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1 下列函数中，y是关于x的反比例函数的为（
A.$y=\dfrac{1}{x+1}$
B.$y=\dfrac{1}{x^2}$
C.$y=-\dfrac{1}{2x}$
D.$y=-\dfrac{x}{2}$
C
）A.$y=\dfrac{1}{x+1}$
B.$y=\dfrac{1}{x^2}$
C.$y=-\dfrac{1}{2x}$
D.$y=-\dfrac{x}{2}$
答案
1. C
解析
【分析】
要判断哪个函数是反比例函数，首先需要明确反比例函数的定义特征：反比例函数的标准形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$），也可写成$y=kx^{-1}$的形式，核心要求是：自变量$x$的次数为$-1$，且分母仅含单个自变量$x$，常数系数$k$不为0。接下来我们按照这个标准逐一排查四个选项即可得到答案。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做关于$x$的反比例函数。
对各选项逐一分析：
A选项：$y=\frac{1}{x+1}$，分母为$x+1$，自变量是$x+1$而非单个$x$，不符合反比例函数定义，排除；
B选项：$y=\frac{1}{x^2}$，自变量$x$的次数是$-2$，不符合反比例函数自变量次数为$-1$的要求，排除；
C选项：$y=-\frac{1}{2x}$可变形为$y=\frac{-\frac{1}{2}}{x}$，其中$k=-\frac{1}{2}≠0$，完全符合反比例函数的定义，当选；
D选项：$y=-\frac{x}{2}$是形如$y=kx$（$k=-\frac{1}{2}$）的正比例函数，不符合反比例函数定义，排除。
【答案】
C
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 函数类型识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确掌握反比例函数的形式特征，注意区分反比例函数与正比例函数、其他分式函数的差异，避免混淆自变量的次数、分母的构成等细节。
【难度系数】
0.85
要判断哪个函数是反比例函数，首先需要明确反比例函数的定义特征：反比例函数的标准形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$），也可写成$y=kx^{-1}$的形式，核心要求是：自变量$x$的次数为$-1$，且分母仅含单个自变量$x$，常数系数$k$不为0。接下来我们按照这个标准逐一排查四个选项即可得到答案。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做关于$x$的反比例函数。
对各选项逐一分析：
A选项：$y=\frac{1}{x+1}$，分母为$x+1$，自变量是$x+1$而非单个$x$，不符合反比例函数定义，排除；
B选项：$y=\frac{1}{x^2}$，自变量$x$的次数是$-2$，不符合反比例函数自变量次数为$-1$的要求，排除；
C选项：$y=-\frac{1}{2x}$可变形为$y=\frac{-\frac{1}{2}}{x}$，其中$k=-\frac{1}{2}≠0$，完全符合反比例函数的定义，当选；
D选项：$y=-\frac{x}{2}$是形如$y=kx$（$k=-\frac{1}{2}$）的正比例函数，不符合反比例函数定义，排除。
【答案】
C
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 函数类型识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确掌握反比例函数的形式特征，注意区分反比例函数与正比例函数、其他分式函数的差异，避免混淆自变量的次数、分母的构成等细节。
【难度系数】
0.85
2 已知点$A(1,-3)$关于$x$轴的对称点$A'$在函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上，则$k$的值为（
A.$3$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$-3$
D.$-\dfrac{1}{3}$
A
）A.$3$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$-3$
D.$-\dfrac{1}{3}$
答案
2. A
解析
【分析】
解题思路分为两步：①先根据关于x轴对称的点的坐标规律，求出点A的对称点A'的坐标；②反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将A'的坐标代入$y=\dfrac{k}{x}$即可计算出k的值。
【解析】
1. 求对称点$A'$的坐标：关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数。已知点$A(1,-3)$，因此$A'$的横坐标为1，纵坐标为$-(-3)=3$，即$A'(1,3)$。
2. 代入解析式求k：因为$A'(1,3)$在函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上，将$x=1$、$y=3$代入解析式得：$3=\dfrac{k}{1}$，解得$k=3$。
【答案】
A
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是基础题，侧重考查基础概念的应用，只要熟练掌握对称点坐标变化规律和反比例函数的基本性质，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两步：①先根据关于x轴对称的点的坐标规律，求出点A的对称点A'的坐标；②反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将A'的坐标代入$y=\dfrac{k}{x}$即可计算出k的值。
【解析】
1. 求对称点$A'$的坐标：关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数。已知点$A(1,-3)$，因此$A'$的横坐标为1，纵坐标为$-(-3)=3$，即$A'(1,3)$。
2. 代入解析式求k：因为$A'(1,3)$在函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上，将$x=1$、$y=3$代入解析式得：$3=\dfrac{k}{1}$，解得$k=3$。
【答案】
A
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是基础题，侧重考查基础概念的应用，只要熟练掌握对称点坐标变化规律和反比例函数的基本性质，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
3 如图，点B，C的坐标分别为(3，-3)，(5，0)，以OC，CB为邻边作$□ OABC$，则图象经过点A的反比例函数的表达式为
$y=\dfrac{6}{x}$
。答案
3. $y=\dfrac{6}{x}$
解析
【分析】
要得到经过点A的反比例函数表达式，首先需要求出点A的坐标。已知四边形OABC是平行四边形，利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合已知的点B、C和原点O的坐标即可求出点A的坐标；再将点A坐标代入反比例函数的一般式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$求出k值，就能得到对应的反比例函数表达式。
【解析】
解：
∵四边形OABC是平行四边形
∴$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CB}$
已知点B坐标为$(3,-3)$，点C坐标为$(5,0)$，原点O坐标为$(0,0)$
则$\overrightarrow{CB}=(3-5,-3-0)=(-2,-3)$
∴点A的坐标为$(-2,-3)$
设经过点A的反比例函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$
将$A(-2,-3)$代入表达式得：
$-3=\frac{k}{-2}$，解得$k=(-2)×(-3)=6$
∴该反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$
【答案】
$y=\dfrac{6}{x}$
【知识点】
平行四边形的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题结合平行四边形的坐标性质考查反比例函数解析式的求解，解题核心是准确求出点A的坐标，再代入计算即可，属于基础的综合考查题型。
【难度系数】
0.8
要得到经过点A的反比例函数表达式，首先需要求出点A的坐标。已知四边形OABC是平行四边形，利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合已知的点B、C和原点O的坐标即可求出点A的坐标；再将点A坐标代入反比例函数的一般式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$求出k值，就能得到对应的反比例函数表达式。
【解析】
解：
∵四边形OABC是平行四边形
∴$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CB}$
已知点B坐标为$(3,-3)$，点C坐标为$(5,0)$，原点O坐标为$(0,0)$
则$\overrightarrow{CB}=(3-5,-3-0)=(-2,-3)$
∴点A的坐标为$(-2,-3)$
设经过点A的反比例函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$
将$A(-2,-3)$代入表达式得：
$-3=\frac{k}{-2}$，解得$k=(-2)×(-3)=6$
∴该反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$
【答案】
$y=\dfrac{6}{x}$
【知识点】
平行四边形的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题结合平行四边形的坐标性质考查反比例函数解析式的求解，解题核心是准确求出点A的坐标，再代入计算即可，属于基础的综合考查题型。
【难度系数】
0.8
4 已知点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$都在反比例函数$y=\frac{a^2+1}{x}$(a是常数)的图象上，且$y_1＜y_2＜0＜y_3$，则$x_1,x_2,x_3$的大小关系为
$x_3＞x_1＞x_2$
(用“＞”连接)。答案
4. $x_3＞x_1＞x_2$
解析
【分析】
首先判断反比例函数的比例系数符号：由平方的非负性可知a²≥0，因此a²+1＞0，可确定该反比例函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小。其次根据y的大小关系判断三点所在象限：y₁＜y₂＜0说明A、B在第三象限（横、纵坐标均为负），y₃＞0说明C在第一象限（横、纵坐标均为正），因此x₃一定大于x₁、x₂。最后结合第三象限内函数的增减性，比较x₁和x₂的大小，即可得到三者的大小关系。
【解析】
解：
∵a²≥0，
∴a²+1≥1＞0，
∴反比例函数$y=\frac{a^2+1}{x}$的图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小。
∵$y_1＜y_2＜0＜y_3$，
∴点A、B在第三象限，点C在第一象限，
∴$x_3＞0$，$x_1＜0$，$x_2＜0$。
又
∵在第三象限内y随x的增大而减小，$y_1＜y_2$，
∴$x_1＞x_2$，
综上可得$x_3＞x_1＞x_2$。
【答案】
$x_3＞x_1＞x_2$
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 平方的非负性
3. 有理数大小比较
【点评】
本题是反比例函数性质的典型应用题，解题时需先确定函数图象所在象限，再区分点是否在同一象限：跨象限的点可先通过坐标符号判断大小，同一象限内的点再结合函数增减性比较坐标大小，避免直接用增减性比较跨象限点的坐标导致出错。
【难度系数】
0.75
首先判断反比例函数的比例系数符号：由平方的非负性可知a²≥0，因此a²+1＞0，可确定该反比例函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小。其次根据y的大小关系判断三点所在象限：y₁＜y₂＜0说明A、B在第三象限（横、纵坐标均为负），y₃＞0说明C在第一象限（横、纵坐标均为正），因此x₃一定大于x₁、x₂。最后结合第三象限内函数的增减性，比较x₁和x₂的大小，即可得到三者的大小关系。
【解析】
解：
∵a²≥0，
∴a²+1≥1＞0，
∴反比例函数$y=\frac{a^2+1}{x}$的图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小。
∵$y_1＜y_2＜0＜y_3$，
∴点A、B在第三象限，点C在第一象限，
∴$x_3＞0$，$x_1＜0$，$x_2＜0$。
又
∵在第三象限内y随x的增大而减小，$y_1＜y_2$，
∴$x_1＞x_2$，
综上可得$x_3＞x_1＞x_2$。
【答案】
$x_3＞x_1＞x_2$
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 平方的非负性
3. 有理数大小比较
【点评】
本题是反比例函数性质的典型应用题，解题时需先确定函数图象所在象限，再区分点是否在同一象限：跨象限的点可先通过坐标符号判断大小，同一象限内的点再结合函数增减性比较坐标大小，避免直接用增减性比较跨象限点的坐标导致出错。
【难度系数】
0.75
5 [2025 宁夏]如图,点A在函数$y=\frac{k_1}{x}(k_1≠0,x＞0)$的图象上,过点A作$AB// y$轴,交$x$轴于点$C$,交函数$y=\frac{k_2}{x}(k_2≠0,x＞0)$的图象于点$B$.若$AC=3BC$,则$\frac{k_1}{k_2}$的值为
-3
.答案
5. -3
解析
【分析】
解题时可先设出点C的横坐标，根据AB平行于y轴的性质，得到点A、B的横坐标与点C相同，再结合反比例函数图象上点的坐标特征，分别表示出点A、B的纵坐标，进而用含$k_1$、$k_2$的式子表示出AC、BC的长度，最后结合$AC=3BC$的等量关系化简即可求出比值，解题时要注意反比例函数所在象限对应的k的符号，避免符号出错。
【解析】
设点C的坐标为$(m,0)$（$m＞0$）。
∵ $AB// y$轴，
∴ 点A、点B的横坐标均为$m$。
∵ 点A在函数$y=\frac{k_1}{x}(x＞0)$的图象上，
∴ 点A的坐标为$(m,\frac{k_1}{m})$，则$AC=\frac{k_1}{m}$（A在第一象限，纵坐标为正）。
∵ 点B在函数$y=\frac{k_2}{x}(x＞0)$的图象上，
∴ 点B的坐标为$(m,\frac{k_2}{m})$，则$BC=|\frac{k_2}{m}|=-\frac{k_2}{m}$（B在第四象限，纵坐标为负，长度为正）。
已知$AC=3BC$，代入得：
$\frac{k_1}{m}=3×(-\frac{k_2}{m})$
∵ $m＞0$，等式两边同时乘$m$得：
$k_1=-3k_2$
∴ $\frac{k_1}{k_2}=-3$
【答案】
-3
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的图象与性质；平面直角坐标系线段长度计算
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题，解题核心是利用平行于y轴的直线上点横坐标相同的性质，结合反比例函数点的坐标特征建立等量关系，计算时需注意第四象限点的纵坐标为负，求线段长度时要取绝对值，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
解题时可先设出点C的横坐标，根据AB平行于y轴的性质，得到点A、B的横坐标与点C相同，再结合反比例函数图象上点的坐标特征，分别表示出点A、B的纵坐标，进而用含$k_1$、$k_2$的式子表示出AC、BC的长度，最后结合$AC=3BC$的等量关系化简即可求出比值，解题时要注意反比例函数所在象限对应的k的符号，避免符号出错。
【解析】
设点C的坐标为$(m,0)$（$m＞0$）。
∵ $AB// y$轴，
∴ 点A、点B的横坐标均为$m$。
∵ 点A在函数$y=\frac{k_1}{x}(x＞0)$的图象上，
∴ 点A的坐标为$(m,\frac{k_1}{m})$，则$AC=\frac{k_1}{m}$（A在第一象限，纵坐标为正）。
∵ 点B在函数$y=\frac{k_2}{x}(x＞0)$的图象上，
∴ 点B的坐标为$(m,\frac{k_2}{m})$，则$BC=|\frac{k_2}{m}|=-\frac{k_2}{m}$（B在第四象限，纵坐标为负，长度为正）。
已知$AC=3BC$，代入得：
$\frac{k_1}{m}=3×(-\frac{k_2}{m})$
∵ $m＞0$，等式两边同时乘$m$得：
$k_1=-3k_2$
∴ $\frac{k_1}{k_2}=-3$
【答案】
-3
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的图象与性质；平面直角坐标系线段长度计算
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题，解题核心是利用平行于y轴的直线上点横坐标相同的性质，结合反比例函数点的坐标特征建立等量关系，计算时需注意第四象限点的纵坐标为负，求线段长度时要取绝对值，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
6 [2025苏州工业园区段考]已知y是x的反比例函数，且函数表达式为$y=-\dfrac{2m-6}{x}$。
（1）若反比例函数的图象在第二、四象限内，求m的取值范围；
（2）若$m=6$，点$A(-2,y_1)$在反比例函数$y=-\dfrac{2m-6}{x}$的图象上，求点A的坐标。
（1）若反比例函数的图象在第二、四象限内，求m的取值范围；
（2）若$m=6$，点$A(-2,y_1)$在反比例函数$y=-\dfrac{2m-6}{x}$的图象上，求点A的坐标。
答案
6. (1)
∵ 反比例函数$y=-\dfrac{2m-6}{x}$的图象在第二、四象限，
∴ $-(2m-6)＜0$，解得$m＞3$
(2)
∵ $m=6$，
∴ 反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{6}{x}$。把$A(-2,y_1)$代入，得$y_1=-\dfrac{6}{-2}=3$，
∴ 点A的坐标为$(-2,3)$
∵ 反比例函数$y=-\dfrac{2m-6}{x}$的图象在第二、四象限，
∴ $-(2m-6)＜0$，解得$m＞3$
(2)
∵ $m=6$，
∴ 反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{6}{x}$。把$A(-2,y_1)$代入，得$y_1=-\dfrac{6}{-2}=3$，
∴ 点A的坐标为$(-2,3)$
解析
【分析】
（1）对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$），当$k＜0$时，图象分布在第二、四象限。本题中比例系数$k=-(2m-6)$，因此只需令$k＜0$，解对应的一元一次不等式即可得到$m$的取值范围。
（2）先将$m=6$代入给定的函数表达式，得到具体的反比例函数解析式；再根据函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将点$A$的横坐标$x=-2$代入解析式，计算得到$y_1$的值，即可确定点$A$的坐标。
【解析】
（1）$\because$ 反比例函数$y=-\dfrac{2m-6}{x}$的图象在第二、四象限，
$\therefore$ 比例系数$-(2m-6)＜0$，
解不等式：
$-2m+6＜0$
$-2m＜-6$
不等号两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$m＞3$。
（2）当$m=6$时，代入函数表达式得：
$y=-\dfrac{2×6 -6}{x}=-\dfrac{6}{x}$，
$\because$ 点$A(-2,y_1)$在该反比例函数图象上，
$\therefore$ 将$x=-2$代入$y=-\dfrac{6}{x}$，得：
$y_1=-\dfrac{6}{-2}=3$，
$\therefore$ 点$A$的坐标为$(-2,3)$。
【答案】
(1) $m＞3$；
(2) $(-2,3)$
【知识点】
反比例函数的图象与性质，一元一次不等式的解法，函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，重点考查对反比例函数性质的理解和应用，以及函数图象上点的坐标与解析式的关系，牢记相关性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
（1）对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$），当$k＜0$时，图象分布在第二、四象限。本题中比例系数$k=-(2m-6)$，因此只需令$k＜0$，解对应的一元一次不等式即可得到$m$的取值范围。
（2）先将$m=6$代入给定的函数表达式，得到具体的反比例函数解析式；再根据函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将点$A$的横坐标$x=-2$代入解析式，计算得到$y_1$的值，即可确定点$A$的坐标。
【解析】
（1）$\because$ 反比例函数$y=-\dfrac{2m-6}{x}$的图象在第二、四象限，
$\therefore$ 比例系数$-(2m-6)＜0$，
解不等式：
$-2m+6＜0$
$-2m＜-6$
不等号两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$m＞3$。
（2）当$m=6$时，代入函数表达式得：
$y=-\dfrac{2×6 -6}{x}=-\dfrac{6}{x}$，
$\because$ 点$A(-2,y_1)$在该反比例函数图象上，
$\therefore$ 将$x=-2$代入$y=-\dfrac{6}{x}$，得：
$y_1=-\dfrac{6}{-2}=3$，
$\therefore$ 点$A$的坐标为$(-2,3)$。
【答案】
(1) $m＞3$；
(2) $(-2,3)$
【知识点】
反比例函数的图象与性质，一元一次不等式的解法，函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，重点考查对反比例函数性质的理解和应用，以及函数图象上点的坐标与解析式的关系，牢记相关性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
