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17. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - (m+2)x + (2m -1) = 0 $。
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长。
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长。
答案
17. (1) 证明:$\because \Delta=[-(m+2)]^2-4×1×(2m-1)=m^2-4m+8=(m-2)^2+4＞0$,$\therefore$方程恒有两个不相等的实数根. (2) 把$x=1$代入方程$x^2-(m+2)x+(2m-1)=0$中,解得$m=2$.$\therefore$原方程为$x^2-4x+3=0$.解得$x_1=1,x_2=3$.$\therefore$方程的另一个根为$x=3$.当1,3为直角边边长时,斜边长为$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$,$\therefore$周长为$1+3+\sqrt{10}=4+\sqrt{10}$;当3为斜边长时,另一直角边长为$\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$,$\therefore$周长为$1+3+2\sqrt{2}=4+2\sqrt{2}$.
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程恒有两个不相等的实数根，只需证明根的判别式$\Delta$恒大于0即可。先根据判别式公式写出$\Delta$的表达式，再通过配方变形，结合平方的非负性判断$\Delta$的符号即可完成证明。
（2）已知方程的一个根，将根代入原方程可求出参数$m$的值，再解方程得到另一个根；求直角三角形周长时，由于未明确哪条边是斜边，需分两种情况讨论：①两根均为直角边；②较长的根为斜边（较短的根长度小于长根，不可能为斜边），分别用勾股定理求出第三边后计算周长即可。
【解析】
（1）证明：对于一元二次方程$x^2 - (m+2)x + (2m -1) = 0$，
根的判别式$\Delta = [-(m+2)]^2 - 4 × 1 × (2m - 1)$
$= m^2 + 4m + 4 - 8m + 4$
$= m^2 - 4m + 8$
配方得$\Delta = (m - 2)^2 + 4$，
$\because (m-2)^2 ≥ 0$，$\therefore (m-2)^2 + 4 ≥ 4 ＞ 0$，
$\therefore$方程恒有两个不相等的实数根。
（2）解：把$x=1$代入原方程，得：
$1^2 - (m+2) × 1 + (2m - 1) = 0$
整理得$1 - m - 2 + 2m - 1 = 0$，解得$m=2$，
将$m=2$代入原方程，得$x^2 - 4x + 3 = 0$，
因式分解得$(x - 1)(x - 3) = 0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，
$\therefore$方程的另一个根为3。
分两种情况计算直角三角形周长：
①当1和3均为直角边边长时，由勾股定理得斜边长为$\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$，
此时周长为$1 + 3 + \sqrt{10} = 4 + \sqrt{10}$；
②当3为斜边长时，另一条直角边边长为$\sqrt{3^2 - 1^2} = 2\sqrt{2}$，
此时周长为$1 + 3 + 2\sqrt{2} = 4 + 2\sqrt{2}$。
【答案】
（1）方程恒有两个不相等的实数根，证明见解析；
（2）方程的另一个根为3，以此两根为边长的直角三角形的周长为$4+\sqrt{10}$或$4+2\sqrt{2}$。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，勾股定理
【点评】
本题综合考查了一元二次方程的基础性质和勾股定理的应用，解题时要注意分类讨论思想的运用，未明确直角三角形的斜边时，要分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
（1）要证明一元二次方程恒有两个不相等的实数根，只需证明根的判别式$\Delta$恒大于0即可。先根据判别式公式写出$\Delta$的表达式，再通过配方变形，结合平方的非负性判断$\Delta$的符号即可完成证明。
（2）已知方程的一个根，将根代入原方程可求出参数$m$的值，再解方程得到另一个根；求直角三角形周长时，由于未明确哪条边是斜边，需分两种情况讨论：①两根均为直角边；②较长的根为斜边（较短的根长度小于长根，不可能为斜边），分别用勾股定理求出第三边后计算周长即可。
【解析】
（1）证明：对于一元二次方程$x^2 - (m+2)x + (2m -1) = 0$，
根的判别式$\Delta = [-(m+2)]^2 - 4 × 1 × (2m - 1)$
$= m^2 + 4m + 4 - 8m + 4$
$= m^2 - 4m + 8$
配方得$\Delta = (m - 2)^2 + 4$，
$\because (m-2)^2 ≥ 0$，$\therefore (m-2)^2 + 4 ≥ 4 ＞ 0$，
$\therefore$方程恒有两个不相等的实数根。
（2）解：把$x=1$代入原方程，得：
$1^2 - (m+2) × 1 + (2m - 1) = 0$
整理得$1 - m - 2 + 2m - 1 = 0$，解得$m=2$，
将$m=2$代入原方程，得$x^2 - 4x + 3 = 0$，
因式分解得$(x - 1)(x - 3) = 0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，
$\therefore$方程的另一个根为3。
分两种情况计算直角三角形周长：
①当1和3均为直角边边长时，由勾股定理得斜边长为$\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$，
此时周长为$1 + 3 + \sqrt{10} = 4 + \sqrt{10}$；
②当3为斜边长时，另一条直角边边长为$\sqrt{3^2 - 1^2} = 2\sqrt{2}$，
此时周长为$1 + 3 + 2\sqrt{2} = 4 + 2\sqrt{2}$。
【答案】
（1）方程恒有两个不相等的实数根，证明见解析；
（2）方程的另一个根为3，以此两根为边长的直角三角形的周长为$4+\sqrt{10}$或$4+2\sqrt{2}$。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，勾股定理
【点评】
本题综合考查了一元二次方程的基础性质和勾股定理的应用，解题时要注意分类讨论思想的运用，未明确直角三角形的斜边时，要分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
18. 先化简,再求值:$(x-1)÷(\dfrac{2}{x+1}-1)$,其中$x$为方程$x^2+3x+2=0$的根.
答案
18. 原式$=-(x+1)$,又$x^2+3x+2=0$,$\therefore (x+1)(x+2)=0$,$\therefore x_1=-1,x_2=-2$.而当$x=-1$时,$x+1=0$,$\therefore$原式无意义,$\therefore x=-2$,原式$=1$.
解析
【分析】
本题属于分式化简求值与一元二次方程结合的题型，解题可按三步思考：第一步先处理分式运算，先计算括号内的分式减法，通分合并分子后，将除法转化为乘法，通过因式分解约分化为最简形式；第二步求解一元二次方程得到x的所有可能取值；第三步结合分式分母不为0的有意义条件，排除使原式无意义的根，最后将有效根代入最简式计算结果即可。
【解析】
步骤1：化简原式
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x-1)÷( \dfrac{2}{x+1}-1 )\\&=(x-1)÷( \dfrac{2}{x+1}-\dfrac{x+1}{x+1} )\\&=(x-1)÷\dfrac{2-(x+1)}{x+1}\\&=(x-1)÷\dfrac{1-x}{x+1}\\&=(x-1)×\dfrac{x+1}{-(x-1)}\\&=-(x+1)\end{aligned}$
步骤2：求解一元二次方程
对$x^2+3x+2=0$因式分解得：
$(x+1)(x+2)=0$
解得$x_1=-1$，$x_2=-2$
步骤3：验根并代入求值
∵ 原式为分式，分母$x+1$不能为0，即$x≠-1$
∴ 取有效根$x=-2$，代入$-(x+1)$得：
$\mathrm{原式}=-(-2+1)=1$
【答案】
$1$
【知识点】
分式化简求值，一元二次方程的解法，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式运算与方程的综合基础题，易错点是容易忽略分式有意义的条件，直接将两个根都代入求值导致出错，解题时要养成求出未知量取值后先检验是否符合原式要求的习惯。
【难度系数】
0.6
本题属于分式化简求值与一元二次方程结合的题型，解题可按三步思考：第一步先处理分式运算，先计算括号内的分式减法，通分合并分子后，将除法转化为乘法，通过因式分解约分化为最简形式；第二步求解一元二次方程得到x的所有可能取值；第三步结合分式分母不为0的有意义条件，排除使原式无意义的根，最后将有效根代入最简式计算结果即可。
【解析】
步骤1：化简原式
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x-1)÷( \dfrac{2}{x+1}-1 )\\&=(x-1)÷( \dfrac{2}{x+1}-\dfrac{x+1}{x+1} )\\&=(x-1)÷\dfrac{2-(x+1)}{x+1}\\&=(x-1)÷\dfrac{1-x}{x+1}\\&=(x-1)×\dfrac{x+1}{-(x-1)}\\&=-(x+1)\end{aligned}$
步骤2：求解一元二次方程
对$x^2+3x+2=0$因式分解得：
$(x+1)(x+2)=0$
解得$x_1=-1$，$x_2=-2$
步骤3：验根并代入求值
∵ 原式为分式，分母$x+1$不能为0，即$x≠-1$
∴ 取有效根$x=-2$，代入$-(x+1)$得：
$\mathrm{原式}=-(-2+1)=1$
【答案】
$1$
【知识点】
分式化简求值，一元二次方程的解法，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式运算与方程的综合基础题，易错点是容易忽略分式有意义的条件，直接将两个根都代入求值导致出错，解题时要养成求出未知量取值后先检验是否符合原式要求的习惯。
【难度系数】
0.6
19. 已知一元二次方程 $x^2 - (2k + 1)x + k^2 + k = 0$.
(1) 求证:方程恒有两个不相等的实数根;
(2) 若$△ ABC$的两边$AB$,$AC$的长是这个方程的两个实数根,第三边$BC$的长为5.当$△ ABC$是等腰三角形时,求$k$的值.
(1) 求证:方程恒有两个不相等的实数根;
(2) 若$△ ABC$的两边$AB$,$AC$的长是这个方程的两个实数根,第三边$BC$的长为5.当$△ ABC$是等腰三角形时,求$k$的值.
答案
19. (1) 证明:$\because \Delta=[-(2k+1)]^2-4(k^2+k)=1＞0$,$\therefore$方程恒有两个不相等的实数根. (2) $\because △ ABC$的两边$AB$,$AC$的长是这个方程的两个实数根,由(1)知,$AB≠AC$,$△ ABC$第三边$BC$的长为5,且$△ ABC$是等腰三角形,$\therefore$必然有$AB=5$或$AC=5$,即$x=5$是原方程的一个解.将$x=5$代入方程$x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$,$25-5(2k+1)+k^2+k=0$,解得$k=4$或$k=5$.当$k=4$时,原方程为$x^2-9x+20=0$,$x_1=5$,$x_2=4$,以5,5,4为边长能构成等腰三角形;当$k=5$时,原方程为$x^2-11x+30=0$,$x_1=5$,$x_2=6$,以5,5,6为边长也能构成等腰三角形.(必须检验方程的另一个解大于0小于10且不等于5).$\therefore k$的值为4或5.
解析
【分析】
(1) 要证明一元二次方程恒有两个不相等的实数根，核心思路是验证判别式$\Delta＞0$：先确定方程的各项系数，代入判别式公式计算，判断计算结果的正负性即可得证。(2) 结合(1)的结论可知方程两根不相等，即$AB≠AC$，已知$△ ABC$是等腰三角形且$BC=5$，因此$AB$、$AC$中必有一条边长为5，即$x=5$是方程的解；将$x=5$代入方程求出$k$的可能值后，再代回方程求出另一个根，最后根据三角形三边关系检验所得边长是否能构成三角形，舍去不符合条件的解。
【解析】
(1) 证明：对于一元二次方程$x^2 - (2k + 1)x + k^2 + k = 0$，各项系数为$a=1$，$b=-(2k+1)$，$c=k^2+k$，
则判别式$\Delta = b^2-4ac = [-(2k+1)]^2 - 4×1×(k^2+k) = 4k^2+4k+1 - 4k^2-4k = 1 ＞ 0$，
∴方程恒有两个不相等的实数根。
(2) 解：
∵$AB$、$AC$是方程的两个实数根，由(1)得$AB≠AC$，
又
∵$△ ABC$是等腰三角形，第三边$BC=5$，
∴必然有$AB=5$或$AC=5$，即$x=5$是原方程的一个解。
将$x=5$代入方程$x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$，得：
$25 - 5(2k+1) + k^2 + k = 0$，
整理得$k^2 -9k +20 = 0$，解得$k=4$或$k=5$。
①当$k=4$时，原方程为$x^2 -9x +20 = 0$，解得$x_1=5$，$x_2=4$，三边长为4、5、5，满足三角形三边关系，可构成等腰三角形；
②当$k=5$时，原方程为$x^2 -11x +30 = 0$，解得$x_1=5$，$x_2=6$，三边长为5、5、6，满足三角形三边关系，可构成等腰三角形。
综上，$k$的值为4或5。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $k=4$或$k=5$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，等腰三角形的性质，三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合题型，既考查了一元二次方程根的相关知识，又渗透了等腰三角形的分类讨论思想，解题时需注意求出参数值后要检验所得边长是否满足三角形三边关系，避免出现不符合实际的增根。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明一元二次方程恒有两个不相等的实数根，核心思路是验证判别式$\Delta＞0$：先确定方程的各项系数，代入判别式公式计算，判断计算结果的正负性即可得证。(2) 结合(1)的结论可知方程两根不相等，即$AB≠AC$，已知$△ ABC$是等腰三角形且$BC=5$，因此$AB$、$AC$中必有一条边长为5，即$x=5$是方程的解；将$x=5$代入方程求出$k$的可能值后，再代回方程求出另一个根，最后根据三角形三边关系检验所得边长是否能构成三角形，舍去不符合条件的解。
【解析】
(1) 证明：对于一元二次方程$x^2 - (2k + 1)x + k^2 + k = 0$，各项系数为$a=1$，$b=-(2k+1)$，$c=k^2+k$，
则判别式$\Delta = b^2-4ac = [-(2k+1)]^2 - 4×1×(k^2+k) = 4k^2+4k+1 - 4k^2-4k = 1 ＞ 0$，
∴方程恒有两个不相等的实数根。
(2) 解：
∵$AB$、$AC$是方程的两个实数根，由(1)得$AB≠AC$，
又
∵$△ ABC$是等腰三角形，第三边$BC=5$，
∴必然有$AB=5$或$AC=5$，即$x=5$是原方程的一个解。
将$x=5$代入方程$x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$，得：
$25 - 5(2k+1) + k^2 + k = 0$，
整理得$k^2 -9k +20 = 0$，解得$k=4$或$k=5$。
①当$k=4$时，原方程为$x^2 -9x +20 = 0$，解得$x_1=5$，$x_2=4$，三边长为4、5、5，满足三角形三边关系，可构成等腰三角形；
②当$k=5$时，原方程为$x^2 -11x +30 = 0$，解得$x_1=5$，$x_2=6$，三边长为5、5、6，满足三角形三边关系，可构成等腰三角形。
综上，$k$的值为4或5。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $k=4$或$k=5$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，等腰三角形的性质，三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合题型，既考查了一元二次方程根的相关知识，又渗透了等腰三角形的分类讨论思想，解题时需注意求出参数值后要检验所得边长是否满足三角形三边关系，避免出现不符合实际的增根。
【难度系数】
0.7
