6 已知一艘轮船上装有100 t货物，轮船到达目的地后开始卸货.设平均卸货速度为v t/h，卸完这批货物所需的时间为t h.
（1）v关于t的函数表达式为；
（2）若要求不超过5 h卸完该轮船上的这批货物，则平均每小时至少要卸货t.

(1) $v=\frac{100}{t}$
(2) 20 【解析】$\because$ 要求不超过 5 h 卸完该轮船上的这批货物,$\therefore t≤5$. 由 $v=\frac{100}{t}$,得 $t=\frac{100}{v}$,$\therefore \frac{100}{v}≤5$. 又 $\because v＞0$,$\therefore 5v≥100$,即 $v≥20$,$\therefore$ 平均每小时至少要卸货 20 t.

【分析】
（1）解决第一问需抓住卸货总量不变的核心等量关系：卸货总量=平均卸货速度×卸货时间，已知货物总重为100t，将已知量代入等量关系变形，即可得到v关于t的函数表达式，注意时间t为正数。
（2）解决第二问首先根据“不超过5h卸完”得到时间t的取值范围，再将第一问的函数式变形为用v表示t的形式，代入t的取值范围，结合速度v为正数的隐含条件解不等式，即可求出v的最小值。
【解析】
（1）根据题意可得等量关系：$v· t=100$，其中$t＞0$，整理得$v=\frac{100}{t}$。
（2）由题意可知卸完货时间不超过5h，即$t≤5$。
将$v=\frac{100}{t}$变形得$t=\frac{100}{v}$，代入不等式得$\frac{100}{v}≤5$。
$\because v＞0$，不等式两边同时乘v，不等号方向不变，可得$100≤5v$，
两边同时除以5，解得$v≥20$，即平均每小时至少要卸货20t。
【答案】
（1）$\boldsymbol{v=\frac{100}{t}}$
（2）$\boldsymbol{20}$
【知识点】
反比例函数实际应用，解一元一次不等式
【点评】
本题结合实际生活场景考查基础知识点的运用，解题关键是抓住“货物总量固定”的隐含条件建立函数关系，再结合限制条件列不等式求解，属于基础应用题，侧重考查学生读题析题、用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8

7 [2025 姑苏区段考]如图①所示为某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升20 ℃，加热到100 ℃时，停止加热，水温开始下降，此时水温 y(℃)是通电时间 x(min)的反比例函数。若给水温为20 ℃的水进行加热，y 与 x 之间的函数关系如图②所示。
（1）在水温下降的过程中，求 y 关于 x 的函数表达式；
（2）在该过程中，水温不低于 40 ℃的时间有多长？

(1) $\because$ 开始加热时,水温每分钟上升 $20\ °\mathrm{C}$,$\therefore$ 水温从 $20\ °\mathrm{C}$ 加热到 $100\ °\mathrm{C}$,所需时间为 $\frac{100-20}{20}=4(\mathrm{min})$. 设水温下降过程中,$y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y=\frac{k}{x}(x＞0)$. 由题意,得点 $(4,100)$ 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x＞0)$ 的图象上,$\therefore \frac{k}{4}=100$,解得 $k=400$,$\therefore$ 水温下降过程中,$y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y=\frac{400}{x}$
(2) 在加热过程中,当水温为 $40\ °\mathrm{C}$ 时,所需的时间为 $\frac{40-20}{20}=1(\mathrm{min})$,即 $1∼4\ \mathrm{min}$ 水温都不低于 $40\ °\mathrm{C}$. 在降温过程中,当水温为 $40\ °\mathrm{C}$ 时,$40=\frac{400}{x}$,解得 $x=10$,即 $4∼10\ \mathrm{min}$ 水温都不低于 $40\ °\mathrm{C}$.$\because 10-1=9(\mathrm{min})$,$\therefore$ 在该过程中,水温不低于 $40\ °\mathrm{C}$ 的时间为 $9\ \mathrm{min}$

【分析】
（1）求解降温阶段y关于x的函数表达式，首先需要确定停止加热的时间点：已知初始水温为20℃，加热时每分钟升温20℃，通过温差除以升温速度可算出加热到100℃的时长，该时长对应的点就是反比例函数经过的已知点，再用待定系数法代入反比例函数的一般形式即可求出解析式。
（2）求水温不低于40℃的时长需要分两个阶段分析：加热阶段为一次函数关系，先算出水温升到40℃对应的时间；降温阶段为反比例函数关系，算出水温降到40℃对应的时间，两个时间的差值就是满足条件的总时长。
【解析】
（1）首先计算把水从20℃加热到100℃所需的时间：
$\frac{100-20}{20}=4(\mathrm{min})$，即停止加热时的坐标为$(4,100)$。
设水温下降过程中y关于x的函数表达式为$y=\frac{k}{x}\ (x＞0)$，将点$(4,100)$代入解析式得：
$\frac{k}{4}=100$，解得$k=400$。
因此水温下降过程中，y关于x的函数表达式为$y=\frac{400}{x}$。
（2）分别计算两个阶段水温为40℃对应的时间：
①加热阶段：水温升高到40℃所需时间为$\frac{40-20}{20}=1(\mathrm{min})$，即1~4min时水温不低于40℃。
②降温阶段：令$y=40$，代入$y=\frac{400}{x}$得$40=\frac{400}{x}$，解得$x=10$，即4~10min时水温不低于40℃。
总时长为$10-1=9(\mathrm{min})$。
【答案】
（1）$y=\frac{400}{x}$
（2）9 min
【知识点】
反比例函数的应用，待定系数法求解析式，分段函数的应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查函数的应用，解题的关键是明确不同阶段对应的函数类型，找准关键坐标点代入求解，需要注意分阶段讨论满足条件的时间范围，避免漏算加热阶段的时长。
【难度系数】
0.7

8 在一次煤矿安全事故的调查中发现:如图,从0 h起,井内空气中CO(一氧化碳)的浓度达到4 mg/L,此后浓度直线上升,在7 h时达到最高浓度46 mg/L,此时发生爆炸,爆炸后空气中CO的浓度下降,此时空气中CO的浓度y(mg/L)与时间x(h)成反比例关系.根据题中相关信息,回答下列问题:
(1) 求爆炸前、后空气中CO的浓度y(mg/L)与时间x(h)之间的函数表达式,并写出相应的自变量x的取值范围.
(2) 当空气中的CO浓度达到34 mg/L时,撤离距离为3 km的井下某处的矿工接到自动报警信号,这时他们至少要以多少的速度撤离才能在爆炸前逃生?
(3) 矿工只有在空气中CO的浓度降到4 mg/L及以下时,才能回到矿井开展生产救援工作,则矿工至少在爆炸后多长时间才能下井?

(1) 设爆炸前空气中 CO 的浓度 $y(\mathrm{mg/L})$ 与时间 $x(\mathrm{h})$ 之间的函数表达式为 $y=k_1x+b(k_1≠0)$. 由题图,可知直线 $y=k_1x+b$ 过点 $(0,4)$,$(7,46)$,$\therefore \begin{cases} b=4, \\7k_1+b=46, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k_1=6, \\b=4, \end{cases}$ $\therefore y=6x+4$,此时自变量 $x$ 的取值范围是 $0≤ x≤7$. $\because$ 爆炸后空气中 CO 的浓度下降,且空气中 CO 的浓度 $y(\mathrm{mg/L})$ 与时间 $x(\mathrm{h})$ 成反比例,$\therefore$ 可设 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y=\frac{k_2}{x}(k_2≠0)$. 由题图,可知函数 $y=\frac{k_2}{x}$ 的图象过点 $(7,46)$,$\therefore \frac{k_2}{7}=46$,解得 $k_2=322$,$\therefore y=\frac{322}{x}$,此时自变量 $x$ 的取值范围是 $x＞7$
(2) 在 $y=6x+4$ 中,令 $y=34$,得 $6x+4=34$,解得 $x=5$,$\therefore$ 撤离的最长时间为 $7-5=2(\mathrm{h})$,$\therefore$ 撤离的最慢速度为 $3÷2=1.5(\mathrm{km/h})$,即他们至少要以 $1.5\ \mathrm{km/h}$ 的速度撤离才能在爆炸前逃生
(3) 在 $y=\frac{322}{x}$ 中,令 $y≤4$,解得 $x≥80.5$. $\because 80.5-7=73.5(\mathrm{h})$,$\therefore$ 矿工至少在爆炸后 $73.5\ \mathrm{h}$ 才能下井

【分析】
本题是分段函数的实际应用问题，解题思路如下：
1. 求爆炸前后的函数解析式：爆炸前浓度直线上升，属于一次函数，已知其过(0,4)和(7,46)两个点，用待定系数法代入即可求出一次函数表达式，对应自变量范围是0到爆炸发生的7h；爆炸后浓度与时间成反比例关系，属于反比例函数，已知其过爆炸点(7,46)，代入即可求出反比例函数表达式，对应自变量范围是大于7h。
2. 求撤离最小速度：先将浓度34mg/L代入爆炸前的一次函数，求出报警时对应的时间，再计算距离爆炸的剩余时间，用撤离路程除以剩余时间即可得到最小撤离速度。
3. 求爆炸后可下井的时间：将浓度4mg/L代入爆炸后的反比例函数，求出浓度降到4mg/L时对应的总时间，减去爆炸发生的7h，就是爆炸后需要等待的最少时间。
【解析】
(1) ①爆炸前：设CO浓度$y$与时间$x$的函数表达式为$y=k_1x+b(k_1≠0)$，
由图象可知函数过点$(0,4)$、$(7,46)$，代入得：
$\begin{cases} b=4 \\ 7k_1+b=46 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k_1=6 \\ b=4 \end{cases}$
因此爆炸前函数表达式为$y=6x+4$，自变量$x$的取值范围是$0≤ x≤7$。
②爆炸后：设CO浓度$y$与时间$x$的函数表达式为$y=\frac{k_2}{x}(k_2≠0)$，
由图象可知函数过点$(7,46)$，代入得：
$\frac{k_2}{7}=46$，解得$k_2=322$
因此爆炸后函数表达式为$y=\frac{322}{x}$，自变量$x$的取值范围是$x＞7$。
(2) 将$y=34$代入爆炸前的函数$y=6x+4$中：
$6x+4=34$，解得$x=5$
即报警时已经过了5h，距离爆炸还剩$7-5=2(\mathrm{h})$
撤离的最小速度为$3÷2=1.5(\mathrm{km/h})$。
(3) 将$y=4$代入爆炸后的函数$y=\frac{322}{x}$中：
$\frac{322}{x}≤4$，解得$x≥80.5$
爆炸后需要等待的时间为$80.5-7=73.5(\mathrm{h})$。
【答案】
(1) 爆炸前：$\boldsymbol{y=6x+4\ (0≤ x≤7)}$；爆炸后：$\boldsymbol{y=\dfrac{322}{x}\ (x＞7)}$
(2) $\boldsymbol{1.5\ \mathrm{km/h}}$
(3) $\boldsymbol{73.5\ \mathrm{h}}$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的应用，反比例函数的应用
【点评】
本题结合安全救援的实际场景考查分段函数的应用，解题时需先根据不同阶段的函数特征选用对应的函数模型，求出解析式后再结合实际问题的条件代入数值计算，注意要结合自变量的取值范围验证结果的合理性。
【难度系数】
0.7