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13. 设$a,b$是方程$x^2 + x - 2026 = 0$的两个实数根，则$a^2 + 2a + b$的值为（
A.2026
B.2025
C.2024
D.2023
B
）A.2026
B.2025
C.2024
D.2023
答案
13. B
解析
【分析】
本题已知a、b是一元二次方程的两个实数根，求代数式的值，解题思路如下：第一步，利用一元二次方程根的定义，将a代入方程可直接得到$a^2+a$的数值；第二步，把待求代数式$a^2+2a+b$拆分为$(a^2+a)+(a+b)$，代入$a^2+a$的数值后，只需再求两根之和$a+b$；第三步，利用一元二次方程根与系数的关系求出$a+b$的值，最后整体代入计算即可得到结果，无需单独求解a、b的具体值，可简化运算。
【解析】
解：
∵a是方程$x^2 + x - 2026 = 0$的实数根，
∴将$x=a$代入方程得：$a^2 + a - 2026 = 0$，即$a^2 + a = 2026$。
又
∵a、b是方程$x^2 + x - 2026 = 0$的两个实数根，根据根与系数的关系，两根之和$a+b = -\frac{1}{1} = -1$。
∴$a^2 + 2a + b = (a^2 + a) + (a + b) = 2026 + (-1) = 2025$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式求值
【点评】
本题是一元二次方程性质应用的常见题型，核心解题技巧是对待求代数式进行合理拆分，结合根的定义和韦达定理采用整体代入的方法计算，既降低了运算量，也避免了求解方程根时可能出现的计算错误。
【难度系数】
0.7
本题已知a、b是一元二次方程的两个实数根，求代数式的值，解题思路如下：第一步，利用一元二次方程根的定义，将a代入方程可直接得到$a^2+a$的数值；第二步，把待求代数式$a^2+2a+b$拆分为$(a^2+a)+(a+b)$，代入$a^2+a$的数值后，只需再求两根之和$a+b$；第三步，利用一元二次方程根与系数的关系求出$a+b$的值，最后整体代入计算即可得到结果，无需单独求解a、b的具体值，可简化运算。
【解析】
解：
∵a是方程$x^2 + x - 2026 = 0$的实数根，
∴将$x=a$代入方程得：$a^2 + a - 2026 = 0$，即$a^2 + a = 2026$。
又
∵a、b是方程$x^2 + x - 2026 = 0$的两个实数根，根据根与系数的关系，两根之和$a+b = -\frac{1}{1} = -1$。
∴$a^2 + 2a + b = (a^2 + a) + (a + b) = 2026 + (-1) = 2025$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式求值
【点评】
本题是一元二次方程性质应用的常见题型，核心解题技巧是对待求代数式进行合理拆分，结合根的定义和韦达定理采用整体代入的方法计算，既降低了运算量，也避免了求解方程根时可能出现的计算错误。
【难度系数】
0.7
14. 已知等腰三角形的三边长分别为$a,b,4$，且$a,b$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 12x + m + 2 = 0$的两个根，则$m$的值是（
A.34
B.30
C.30或34
D.30或36
A
）A.34
B.30
C.30或34
D.30或36
答案
14. A
解析
【分析】
本题是等腰三角形与一元二次方程的综合题，解题思路如下：首先明确等腰三角形的边长情况分两类讨论：要么a=b为腰长，要么a、b中其中一个等于4为腰长；再结合一元二次方程根与系数的关系得到两根之和为12，分别计算两种情况对应的m值；最后验证所得三边是否满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），舍去不符合的情况，即可得到正确的m值。
【解析】
解：
∵a，b是关于x的一元二次方程$x^2 - 12x + m + 2 = 0$的两个根，
∴由根与系数的关系得：$a+b=12$，$ab=m+2$。
分两种情况讨论：
① 若4为等腰三角形的腰长，则a=4或b=4，
将x=4代入方程得：$4^2 - 12×4 + m + 2 = 0$，
解得$m=30$。
当$m=30$时，方程为$x^2 -12x +32=0$，解得两根为4和8，
此时三角形三边长为4，4，8，
∵$4+4=8$，不满足三角形两边之和大于第三边，故该情况舍去；
② 若4为等腰三角形的底边长，则$a=b$，
∵$a+b=12$，
∴$a=b=6$，
此时三角形三边长为6，6，4，满足三角形三边关系，
∴$ab=6×6=36=m+2$，解得$m=34$。
综上，m的值为34。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，一元二次方程根与系数的关系，三角形三边关系
【点评】
本题是几何性质与代数方程的综合应用题，解题的核心是要做到分类讨论不重不漏，同时计算出边长后要优先验证是否满足三角形的构成条件，避免忽略三边关系产生错误增解。
【难度系数】
0.6
本题是等腰三角形与一元二次方程的综合题，解题思路如下：首先明确等腰三角形的边长情况分两类讨论：要么a=b为腰长，要么a、b中其中一个等于4为腰长；再结合一元二次方程根与系数的关系得到两根之和为12，分别计算两种情况对应的m值；最后验证所得三边是否满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），舍去不符合的情况，即可得到正确的m值。
【解析】
解：
∵a，b是关于x的一元二次方程$x^2 - 12x + m + 2 = 0$的两个根，
∴由根与系数的关系得：$a+b=12$，$ab=m+2$。
分两种情况讨论：
① 若4为等腰三角形的腰长，则a=4或b=4，
将x=4代入方程得：$4^2 - 12×4 + m + 2 = 0$，
解得$m=30$。
当$m=30$时，方程为$x^2 -12x +32=0$，解得两根为4和8，
此时三角形三边长为4，4，8，
∵$4+4=8$，不满足三角形两边之和大于第三边，故该情况舍去；
② 若4为等腰三角形的底边长，则$a=b$，
∵$a+b=12$，
∴$a=b=6$，
此时三角形三边长为6，6，4，满足三角形三边关系，
∴$ab=6×6=36=m+2$，解得$m=34$。
综上，m的值为34。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，一元二次方程根与系数的关系，三角形三边关系
【点评】
本题是几何性质与代数方程的综合应用题，解题的核心是要做到分类讨论不重不漏，同时计算出边长后要优先验证是否满足三角形的构成条件，避免忽略三边关系产生错误增解。
【难度系数】
0.6
15. 解下列方程：
(1) $(2x+3)^2 -25=0$；(直接开平方法)
(2) $2x^2 -7x -2=0$；(配方法)
(3) $(x+2)^2=3(x+2)$；(因式分解法)
(4) $2x^2 +x -6=0$；(公式法)
(1) $(2x+3)^2 -25=0$；(直接开平方法)
(2) $2x^2 -7x -2=0$；(配方法)
(3) $(x+2)^2=3(x+2)$；(因式分解法)
(4) $2x^2 +x -6=0$；(公式法)
答案
15. (1) $x_1=1,x_2=-4$ (2) $x_1=\frac{7+\sqrt{65}}{4},x_2=\frac{7-\sqrt{65}}{4}$ (3) $x_1=1,x_2=-2$ (4) $x_1=-2,x_2=\frac{3}{2}$
16. 已知一元二次方程$x^2 - 2x - \frac{5}{4}=0$的某个根，也是一元二次方程$x^2 - (k + 2)x + \frac{9}{4}=0$的根，求$k$的值。
答案
16. 解$x^2-2x-\frac{5}{4}=0$,得$x_1=\frac{5}{2},x_2=-\frac{1}{2}$.把$x_1=\frac{5}{2}$代入$x^2-(k+2)x+\frac{9}{4}=0$,得$k=\frac{7}{5}$;把$x_2=-\frac{1}{2}$代入$x^2-(k+2)x+\frac{9}{4}=0$,得$k=-7$.$\therefore k$的值为$\frac{7}{5}$或$-7$.
解析
【分析】
解题时首先需要先求出第一个一元二次方程的两个根，再根据“第一个方程的某个根也是第二个方程的根”这一条件，分两种情况讨论：分别将两个根代入第二个一元二次方程，即可求出对应的k值，注意不要遗漏任意一种情况。
【解析】
第一步：求解方程$x^2 - 2x - \frac{5}{4}=0$
移项得：$x^2 -2x = \frac{5}{4}$
配方得：$x^2 -2x +1 = \frac{5}{4} +1$，即$(x-1)^2 = \frac{9}{4}$
开方得：$x-1 = \pm \frac{3}{2}$
解得：$x_1=\frac{5}{2}$，$x_2=-\frac{1}{2}$
第二步：分情况代入第二个方程求k
① 把$x=\frac{5}{2}$代入$x^2 - (k + 2)x + \frac{9}{4}=0$得：
$(\frac{5}{2})^2 - (k+2)×\frac{5}{2} + \frac{9}{4}=0$
计算得：$\frac{25}{4} - \frac{5k+10}{2} + \frac{9}{4}=0$
通分化简得：$34 - 10k -20=0$，解得$k=\frac{7}{5}$
② 把$x=-\frac{1}{2}$代入$x^2 - (k + 2)x + \frac{9}{4}=0$得：
$(-\frac{1}{2})^2 - (k+2)×(-\frac{1}{2}) + \frac{9}{4}=0$
计算得：$\frac{1}{4} + \frac{k+2}{2} + \frac{9}{4}=0$
通分化简得：$10 + 2k +4=0$，解得$k=-7$
【答案】
$k$的值为$\frac{7}{5}$或$-7$
【知识点】
1. 一元二次方程的解法
2. 一元二次方程根的定义
3. 分类讨论思想
【点评】
本题属于一元二次方程的基础综合题，解题的关键是正确理解“某个根”的含义，避免漏解，代入计算时要注意符号处理，保证计算准确性。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要先求出第一个一元二次方程的两个根，再根据“第一个方程的某个根也是第二个方程的根”这一条件，分两种情况讨论：分别将两个根代入第二个一元二次方程，即可求出对应的k值，注意不要遗漏任意一种情况。
【解析】
第一步：求解方程$x^2 - 2x - \frac{5}{4}=0$
移项得：$x^2 -2x = \frac{5}{4}$
配方得：$x^2 -2x +1 = \frac{5}{4} +1$，即$(x-1)^2 = \frac{9}{4}$
开方得：$x-1 = \pm \frac{3}{2}$
解得：$x_1=\frac{5}{2}$，$x_2=-\frac{1}{2}$
第二步：分情况代入第二个方程求k
① 把$x=\frac{5}{2}$代入$x^2 - (k + 2)x + \frac{9}{4}=0$得：
$(\frac{5}{2})^2 - (k+2)×\frac{5}{2} + \frac{9}{4}=0$
计算得：$\frac{25}{4} - \frac{5k+10}{2} + \frac{9}{4}=0$
通分化简得：$34 - 10k -20=0$，解得$k=\frac{7}{5}$
② 把$x=-\frac{1}{2}$代入$x^2 - (k + 2)x + \frac{9}{4}=0$得：
$(-\frac{1}{2})^2 - (k+2)×(-\frac{1}{2}) + \frac{9}{4}=0$
计算得：$\frac{1}{4} + \frac{k+2}{2} + \frac{9}{4}=0$
通分化简得：$10 + 2k +4=0$，解得$k=-7$
【答案】
$k$的值为$\frac{7}{5}$或$-7$
【知识点】
1. 一元二次方程的解法
2. 一元二次方程根的定义
3. 分类讨论思想
【点评】
本题属于一元二次方程的基础综合题，解题的关键是正确理解“某个根”的含义，避免漏解，代入计算时要注意符号处理，保证计算准确性。
【难度系数】
0.7
