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1. 一元二次方程的定义
一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是
一元二次方程的解也叫作一元二次方程的
一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是
2
，这样的方程叫作一元二次方程。一元二次方程的一般形式：$ax^2+bx+c=0(a≠0)$
。一元二次方程的解也叫作一元二次方程的
根
。答案
1. 2 $ax^2+bx+c=0(a≠0)$ 根
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的相关基础概念，解题时可结合概念的核心特征逐一对应填空：首先，“一元二次方程”名称中的“二次”即对应未知数的最高次数；其次回忆一般形式的书写要求，需注意二次项系数不为0的限制条件；最后回忆一元二次方程解的别名即可。
【解析】
1. 一元二次方程的核心特征之一是未知数的最高次数为2，因此第一个空填2；
2. 一元二次方程整理为按未知数降幂排列的标准形式为$ax^2+bx+c=0$，要保证是二次方程，必须满足二次项系数$a≠0$，因此一般形式是$ax^2+bx+c=0(a≠0)$；
3. 一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根，因此第三个空填根。
【答案】
2；$ax^2+bx+c=0(a≠0)$；根
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的一般形式；一元二次方程的解
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，直接考查一元二次方程的核心基础概念，是学习一元二次方程后续内容的前提，熟练掌握相关基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程的相关基础概念，解题时可结合概念的核心特征逐一对应填空：首先，“一元二次方程”名称中的“二次”即对应未知数的最高次数；其次回忆一般形式的书写要求，需注意二次项系数不为0的限制条件；最后回忆一元二次方程解的别名即可。
【解析】
1. 一元二次方程的核心特征之一是未知数的最高次数为2，因此第一个空填2；
2. 一元二次方程整理为按未知数降幂排列的标准形式为$ax^2+bx+c=0$，要保证是二次方程，必须满足二次项系数$a≠0$，因此一般形式是$ax^2+bx+c=0(a≠0)$；
3. 一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根，因此第三个空填根。
【答案】
2；$ax^2+bx+c=0(a≠0)$；根
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的一般形式；一元二次方程的解
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，直接考查一元二次方程的核心基础概念，是学习一元二次方程后续内容的前提，熟练掌握相关基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 一元二次方程的解法
（1）配方法
如果方程能化成 $x^2 = p$ 或 $(mx + n)^2 = p\ (p ≥ 0)$ 的形式，那么可得或。
将一个一元二次方程配成形式来解的方法，叫作配方法。
（2）公式法
① 将方程化成一般形式 $ax^2 + bx + c = 0\ (a ≠ 0)$；
② 计算；
③ 求出 $x_{1,2} = \_\_\_\_\_\_$。
（3）因式分解法
将方程先因式分解化成两个一次式的等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫作因式分解法。
（1）配方法
如果方程能化成 $x^2 = p$ 或 $(mx + n)^2 = p\ (p ≥ 0)$ 的形式，那么可得或。
将一个一元二次方程配成形式来解的方法，叫作配方法。
（2）公式法
① 将方程化成一般形式 $ax^2 + bx + c = 0\ (a ≠ 0)$；
② 计算；
③ 求出 $x_{1,2} = \_\_\_\_\_\_$。
（3）因式分解法
将方程先因式分解化成两个一次式的等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫作因式分解法。
答案
2. (1) $x=±\sqrt{p}$ $mx+n=±\sqrt{p}$ 完全平方 (2) ②$\Delta = b^2-4ac$ ③$\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ (3) 乘积
解析
【分析】
本题考查一元二次方程三种基本解法的基础概念，解题时需回忆每种解法的定义、核心原理和操作步骤，逐一对应空缺内容填写即可：
1. 配方法部分结合平方根的意义理解直接开平方的规则，再回忆配方法的定义；
2. 公式法部分按照求根公式的推导步骤，先明确判别式的作用，再对应求根公式的内容；
3. 因式分解法结合“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”的原理，回忆其定义。
【解析】
（1）根据平方根的定义，当$x^2 = p\ (p≥0)$时，两边开平方可得$x=±\sqrt{p}$；把$mx+n$看作整体，当$(mx + n)^2 = p\ (p≥0)$时，可得$mx+n=±\sqrt{p}$；配方法的定义为：将一个一元二次方程配成完全平方形式来解的方法。
（2）公式法解一元二次方程时，化完一般形式$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$后，首先要计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，判断方程根的情况，若$\Delta≥0$，则代入求根公式可得$x_{1,2}=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
（3）因式分解法的核心是利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理降次，因此需要先将方程化成两个一次式的乘积等于0的形式。
【答案】
(1) $x=±\sqrt{p}$；$mx+n=±\sqrt{p}$；完全平方
(2) ②$\Delta = b^2-4ac$；③$\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
(3) 乘积
【知识点】
配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考查一元二次方程三种基本解法的核心原理和操作步骤，熟练掌握这些基础概念是灵活解一元二次方程的前提，也是后续学习一元二次方程应用的重要基础。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程三种基本解法的基础概念，解题时需回忆每种解法的定义、核心原理和操作步骤，逐一对应空缺内容填写即可：
1. 配方法部分结合平方根的意义理解直接开平方的规则，再回忆配方法的定义；
2. 公式法部分按照求根公式的推导步骤，先明确判别式的作用，再对应求根公式的内容；
3. 因式分解法结合“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”的原理，回忆其定义。
【解析】
（1）根据平方根的定义，当$x^2 = p\ (p≥0)$时，两边开平方可得$x=±\sqrt{p}$；把$mx+n$看作整体，当$(mx + n)^2 = p\ (p≥0)$时，可得$mx+n=±\sqrt{p}$；配方法的定义为：将一个一元二次方程配成完全平方形式来解的方法。
（2）公式法解一元二次方程时，化完一般形式$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$后，首先要计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，判断方程根的情况，若$\Delta≥0$，则代入求根公式可得$x_{1,2}=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
（3）因式分解法的核心是利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理降次，因此需要先将方程化成两个一次式的乘积等于0的形式。
【答案】
(1) $x=±\sqrt{p}$；$mx+n=±\sqrt{p}$；完全平方
(2) ②$\Delta = b^2-4ac$；③$\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
(3) 乘积
【知识点】
配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考查一元二次方程三种基本解法的核心原理和操作步骤，熟练掌握这些基础概念是灵活解一元二次方程的前提，也是后续学习一元二次方程应用的重要基础。
【难度系数】
0.9
3. 已知关于$x$的方程$ax^2 + 2x - 3 = 0$有两个不相等的实数根，则$a$的取值范围为
$a＞-\frac{1}{3},且a≠0$
。答案
3. $a＞-\frac{1}{3},且a≠0$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确：方程有两个不相等的实数根，说明该方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；其次，一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式Δ＞0，我们分别列出这两个条件，求解后取公共范围即可得到a的取值。
【解析】
∵ 关于x的方程$ax^2 + 2x - 3 = 0$有两个不相等的实数根，
∴ 首先该方程为一元二次方程，即二次项系数$a ≠ 0$；
其次，根据一元二次方程根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$（其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项），代入得：
$\Delta = 2^2 - 4 × a × (-3) = 4 + 12a$
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ $\Delta ＞ 0$，即：
$4 + 12a ＞ 0$
解不等式：
$12a ＞ -4$
$a ＞ -\frac{1}{3}$
结合$a ≠ 0$的条件，最终a的取值范围是$a ＞ -\frac{1}{3}$且$a ≠ 0$。
【答案】
$a＞-\frac{1}{3}$，且$a≠0$
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题属于易错题，解题时容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，仅通过判别式求解范围，遇到含参数的一元二次方程根的情况问题时，要先确认二次项系数不为0，再结合判别式列条件求解。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先需明确：方程有两个不相等的实数根，说明该方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；其次，一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式Δ＞0，我们分别列出这两个条件，求解后取公共范围即可得到a的取值。
【解析】
∵ 关于x的方程$ax^2 + 2x - 3 = 0$有两个不相等的实数根，
∴ 首先该方程为一元二次方程，即二次项系数$a ≠ 0$；
其次，根据一元二次方程根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$（其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项），代入得：
$\Delta = 2^2 - 4 × a × (-3) = 4 + 12a$
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ $\Delta ＞ 0$，即：
$4 + 12a ＞ 0$
解不等式：
$12a ＞ -4$
$a ＞ -\frac{1}{3}$
结合$a ≠ 0$的条件，最终a的取值范围是$a ＞ -\frac{1}{3}$且$a ≠ 0$。
【答案】
$a＞-\frac{1}{3}$，且$a≠0$
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题属于易错题，解题时容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，仅通过判别式求解范围，遇到含参数的一元二次方程根的情况问题时，要先确认二次项系数不为0，再结合判别式列条件求解。
【难度系数】
0.6
4. 已知$a,b$是方程$x^2 + x - 2023 = 0$的两个实数根，则$(a - 1)(b - 1)$的值为
$-2\ 021$
。答案
4. $-2021$
解析
【分析】
已知a、b是一元二次方程的两个实数根，首先想到利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）得到两根之和a+b与两根之积ab的值；再将所求代数式(a-1)(b-1)展开整理，转化为含有a+b和ab的形式，最后整体代入数值计算即可，无需解出方程的具体根，可简化运算。
【解析】
解：
∵a，b是方程$x^2 + x - 2023 = 0$的两个实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系：对于方程$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），两根之和为$-\frac{B}{A}$，两根之积为$\frac{C}{A}$，可得：
$a+b = -\frac{1}{1} = -1$，$ab = \frac{-2023}{1} = -2023$。
将$(a-1)(b-1)$展开化简：
$(a-1)(b-1) = ab - a - b + 1 = ab - (a+b) + 1$
把$a+b=-1$，$ab=-2023$代入上式：
原式$= -2023 - (-1) + 1 = -2023 + 1 + 1 = -2021$
【答案】
$-2021$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 整式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题型，解题核心是熟练掌握韦达定理的应用，通过将所求代数式变形后整体代值计算，避免了求解方程根的繁琐运算，考查了整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.8
已知a、b是一元二次方程的两个实数根，首先想到利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）得到两根之和a+b与两根之积ab的值；再将所求代数式(a-1)(b-1)展开整理，转化为含有a+b和ab的形式，最后整体代入数值计算即可，无需解出方程的具体根，可简化运算。
【解析】
解：
∵a，b是方程$x^2 + x - 2023 = 0$的两个实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系：对于方程$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），两根之和为$-\frac{B}{A}$，两根之积为$\frac{C}{A}$，可得：
$a+b = -\frac{1}{1} = -1$，$ab = \frac{-2023}{1} = -2023$。
将$(a-1)(b-1)$展开化简：
$(a-1)(b-1) = ab - a - b + 1 = ab - (a+b) + 1$
把$a+b=-1$，$ab=-2023$代入上式：
原式$= -2023 - (-1) + 1 = -2023 + 1 + 1 = -2021$
【答案】
$-2021$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 整式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题型，解题核心是熟练掌握韦达定理的应用，通过将所求代数式变形后整体代值计算，避免了求解方程根的繁琐运算，考查了整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.8
5. 已知关于$x$的一元二次方程$ax^2 + 2x + 2 - c = 0$有两个相等的实数根，则$\frac{1}{a} + c$的值为
$2$
。答案
5. 2
解析
【分析】
首先，题目给出的是一元二次方程，先明确隐含条件：二次项系数$a≠0$；其次，方程有两个相等的实数根，可联想到一元二次方程根的判别式$\Delta=0$的性质。先写出判别式的表达式，代入对应系数得到关于$a$和$c$的等式，再对等式做变形，两边同时除以不为0的$a$，即可求出$\frac{1}{a}+c$的值。
【解析】
∵ 方程$ax^2 + 2x + 2 - c = 0$是一元二次方程，
∴ $a ≠ 0$，
又
∵ 方程有两个相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，
其中二次项系数为$a$，一次项系数$b=2$，常数项为$2-c$，代入得：
$2^2 - 4 × a × (2 - c) = 0$，
整理得：$4 - 4a(2 - c) = 0$，
两边同时除以4得：$1 - a(2 - c) = 0$，
展开括号：$1 - 2a + ac = 0$，
移项得：$ac + 1 = 2a$，
∵ $a ≠ 0$，将等式两边同时除以$a$得：
$c + \frac{1}{a} = 2$，即$\frac{1}{a} + c = 2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用；代数式化简求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，解题时需注意不要忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含前提，通过判别式建立等式后合理变形即可求解，是一元二次方程章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
首先，题目给出的是一元二次方程，先明确隐含条件：二次项系数$a≠0$；其次，方程有两个相等的实数根，可联想到一元二次方程根的判别式$\Delta=0$的性质。先写出判别式的表达式，代入对应系数得到关于$a$和$c$的等式，再对等式做变形，两边同时除以不为0的$a$，即可求出$\frac{1}{a}+c$的值。
【解析】
∵ 方程$ax^2 + 2x + 2 - c = 0$是一元二次方程，
∴ $a ≠ 0$，
又
∵ 方程有两个相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，
其中二次项系数为$a$，一次项系数$b=2$，常数项为$2-c$，代入得：
$2^2 - 4 × a × (2 - c) = 0$，
整理得：$4 - 4a(2 - c) = 0$，
两边同时除以4得：$1 - a(2 - c) = 0$，
展开括号：$1 - 2a + ac = 0$，
移项得：$ac + 1 = 2a$，
∵ $a ≠ 0$，将等式两边同时除以$a$得：
$c + \frac{1}{a} = 2$，即$\frac{1}{a} + c = 2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用；代数式化简求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，解题时需注意不要忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含前提，通过判别式建立等式后合理变形即可求解，是一元二次方程章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
6. 已知$a$是方程$2x^2 = x + 4$的一个根，则代数式$4a^2 - 2a$的值是
$8$
.答案
6. 8
解析
【分析】
首先根据一元二次方程根的定义，将根a代入原方程可得到关于a的等式，再观察所求代数式与得到的等式之间的关系，发现所求代数式是等式变形后式子的倍数，因此不需要求解a的具体值，采用整体代入法即可快速计算出结果。
【解析】
∵a是方程$2x^2 = x + 4$的一个根，
∴将$x=a$代入方程得：$2a^2 = a + 4$，
移项可得：$2a^2 - a = 4$，
对所求代数式变形得：$4a^2 - 2a = 2(2a^2 - a)$，
将$2a^2 - a = 4$整体代入得：$4a^2 - 2a = 2×4 = 8$。
【答案】
8
【知识点】
一元二次方程的根的定义；整体代入求值
【点评】
本题解题关键是熟练运用方程根的意义得到相关等式，通过观察代数式的结构特征采用整体代入的方法计算，既简化了运算，也避免了求解一元二次方程带来的计算误差。
【难度系数】
0.8
首先根据一元二次方程根的定义，将根a代入原方程可得到关于a的等式，再观察所求代数式与得到的等式之间的关系，发现所求代数式是等式变形后式子的倍数，因此不需要求解a的具体值，采用整体代入法即可快速计算出结果。
【解析】
∵a是方程$2x^2 = x + 4$的一个根，
∴将$x=a$代入方程得：$2a^2 = a + 4$，
移项可得：$2a^2 - a = 4$，
对所求代数式变形得：$4a^2 - 2a = 2(2a^2 - a)$，
将$2a^2 - a = 4$整体代入得：$4a^2 - 2a = 2×4 = 8$。
【答案】
8
【知识点】
一元二次方程的根的定义；整体代入求值
【点评】
本题解题关键是熟练运用方程根的意义得到相关等式，通过观察代数式的结构特征采用整体代入的方法计算，既简化了运算，也避免了求解一元二次方程带来的计算误差。
【难度系数】
0.8
7. 已知一个三角形两边的长分别为3和6，第三边的长为方程$x^2 -10x +21=0$的根，则三角形的周长为
$16$
.答案
7. 16
8. 若$2n(n≠0)$是关于$x$的方程$x^2 - 2mx + 2n = 0$的根，则$m - n$的值为
$\frac{1}{2}$
.答案
8. $\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解题时首先利用一元二次方程根的定义：如果一个数是方程的根，那么将这个数代入方程，等式一定成立。我们先把根$x=2n$代入原方程，得到包含$m$、$n$的等式，再结合题目给出的$n≠0$的条件对等式进行化简，最终整理出$m-n$的表达式即可求出结果。
【解析】
∵ $2n$是方程$x^2 - 2mx + 2n = 0$的根，
∴ 将$x=2n$代入方程，等式成立：
$(2n)^2 - 2m· 2n + 2n = 0$
整理得：
$4n^2 - 4mn + 2n = 0$
提取公因式$2n$，得：
$2n(2n - 2m + 1) = 0$
已知$n≠0$，因此$2n≠0$，要使等式成立，需满足：
$2n - 2m + 1 = 0$
移项整理得：
$2m - 2n = 1$
两边同时除以2，得：
$m - n = \frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程根的定义、因式分解、等式的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程根的应用，解题的关键是牢记方程的根满足原方程，代入后结合已知条件化简即可得到所求代数式的值，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用一元二次方程根的定义：如果一个数是方程的根，那么将这个数代入方程，等式一定成立。我们先把根$x=2n$代入原方程，得到包含$m$、$n$的等式，再结合题目给出的$n≠0$的条件对等式进行化简，最终整理出$m-n$的表达式即可求出结果。
【解析】
∵ $2n$是方程$x^2 - 2mx + 2n = 0$的根，
∴ 将$x=2n$代入方程，等式成立：
$(2n)^2 - 2m· 2n + 2n = 0$
整理得：
$4n^2 - 4mn + 2n = 0$
提取公因式$2n$，得：
$2n(2n - 2m + 1) = 0$
已知$n≠0$，因此$2n≠0$，要使等式成立，需满足：
$2n - 2m + 1 = 0$
移项整理得：
$2m - 2n = 1$
两边同时除以2，得：
$m - n = \frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程根的定义、因式分解、等式的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程根的应用，解题的关键是牢记方程的根满足原方程，代入后结合已知条件化简即可得到所求代数式的值，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
9. 若$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2+2x-2=0$的两个实数根，$x_1+x_2+x_1x_2=$
$-4$
.答案
9. -4
解析
【分析】
本题要求一元二次方程两根之和与两根之积的和，解题时首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。我们只需先确定给定方程中$a,b,c$的取值，分别计算出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值，再代入待求代数式计算即可，无需解方程求出两个根的具体值，可简化计算过程。
【解析】
对于一元二次方程$x^2+2x-2=0$，可知二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-2$。
根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$，
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-2}{1}=-2$，
将上述结果代入$x_1+x_2+x_1x_2$得：
原式$=-2+(-2)=-4$。
【答案】
-4
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式求值
【点评】
本题是基础题型，核心考查韦达定理的直接应用，熟练掌握根与系数的关系公式即可快速求解，避免了求解方程根的繁琐计算。
【难度系数】
0.8
本题要求一元二次方程两根之和与两根之积的和，解题时首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。我们只需先确定给定方程中$a,b,c$的取值，分别计算出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值，再代入待求代数式计算即可，无需解方程求出两个根的具体值，可简化计算过程。
【解析】
对于一元二次方程$x^2+2x-2=0$，可知二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-2$。
根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$，
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-2}{1}=-2$，
将上述结果代入$x_1+x_2+x_1x_2$得：
原式$=-2+(-2)=-4$。
【答案】
-4
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式求值
【点评】
本题是基础题型，核心考查韦达定理的直接应用，熟练掌握根与系数的关系公式即可快速求解，避免了求解方程根的繁琐计算。
【难度系数】
0.8
10. 已知$m^2 - 2m -1 =0$，$n^2 +2n -1=0$，且$mn≠1$，则$\frac{mn +n +1}{n}$的值为
$3$
。答案
10. 3
解析
【分析】
首先观察已知的两个方程，关于m的方程为$m^2-2m-1=0$，关于n的方程为$n^2+2n-1=0$。由于n=0时第二个方程不成立，因此可对n的方程两边同时除以$n^2$，变形得到$\frac{1}{n}$满足的方程，发现其形式与m满足的方程完全一致。结合$mn≠1$即$m≠\frac{1}{n}$的条件，可知m和$\frac{1}{n}$是一元二次方程$x^2-2x-1=0$的两个不等实根，再用韦达定理求出$m+\frac{1}{n}$的值，最后将待求代数式化简为含$m+\frac{1}{n}$的形式代入计算即可。
【解析】
1. 验证n不为0：若n=0，代入$n^2+2n-1=0$得左边=-1≠0，矛盾，故$n≠0$。
2. 变形n的方程：将$n^2+2n-1=0$两边同时除以$n^2$，整理得：
$(\frac{1}{n})^2 - 2·\frac{1}{n} -1=0$
3. 确定方程的根：已知$m^2-2m-1=0$，且$mn≠1$即$m≠\frac{1}{n}$，因此m和$\frac{1}{n}$是方程$x^2-2x-1=0$的两个不相等的实数根。
4. 应用韦达定理：两根之和$m+\frac{1}{n}=2$。
5. 化简待求式：
$\frac{mn +n +1}{n} = \frac{mn}{n}+\frac{n}{n}+\frac{1}{n}=m+1+\frac{1}{n}=(m+\frac{1}{n})+1$
6. 代入计算：将$m+\frac{1}{n}=2$代入，得原式$=2+1=3$。
【答案】
3
【知识点】
韦达定理，代数式化简，等式的性质
【点评】
本题考查了转化思想的应用，解题核心是通过变形构造同形式的一元二次方程，借助根与系数的关系简化运算，避免了单独求解m、n的复杂计算。
【难度系数】
0.65
首先观察已知的两个方程，关于m的方程为$m^2-2m-1=0$，关于n的方程为$n^2+2n-1=0$。由于n=0时第二个方程不成立，因此可对n的方程两边同时除以$n^2$，变形得到$\frac{1}{n}$满足的方程，发现其形式与m满足的方程完全一致。结合$mn≠1$即$m≠\frac{1}{n}$的条件，可知m和$\frac{1}{n}$是一元二次方程$x^2-2x-1=0$的两个不等实根，再用韦达定理求出$m+\frac{1}{n}$的值，最后将待求代数式化简为含$m+\frac{1}{n}$的形式代入计算即可。
【解析】
1. 验证n不为0：若n=0，代入$n^2+2n-1=0$得左边=-1≠0，矛盾，故$n≠0$。
2. 变形n的方程：将$n^2+2n-1=0$两边同时除以$n^2$，整理得：
$(\frac{1}{n})^2 - 2·\frac{1}{n} -1=0$
3. 确定方程的根：已知$m^2-2m-1=0$，且$mn≠1$即$m≠\frac{1}{n}$，因此m和$\frac{1}{n}$是方程$x^2-2x-1=0$的两个不相等的实数根。
4. 应用韦达定理：两根之和$m+\frac{1}{n}=2$。
5. 化简待求式：
$\frac{mn +n +1}{n} = \frac{mn}{n}+\frac{n}{n}+\frac{1}{n}=m+1+\frac{1}{n}=(m+\frac{1}{n})+1$
6. 代入计算：将$m+\frac{1}{n}=2$代入，得原式$=2+1=3$。
【答案】
3
【知识点】
韦达定理，代数式化简，等式的性质
【点评】
本题考查了转化思想的应用，解题核心是通过变形构造同形式的一元二次方程，借助根与系数的关系简化运算，避免了单独求解m、n的复杂计算。
【难度系数】
0.65
11. 已知$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 - 2x -1 = 0$的两个实数根，则$\frac{1}{2x_1 +1} + \frac{1}{2x_2 +1}$的值是
$6$
。答案
11. 6
解析
【分析】
遇到求一元二次方程两根相关代数式的值的问题时，优先考虑使用根与系数的关系（韦达定理）求解，避免直接求根带来的复杂计算。解题思路为：第一步先根据给定的一元二次方程求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$；第二步将所求的分式代数式通分化简，整理为仅含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式；第三步将韦达定理的结果代入化简后的式子计算即可得到答案。
【解析】
∵$x_1$、$x_2$是一元二次方程$x^2 - 2x - 1 = 0$的两个实数根
∴根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = 2$，$x_1x_2 = -1$
对所求代数式通分化简：
$\frac{1}{2x_1 +1} + \frac{1}{2x_2 +1}=\frac{(2x_2 +1)+(2x_1 +1)}{(2x_1 +1)(2x_2 +1)}$
分别展开分子、分母：
分子：$2x_1 + 2x_2 + 2 = 2(x_1 + x_2) + 2$
分母：$4x_1x_2 + 2x_1 + 2x_2 + 1 = 4x_1x_2 + 2(x_1 + x_2) + 1$
将$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=-1$代入：
分子 $= 2×2 + 2 = 6$
分母 $= 4×(-1) + 2×2 + 1 = 1$
∴原式 $=\frac{6}{1}=6$
【答案】
6
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 分式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的典型应用题型，核心考查将所求代数式转化为两根之和、两根之积形式的变形能力，无需计算方程的根即可快速求解，掌握韦达定理和基本的代数式变形技巧是解题关键。
【难度系数】
0.7
遇到求一元二次方程两根相关代数式的值的问题时，优先考虑使用根与系数的关系（韦达定理）求解，避免直接求根带来的复杂计算。解题思路为：第一步先根据给定的一元二次方程求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$；第二步将所求的分式代数式通分化简，整理为仅含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式；第三步将韦达定理的结果代入化简后的式子计算即可得到答案。
【解析】
∵$x_1$、$x_2$是一元二次方程$x^2 - 2x - 1 = 0$的两个实数根
∴根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = 2$，$x_1x_2 = -1$
对所求代数式通分化简：
$\frac{1}{2x_1 +1} + \frac{1}{2x_2 +1}=\frac{(2x_2 +1)+(2x_1 +1)}{(2x_1 +1)(2x_2 +1)}$
分别展开分子、分母：
分子：$2x_1 + 2x_2 + 2 = 2(x_1 + x_2) + 2$
分母：$4x_1x_2 + 2x_1 + 2x_2 + 1 = 4x_1x_2 + 2(x_1 + x_2) + 1$
将$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=-1$代入：
分子 $= 2×2 + 2 = 6$
分母 $= 4×(-1) + 2×2 + 1 = 1$
∴原式 $=\frac{6}{1}=6$
【答案】
6
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 分式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的典型应用题型，核心考查将所求代数式转化为两根之和、两根之积形式的变形能力，无需计算方程的根即可快速求解，掌握韦达定理和基本的代数式变形技巧是解题关键。
【难度系数】
0.7
12. 若关于x的一元二次方程$(m-5)x^2 + 2x + 2 = 0$有实数根，则m的最大整数解是
$4$
。答案
12. 4
解析
【分析】
要解决这个问题，需分两步思考：首先，题目明确是一元二次方程，因此必须满足二次项系数不为0的条件；其次，方程有实数根，说明根的判别式Δ≥0。我们先分别列出两个条件对应的不等式，联立得到m的取值范围，再在范围内找最大的整数解即可。要特别注意不要遗漏“一元二次方程”对二次项系数的限制，否则容易错解为m=5。
【解析】
∵ 方程$(m-5)x^2 + 2x + 2 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$m-5 ≠ 0$，解得$m ≠ 5$
又
∵ 方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中$a=m-5$，$b=2$，$c=2$
代入得：$\Delta = 2^2 - 4 × (m-5) × 2 ≥ 0$
计算得：$4 - 8(m-5) ≥ 0$
展开整理：$44 - 8m ≥ 0$，即$m ≤ 5.5$
联立两个条件，m的取值范围为$m ≤ 5.5$且$m ≠ 5$
∴ 符合条件的最大整数解为4
【答案】
4
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式应用；不等式整数解
【点评】
本题属于一元二次方程的常见易错题，解题核心是先根据方程类型确定二次项系数的限制条件，再结合根的判别式求解参数范围，最后筛选符合要求的整数解，避免因忽略二次项系数不为0的前提导致错解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需分两步思考：首先，题目明确是一元二次方程，因此必须满足二次项系数不为0的条件；其次，方程有实数根，说明根的判别式Δ≥0。我们先分别列出两个条件对应的不等式，联立得到m的取值范围，再在范围内找最大的整数解即可。要特别注意不要遗漏“一元二次方程”对二次项系数的限制，否则容易错解为m=5。
【解析】
∵ 方程$(m-5)x^2 + 2x + 2 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$m-5 ≠ 0$，解得$m ≠ 5$
又
∵ 方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中$a=m-5$，$b=2$，$c=2$
代入得：$\Delta = 2^2 - 4 × (m-5) × 2 ≥ 0$
计算得：$4 - 8(m-5) ≥ 0$
展开整理：$44 - 8m ≥ 0$，即$m ≤ 5.5$
联立两个条件，m的取值范围为$m ≤ 5.5$且$m ≠ 5$
∴ 符合条件的最大整数解为4
【答案】
4
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式应用；不等式整数解
【点评】
本题属于一元二次方程的常见易错题，解题核心是先根据方程类型确定二次项系数的限制条件，再结合根的判别式求解参数范围，最后筛选符合要求的整数解，避免因忽略二次项系数不为0的前提导致错解。
【难度系数】
0.7
