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8. 已知关于$x$的方程$(x-3)(x-2)-p^2=0.$
（1）求证:无论$p$取何值时,方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别是$x_1,x_2$,且满足$x_1^2+x_2^2=3x_1x_2$,求实数$p$的值.
（1）求证:无论$p$取何值时,方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别是$x_1,x_2$,且满足$x_1^2+x_2^2=3x_1x_2$,求实数$p$的值.
答案
8. (1) 证明:原方程可化为$x^2-5x+(6-p^2)=0$,$\Delta=(-5)^2-4×(6-p^2)=1+4p^2$.$\because 4p^2≥0$,$\therefore 1+4p^2＞0$,即$\Delta＞0$,$\therefore$无论$p$取何值时,方程总有两个不相等的实数根.
(2) 由题意,得$\begin{cases}x_1+x_2=5,\\x_1x_2=6-p^2,\end{cases}$ $\because x_1^2+x_2^2=3x_1x_2$,$\therefore (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=3x_1x_2$,$\therefore 25-5(6-p^2)=0$,$\therefore p_1=1$,$p_2=-1$. $\therefore$实数$p$的值为$1,-1$.
(2) 由题意,得$\begin{cases}x_1+x_2=5,\\x_1x_2=6-p^2,\end{cases}$ $\because x_1^2+x_2^2=3x_1x_2$,$\therefore (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=3x_1x_2$,$\therefore 25-5(6-p^2)=0$,$\therefore p_1=1$,$p_2=-1$. $\therefore$实数$p$的值为$1,-1$.
解析
【分析】
（1）要证明无论p取何值方程总有两个不相等的实数根，需利用一元二次方程根的判别式的性质：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根。首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，计算判别式Δ，通过分析Δ的取值恒为正即可完成证明。
（2）已知两根的平方和与两根积的关系，需先通过根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和、两根之积，再利用完全平方公式将$x_1^2+x_2^2$变形为用两根和、两根积表示的形式，代入已知等式即可求解p的值，第一问已证方程总有实根，无需额外验根。
【解析】
（1）证明：将原方程展开整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2-5x+(6-p^2)=0$
计算根的判别式：
$\Delta=(-5)^2-4×1×(6-p^2)=25-24+4p^2=1+4p^2$
∵ 无论p取何值，$p^2≥0$，
∴$4p^2≥0$，则$1+4p^2＞0$，即$\Delta＞0$
∴ 无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根。
（2）解：根据根与系数的关系，方程的两根$x_1,x_2$满足：
$\begin{cases}x_1+x_2=5\\x_1x_2=6-p^2\end{cases}$
已知$x_1^2+x_2^2=3x_1x_2$，由完全平方公式变形得：
$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=3x_1x_2$
整理得$(x_1+x_2)^2=5x_1x_2$，将$x_1+x_2=5$、$x_1x_2=6-p^2$代入得：
$25=5×(6-p^2)$
化简得$25=30-5p^2$，解得$p^2=1$
∴$p_1=1$，$p_2=-1$
【答案】
（1）证明见解析；（2）实数$p$的值为$1,-1$
【知识点】
根的判别式，韦达定理，完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程的常规综合题，同时考察根的判别式应用、韦达定理以及代数式变形技巧，掌握基础公式和常见变形即可顺利解题。
【难度系数】
0.75
（1）要证明无论p取何值方程总有两个不相等的实数根，需利用一元二次方程根的判别式的性质：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根。首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，计算判别式Δ，通过分析Δ的取值恒为正即可完成证明。
（2）已知两根的平方和与两根积的关系，需先通过根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和、两根之积，再利用完全平方公式将$x_1^2+x_2^2$变形为用两根和、两根积表示的形式，代入已知等式即可求解p的值，第一问已证方程总有实根，无需额外验根。
【解析】
（1）证明：将原方程展开整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2-5x+(6-p^2)=0$
计算根的判别式：
$\Delta=(-5)^2-4×1×(6-p^2)=25-24+4p^2=1+4p^2$
∵ 无论p取何值，$p^2≥0$，
∴$4p^2≥0$，则$1+4p^2＞0$，即$\Delta＞0$
∴ 无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根。
（2）解：根据根与系数的关系，方程的两根$x_1,x_2$满足：
$\begin{cases}x_1+x_2=5\\x_1x_2=6-p^2\end{cases}$
已知$x_1^2+x_2^2=3x_1x_2$，由完全平方公式变形得：
$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=3x_1x_2$
整理得$(x_1+x_2)^2=5x_1x_2$，将$x_1+x_2=5$、$x_1x_2=6-p^2$代入得：
$25=5×(6-p^2)$
化简得$25=30-5p^2$，解得$p^2=1$
∴$p_1=1$，$p_2=-1$
【答案】
（1）证明见解析；（2）实数$p$的值为$1,-1$
【知识点】
根的判别式，韦达定理，完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程的常规综合题，同时考察根的判别式应用、韦达定理以及代数式变形技巧，掌握基础公式和常见变形即可顺利解题。
【难度系数】
0.75
9. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + (2k + 1)x + k^2 + 1 = 0 $ 有两个不相等的实数根 $ x_1, x_2 $。
（1）求实数 $ k $ 的取值范围；
（2）若方程两个实数根 $ x_1, x_2 $ 满足 $ |x_1| + |x_2| = x_1x_2 $，求 $ k $ 的值。
（1）求实数 $ k $ 的取值范围；
（2）若方程两个实数根 $ x_1, x_2 $ 满足 $ |x_1| + |x_2| = x_1x_2 $，求 $ k $ 的值。
答案
9. (1) $\because$原方程有两个不相等的实数根,$\therefore \Delta=(2k+1)^2-4(k^2+1)=4k^2+4k+1-4k^2-4=4k-3＞0$,解得$k＞\frac{3}{4}$.
(2) $\because k＞\frac{3}{4}$,$\therefore x_1+x_2=-(2k+1)＜0$.$\because x_1x_2=k^2+1＞0$,$\therefore x_1＜0$,$x_2＜0$,$\therefore |x_1|+|x_2|=-x_1-x_2=-(x_1+x_2)=2k+1$.$\because |x_1|+|x_2|=x_1x_2$,$\therefore 2k+1=k^2+1$,$\therefore k=0$或$2$.$\because k＞\frac{3}{4}$,$\therefore k=2$.
(2) $\because k＞\frac{3}{4}$,$\therefore x_1+x_2=-(2k+1)＜0$.$\because x_1x_2=k^2+1＞0$,$\therefore x_1＜0$,$x_2＜0$,$\therefore |x_1|+|x_2|=-x_1-x_2=-(x_1+x_2)=2k+1$.$\because |x_1|+|x_2|=x_1x_2$,$\therefore 2k+1=k^2+1$,$\therefore k=0$或$2$.$\because k＞\frac{3}{4}$,$\therefore k=2$.
解析
【分析】
（1）已知一元二次方程有两个不相等的实数根，可利用根的判别式Δ的取值规律求解：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，据此列出关于k的不等式，解不等式即可得到k的取值范围。
（2）第二问涉及带绝对值的根的等量关系，首先用根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和、两根之积，结合第一问得到的k的范围判断两根的符号，去掉绝对值符号后将已知等式转化为关于k的方程，解方程后结合k的取值范围舍去不符合条件的解，即可得到k的值。
【解析】
（1）
∵ 原方程有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta＞0$，
计算得$\Delta=(2k+1)^2-4(k^2+1)=4k^2+4k+1-4k^2-4=4k-3$，
即$4k-3＞0$，
解得$k＞\frac{3}{4}$。
（2）由根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-(2k+1)$，$x_1x_2=k^2+1$，
∵ $k＞\frac{3}{4}$，
∴ $x_1+x_2=-(2k+1)＜0$，
又
∵ $x_1x_2=k^2+1＞0$恒成立，
∴ $x_1＜0$，$x_2＜0$，
∴ $|x_1|+|x_2|=-x_1-x_2=-(x_1+x_2)=2k+1$，
∵ $|x_1|+|x_2|=x_1x_2$，
∴ $2k+1=k^2+1$，
整理得$k^2-2k=0$，解得$k=0$或$k=2$，
又
∵ $k＞\frac{3}{4}$，
∴ $k=0$不符合题意，舍去，即$k=2$。
【答案】
（1）$k ＞ \frac{3}{4}$；（2）$k=2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，绝对值化简
【点评】
本题综合考查一元二次方程相关性质的应用，解题关键是熟练掌握判别式判断根的情况的方法、韦达定理的应用，第二问需先根据根的和与积的符号判断根的正负，从而去掉绝对值，最后要注意结合k的取值范围对求得的解进行取舍，避免出现增根。
【难度系数】
0.65
（1）已知一元二次方程有两个不相等的实数根，可利用根的判别式Δ的取值规律求解：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，据此列出关于k的不等式，解不等式即可得到k的取值范围。
（2）第二问涉及带绝对值的根的等量关系，首先用根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和、两根之积，结合第一问得到的k的范围判断两根的符号，去掉绝对值符号后将已知等式转化为关于k的方程，解方程后结合k的取值范围舍去不符合条件的解，即可得到k的值。
【解析】
（1）
∵ 原方程有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta＞0$，
计算得$\Delta=(2k+1)^2-4(k^2+1)=4k^2+4k+1-4k^2-4=4k-3$，
即$4k-3＞0$，
解得$k＞\frac{3}{4}$。
（2）由根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-(2k+1)$，$x_1x_2=k^2+1$，
∵ $k＞\frac{3}{4}$，
∴ $x_1+x_2=-(2k+1)＜0$，
又
∵ $x_1x_2=k^2+1＞0$恒成立，
∴ $x_1＜0$，$x_2＜0$，
∴ $|x_1|+|x_2|=-x_1-x_2=-(x_1+x_2)=2k+1$，
∵ $|x_1|+|x_2|=x_1x_2$，
∴ $2k+1=k^2+1$，
整理得$k^2-2k=0$，解得$k=0$或$k=2$，
又
∵ $k＞\frac{3}{4}$，
∴ $k=0$不符合题意，舍去，即$k=2$。
【答案】
（1）$k ＞ \frac{3}{4}$；（2）$k=2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，绝对值化简
【点评】
本题综合考查一元二次方程相关性质的应用，解题关键是熟练掌握判别式判断根的情况的方法、韦达定理的应用，第二问需先根据根的和与积的符号判断根的正负，从而去掉绝对值，最后要注意结合k的取值范围对求得的解进行取舍，避免出现增根。
【难度系数】
0.65
