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1. 若关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的两根为$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=$
$-\frac{b}{a}$
，$x_1x_2=$$\frac{c}{a}$
；若方程$x^2+px+q=0$的两根为$α,β$，则$αβ=$$q$
，$α+β=$$-p$
。答案
1. $-\frac{b}{a}$，$\frac{c}{a}$，$q$，$-p$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的直接应用。解题思路如下：第一步，先回忆一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$对应的韦达定理结论，直接填写前两个空；第二步，将二次项系数为1的方程$x^2+px+q=0$与一般形式对照，确定$a=1,b=p,c=q$，再代入韦达定理公式即可得到后两个空的结果，解题时要注意两根之和的公式前带有负号，避免符号错误。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：
对于关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$；
对于方程$x^2+px+q=0$，对比一般形式可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=p$，常数项$c=q$，代入韦达定理公式可得：两根$α,β$的乘积$αβ=\frac{c}{a}=\frac{q}{1}=q$，两根之和$α+β=-\frac{b}{a}=-\frac{p}{1}=-p$。
【答案】
$-\frac{b}{a}$，$\frac{c}{a}$，$q$，$-p$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础识记类题型，核心考查韦达定理的直接应用，熟练记忆公式并注意符号问题即可快速得分，是后续利用韦达定理解决复杂综合题的基础。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的直接应用。解题思路如下：第一步，先回忆一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$对应的韦达定理结论，直接填写前两个空；第二步，将二次项系数为1的方程$x^2+px+q=0$与一般形式对照，确定$a=1,b=p,c=q$，再代入韦达定理公式即可得到后两个空的结果，解题时要注意两根之和的公式前带有负号，避免符号错误。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：
对于关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$；
对于方程$x^2+px+q=0$，对比一般形式可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=p$，常数项$c=q$，代入韦达定理公式可得：两根$α,β$的乘积$αβ=\frac{c}{a}=\frac{q}{1}=q$，两根之和$α+β=-\frac{b}{a}=-\frac{p}{1}=-p$。
【答案】
$-\frac{b}{a}$，$\frac{c}{a}$，$q$，$-p$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础识记类题型，核心考查韦达定理的直接应用，熟练记忆公式并注意符号问题即可快速得分，是后续利用韦达定理解决复杂综合题的基础。
【难度系数】
0.9
2. 若方程$x^2 - 2x -1=0$的两根为$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=$
$2$
，$x_1x_2=$$-1$
。答案
2. 2，$-1$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：首先回忆韦达定理的内容：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若方程存在两个实数根$x_1,x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。接下来先从给出的方程中准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，最后代入对应公式计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 2x -1=0$，可知二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=-1$。
根据一元二次方程根与系数的关系：
两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-2}{1}=2$；
两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-1}{1}=-1$。
【答案】
2，$-1$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
2. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理的直接应用，解题时需注意准确识别方程各项的符号，避免因符号判断错误导致计算失误，熟练掌握韦达定理公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：首先回忆韦达定理的内容：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若方程存在两个实数根$x_1,x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。接下来先从给出的方程中准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，最后代入对应公式计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 2x -1=0$，可知二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=-1$。
根据一元二次方程根与系数的关系：
两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-2}{1}=2$；
两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-1}{1}=-1$。
【答案】
2，$-1$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
2. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理的直接应用，解题时需注意准确识别方程各项的符号，避免因符号判断错误导致计算失误，熟练掌握韦达定理公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
3. 已知方程$x^2 - 3kx + 2 = 0$的一个根为2，则方程的另一个根为
$1$
。答案
3. 1
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：思路1：利用一元二次方程根的定义，将已知根x=2代入原方程，先求出参数k的值，再代入方程求解得到另一个根；思路2：利用本节课所学的一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之积为$\frac{c}{a}$，无需计算参数k，直接代入已知根即可快速求出另一个根，该方法更简便。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的两个根为$x_1=2$，$x_2$为待求根。
对于方程$x^2 - 3kx + 2 = 0$，二次项系数$a=1$，常数项$c=2$，根据根与系数的关系，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入得：
$2× x_2=\frac{2}{1}=2$
解得$x_2=1$。
方法二（根的定义代入法，可用于验证）：
将$x=2$代入原方程得：
$2^2 - 3k×2 + 2 = 0$
化简得$6-6k=0$，解得$k=1$。
将$k=1$代入原方程得$x^2-3x+2=0$，因式分解为$(x-1)(x-2)=0$，解得方程的根为$x=1$和$x=2$，故另一个根为1。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，熟练掌握韦达定理可简化计算步骤，提升解题速度，两种解题方法可互相验证结果的准确性。
【难度系数】
0.9
本题可通过两种思路求解：思路1：利用一元二次方程根的定义，将已知根x=2代入原方程，先求出参数k的值，再代入方程求解得到另一个根；思路2：利用本节课所学的一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之积为$\frac{c}{a}$，无需计算参数k，直接代入已知根即可快速求出另一个根，该方法更简便。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的两个根为$x_1=2$，$x_2$为待求根。
对于方程$x^2 - 3kx + 2 = 0$，二次项系数$a=1$，常数项$c=2$，根据根与系数的关系，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入得：
$2× x_2=\frac{2}{1}=2$
解得$x_2=1$。
方法二（根的定义代入法，可用于验证）：
将$x=2$代入原方程得：
$2^2 - 3k×2 + 2 = 0$
化简得$6-6k=0$，解得$k=1$。
将$k=1$代入原方程得$x^2-3x+2=0$，因式分解为$(x-1)(x-2)=0$，解得方程的根为$x=1$和$x=2$，故另一个根为1。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，熟练掌握韦达定理可简化计算步骤，提升解题速度，两种解题方法可互相验证结果的准确性。
【难度系数】
0.9
1. 若一元二次方程$x^2 -6x +4=0$的两个实数根分别为$x_1$和$x_2$，则$x_1 +x_2=$
$6$
，$x_1x_2=$$4$
。答案
1. 6，4
解析
【分析】
要求一元二次方程两根的和与积，可直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。首先明确一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$，接下来只需确定题目所给方程中对应的$a、b、c$的值，代入公式计算即可。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若其两根为$x_1、x_2$，则根与系数的关系为：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
题中方程为$x^2 -6x +4=0$，对比一般形式可得：$a=1$，$b=-6$，$c=4$
代入公式计算：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-6)}{1}=6$
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{4}{1}=4$
【答案】
6，4
【知识点】
韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理的直接应用，解题时需注意准确识别方程各项的系数，尤其要注意系数的符号，避免因符号错误导致计算失误，该定理是一元二次方程相关题型中的常用结论，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
要求一元二次方程两根的和与积，可直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。首先明确一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$，接下来只需确定题目所给方程中对应的$a、b、c$的值，代入公式计算即可。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若其两根为$x_1、x_2$，则根与系数的关系为：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
题中方程为$x^2 -6x +4=0$，对比一般形式可得：$a=1$，$b=-6$，$c=4$
代入公式计算：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-6)}{1}=6$
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{4}{1}=4$
【答案】
6，4
【知识点】
韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理的直接应用，解题时需注意准确识别方程各项的系数，尤其要注意系数的符号，避免因符号错误导致计算失误，该定理是一元二次方程相关题型中的常用结论，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
2. 若$ x_1 = -1 $是关于$ x $的方程$ x^2 + mx -5 = 0 $的一个根，则此方程的另一个根$ x_2 = $
$5$
。答案
2. 5
解析
【分析】
已知方程的一个根求另一个根，我们可以利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，该方法更简便。对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积等于$\frac{c}{a}$，本题中先确定方程中$a、c$的值，再代入已知根即可快速求出另一个根；也可以先将已知根代入方程求出参数$m$的值，再解方程得到另一个根。
【解析】
方法一：利用根与系数的关系求解
对于一元二次方程$x^2 + mx -5 = 0$，可知$a=1$，$c=-5$。
设方程的两根为$x_1、x_2$，根据根与系数的关系可得：$x_1 · x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-5}{1} = -5$。
已知$x_1=-1$，代入得：$-1 · x_2 = -5$，解得$x_2=5$。
方法二：利用方程根的定义求解
将$x_1=-1$代入方程$x^2 + mx -5 = 0$得：
$(-1)^2 + m × (-1) -5 = 0$
$1 - m -5 = 0$
解得$m=-4$。
则原方程为$x^2 -4x -5 = 0$，因式分解得$(x-5)(x+1)=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=5$。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，熟练掌握韦达定理可大幅提升解题效率，无需计算参数值即可直接求出未知根。
【难度系数】
0.9
已知方程的一个根求另一个根，我们可以利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，该方法更简便。对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积等于$\frac{c}{a}$，本题中先确定方程中$a、c$的值，再代入已知根即可快速求出另一个根；也可以先将已知根代入方程求出参数$m$的值，再解方程得到另一个根。
【解析】
方法一：利用根与系数的关系求解
对于一元二次方程$x^2 + mx -5 = 0$，可知$a=1$，$c=-5$。
设方程的两根为$x_1、x_2$，根据根与系数的关系可得：$x_1 · x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-5}{1} = -5$。
已知$x_1=-1$，代入得：$-1 · x_2 = -5$，解得$x_2=5$。
方法二：利用方程根的定义求解
将$x_1=-1$代入方程$x^2 + mx -5 = 0$得：
$(-1)^2 + m × (-1) -5 = 0$
$1 - m -5 = 0$
解得$m=-4$。
则原方程为$x^2 -4x -5 = 0$，因式分解得$(x-5)(x+1)=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=5$。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，熟练掌握韦达定理可大幅提升解题效率，无需计算参数值即可直接求出未知根。
【难度系数】
0.9
3. 若方程$2x(x+3)=1$的两根分别为$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=$
$-3$
，$x_1x_2=$$-\frac{1}{2}$
，$x_1^2x_2 + x_1x_2^2=$$\frac{3}{2}$
，$x_1^2 + x_2^2=$$10$
，$\frac{4}{x_1} + \frac{4}{x_2}=$$24$
。答案
3. $-3$，$-\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$，10，24
解析
【分析】
解题时首先将原方程化为一元二次方程的一般形式，确定各项系数a、b、c，再根据根与系数的关系（韦达定理）直接求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$；后续待求的代数式均通过因式分解、通分、完全平方公式变形，转化为仅含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，最后整体代入已求的数值计算即可得到结果。
【解析】
第一步：将原方程整理为一般形式
对$2x(x+3)=1$展开并移项，得：
$2x^2 +6x -1=0$
其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=6$，常数项$c=-1$。
第二步：根据韦达定理求$x_1+x_2$和$x_1x_2$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根$x_1,x_2$满足：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{6}{2}=-3$
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$
第三步：计算$x_1^2x_2 + x_1x_2^2$
提取公因式变形得：
$x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1+x_2)$
代入数值计算：
$=(-\frac{1}{2})×(-3)=\frac{3}{2}$
第四步：计算$x_1^2 + x_2^2$
由完全平方公式变形得：
$x_1^2 + x_2^2=(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$
代入数值计算：
$=(-3)^2 -2×(-\frac{1}{2})=9+1=10$
第五步：计算$\frac{4}{x_1} + \frac{4}{x_2}$
通分变形得：
$\frac{4}{x_1} + \frac{4}{x_2}=\frac{4x_2 +4x_1}{x_1x_2}=\frac{4(x_1+x_2)}{x_1x_2}$
代入数值计算：
$=\frac{4×(-3)}{-\frac{1}{2}}=(-12)×(-2)=24$
【答案】
$-3$，$-\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$，$10$，$24$
【知识点】
1. 韦达定理
2. 代数式变形
3. 完全平方公式
【点评】
本题是韦达定理的典型应用题型，核心是掌握代数式的常用变形技巧，通过整体代入两根和与两根积的方式计算，可省去求解方程根的繁琐步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时首先将原方程化为一元二次方程的一般形式，确定各项系数a、b、c，再根据根与系数的关系（韦达定理）直接求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$；后续待求的代数式均通过因式分解、通分、完全平方公式变形，转化为仅含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，最后整体代入已求的数值计算即可得到结果。
【解析】
第一步：将原方程整理为一般形式
对$2x(x+3)=1$展开并移项，得：
$2x^2 +6x -1=0$
其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=6$，常数项$c=-1$。
第二步：根据韦达定理求$x_1+x_2$和$x_1x_2$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根$x_1,x_2$满足：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{6}{2}=-3$
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$
第三步：计算$x_1^2x_2 + x_1x_2^2$
提取公因式变形得：
$x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1+x_2)$
代入数值计算：
$=(-\frac{1}{2})×(-3)=\frac{3}{2}$
第四步：计算$x_1^2 + x_2^2$
由完全平方公式变形得：
$x_1^2 + x_2^2=(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$
代入数值计算：
$=(-3)^2 -2×(-\frac{1}{2})=9+1=10$
第五步：计算$\frac{4}{x_1} + \frac{4}{x_2}$
通分变形得：
$\frac{4}{x_1} + \frac{4}{x_2}=\frac{4x_2 +4x_1}{x_1x_2}=\frac{4(x_1+x_2)}{x_1x_2}$
代入数值计算：
$=\frac{4×(-3)}{-\frac{1}{2}}=(-12)×(-2)=24$
【答案】
$-3$，$-\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$，$10$，$24$
【知识点】
1. 韦达定理
2. 代数式变形
3. 完全平方公式
【点评】
本题是韦达定理的典型应用题型，核心是掌握代数式的常用变形技巧，通过整体代入两根和与两根积的方式计算，可省去求解方程根的繁琐步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
4. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + px + 1 = 0$的一个根为$2+\sqrt{3}$，则另一根为
$2-\sqrt{3}$
.答案
4. $2-\sqrt{3}$
解析
【分析】
本题是已知一元二次方程的一个根求另一根的问题，有两种解题思路：一是将已知根代入方程求出参数p，再解方程求另一根，但是计算量较大；二是利用一元二次方程根与系数的关系求解，本题对应方程的二次项系数为1，常数项为1，可知两根之积为1，直接用1除以已知根再做分母有理化即可得到结果，这种方法更简便，契合本节课的知识点。
【解析】
设方程$x^2 + px + 1 = 0$的两个根为$x_1$、$x_2$，其中$x_1=2+\sqrt{3}$。
根据一元二次方程根与系数的关系：对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入本题的系数可得：
$x_1x_2=\frac{1}{1}=1$
因此另一根$x_2=\frac{1}{x_1}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$，对其分母有理化，分子分母同乘$2-\sqrt{3}$：
$x_2=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\frac{2-\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt{3})^2}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}=2-\sqrt{3}$
【答案】
$2-\sqrt{3}$
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系 2.分母有理化
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，利用韦达定理求解可避免代入求参数的复杂计算，熟练掌握该知识点能有效简化求方程未知根类问题的求解过程。
【难度系数】
0.8
本题是已知一元二次方程的一个根求另一根的问题，有两种解题思路：一是将已知根代入方程求出参数p，再解方程求另一根，但是计算量较大；二是利用一元二次方程根与系数的关系求解，本题对应方程的二次项系数为1，常数项为1，可知两根之积为1，直接用1除以已知根再做分母有理化即可得到结果，这种方法更简便，契合本节课的知识点。
【解析】
设方程$x^2 + px + 1 = 0$的两个根为$x_1$、$x_2$，其中$x_1=2+\sqrt{3}$。
根据一元二次方程根与系数的关系：对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入本题的系数可得：
$x_1x_2=\frac{1}{1}=1$
因此另一根$x_2=\frac{1}{x_1}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$，对其分母有理化，分子分母同乘$2-\sqrt{3}$：
$x_2=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\frac{2-\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt{3})^2}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}=2-\sqrt{3}$
【答案】
$2-\sqrt{3}$
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系 2.分母有理化
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，利用韦达定理求解可避免代入求参数的复杂计算，熟练掌握该知识点能有效简化求方程未知根类问题的求解过程。
【难度系数】
0.8
5. 当$m$取何值时，方程$x^2 + mx + m -1=0$分别适合下列条件？
（1）两根之和等于2；（2）两根互为倒数；（3）两根互为相反数；（4）有一个根为0.
（1）两根之和等于2；（2）两根互为倒数；（3）两根互为相反数；（4）有一个根为0.
答案
5. (1) $m=-2$ (2) $m=2$ (3) $m=0$ (4) $m=1$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用。解题前首先明确：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。首先计算本题方程的判别式，可发现判别式恒非负，因此无需额外验证所求$m$值是否满足方程有实根的条件。解题时只需将每个小问中根的关系，转化为关于$m$的方程，求解即可得到对应$m$的值。
【解析】
设方程$x^2 + mx + m -1=0$的两根为$x_1$、$x_2$，
先计算判别式：$\Delta = m^2 - 4×1×(m-1) = m^2-4m+4=(m-2)^2≥0$，因此对任意实数$m$，方程均有两个实数根。
由根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-m$，$x_1x_2=m-1$。
（1）若两根之和等于2，则$x_1+x_2=2$，即$-m=2$，解得$m=-2$；
（2）若两根互为倒数，根据倒数性质得$x_1x_2=1$，即$m-1=1$，解得$m=2$；
（3）若两根互为相反数，根据相反数性质得$x_1+x_2=0$，即$-m=0$，解得$m=0$；
（4）若有一个根为0，将$x=0$代入原方程得：$0^2 + m×0 + m -1=0$，解得$m=1$。
【答案】
(1) $m=-2$ (2) $m=2$ (3) $m=0$ (4) $m=1$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 一元二次方程根的定义
【点评】
本题属于基础应用类题型，核心是将根的特殊关系（和的限制、倒数、相反数、零根）转化为可利用韦达定理或根的定义求解的等式，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用。解题前首先明确：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。首先计算本题方程的判别式，可发现判别式恒非负，因此无需额外验证所求$m$值是否满足方程有实根的条件。解题时只需将每个小问中根的关系，转化为关于$m$的方程，求解即可得到对应$m$的值。
【解析】
设方程$x^2 + mx + m -1=0$的两根为$x_1$、$x_2$，
先计算判别式：$\Delta = m^2 - 4×1×(m-1) = m^2-4m+4=(m-2)^2≥0$，因此对任意实数$m$，方程均有两个实数根。
由根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-m$，$x_1x_2=m-1$。
（1）若两根之和等于2，则$x_1+x_2=2$，即$-m=2$，解得$m=-2$；
（2）若两根互为倒数，根据倒数性质得$x_1x_2=1$，即$m-1=1$，解得$m=2$；
（3）若两根互为相反数，根据相反数性质得$x_1+x_2=0$，即$-m=0$，解得$m=0$；
（4）若有一个根为0，将$x=0$代入原方程得：$0^2 + m×0 + m -1=0$，解得$m=1$。
【答案】
(1) $m=-2$ (2) $m=2$ (3) $m=0$ (4) $m=1$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 一元二次方程根的定义
【点评】
本题属于基础应用类题型，核心是将根的特殊关系（和的限制、倒数、相反数、零根）转化为可利用韦达定理或根的定义求解的等式，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
6. 已知关于$x$的方程$x^2 - 2x + 2k -1=0$有实数根.
（1）求$k$的取值范围；
（2）设方程的两根分别是$x_1,x_2$，且$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=x_1x_2$，试求$k$的值.
（1）求$k$的取值范围；
（2）设方程的两根分别是$x_1,x_2$，且$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=x_1x_2$，试求$k$的值.
答案
6. (1) $k≤1$ (2) $k=-\frac{\sqrt{5}}{2}$
解析
【分析】
（1）已知一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，当Δ≥0时方程有实数根，代入对应系数计算不等式即可得到k的取值范围。
（2）题目给出两根的等量关系，优先使用根与系数的关系（韦达定理），先写出两根之和、两根之积关于k的表达式；再将已知的分式等式通分变形，用完全平方公式把分子转化为含两根之和、两根之积的形式，代入后得到关于k的方程，解方程后结合第一问的k的取值范围舍去不符合条件的解，即可得到k的最终值。
【解析】
（1）
∵ 关于x的方程$x^2 - 2x + 2k -1=0$是一元二次方程，且有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
其中$a=1, b=-2, c=2k-1$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(2k-1) ≥ 0$
$4 - 8k + 4 ≥ 0$
$8 - 8k ≥ 0$
解得：$k ≤ 1$
（2）根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 2$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = 2k -1$
已知$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=x_1x_2$，将左边通分：
$\frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} = x_1x_2$
两边同乘$x_1x_2$（原式有意义，故$x_1x_2 ≠ 0$）得：
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1x_2)^2$
利用完全平方公式变形：$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，代入得：
$2^2 - 2(2k - 1) = (2k - 1)^2$
整理得：
$4 - 4k + 2 = 4k^2 - 4k + 1$
$6 = 4k^2 + 1$
化简得：$4k^2 = 5$，即$k^2 = \frac{5}{4}$
解得：$k = \frac{\sqrt{5}}{2}$或$k = -\frac{\sqrt{5}}{2}$
由（1）知$k ≤ 1$，$\frac{\sqrt{5}}{2} \approx 1.12 ＞ 1$，不符合条件，舍去
∴ $k = -\frac{\sqrt{5}}{2}$
【答案】
（1）$k ≤ 1$；（2）$k = -\frac{\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系（韦达定理）
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的综合基础题，既考查了根的判别式的应用，也考查了韦达定理的灵活运用，解题时要注意参数的取值要满足方程有实根的前提，避免产生增根，是该章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
（1）已知一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，当Δ≥0时方程有实数根，代入对应系数计算不等式即可得到k的取值范围。
（2）题目给出两根的等量关系，优先使用根与系数的关系（韦达定理），先写出两根之和、两根之积关于k的表达式；再将已知的分式等式通分变形，用完全平方公式把分子转化为含两根之和、两根之积的形式，代入后得到关于k的方程，解方程后结合第一问的k的取值范围舍去不符合条件的解，即可得到k的最终值。
【解析】
（1）
∵ 关于x的方程$x^2 - 2x + 2k -1=0$是一元二次方程，且有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
其中$a=1, b=-2, c=2k-1$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(2k-1) ≥ 0$
$4 - 8k + 4 ≥ 0$
$8 - 8k ≥ 0$
解得：$k ≤ 1$
（2）根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 2$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = 2k -1$
已知$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=x_1x_2$，将左边通分：
$\frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} = x_1x_2$
两边同乘$x_1x_2$（原式有意义，故$x_1x_2 ≠ 0$）得：
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1x_2)^2$
利用完全平方公式变形：$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，代入得：
$2^2 - 2(2k - 1) = (2k - 1)^2$
整理得：
$4 - 4k + 2 = 4k^2 - 4k + 1$
$6 = 4k^2 + 1$
化简得：$4k^2 = 5$，即$k^2 = \frac{5}{4}$
解得：$k = \frac{\sqrt{5}}{2}$或$k = -\frac{\sqrt{5}}{2}$
由（1）知$k ≤ 1$，$\frac{\sqrt{5}}{2} \approx 1.12 ＞ 1$，不符合条件，舍去
∴ $k = -\frac{\sqrt{5}}{2}$
【答案】
（1）$k ≤ 1$；（2）$k = -\frac{\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系（韦达定理）
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的综合基础题，既考查了根的判别式的应用，也考查了韦达定理的灵活运用，解题时要注意参数的取值要满足方程有实根的前提，避免产生增根，是该章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
