7 如图,在平面直角坐标系中,A,B,C,D 四点在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上,线段AC,BD都过原点O,已知A(4,2),点B的纵坐标为4,连接AB,CD,DA,BC.
(1) 求该反比例函数的表达式;
(2) 当$y≥ -2$时,写出x的取值范围;
(3) 求四边形ABCD的面积.

7. (1) 把$A(4,2)$代入表达式$y=\dfrac{k}{x}$中，得$2=\dfrac{k}{4}$，解得$k=8$，
∴ 反比例函数的表达式为$y=\dfrac{8}{x}$
(2) 由题意，得点A与点C关于原点O对称。
∵ $A(4,2)$，
∴ $C(-4,-2)$。根据反比例函数的性质，可知$y=\dfrac{8}{x}$在每一个象限内，y随x的增大而减小，
∴ 结合图象，可知当$y≥-2$时，$x≤-4$或$x＞0$
(3)
∵ 点B的纵坐标为4，$y=\dfrac{8}{x}$，
∴ $x=2$，
∴ $B(2,4)$，
∴ 易得$D(-2,-4)$，
∴ $BD=\sqrt{(-2-2)^2+(-4-4)^2}=4\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{(-4-4)^2+(-2-2)^2}=4\sqrt{5}$，
∴ $BD=AC$。
∵ 点A，B，C，D都在反比例函数的图象上，且AC，BD过原点，
∴ 易得$OA=OC$，$OB=OD$，
∴ 四边形ABCD是矩形。
∵ $BC=\sqrt{(-4-2)^2+(-2-4)^2}=6\sqrt{2}$，$AB=\sqrt{(2-4)^2+(4-2)^2}=2\sqrt{2}$，
∴ 四边形ABCD的面积为$AB· BC=2\sqrt{2}×6\sqrt{2}=24$

【分析】
(1) 求反比例函数解析式可采用待定系数法，已知反比例函数过点A，将A点坐标直接代入表达式即可求出k值，得到解析式。
(2) 求$y≥-2$时x的取值范围，首先利用反比例函数关于原点中心对称的性质，找到$y=-2$对应的点C的坐标，再结合反比例函数的增减性和图象特征，分象限讨论x的取值，注意反比例函数自变量x不能为0。
(3) 求四边形面积时，先根据反比例函数解析式求出B点坐标，再由中心对称得到D、C的坐标；先由对角线互相平分判定四边形是平行四边形，再通过计算证明对角线相等，得出四边形为矩形，最后计算矩形邻边长度，相乘即可得到面积。
【解析】
(1) 将$A(4,2)$代入$y=\dfrac{k}{x}$中，得$2=\dfrac{k}{4}$，解得$k=8$，
∴ 反比例函数的表达式为$y=\dfrac{8}{x}$。
(2) 由反比例函数的中心对称性可知，点A与点C关于原点O对称，
∵ $A(4,2)$，
∴ $C(-4,-2)$。
∵ $k=8＞0$，
∴ $y=\dfrac{8}{x}$在每一个象限内，y随x的增大而减小，
结合图象分析：当$x＜0$时，若$y≥-2$，则$x≤-4$；当$x＞0$时，y恒为正，满足$y≥-2$，
综上，当$y≥-2$时，x的取值范围是$x≤-4$或$x＞0$。
(3)
∵ 点B在$y=\dfrac{8}{x}$的图象上，且纵坐标为4，
将$y=4$代入$y=\dfrac{8}{x}$，得$4=\dfrac{8}{x}$，解得$x=2$，
∴ $B(2,4)$，由中心对称性可得$D(-2,-4)$。
计算对角线长度：
$BD=\sqrt{(-2-2)^2+(-4-4)^2}=4\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{(-4-4)^2+(-2-2)^2}=4\sqrt{5}$，
∴ $BD=AC$。
∵ AC、BD都过原点，
∴ $OA=OC$，$OB=OD$，即四边形ABCD对角线互相平分，是平行四边形，
又
∵ 对角线$BD=AC$，
∴ 平行四边形ABCD是矩形。
计算邻边长度：
$AB=\sqrt{(2-4)^2+(4-2)^2}=2\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{(-4-2)^2+(-2-4)^2}=6\sqrt{2}$，
∴ 四边形ABCD的面积为$AB· BC=2\sqrt{2}×6\sqrt{2}=24$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{8}{x}$
(2) $x≤ -4$或$x＞0$
(3) $24$
【知识点】
1. 反比例函数解析式的确定
2. 反比例函数的图象与性质
3. 矩形的判定与面积计算
【点评】
本题综合考查反比例函数性质、中心对称性质与四边形的相关知识，解题过程中需要运用数形结合思想分析取值范围，注意反比例函数自变量不能为0，避免漏解；第三问需结合几何判定确定四边形形状，再计算面积，对综合运用知识的能力有一定要求。
【难度系数】
0.7

8 [2025河南]汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化。研究发现，某款轮胎的摩擦系数μ与车速v(km/h)之间的函数关系如图所示。下列说法中，错误的是（）

A.汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9
B.当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小
C.要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于60 km/h
D.若车速从25 km/h增大到60 km/h，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04

8. C

【分析】
本题是结合生活实际的函数图像分析题，解题时首先明确横坐标代表车速v（km/h），纵坐标代表轮胎摩擦系数μ，接下来将每个选项的描述和图像信息逐一对照判断，选出错误的选项即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 汽车静止时车速v=0，由图像可知，v=0时μ=0.9，即摩擦系数为0.9，该选项正确，不符合题意；
B. 观察0≤v≤60区间的图像，呈下降趋势，说明摩擦系数随车速的增大而减小，该选项正确，不符合题意；
C. 摩擦系数不低于0.71即μ≥0.71，由图像可知：当v≤60时，μ从0.9逐步降到0.71，均满足μ≥0.71；当v≥60时，μ=0.71也满足要求。因此只要车速不超过60km/h即可满足要求，并非“车速应不低于60km/h”，该选项错误，符合题意；
D. 车速25km/h时μ=0.75，车速60km/h时μ=0.71，摩擦系数减小了0.75-0.71=0.04，该选项正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
函数图像识别；实际问题的变量关系
【点评】
本题贴近生活实际，主要考查从函数图像中提取有效信息的能力，解题的关键是明确横、纵坐标的含义，结合图像变化规律判断每个选项的正误，细心审题即可得分。
【难度系数】
0.75

9 光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度，智能玻璃可以通过自动调节其透明度而使室内达到合适的照度.学习小组通过查阅资料，发现照度$y$(Lux)是透明度$x$(%)的反比例函数，其图象如图所示.
（1）求出$y$与$x$之间的函数表达式.
（2）君子兰承载着传统文化中的高贵典雅、温和有礼等寓意.它适宜在照度1 000 Lux至3 000 Lux的室内生长，那么智能玻璃的透明度应控制在什么范围内？请说明理由.

9. (1) 设y与x之间的函数表达式为$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$。
∵ 反比例函数的图象经过点$(30,2000)$，
∴ $k=30×2000=60000$，
∴ y与x之间的函数表达式为$y=\dfrac{60000}{x}(x＞0)$
(2) 智能玻璃的透明度应控制在20%~60%的范围内 理由：当$y=1000$时，$x=\dfrac{60000}{1000}=60$；当$y=3000$时，$x=\dfrac{60000}{3000}=20$。又
∵ $60000＞0$，$x＞0$，
∴ y随x的增大而减小。
∴ 智能玻璃的透明度应控制在20%~60%的范围内

【分析】
（1）题目明确照度y是透明度x的反比例函数，因此先设反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$，已知函数图象经过点$A(30,2000)$，将点的坐标代入解析式即可求出常数k，进而得到y与x的函数表达式。
（2）要求透明度x的范围，已知y的取值范围为1000Lux至3000Lux，先分别求出y=1000和y=3000时对应的x值，再根据反比例函数的增减性判断x的取值范围即可，注意k＞0时，x＞0范围内y随x的增大而减小，因此y的取值范围对应x的范围要注意大小对应关系。
【解析】
（1）设y与x之间的函数表达式为$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$。
∵ 反比例函数的图象经过点$(30,2000)$，
∴ 将$x=30$，$y=2000$代入解析式得$k=30×2000=60000$，
∴ y与x之间的函数表达式为$y=\dfrac{60000}{x}(x＞0)$。
（2）智能玻璃的透明度应控制在20%~60%的范围内，理由如下：
当$y=1000$时，代入解析式得$x=\dfrac{60000}{1000}=60$；
当$y=3000$时，代入解析式得$x=\dfrac{60000}{3000}=20$。
∵ $k=60000＞0$，且$x＞0$，
∴ 在第一象限内，y随x的增大而减小，
因此当$1000≤ y≤3000$时，对应的x的取值范围是$20≤ x≤60$，即智能玻璃的透明度应控制在20%~60%的范围内。
【答案】
(1) $y=\dfrac{60000}{x}(x＞0)$
(2) 智能玻璃的透明度应控制在20%~60%的范围内
【知识点】
反比例函数解析式求解，反比例函数的增减性，反比例函数实际应用
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的基础应用，解题的核心是先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再结合函数的增减性求解自变量的取值范围，侧重对基础知识的考查，贴合生活场景，容易理解。
【难度系数】
0.8