5. 解下列方程：
(1) $4(x+1)^2 + 3(x+1) = 0$；
(2) $x^2 + 8x + 7 = 0$；
(3) $x^2 + 12x - 13 = 0$；
(4) $x^2 + 2x - 24 = 0$；

5. (1) $x_1=-1,x_2=-\frac{7}{4}$
(2) $x_1=-1,x_2=-7$
(3) $x_1=1,x_2=-13$
(4) $x_1=4,x_2=-6$

【分析】
这四道题均适合用因式分解法求解一元二次方程，核心思路是将方程变形为“两个一次因式的乘积等于0”的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”转化为两个一元一次方程求解。具体来看：(1)题可把(x+1)看作整体提取公因式；(2)(3)(4)题是二次项系数为1的二次三项式，可用十字相乘法分解因式，快速得到方程的根。
【解析】
(1) 对$4(x+1)^2 + 3(x+1) = 0$提取公因式$(x+1)$，得：
$(x+1)[4(x+1)+3]=0$
整理得$(x+1)(4x+7)=0$
$\therefore x+1=0$ 或 $4x+7=0$
解得 $x_1=-1, x_2=-\frac{7}{4}$
(2) 对$x^2 + 8x + 7 = 0$用十字相乘法分解因式，得：
$(x+1)(x+7)=0$
$\therefore x+1=0$ 或 $x+7=0$
解得 $x_1=-1, x_2=-7$
(3) 对$x^2 + 12x - 13 = 0$用十字相乘法分解因式，得：
$(x-1)(x+13)=0$
$\therefore x-1=0$ 或 $x+13=0$
解得 $x_1=1, x_2=-13$
(4) 对$x^2 + 2x - 24 = 0$用十字相乘法分解因式，得：
$(x-4)(x+6)=0$
$\therefore x-4=0$ 或 $x+6=0$
解得 $x_1=4, x_2=-6$
【答案】
(1) $x_1=-1,x_2=-\frac{7}{4}$
(2) $x_1=-1,x_2=-7$
(3) $x_1=1,x_2=-13$
(4) $x_1=4,x_2=-6$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解、十字相乘法因式分解
【点评】
这组题目是用因式分解法解一元二次方程的典型基础题，熟练掌握提公因式和十字相乘法的技巧，可大幅提升解一元二次方程的效率，避免复杂计算。
【难度系数】
0.8

6. 已知关于x的方程$x^2 + kx - 3 = 0$的一个解与方程$\frac{x+1}{x-1}=2$的解相同.
(1) 求k的值；
(2) 求方程$x^2 + kx - 3 = 0$的另一个解.

6. (1) $k=-2$
(2) $x=-1$

【分析】
先求解分式方程$\frac{x+1}{x-1}=2$，验根后得到两个方程的公共解，将公共解代入一元二次方程$x^2 + kx - 3 = 0$即可求出k的值；得到k的值后，将其代入一元二次方程，用因式分解法解方程就能得到另一个解，也可通过一元二次方程根与系数的关系直接求出另一根。
【解析】
(1) 解分式方程$\frac{x+1}{x-1}=2$：
去分母，两边同乘$(x-1)$得：$x+1=2(x-1)$
去括号得：$x+1=2x-2$
移项、合并同类项得：$-x=-3$
解得：$x=3$
检验：当$x=3$时，$x-1=2≠0$，因此$x=3$是分式方程的解。
将$x=3$代入$x^2 + kx - 3 = 0$得：
$3^2 + 3k - 3 = 0$
化简得：$6 + 3k = 0$
解得：$k=-2$
(2) 将$k=-2$代入$x^2 + kx - 3 = 0$，得方程：
$x^2 - 2x - 3 = 0$
因式分解得：$(x-3)(x+1)=0$
则$x-3=0$或$x+1=0$
解得$x_1=3$，$x_2=-1$
因此方程的另一个解为$x=-1$。
【答案】
(1) $k=-2$；(2) $x=-1$
【知识点】
分式方程的解法；一元二次方程的解；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是基础综合题，解题核心是先求出两个方程的公共解，再代入求参数，最后求解一元二次方程，是方程板块的常见考法，解题时注意分式方程要验根。
【难度系数】
0.8

7. 已知下列$ n $（$ n $为正整数）个关于$ x $的一元二次方程：
① $ x^2 - 1 = 0 $；② $ x^2 + x - 2 = 0 $；③ $ x^2 + 2x - 3 = 0 $；…；ⓝ $ x^2 + (n - 1)x - n = 0 $。
（1）请解上述一元二次方程①②③ⓝ；
（2）请你指出这$ n $个方程的根具有什么共同特点（写出一条即可）。

7. (1) ① $x_1=1,x_2=-1$ ② $x_1=1,x_2=-2$ ③ $x_1=1,x_2=-3$ ⓝ $x_1=1,x_2=-n$
(2) 答案不唯一,如这$ n $个方程均有一个根为1.

【分析】
（1）观察给出的一元二次方程的结构，适合用因式分解法求解：先将方程左边的二次三项式因式分解为两个一次因式的乘积，再根据“乘积为0的两个因式至少有一个为0”，转化为一元一次方程即可求出根；第n个方程可以类比前3个方程的因式分解规律，快速推导得到根。（2）将求出的所有方程的根进行对比，从公共根、根的取值类型等角度归纳共同特点即可。
【解析】
（1）① 解方程$x^2 - 1 = 0$：
因式分解得：$(x-1)(x+1)=0$，
$\therefore x-1=0$ 或 $x+1=0$，
解得$x_1=1,x_2=-1$。
② 解方程$x^2 + x - 2 = 0$：
十字相乘因式分解得：$(x-1)(x+2)=0$，
$\therefore x-1=0$ 或 $x+2=0$，
解得$x_1=1,x_2=-2$。
③ 解方程$x^2 + 2x - 3 = 0$：
十字相乘因式分解得：$(x-1)(x+3)=0$，
$\therefore x-1=0$ 或 $x+3=0$，
解得$x_1=1,x_2=-3$。
ⓝ 解方程$x^2 + (n - 1)x - n = 0$：
十字相乘因式分解得：$(x-1)(x+n)=0$，
$\therefore x-1=0$ 或 $x+n=0$，
解得$x_1=1,x_2=-n$。
（2）对比所有方程的根，可发现共同特点：这n个方程都有一个根为1（答案不唯一，也可写“都有一个负整数根”“两个根都是整数”等）。
【答案】
(1) ① $x_1=1,x_2=-1$ ② $x_1=1,x_2=-2$ ③ $x_1=1,x_2=-3$ ⓝ $x_1=1,x_2=-n$
(2) 示例：这$n$个方程均有一个根为1（答案不唯一）
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；十字相乘法因式分解；一元二次方程的根
【点评】
本题结合规律探究考查一元二次方程的基础解法，既需要熟练掌握因式分解法解方程的技能，也需要具备基础的观察归纳能力，解题门槛较低。
【难度系数】
0.85