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7. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2+(2m-1)x+m^2-3=0$有实数根.
（1）求实数$m$的取值范围；
（2）当$m=2$时，方程的根为$x_1,x_2$，求代数式$(x_1^2+2x_1)(x_2^2+4x_2+2)$的值.
（1）求实数$m$的取值范围；
（2）当$m=2$时，方程的根为$x_1,x_2$，求代数式$(x_1^2+2x_1)(x_2^2+4x_2+2)$的值.
答案
7. (1) $m≤\frac{13}{4}$ (2) 1
解析
【分析】
（1）已知一元二次方程有实数根，可利用根的判别式的性质求解：当$\Delta ≥ 0$时，一元二次方程有实数根。本题已明确方程为一元二次方程，二次项系数为1≠0，直接计算判别式并列不等式，即可求出m的取值范围。
（2）当m=2时，先写出对应一元二次方程，根据方程的根的定义（根代入方程等式成立），对所求代数式的高次项降次，转化为含$x_1+x_2$、$x_1x_2$的形式，再结合根与系数的关系代入计算，无需直接求根，可简化运算。
【解析】
（1）
∵ 关于x的一元二次方程$x^2+(2m-1)x+m^2-3=0$有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = (2m-1)^2 - 4×1×(m^2-3) ≥ 0$
展开计算：
$\Delta = 4m^2 -4m +1 -4m^2 +12 = -4m +13 ≥ 0$
解不等式得：$m ≤ \frac{13}{4}$
（2）当$m=2$时，原方程化简为$x^2 +3x +1 = 0$
∵ $x_1,x_2$是方程的根
∴ $x_1^2 +3x_1 +1 = 0$，$x_2^2 +3x_2 +1 = 0$
即$x_1^2 = -3x_1 -1$，$x_2^2 = -3x_2 -1$
对所求代数式变形：
$x_1^2 +2x_1 = (-3x_1 -1) +2x_1 = -x_1 -1$
$x_2^2 +4x_2 +2 = (-3x_2 -1) +4x_2 +2 = x_2 +1$
∴ 原式$= (-x_1 -1)(x_2 +1) = -(x_1+1)(x_2+1) = -(x_1x_2 +x_1 +x_2 +1)$
根据根与系数的关系，方程$x^2+3x+1=0$中，$x_1+x_2=-3$，$x_1x_2=1$
代入得：原式$= -(1 -3 +1) = 1$
【答案】
（1）$m≤\frac{13}{4}$；（2）$1$
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式；2.一元二次方程根的意义；3.根与系数的关系
【点评】
本题考查一元二次方程相关知识的综合应用，第一问为基础题型，直接利用判别式性质即可求解；第二问需要灵活运用根的定义降次，结合韦达定理计算，避免了直接求根的繁琐运算，对转化思想有一定要求。
【难度系数】
0.7
（1）已知一元二次方程有实数根，可利用根的判别式的性质求解：当$\Delta ≥ 0$时，一元二次方程有实数根。本题已明确方程为一元二次方程，二次项系数为1≠0，直接计算判别式并列不等式，即可求出m的取值范围。
（2）当m=2时，先写出对应一元二次方程，根据方程的根的定义（根代入方程等式成立），对所求代数式的高次项降次，转化为含$x_1+x_2$、$x_1x_2$的形式，再结合根与系数的关系代入计算，无需直接求根，可简化运算。
【解析】
（1）
∵ 关于x的一元二次方程$x^2+(2m-1)x+m^2-3=0$有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = (2m-1)^2 - 4×1×(m^2-3) ≥ 0$
展开计算：
$\Delta = 4m^2 -4m +1 -4m^2 +12 = -4m +13 ≥ 0$
解不等式得：$m ≤ \frac{13}{4}$
（2）当$m=2$时，原方程化简为$x^2 +3x +1 = 0$
∵ $x_1,x_2$是方程的根
∴ $x_1^2 +3x_1 +1 = 0$，$x_2^2 +3x_2 +1 = 0$
即$x_1^2 = -3x_1 -1$，$x_2^2 = -3x_2 -1$
对所求代数式变形：
$x_1^2 +2x_1 = (-3x_1 -1) +2x_1 = -x_1 -1$
$x_2^2 +4x_2 +2 = (-3x_2 -1) +4x_2 +2 = x_2 +1$
∴ 原式$= (-x_1 -1)(x_2 +1) = -(x_1+1)(x_2+1) = -(x_1x_2 +x_1 +x_2 +1)$
根据根与系数的关系，方程$x^2+3x+1=0$中，$x_1+x_2=-3$，$x_1x_2=1$
代入得：原式$= -(1 -3 +1) = 1$
【答案】
（1）$m≤\frac{13}{4}$；（2）$1$
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式；2.一元二次方程根的意义；3.根与系数的关系
【点评】
本题考查一元二次方程相关知识的综合应用，第一问为基础题型，直接利用判别式性质即可求解；第二问需要灵活运用根的定义降次，结合韦达定理计算，避免了直接求根的繁琐运算，对转化思想有一定要求。
【难度系数】
0.7
1. 若$m,n$分别为一元二次方程$x^2 + 2x - 2022 = 0$的两个实数根，则$m^2 + 3m + n =$
$2020$
.答案
1. 2020
解析
【分析】
解题时可从两个核心知识点切入：一是一元二次方程的根满足方程本身（根的定义），二是一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。观察所求代数式$m^2 + 3m + n$，可将其拆分为$(m^2+2m)+(m+n)$两部分：其中$m^2+2m$可通过将$m$代入原方程直接求出数值，$m+n$可通过韦达定理直接计算，最后代入求和即可，无需单独求解$m$、$n$的具体值，简化计算过程。
【解析】
1. 由$m$是方程$x^2 + 2x - 2022 = 0$的实数根，根据根的定义，将$x=m$代入方程得：
$m^2 + 2m - 2022 = 0$，整理得$m^2 + 2m = 2022$。
2. 根据一元二次方程根与系数的关系，对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$。本题中$a=1,b=2$，两根为$m,n$，因此：
$m + n = -\frac{2}{1} = -2$。
3. 对所求代数式变形后代入计算：
$m^2 + 3m + n = (m^2 + 2m) + (m + n) = 2022 + (-2) = 2020$。
【答案】
2020
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系（韦达定理）；代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程相关性质的典型综合应用题，解题核心是对所求代数式进行合理拆分变形，跳过直接求解方程根的复杂步骤，属于基础综合类考点。
【难度系数】
0.7
解题时可从两个核心知识点切入：一是一元二次方程的根满足方程本身（根的定义），二是一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。观察所求代数式$m^2 + 3m + n$，可将其拆分为$(m^2+2m)+(m+n)$两部分：其中$m^2+2m$可通过将$m$代入原方程直接求出数值，$m+n$可通过韦达定理直接计算，最后代入求和即可，无需单独求解$m$、$n$的具体值，简化计算过程。
【解析】
1. 由$m$是方程$x^2 + 2x - 2022 = 0$的实数根，根据根的定义，将$x=m$代入方程得：
$m^2 + 2m - 2022 = 0$，整理得$m^2 + 2m = 2022$。
2. 根据一元二次方程根与系数的关系，对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$。本题中$a=1,b=2$，两根为$m,n$，因此：
$m + n = -\frac{2}{1} = -2$。
3. 对所求代数式变形后代入计算：
$m^2 + 3m + n = (m^2 + 2m) + (m + n) = 2022 + (-2) = 2020$。
【答案】
2020
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系（韦达定理）；代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程相关性质的典型综合应用题，解题核心是对所求代数式进行合理拆分变形，跳过直接求解方程根的复杂步骤，属于基础综合类考点。
【难度系数】
0.7
2. 如果$ m,n $是两个不相等的实数，且满足$ m^2 - m = 3 $，$ n^2 - n = 3 $，那么代数式$ 2n^2 - mn + 2m + 2015 = \_\_\_\_\_\_ $。
答案
2. 2026
解析
【分析】
首先观察已知条件中m、n满足的等式结构，二者都满足方程$x^2 - x = 3$，且$m≠n$，因此可判断m、n是一元二次方程$x^2 -x -3=0$的两个不相等的实数根，可直接利用根与系数的关系得到$m+n$与$mn$的值；其次，利用$n^2 -n=3$将$n^2$用含n的一次式表示，对所求代数式进行降次化简，最终将代数式转化为含$m+n$、$mn$的形式，代入数值即可计算结果。
【解析】
解：
∵m、n是两个不相等的实数，且满足$m^2 -m=3$，$n^2 -n=3$，
∴m、n是一元二次方程$x^2 - x - 3 = 0$的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系可得：$m + n = 1$，$mn = -3$。
又
∵$n^2 - n = 3$，
∴$n^2 = n + 3$，
将$n^2 = n + 3$代入所求代数式：
$\begin{aligned}2n^2 - mn + 2m + 2015&= 2(n + 3) - mn + 2m + 2015\\&=2n + 6 - mn + 2m + 2015\\&=2(m + n) - mn + 2021\end{aligned}$
把$m + n = 1$，$mn = -3$代入上式：
原式$=2×1 - (-3) + 2021 = 2 + 3 + 2021 = 2026$
【答案】
2026
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式化简求值
【点评】
本题解题的核心是通过观察已知等式的共性构造一元二次方程，结合降次思想简化代数式运算，无需直接求解m、n的具体值即可快速算出结果，能有效考查对根与系数关系的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察已知条件中m、n满足的等式结构，二者都满足方程$x^2 - x = 3$，且$m≠n$，因此可判断m、n是一元二次方程$x^2 -x -3=0$的两个不相等的实数根，可直接利用根与系数的关系得到$m+n$与$mn$的值；其次，利用$n^2 -n=3$将$n^2$用含n的一次式表示，对所求代数式进行降次化简，最终将代数式转化为含$m+n$、$mn$的形式，代入数值即可计算结果。
【解析】
解：
∵m、n是两个不相等的实数，且满足$m^2 -m=3$，$n^2 -n=3$，
∴m、n是一元二次方程$x^2 - x - 3 = 0$的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系可得：$m + n = 1$，$mn = -3$。
又
∵$n^2 - n = 3$，
∴$n^2 = n + 3$，
将$n^2 = n + 3$代入所求代数式：
$\begin{aligned}2n^2 - mn + 2m + 2015&= 2(n + 3) - mn + 2m + 2015\\&=2n + 6 - mn + 2m + 2015\\&=2(m + n) - mn + 2021\end{aligned}$
把$m + n = 1$，$mn = -3$代入上式：
原式$=2×1 - (-3) + 2021 = 2 + 3 + 2021 = 2026$
【答案】
2026
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式化简求值
【点评】
本题解题的核心是通过观察已知等式的共性构造一元二次方程，结合降次思想简化代数式运算，无需直接求解m、n的具体值即可快速算出结果，能有效考查对根与系数关系的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
3. 关于$x$的方程$mx^2 + x - m + 1 = 0$有以下三个结论：① 当$m=0$时，方程只有一个实数解；② 当$m≠0$时，方程有两个不等的实数解；③ 无论$m$取何值时，方程都有一个负数解.其中正确的是
①③
（填序号）.答案
3. ①③
解析
【分析】
需对三个结论逐一验证：①将m=0代入，方程变为一元一次方程，直接求解即可判断解的个数；②当m≠0时方程为一元二次方程，通过计算判别式Δ的取值范围，判断根的个数是否一定不等；③可通过因式分解找方程的固定根，验证是否恒有负数解。
【解析】
对三个结论分别分析：
1. 验证结论①：当$m=0$时，原方程化简为$x + 1 = 0$，解得$x=-1$，仅1个实数解，故①正确；
2. 验证结论②：当$m≠0$时，原方程为一元二次方程，判别式$\Delta = 1^2 - 4· m· (-m + 1) = 1 + 4m^2 - 4m = (2m - 1)^2$。
∵$(2m-1)^2≥0$，当$m=\frac{1}{2}$时$\Delta=0$，此时方程有两个相等的实数解，并非一定有两个不等实数解，故②错误；
3. 验证结论③：对原方程因式分解：
$mx^2 + x - m + 1 = m(x^2 - 1) + (x + 1) = m(x+1)(x-1) + (x+1) = (x+1)(mx - m + 1)$
令方程等于0，得解$x=-1$或$x=\frac{m-1}{m}$，其中$x=-1$是固定的负数解，因此无论$m$取何值，方程都存在负数解，故③正确。
综上，正确结论为①③。
【答案】
①③
【知识点】
一元一次方程的解，一元二次方程根的判别式，因式分解解方程
【点评】
本题考查含参数方程的解的判断，解题时需注意分$m=0$和$m≠0$两种情况讨论，避免直接默认方程为二次方程漏判，通过因式分解找固定根可快速验证第三个结论的正误。
【难度系数】
0.7
需对三个结论逐一验证：①将m=0代入，方程变为一元一次方程，直接求解即可判断解的个数；②当m≠0时方程为一元二次方程，通过计算判别式Δ的取值范围，判断根的个数是否一定不等；③可通过因式分解找方程的固定根，验证是否恒有负数解。
【解析】
对三个结论分别分析：
1. 验证结论①：当$m=0$时，原方程化简为$x + 1 = 0$，解得$x=-1$，仅1个实数解，故①正确；
2. 验证结论②：当$m≠0$时，原方程为一元二次方程，判别式$\Delta = 1^2 - 4· m· (-m + 1) = 1 + 4m^2 - 4m = (2m - 1)^2$。
∵$(2m-1)^2≥0$，当$m=\frac{1}{2}$时$\Delta=0$，此时方程有两个相等的实数解，并非一定有两个不等实数解，故②错误；
3. 验证结论③：对原方程因式分解：
$mx^2 + x - m + 1 = m(x^2 - 1) + (x + 1) = m(x+1)(x-1) + (x+1) = (x+1)(mx - m + 1)$
令方程等于0，得解$x=-1$或$x=\frac{m-1}{m}$，其中$x=-1$是固定的负数解，因此无论$m$取何值，方程都存在负数解，故③正确。
综上，正确结论为①③。
【答案】
①③
【知识点】
一元一次方程的解，一元二次方程根的判别式，因式分解解方程
【点评】
本题考查含参数方程的解的判断，解题时需注意分$m=0$和$m≠0$两种情况讨论，避免直接默认方程为二次方程漏判，通过因式分解找固定根可快速验证第三个结论的正误。
【难度系数】
0.7
4. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - (k - 1)x - k + 2 = 0$有两个实数根$x_1, x_2$，若$(x_1 - x_2 + 2)(x_1 - x_2 - 2) + 2x_1x_2 = -3$，则$k$的值为 （
A.0或2
B.-2或2
C.-2
D.2
D
）A.0或2
B.-2或2
C.-2
D.2
答案
4. D
解析
【分析】
解题时首先要明确题干给出两个条件：一是方程有两个实数根，说明判别式$\Delta ≥ 0$，可先确定$k$的取值范围；二是给出含两根的代数式等式，先利用平方差公式化简该等式，再将$(x_1-x_2)^2$转化为$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$的形式，结合韦达定理（根与系数的关系）代入$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式，得到关于$k$的方程，最后结合判别式的限制对解出的$k$值取舍即可。
【解析】
1. 先计算判别式确定$k$的取值范围
因为方程有两个实数根，所以$\Delta ≥ 0$：
$\Delta = [-(k-1)]^2 - 4×1×(-k+2) = k^2 + 2k -7 ≥ 0$
2. 根据韦达定理得：
$x_1 + x_2 = k-1$，$x_1x_2 = -k+2$
3. 化简给定的等式：
$(x_1 - x_2 + 2)(x_1 - x_2 - 2) + 2x_1x_2 = -3$
利用平方差公式展开前两项得：
$(x_1-x_2)^2 - 4 + 2x_1x_2 = -3$
将$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$代入上式：
$(x_1+x_2)^2 -4x_1x_2 + 2x_1x_2 -4 = -3$
化简得：$(x_1+x_2)^2 -2x_1x_2 =1$
4. 代入韦达定理的结果解方程：
$(k-1)^2 -2(-k+2) =1$
展开化简：$k^2 -2k +1 +2k -4 =1$，即$k^2=4$
解得$k=2$或$k=-2$
5. 结合判别式验证：
当$k=2$时，$\Delta=2^2 +2×2 -7=1≥0$，符合条件；
当$k=-2$时，$\Delta=(-2)^2 +2×(-2) -7=-7＜0$，方程无实根，舍去。
综上，$k=2$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题属于一元二次方程的综合应用题，易错点是解出$k$的取值后容易忽略“方程有两个实数根”的前提，未通过判别式验证直接选择两个解，做题时要注意隐含条件对参数的限制。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确题干给出两个条件：一是方程有两个实数根，说明判别式$\Delta ≥ 0$，可先确定$k$的取值范围；二是给出含两根的代数式等式，先利用平方差公式化简该等式，再将$(x_1-x_2)^2$转化为$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$的形式，结合韦达定理（根与系数的关系）代入$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式，得到关于$k$的方程，最后结合判别式的限制对解出的$k$值取舍即可。
【解析】
1. 先计算判别式确定$k$的取值范围
因为方程有两个实数根，所以$\Delta ≥ 0$：
$\Delta = [-(k-1)]^2 - 4×1×(-k+2) = k^2 + 2k -7 ≥ 0$
2. 根据韦达定理得：
$x_1 + x_2 = k-1$，$x_1x_2 = -k+2$
3. 化简给定的等式：
$(x_1 - x_2 + 2)(x_1 - x_2 - 2) + 2x_1x_2 = -3$
利用平方差公式展开前两项得：
$(x_1-x_2)^2 - 4 + 2x_1x_2 = -3$
将$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$代入上式：
$(x_1+x_2)^2 -4x_1x_2 + 2x_1x_2 -4 = -3$
化简得：$(x_1+x_2)^2 -2x_1x_2 =1$
4. 代入韦达定理的结果解方程：
$(k-1)^2 -2(-k+2) =1$
展开化简：$k^2 -2k +1 +2k -4 =1$，即$k^2=4$
解得$k=2$或$k=-2$
5. 结合判别式验证：
当$k=2$时，$\Delta=2^2 +2×2 -7=1≥0$，符合条件；
当$k=-2$时，$\Delta=(-2)^2 +2×(-2) -7=-7＜0$，方程无实根，舍去。
综上，$k=2$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题属于一元二次方程的综合应用题，易错点是解出$k$的取值后容易忽略“方程有两个实数根”的前提，未通过判别式验证直接选择两个解，做题时要注意隐含条件对参数的限制。
【难度系数】
0.6
5. 若关于$x$的一元二次方程$x^2 -4x +m=0$的两实数根分别为$x_1,x_2$，且$x_1+3x_2=5$，则$m$的值为（
A.$\frac{7}{4}$
B.$\frac{7}{5}$
C.$\frac{7}{6}$
D.0
A
）A.$\frac{7}{4}$
B.$\frac{7}{5}$
C.$\frac{7}{6}$
D.0
答案
5. A
解析
【分析】
解题时首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），针对本题的方程可先得到两根之和的等式；再将该等式与题干给出的$x_1+3x_2=5$联立，解出其中一个根的值；最后将求出的根代入原方程，即可计算出$m$的值。
【解析】
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2 -4x +m=0$的两实数根为$x_1,x_2$
∴ 根据根与系数的关系可得：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 4$ ①
又已知$x_1 + 3x_2 = 5$ ②
用②式减去①式，得：
$2x_2 = 1$，解得$x_2 = \frac{1}{2}$
将$x_2 = \frac{1}{2}$代入原方程$x^2 -4x +m=0$，得：
$(\frac{1}{2})^2 - 4×\frac{1}{2} + m = 0$
计算得：$\frac{1}{4} - 2 + m = 0$
解得：$m = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是韦达定理的常规应用题型，解题的突破口是利用根与系数的关系得到两根之和，再结合已知条件求出单个根的值，代入方程即可求出参数，熟练掌握韦达定理内容能大幅提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），针对本题的方程可先得到两根之和的等式；再将该等式与题干给出的$x_1+3x_2=5$联立，解出其中一个根的值；最后将求出的根代入原方程，即可计算出$m$的值。
【解析】
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2 -4x +m=0$的两实数根为$x_1,x_2$
∴ 根据根与系数的关系可得：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 4$ ①
又已知$x_1 + 3x_2 = 5$ ②
用②式减去①式，得：
$2x_2 = 1$，解得$x_2 = \frac{1}{2}$
将$x_2 = \frac{1}{2}$代入原方程$x^2 -4x +m=0$，得：
$(\frac{1}{2})^2 - 4×\frac{1}{2} + m = 0$
计算得：$\frac{1}{4} - 2 + m = 0$
解得：$m = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是韦达定理的常规应用题型，解题的突破口是利用根与系数的关系得到两根之和，再结合已知条件求出单个根的值，代入方程即可求出参数，熟练掌握韦达定理内容能大幅提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
6. 若关于$x$的一元二次方程$x^2 -4x -m^2=0$有两个实数根$x_1,x_2$，则$m^2(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2})$的值为（
A.$\frac{m^4}{4}$
B.$-\frac{m^4}{4}$
C.$4$
D.$-4$
D
）A.$\frac{m^4}{4}$
B.$-\frac{m^4}{4}$
C.$4$
D.$-4$
答案
6. D
解析
【分析】
要计算代数式$m^2(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2})$的值，首先可以先对代数式进行通分化简，再结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），求出两根之和与两根之积，代入化简后的式子计算即可。解题步骤为：1. 对所求分式通分，转化为含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式；2. 根据韦达定理，从给定方程中求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值；3. 代入化简后的式子计算，约去参数$m$得到最终结果。
【解析】
已知关于$x$的一元二次方程$x^2 -4x -m^2=0$有两个实数根$x_1,x_2$，根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：
对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
本题中$a=1$，$b=-4$，$c=-m^2$，因此：
$x_1+x_2=-\frac{-4}{1}=4$，$x_1x_2=\frac{-m^2}{1}=-m^2$。
对所求代数式化简：
$m^2(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2})=m^2·\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$
将$x_1+x_2=4$，$x_1x_2=-m^2$代入上式：
原式$=m^2×\frac{4}{-m^2}=-4$
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 分式化简求值
【点评】
本题重点考查韦达定理的应用，解题的核心是将所求代数式转化为用两根之和、两根之积表示的形式，避免解方程求根的繁琐运算，计算时要注意符号的处理。
【难度系数】
0.7
要计算代数式$m^2(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2})$的值，首先可以先对代数式进行通分化简，再结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），求出两根之和与两根之积，代入化简后的式子计算即可。解题步骤为：1. 对所求分式通分，转化为含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式；2. 根据韦达定理，从给定方程中求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值；3. 代入化简后的式子计算，约去参数$m$得到最终结果。
【解析】
已知关于$x$的一元二次方程$x^2 -4x -m^2=0$有两个实数根$x_1,x_2$，根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：
对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
本题中$a=1$，$b=-4$，$c=-m^2$，因此：
$x_1+x_2=-\frac{-4}{1}=4$，$x_1x_2=\frac{-m^2}{1}=-m^2$。
对所求代数式化简：
$m^2(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2})=m^2·\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$
将$x_1+x_2=4$，$x_1x_2=-m^2$代入上式：
原式$=m^2×\frac{4}{-m^2}=-4$
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 分式化简求值
【点评】
本题重点考查韦达定理的应用，解题的核心是将所求代数式转化为用两根之和、两根之积表示的形式，避免解方程求根的繁琐运算，计算时要注意符号的处理。
【难度系数】
0.7
7. 若$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 -2x -1=0$的两个根，则$x_1^2 -x_1 +x_2$的值为（
A.-1
B.0
C.2
D.3
D
）A.-1
B.0
C.2
D.3
答案
7. D
解析
【分析】
解题时先利用一元二次方程根的定义，将$x_1$代入原方程得到$x_1^2$与$x_1$的等量关系，对所求代数式中的高次项$x_1^2$进行降次化简，化简后会出现两根之和的形式，再结合一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，代入化简后的式子即可算出结果。
【解析】
解：
∵$x_1$是一元二次方程$x^2 -2x -1=0$的根
∴将$x=x_1$代入方程得：$x_1^2 - 2x_1 -1=0$，即$x_1^2=2x_1 +1$
将$x_1^2=2x_1 +1$代入$x_1^2 -x_1 +x_2$得：
$x_1^2 -x_1 +x_2=(2x_1 +1) -x_1 +x_2=x_1 +x_2 +1$
∵$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 -2x -1=0$的两个根
∴根据根与系数的关系，$x_1 +x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-2}{1}=2$
将$x_1 +x_2=2$代入上式得：$2+1=3$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程性质应用的常考题型，核心解题思路是通过根的定义降次，结合韦达定理计算，无需直接求解方程的根就能快速得出结果，能有效考查学生对相关知识点的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先利用一元二次方程根的定义，将$x_1$代入原方程得到$x_1^2$与$x_1$的等量关系，对所求代数式中的高次项$x_1^2$进行降次化简，化简后会出现两根之和的形式，再结合一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，代入化简后的式子即可算出结果。
【解析】
解：
∵$x_1$是一元二次方程$x^2 -2x -1=0$的根
∴将$x=x_1$代入方程得：$x_1^2 - 2x_1 -1=0$，即$x_1^2=2x_1 +1$
将$x_1^2=2x_1 +1$代入$x_1^2 -x_1 +x_2$得：
$x_1^2 -x_1 +x_2=(2x_1 +1) -x_1 +x_2=x_1 +x_2 +1$
∵$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 -2x -1=0$的两个根
∴根据根与系数的关系，$x_1 +x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-2}{1}=2$
将$x_1 +x_2=2$代入上式得：$2+1=3$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程性质应用的常考题型，核心解题思路是通过根的定义降次，结合韦达定理计算，无需直接求解方程的根就能快速得出结果，能有效考查学生对相关知识点的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
