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1. 某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40～65元之间，市场调查发现：若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱.
(1) 写出平均每天销售$ y $(单位：箱)与每箱售价$ x $(单位：元)之间的关系式；
(2) 求出商场平均每天销售这种牛奶的利润$ W $(单位：元)与每箱牛奶的售价$ x $(单位：元)之间的关系式(每箱的利润=售价－进价)；
(3) 当每箱牛奶售价为多少元时，平均每天的利润为900元？
(4) 当每箱牛奶售价为多少元时，平均每天的利润为1200元？
(1) 写出平均每天销售$ y $(单位：箱)与每箱售价$ x $(单位：元)之间的关系式；
(2) 求出商场平均每天销售这种牛奶的利润$ W $(单位：元)与每箱牛奶的售价$ x $(单位：元)之间的关系式(每箱的利润=售价－进价)；
(3) 当每箱牛奶售价为多少元时，平均每天的利润为900元？
(4) 当每箱牛奶售价为多少元时，平均每天的利润为1200元？
答案
(1) $y=-3x+240(40≤ x≤ 65)$ (2) $W=-3x^2+360x-9\ 600(40≤ x≤ 65)$ (3) 50元 (4) 60元
解析
【分析】
(1) 求销量y与售价x的关系式：以50元为基准售价，此时销量为90箱，售价每变动1元，销量反向变动3箱，据此列出表达式后化简，注意结合题目给出的售价取值范围标注定义域。
(2) 求利润W与售价x的关系式：根据“总利润=单箱利润×销量”，单箱利润为(x-40)，代入第(1)问得到的y的表达式展开即可。
(3)(4) 求对应利润时的售价：分别令W等于给定的利润值，得到一元二次方程，求解后舍去不在40~65范围内的解即可。
【解析】
(1) 当售价为x元时，相比基准售价50元变动了$(x-50)$元，销量随售价升高减少、降低增加，因此：
$\begin{aligned}y&=90-3(x-50)\\&=90-3x+150\\&=-3x+240\end{aligned}$
结合售价要求，得关系式：$y=-3x+240(40≤ x≤ 65)$
(2) 单箱利润为$(x-40)$元，总利润$W=(x-40)y$，代入y的表达式：
$\begin{aligned}W&=(x-40)(-3x+240)\\&=-3x^2+240x+120x-9600\\&=-3x^2+360x-9600\end{aligned}$
即$W=-3x^2+360x-9600(40≤ x≤ 65)$
(3) 令$W=900$，代入得：
$\begin{aligned}-3x^2+360x-9600&=900\\x^2-120x+3500&=0\\(x-50)(x-70)&=0\end{aligned}$
解得$x_1=50$，$x_2=70$，因$x≤65$，舍去$x_2=70$，即售价为50元。
(4) 令$W=1200$，代入得：
$\begin{aligned}-3x^2+360x-9600&=1200\\x^2-120x+3600&=0\\(x-60)^2&=0\end{aligned}$
解得$x=60$，符合$40≤60≤65$的要求，即售价为60元。
【答案】
(1) $y=-3x+240(40≤ x≤ 65)$ (2) $W=-3x^2+360x-9600(40≤ x≤ 65)$ (3) 50元 (4) 60元
【知识点】
一次函数解析式、二次函数实际应用、一元二次方程的应用
【点评】
本题是典型的销售类利润应用题，核心是理清销量、单价、单利、总利润之间的数量关系，求解方程后要注意结合实际取值范围验证解的合理性，避免出现不符合题意的结果。
【难度系数】
0.7
(1) 求销量y与售价x的关系式：以50元为基准售价，此时销量为90箱，售价每变动1元，销量反向变动3箱，据此列出表达式后化简，注意结合题目给出的售价取值范围标注定义域。
(2) 求利润W与售价x的关系式：根据“总利润=单箱利润×销量”，单箱利润为(x-40)，代入第(1)问得到的y的表达式展开即可。
(3)(4) 求对应利润时的售价：分别令W等于给定的利润值，得到一元二次方程，求解后舍去不在40~65范围内的解即可。
【解析】
(1) 当售价为x元时，相比基准售价50元变动了$(x-50)$元，销量随售价升高减少、降低增加，因此：
$\begin{aligned}y&=90-3(x-50)\\&=90-3x+150\\&=-3x+240\end{aligned}$
结合售价要求，得关系式：$y=-3x+240(40≤ x≤ 65)$
(2) 单箱利润为$(x-40)$元，总利润$W=(x-40)y$，代入y的表达式：
$\begin{aligned}W&=(x-40)(-3x+240)\\&=-3x^2+240x+120x-9600\\&=-3x^2+360x-9600\end{aligned}$
即$W=-3x^2+360x-9600(40≤ x≤ 65)$
(3) 令$W=900$，代入得：
$\begin{aligned}-3x^2+360x-9600&=900\\x^2-120x+3500&=0\\(x-50)(x-70)&=0\end{aligned}$
解得$x_1=50$，$x_2=70$，因$x≤65$，舍去$x_2=70$，即售价为50元。
(4) 令$W=1200$，代入得：
$\begin{aligned}-3x^2+360x-9600&=1200\\x^2-120x+3600&=0\\(x-60)^2&=0\end{aligned}$
解得$x=60$，符合$40≤60≤65$的要求，即售价为60元。
【答案】
(1) $y=-3x+240(40≤ x≤ 65)$ (2) $W=-3x^2+360x-9600(40≤ x≤ 65)$ (3) 50元 (4) 60元
【知识点】
一次函数解析式、二次函数实际应用、一元二次方程的应用
【点评】
本题是典型的销售类利润应用题，核心是理清销量、单价、单利、总利润之间的数量关系，求解方程后要注意结合实际取值范围验证解的合理性，避免出现不符合题意的结果。
【难度系数】
0.7
2. 王老师为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元.按此优惠条件，王老师一次性购买这种服装付了1 200元，她购买了多少件这种服装？
答案
∵80×10=800(元),800元＜1 200元,
∴王老师购买这种服装大于10件.设她购买了x件这种服装.根据题意,得$x[80-2(x-10)]=1\ 200$,解得$x_1=20$,$x_2=30$.
∵1 200÷50=24(件),30件＞24件,
∴$x_2=30$不合题意,舍去.答:她购买了20件这种服装.
解析
【分析】
首先判断购买服装的数量范围：先计算购买10件的总费用为80×10=800元，明显小于1200元，因此购买数量超过10件。接下来设购买数量为x件，推导超过10件时的单价：每多买1件单价降低2元，因此x件对应的单价为80-2(x-10)元，再根据“总价=单价×数量”的等量关系列方程。最后注意题目中“单价不得低于50元”的限制条件，需要对解出的一元二次方程的根进行合理性检验，舍去不符合实际要求的根。
【解析】
计算购买10件服装的总费用：$80×10=800$（元）
∵$800元＜1200元$，
∴王老师购买的服装数量大于10件。
设她购买了$x$件这种服装，此时服装单价为$[80-2(x-10)]$元，根据总价公式列方程：
$x[80-2(x-10)]=1200$
整理得：$x^2-50x+600=0$
因式分解得：$(x-20)(x-30)=0$
解得$x_1=20$，$x_2=30$
检验根的合理性：当单价最低为50元时，最多可购买的服装数量为$1200÷50=24$（件）
∵$30件＞24件$，此时单价低于50元，不符合优惠条件，
∴$x_2=30$不合题意，舍去。
答：她购买了20件这种服装。
【答案】
20件
【知识点】
一元二次方程的应用；一元二次方程的解法；实际问题验根
【点评】
本题属于销售优惠类应用题，解题的关键是先根据总费用判断所属的优惠分段，再找准等量关系列方程，易错点是容易忽略单价不低于50元的限制条件，未对根进行合理性检验导致多解。
【难度系数】
0.7
首先判断购买服装的数量范围：先计算购买10件的总费用为80×10=800元，明显小于1200元，因此购买数量超过10件。接下来设购买数量为x件，推导超过10件时的单价：每多买1件单价降低2元，因此x件对应的单价为80-2(x-10)元，再根据“总价=单价×数量”的等量关系列方程。最后注意题目中“单价不得低于50元”的限制条件，需要对解出的一元二次方程的根进行合理性检验，舍去不符合实际要求的根。
【解析】
计算购买10件服装的总费用：$80×10=800$（元）
∵$800元＜1200元$，
∴王老师购买的服装数量大于10件。
设她购买了$x$件这种服装，此时服装单价为$[80-2(x-10)]$元，根据总价公式列方程：
$x[80-2(x-10)]=1200$
整理得：$x^2-50x+600=0$
因式分解得：$(x-20)(x-30)=0$
解得$x_1=20$，$x_2=30$
检验根的合理性：当单价最低为50元时，最多可购买的服装数量为$1200÷50=24$（件）
∵$30件＞24件$，此时单价低于50元，不符合优惠条件，
∴$x_2=30$不合题意，舍去。
答：她购买了20件这种服装。
【答案】
20件
【知识点】
一元二次方程的应用；一元二次方程的解法；实际问题验根
【点评】
本题属于销售优惠类应用题，解题的关键是先根据总费用判断所属的优惠分段，再找准等量关系列方程，易错点是容易忽略单价不低于50元的限制条件，未对根进行合理性检验导致多解。
【难度系数】
0.7
3. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映:每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，在顾客获得实惠的前提下，商家还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？
答案
56元
解析
【分析】
这是销售利润类的一元二次方程应用题，解题核心是牢记总利润的等量关系：总利润=单件利润×销售数量。我们可以先设降价金额为未知数，分别表示出降价后的单件利润、总销售量，再结合目标总利润列方程求解，最后要注意“顾客获得实惠”的前提，需选择降价更多、定价更低的对应解。
【解析】
解：设每件商品降价$x$元，则此时销售单价为$(60-x)$元，单件利润为$(60-x-40)=(20-x)$元，销售量为$(300+20x)$件。
根据总利润为6080元，列方程得：
$(20 - x)(300 + 20x) = 6080$
展开整理方程：
$6000 + 100x - 20x^2 = 6080$
化简得：
$x^2 - 5x + 4 = 0$
因式分解得：
$(x - 1)(x - 4) = 0$
解得$x_1=1$，$x_2=4$
由于要让顾客获得实惠，应选择降价更多的方案，即取$x=4$，此时销售单价为$60-4=56$元。
【答案】
56元
【知识点】
一元二次方程的应用、销售利润计算、方程根的实际取舍
【点评】
本题是典型的实际应用类题型，解题关键是找准利润相关的等量关系列方程，易错点是忽略题目的实际限制条件，未对求解得到的根进行合理取舍，导致出现多余答案。
【难度系数】
0.7
这是销售利润类的一元二次方程应用题，解题核心是牢记总利润的等量关系：总利润=单件利润×销售数量。我们可以先设降价金额为未知数，分别表示出降价后的单件利润、总销售量，再结合目标总利润列方程求解，最后要注意“顾客获得实惠”的前提，需选择降价更多、定价更低的对应解。
【解析】
解：设每件商品降价$x$元，则此时销售单价为$(60-x)$元，单件利润为$(60-x-40)=(20-x)$元，销售量为$(300+20x)$件。
根据总利润为6080元，列方程得：
$(20 - x)(300 + 20x) = 6080$
展开整理方程：
$6000 + 100x - 20x^2 = 6080$
化简得：
$x^2 - 5x + 4 = 0$
因式分解得：
$(x - 1)(x - 4) = 0$
解得$x_1=1$，$x_2=4$
由于要让顾客获得实惠，应选择降价更多的方案，即取$x=4$，此时销售单价为$60-4=56$元。
【答案】
56元
【知识点】
一元二次方程的应用、销售利润计算、方程根的实际取舍
【点评】
本题是典型的实际应用类题型，解题关键是找准利润相关的等量关系列方程，易错点是忽略题目的实际限制条件，未对求解得到的根进行合理取舍，导致出现多余答案。
【难度系数】
0.7
