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20. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $(x - 3)(x - 2) = |m|$。
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是 1，求 $ m $ 的值及方程的另一根。
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是 1，求 $ m $ 的值及方程的另一根。
答案
20. (1) 证明:$\because \Delta=1+4|m|＞0$,$\therefore$方程总有两个不相等的实数根. (2) $m=±2$,另一个根为$x=4$.
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，需先将方程整理为一般形式，再计算根的判别式$\Delta$，只要证明$\Delta＞0$即可，可结合绝对值的非负性推导$\Delta$的取值范围完成证明。
（2）已知方程的一个根，先将根代入原方程求出$|m|$的值，即可得到$m$的取值；求另一个根时，可利用根与系数的关系快速计算，简化运算步骤。
【解析】
（1）证明：将原方程整理为一般形式：
$x^2 - 5x + 6 - |m| = 0$
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-5$，常数项$c=6-|m|$，则根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4×1×(6 - |m|) = 25 - 24 + 4|m| = 1 + 4|m|$
$\because |m|≥0$，$\therefore 1 + 4|m| ≥ 1 ＞ 0$
$\therefore$ 方程总有两个不相等的实数根。
（2）解：把$x=1$代入原方程，得：
$(1-3)(1-2) = |m|$
计算得：$(-2)×(-1) = |m|$，即$|m|=2$，因此$m=\pm2$。
设方程的另一个根为$x_2$，根据根与系数的关系，两根之和为$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 5$，已知$x_1=1$，则$1 + x_2 = 5$，解得$x_2=4$。
【答案】
（1）方程总有两个不相等的实数根，证明成立；
（2）$m=\pm2$，方程的另一个根为$x=4$。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程根与系数的关系
3. 绝对值的性质
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题型，考查了根的判别式、方程解的代入计算等核心内容，解题时注意绝对值求值有正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
（1）要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，需先将方程整理为一般形式，再计算根的判别式$\Delta$，只要证明$\Delta＞0$即可，可结合绝对值的非负性推导$\Delta$的取值范围完成证明。
（2）已知方程的一个根，先将根代入原方程求出$|m|$的值，即可得到$m$的取值；求另一个根时，可利用根与系数的关系快速计算，简化运算步骤。
【解析】
（1）证明：将原方程整理为一般形式：
$x^2 - 5x + 6 - |m| = 0$
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-5$，常数项$c=6-|m|$，则根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4×1×(6 - |m|) = 25 - 24 + 4|m| = 1 + 4|m|$
$\because |m|≥0$，$\therefore 1 + 4|m| ≥ 1 ＞ 0$
$\therefore$ 方程总有两个不相等的实数根。
（2）解：把$x=1$代入原方程，得：
$(1-3)(1-2) = |m|$
计算得：$(-2)×(-1) = |m|$，即$|m|=2$，因此$m=\pm2$。
设方程的另一个根为$x_2$，根据根与系数的关系，两根之和为$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 5$，已知$x_1=1$，则$1 + x_2 = 5$，解得$x_2=4$。
【答案】
（1）方程总有两个不相等的实数根，证明成立；
（2）$m=\pm2$，方程的另一个根为$x=4$。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程根与系数的关系
3. 绝对值的性质
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题型，考查了根的判别式、方程解的代入计算等核心内容，解题时注意绝对值求值有正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
21. 某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元. 为了扩大利益、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.
（1）若降低3元，则平均每天销售数量为
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
（1）若降低3元，则平均每天销售数量为
26
件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
答案
21. (1) 26 (2) 10元
22. 随着某市养老机构(养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等)建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加.
(1) 该市的养老床位数从2023年底的2万个增长到2025年底的2.88万个，求该市这两年(从2023年底到2025年底)拥有的养老床位数的平均年增长率；
(2) 若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间(1个养老床位)，双人间(2个养老床位)，三人间(3个养老床位)，因实际需要，单人间房间数在10至30之间(包括10和30)，且双人间的房间数是单人间的2倍.设规划建造单人间的房间数为t.
① 若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t的值；
② 该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？
(1) 该市的养老床位数从2023年底的2万个增长到2025年底的2.88万个，求该市这两年(从2023年底到2025年底)拥有的养老床位数的平均年增长率；
(2) 若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间(1个养老床位)，双人间(2个养老床位)，三人间(3个养老床位)，因实际需要，单人间房间数在10至30之间(包括10和30)，且双人间的房间数是单人间的2倍.设规划建造单人间的房间数为t.
① 若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t的值；
② 该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？
答案
22. (1) 设该市这两年(从2023年底到2025年底)拥有的养老床位数的平均年增长率为$x$,根据题意可列出方程$2(1+x)^2=2.88$,解得$x_1=0.2$,$x_2=-2.2$(不合题意,舍去).答:该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为20%. (2) ① $\because$规划建造单人间的房间数为$t(10≤ t≤ 30)$,则双人间的房间数为$2t$,三人间的房间数为$(100-3t)$,根据题意,得$t+4t+3(100-3t)=200$,解得$t=25$.答:$t$的值是25. ② 设该养老中心建成后能提供养老床位$y$个.根据题意,得$y=t+4t+3(100-3t)=-4t+300(10≤ t≤ 30)$,$\because k=-4＜0$,$\therefore y$随$t$的增大而减小.当$t=10$时,$y$的最大值为$300-4×10=260$,当$t=30$时,$y$的最小值为$300-4×30=180$.答:该养老中心建成后最多提供养老床位260个,最少提供养老床位180个.
解析
【分析】
(1) 本题为平均增长率类问题，解题思路是先设平均年增长率为$x$，根据“初始量×(1+年增长率)²=增长两年后的最终量”列一元二次方程求解，注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
(2) ① 首先用含$t$的代数式表示三类房间的数量：单人间为$t$间，双人间是单人间的2倍即$2t$间，三人间为总房间数减去单人间和双人间的数量，即$(100-3t)$间；再根据“总床位数=三类房间床位数之和”列一元一次方程，求解后验证$t$是否在$10∼30$的限定范围内即可。
② 先将总床位数$y$表示为关于$t$的一次函数，结合一次函数的增减性：当一次项系数小于0时，$y$随$t$的增大而减小，再结合$t$的取值范围，分别代入$t$的最小值和最大值即可求出总床位的最大值和最小值。
【解析】
(1) 设该市这两年（从2023年底到2025年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为$x$，
根据题意列方程：$2(1+x)^2=2.88$，
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（增长率不能为负，不合题意，舍去）。
(2) ① 已知规划建造单人间的房间数为$t$（$10≤ t≤30$），则双人间房间数为$2t$，三人间房间数为$100-t-2t=100-3t$，
根据总床位数为200个列方程：
$t + 2×2t + 3(100-3t)=200$，
化简得：$-4t+300=200$，
解得：$t=25$，符合$10≤25≤30$的范围。
② 设该养老中心建成后能提供养老床位$y$个，
根据题意得：$y=t + 2×2t + 3(100-3t)=-4t+300$（$10≤ t≤30$），
$\because$一次项系数$k=-4＜0$，
$\therefore y$随$t$的增大而减小，
当$t=10$时，$y$取最大值，最大值为$-4×10+300=260$（个），
当$t=30$时，$y$取最小值，最小值为$-4×30+300=180$（个）。
【答案】
(1) 该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为20%；
(2) ① $t$的值是25；② 最多提供养老床位260个，最少提供养老床位180个。
【知识点】
1. 平均增长率问题
2. 一元一次方程的应用
3. 一次函数的最值应用
【点评】
本题结合养老民生背景设计，综合考查了方程与函数的实际应用能力，解题核心是找准等量关系正确列方程、列函数解析式，同时要注意实际问题中未知数的取值限制，能够有效考查学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 本题为平均增长率类问题，解题思路是先设平均年增长率为$x$，根据“初始量×(1+年增长率)²=增长两年后的最终量”列一元二次方程求解，注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
(2) ① 首先用含$t$的代数式表示三类房间的数量：单人间为$t$间，双人间是单人间的2倍即$2t$间，三人间为总房间数减去单人间和双人间的数量，即$(100-3t)$间；再根据“总床位数=三类房间床位数之和”列一元一次方程，求解后验证$t$是否在$10∼30$的限定范围内即可。
② 先将总床位数$y$表示为关于$t$的一次函数，结合一次函数的增减性：当一次项系数小于0时，$y$随$t$的增大而减小，再结合$t$的取值范围，分别代入$t$的最小值和最大值即可求出总床位的最大值和最小值。
【解析】
(1) 设该市这两年（从2023年底到2025年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为$x$，
根据题意列方程：$2(1+x)^2=2.88$，
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（增长率不能为负，不合题意，舍去）。
(2) ① 已知规划建造单人间的房间数为$t$（$10≤ t≤30$），则双人间房间数为$2t$，三人间房间数为$100-t-2t=100-3t$，
根据总床位数为200个列方程：
$t + 2×2t + 3(100-3t)=200$，
化简得：$-4t+300=200$，
解得：$t=25$，符合$10≤25≤30$的范围。
② 设该养老中心建成后能提供养老床位$y$个，
根据题意得：$y=t + 2×2t + 3(100-3t)=-4t+300$（$10≤ t≤30$），
$\because$一次项系数$k=-4＜0$，
$\therefore y$随$t$的增大而减小，
当$t=10$时，$y$取最大值，最大值为$-4×10+300=260$（个），
当$t=30$时，$y$取最小值，最小值为$-4×30+300=180$（个）。
【答案】
(1) 该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为20%；
(2) ① $t$的值是25；② 最多提供养老床位260个，最少提供养老床位180个。
【知识点】
1. 平均增长率问题
2. 一元一次方程的应用
3. 一次函数的最值应用
【点评】
本题结合养老民生背景设计，综合考查了方程与函数的实际应用能力，解题核心是找准等量关系正确列方程、列函数解析式，同时要注意实际问题中未知数的取值限制，能够有效考查学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
