秋 | (秋,春) | (秋,夏) | — | (秋,冬) |
| 冬 | (冬,春) | (冬,夏) | (冬,秋) | — |
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中恰好1张为“春”、1张为“秋”的结果有2种，分别是(春,秋)和(秋,春)。
因此$P(\mathrm{抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”})=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{4}$；(2) $\dfrac{1}{6}$
【知识点】
简单概率计算、列表法求概率、不放回抽样概率
【点评】
本题是概率的基础常考题，第一问直接考查古典概型的基础计算，第二问需要掌握列表法或树状图法列举所有等可能结果，解题时需注意“不放回”的抽取规则，避免出现重复计数的错误。
【难度系数】
0.8
11 [2025宿迁]某校建议同学们利用周末时间积极参加社会实践活动.某一周末有两个项目供同学选择:A文明交通劝导志愿行;B乡村教育关爱行.每名同学只能任意选择其中一个项目.
（1）甲同学选择A项目的概率为
（2）请用画树状图的方法,求甲、乙、丙三名同学恰好选择同一个项目的概率.
（1）甲同学选择A项目的概率为
$\dfrac{1}{2}$
;（2）请用画树状图的方法,求甲、乙、丙三名同学恰好选择同一个项目的概率.
答案
11. (1) $\dfrac{1}{2}$
(2) 画树状图如图所示
.由树状图,可知甲、乙、丙三名同学选择活动项目共有8种等可能的结果,其中甲、乙、丙三名同学恰好选择同一个项目的结果有2种,$\therefore P$(甲、乙、丙三名同学恰好选择同一个项目)$=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$解析
【分析】
（1）第一问属于简单等可能事件的概率计算，总共有A、B2种等可能的选择，其中选择A项目的情况只有1种，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到对应概率。
（2）第二问要求用树状图法求解，我们按甲、乙、丙的选择顺序依次列出每个人的2种可选项目，得到所有等可能的总结果数，再从中筛选出三人恰好选择同一个项目的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
（1）同学可选择的项目共2种，且选择每个项目的可能性相等，其中选择A项目的情况有1种，因此甲同学选择A项目的概率为$\dfrac{1}{2}$。
（2）根据题意画树状图：
由树状图可得，甲、乙、丙三名同学选择活动项目共有8种等可能的结果，其中三人恰好选择同一个项目的结果有2种：三人都选A、三人都选B。
根据概率公式可得：$P$(甲、乙、丙三名同学恰好选择同一个项目)$=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{2}$
(2) 画树状图如图所示。由树状图,可知甲、乙、丙三名同学选择活动项目共有8种等可能的结果,其中甲、乙、丙三名同学恰好选择同一个项目的结果有2种,$\therefore P$(甲、乙、丙三名同学恰好选择同一个项目)$=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$
【知识点】
简单事件概率计算，树状图法求概率
【点评】
本题是概率基础题型，第一问直接考查等可能事件的概率计算，第二问的解题核心是用树状图不重不漏地列举出所有等可能结果，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
（1）第一问属于简单等可能事件的概率计算，总共有A、B2种等可能的选择，其中选择A项目的情况只有1种，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到对应概率。
（2）第二问要求用树状图法求解，我们按甲、乙、丙的选择顺序依次列出每个人的2种可选项目，得到所有等可能的总结果数，再从中筛选出三人恰好选择同一个项目的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
（1）同学可选择的项目共2种，且选择每个项目的可能性相等，其中选择A项目的情况有1种，因此甲同学选择A项目的概率为$\dfrac{1}{2}$。
（2）根据题意画树状图：
由树状图可得，甲、乙、丙三名同学选择活动项目共有8种等可能的结果，其中三人恰好选择同一个项目的结果有2种：三人都选A、三人都选B。
根据概率公式可得：$P$(甲、乙、丙三名同学恰好选择同一个项目)$=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{2}$
(2) 画树状图如图所示
。由树状图,可知甲、乙、丙三名同学选择活动项目共有8种等可能的结果,其中甲、乙、丙三名同学恰好选择同一个项目的结果有2种,$\therefore P$(甲、乙、丙三名同学恰好选择同一个项目)$=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$【知识点】
简单事件概率计算，树状图法求概率
【点评】
本题是概率基础题型，第一问直接考查等可能事件的概率计算，第二问的解题核心是用树状图不重不漏地列举出所有等可能结果，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
12 [2025昆山市段考]某小组在做“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（
A.掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
B.掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面上的点数是6
C.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”
D.袋子中有1个白球和2个黄球，从中随机取出一个球是黄球
B
）A.掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
B.掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面上的点数是6
C.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”
D.袋子中有1个白球和2个黄球，从中随机取出一个球是黄球
答案
12. B
解析
【分析】
本题考查利用频率估计概率，解题思路如下：首先观察折线统计图，随着试验次数增加，频率逐渐稳定在0.15~0.2之间，近似为$\frac{1}{6}\approx0.167$；接下来分别计算四个选项中对应事件的概率，选出概率与该稳定频率最接近的选项即可。
【解析】
由折线统计图可知，大量重复试验下，该事件发生的频率逐渐稳定在约0.17附近，根据频率估计概率的知识，可知该事件的概率约为$\frac{1}{6}$。
分别计算各选项事件的概率：
A. 掷质地均匀的硬币，正面向上的概率为$\frac{1}{2}=0.5$，与稳定频率不符，排除；
B. 掷质地均匀的正六面体骰子，朝上点数为6的概率为$\frac{1}{6}\approx0.167$，与稳定频率接近，符合要求；
C. “石头、剪刀、布”中随机出“石头”的概率为$\frac{1}{3}\approx0.33$，与稳定频率不符，排除；
D. 1个白球2个黄球中随机取一个是黄球的概率为$\frac{2}{3}\approx0.67$，与稳定频率不符，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
频率估计概率，简单事件概率计算
【点评】
本题是频率与概率结合的基础题，解题核心是理解“大量重复试验中，频率的稳定值即为事件发生的概率”，再结合简单概率计算判断选项，贴近生活情境，考查对基础概念的应用能力。
【难度系数】
0.7
本题考查利用频率估计概率，解题思路如下：首先观察折线统计图，随着试验次数增加，频率逐渐稳定在0.15~0.2之间，近似为$\frac{1}{6}\approx0.167$；接下来分别计算四个选项中对应事件的概率，选出概率与该稳定频率最接近的选项即可。
【解析】
由折线统计图可知，大量重复试验下，该事件发生的频率逐渐稳定在约0.17附近，根据频率估计概率的知识，可知该事件的概率约为$\frac{1}{6}$。
分别计算各选项事件的概率：
A. 掷质地均匀的硬币，正面向上的概率为$\frac{1}{2}=0.5$，与稳定频率不符，排除；
B. 掷质地均匀的正六面体骰子，朝上点数为6的概率为$\frac{1}{6}\approx0.167$，与稳定频率接近，符合要求；
C. “石头、剪刀、布”中随机出“石头”的概率为$\frac{1}{3}\approx0.33$，与稳定频率不符，排除；
D. 1个白球2个黄球中随机取一个是黄球的概率为$\frac{2}{3}\approx0.67$，与稳定频率不符，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
频率估计概率，简单事件概率计算
【点评】
本题是频率与概率结合的基础题，解题核心是理解“大量重复试验中，频率的稳定值即为事件发生的概率”，再结合简单概率计算判断选项，贴近生活情境，考查对基础概念的应用能力。
【难度系数】
0.7
