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6. 方程 $ x(x+1)=3(x+1) $ 根的情况是 （
A.$ x=-1 $
B.$ x=3 $
C.$ x_1=-1, x_2=3 $
D.以上答案都不对
C
）A.$ x=-1 $
B.$ x=3 $
C.$ x_1=-1, x_2=3 $
D.以上答案都不对
答案
6. C
解析
【分析】
本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题时需注意不能直接给方程两边同时除以含未知数的整式，否则会丢失未知数使该整式为0的根。正确的解题思路是先移项，将所有项移到等号左侧，再提取公因式$(x+1)$，把原方程转化为两个一次式乘积为0的形式，最后根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”分别求解即可得到所有根。
【解析】
解：首先对原方程移项，得：
$x(x+1) - 3(x+1) = 0$
提取公因式$(x+1)$，得：
$(x+1)(x - 3) = 0$
根据因式分解法解方程的规则，可得：
$x+1=0$ 或 $x-3=0$
分别解两个一元一次方程：
当$x+1=0$时，解得$x_1=-1$；
当$x-3=0$时，解得$x_2=3$。
因此方程的根为$x_1=-1, x_2=3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解方程、一元二次方程的根
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，易错点是直接将方程两边同时除以$(x+1)$，默认$x+1≠0$，从而漏掉$x=-1$这个根。做题时要牢记，处理含未知数以乘积形式出现的方程时，不要随意约去可能为0的整式，优先选择移项提取公因式的方法求解。
【难度系数】
0.7
本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题时需注意不能直接给方程两边同时除以含未知数的整式，否则会丢失未知数使该整式为0的根。正确的解题思路是先移项，将所有项移到等号左侧，再提取公因式$(x+1)$，把原方程转化为两个一次式乘积为0的形式，最后根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”分别求解即可得到所有根。
【解析】
解：首先对原方程移项，得：
$x(x+1) - 3(x+1) = 0$
提取公因式$(x+1)$，得：
$(x+1)(x - 3) = 0$
根据因式分解法解方程的规则，可得：
$x+1=0$ 或 $x-3=0$
分别解两个一元一次方程：
当$x+1=0$时，解得$x_1=-1$；
当$x-3=0$时，解得$x_2=3$。
因此方程的根为$x_1=-1, x_2=3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解方程、一元二次方程的根
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，易错点是直接将方程两边同时除以$(x+1)$，默认$x+1≠0$，从而漏掉$x=-1$这个根。做题时要牢记，处理含未知数以乘积形式出现的方程时，不要随意约去可能为0的整式，优先选择移项提取公因式的方法求解。
【难度系数】
0.7
7. 方程$x^2 - x = 0$的根为 （
A.$x=0$
B.$x=1$
C.$x_1=0,x_2=1$
D.$x_1=0,x_2=-1$
C
）A.$x=0$
B.$x=1$
C.$x_1=0,x_2=1$
D.$x_1=0,x_2=-1$
答案
7. C
解析
【分析】
拿到这道求一元二次方程根的题目，首先观察方程特征：方程右边为0，左边是二次二项式，存在公因式，适合用因式分解法求解。解题思路遵循因式分解法解一元二次方程的逻辑：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0。第一步先对左边的多项式因式分解，再令每个因式等于0，分别求解一次方程就能得到方程的两个根，最后匹配选项即可。
【解析】
对方程$x^2 - x = 0$左侧因式分解，提取公因式$x$可得：
$x(x-1)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，可得：
$x=0$ 或 $x-1=0$
分别解两个一次方程，得$x_1=0$，$x_2=1$
因此答案选C
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提公因式法分解因式
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元二次方程的因式分解解法，熟练掌握提公因式的操作和因式分解法的逻辑即可快速解题。
【难度系数】
0.9
拿到这道求一元二次方程根的题目，首先观察方程特征：方程右边为0，左边是二次二项式，存在公因式，适合用因式分解法求解。解题思路遵循因式分解法解一元二次方程的逻辑：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0。第一步先对左边的多项式因式分解，再令每个因式等于0，分别求解一次方程就能得到方程的两个根，最后匹配选项即可。
【解析】
对方程$x^2 - x = 0$左侧因式分解，提取公因式$x$可得：
$x(x-1)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，可得：
$x=0$ 或 $x-1=0$
分别解两个一次方程，得$x_1=0$，$x_2=1$
因此答案选C
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提公因式法分解因式
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元二次方程的因式分解解法，熟练掌握提公因式的操作和因式分解法的逻辑即可快速解题。
【难度系数】
0.9
8. 用因式分解法解下列方程：
(1) $(3x - 1)^2 - 3x + 1 = 0$；
(2) $2(x + 1)^2 = 3(x + 1)$；
(3) $(x + 3)^2 - 4(x + 3) + 4 = 0$；
(4) $x^2 - 3x + 2 = 0$。
(1) $(3x - 1)^2 - 3x + 1 = 0$；
(2) $2(x + 1)^2 = 3(x + 1)$；
(3) $(x + 3)^2 - 4(x + 3) + 4 = 0$；
(4) $x^2 - 3x + 2 = 0$。
答案
8. (1) $x_1=\frac{1}{3},x_2=\frac{2}{3}$
(2) $x_1=-1,x_2=\frac{1}{2}$
(3) $x_1=x_2=-1$
(4) $x_1=1,x_2=2$
(2) $x_1=-1,x_2=\frac{1}{2}$
(3) $x_1=x_2=-1$
(4) $x_1=1,x_2=2$
解析
【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心是将方程整理为“左边是若干个因式的乘积、右边为0”的形式，再令每个因式等于0，转化为一元一次方程求解，注意不要随意约去含未知数的整式，避免漏根。
(1) 观察方程可发现后两项“-3x+1”可变形为“-(3x-1)”，把(3x-1)看作整体提取公因式即可；
(2) 先移项把右边的项移到左边，再把(x+1)看作整体提取公因式，注意不能直接两边除以(x+1)，否则会丢失x=-1这个根；
(3) 把(x+3)看作整体，式子符合完全平方差公式的结构，直接用完全平方公式因式分解即可；
(4) 左边是二次三项式，用十字相乘法因式分解即可求解。
【解析】
(1) 原方程可变形为：$(3x-1)^2 - (3x-1) = 0$
提取公因式$(3x-1)$得：$(3x-1)(3x-1 - 1) = 0$，即$(3x-1)(3x-2)=0$
令$3x-1=0$或$3x-2=0$，解得$x_1=\frac{1}{3}$，$x_2=\frac{2}{3}$。
(2) 移项得：$2(x+1)^2 - 3(x+1) = 0$
提取公因式$(x+1)$得：$(x+1)[2(x+1)-3] = 0$
化简括号内的式子得：$(x+1)(2x-1)=0$
令$x+1=0$或$2x-1=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=\frac{1}{2}$。
(3) 把$(x+3)$看作整体，原式符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=x+3$，$b=2$，因式分解得：
$[(x+3)-2]^2 = 0$，即$(x+1)^2=0$
解得$x_1=x_2=-1$。
(4) 用十字相乘法将左边因式分解得：$(x-1)(x-2)=0$
令$x-1=0$或$x-2=0$，解得$x_1=1$，$x_2=2$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{1}{3},x_2=\frac{2}{3}$
(2) $x_1=-1,x_2=\frac{1}{2}$
(3) $x_1=x_2=-1$
(4) $x_1=1,x_2=2$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提公因式法因式分解；十字相乘法因式分解
【点评】
本题是因式分解法解方程的基础应用题型，解题关键是熟练掌握提公因式、公式法、十字相乘法等常见的因式分解方法，解题时注意不要随意约去含未知数的整式，避免出现漏根的错误。
【难度系数】
0.8
因式分解法解一元二次方程的核心是将方程整理为“左边是若干个因式的乘积、右边为0”的形式，再令每个因式等于0，转化为一元一次方程求解，注意不要随意约去含未知数的整式，避免漏根。
(1) 观察方程可发现后两项“-3x+1”可变形为“-(3x-1)”，把(3x-1)看作整体提取公因式即可；
(2) 先移项把右边的项移到左边，再把(x+1)看作整体提取公因式，注意不能直接两边除以(x+1)，否则会丢失x=-1这个根；
(3) 把(x+3)看作整体，式子符合完全平方差公式的结构，直接用完全平方公式因式分解即可；
(4) 左边是二次三项式，用十字相乘法因式分解即可求解。
【解析】
(1) 原方程可变形为：$(3x-1)^2 - (3x-1) = 0$
提取公因式$(3x-1)$得：$(3x-1)(3x-1 - 1) = 0$，即$(3x-1)(3x-2)=0$
令$3x-1=0$或$3x-2=0$，解得$x_1=\frac{1}{3}$，$x_2=\frac{2}{3}$。
(2) 移项得：$2(x+1)^2 - 3(x+1) = 0$
提取公因式$(x+1)$得：$(x+1)[2(x+1)-3] = 0$
化简括号内的式子得：$(x+1)(2x-1)=0$
令$x+1=0$或$2x-1=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=\frac{1}{2}$。
(3) 把$(x+3)$看作整体，原式符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=x+3$，$b=2$，因式分解得：
$[(x+3)-2]^2 = 0$，即$(x+1)^2=0$
解得$x_1=x_2=-1$。
(4) 用十字相乘法将左边因式分解得：$(x-1)(x-2)=0$
令$x-1=0$或$x-2=0$，解得$x_1=1$，$x_2=2$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{1}{3},x_2=\frac{2}{3}$
(2) $x_1=-1,x_2=\frac{1}{2}$
(3) $x_1=x_2=-1$
(4) $x_1=1,x_2=2$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提公因式法因式分解；十字相乘法因式分解
【点评】
本题是因式分解法解方程的基础应用题型，解题关键是熟练掌握提公因式、公式法、十字相乘法等常见的因式分解方法，解题时注意不要随意约去含未知数的整式，避免出现漏根的错误。
【难度系数】
0.8
1. 一元二次方程$x^2 - 2x = 0$的根是 （
A.$x_1=0,x_2=-2$
B.$x_1=1,x_2=2$
C.$x_1=1,x_2=-2$
D.$x_1=0,x_2=2$
D
）A.$x_1=0,x_2=-2$
B.$x_1=1,x_2=2$
C.$x_1=1,x_2=-2$
D.$x_1=0,x_2=2$
答案
1. D
解析
【分析】
本题要求一元二次方程的根，对应因式分解法解方程的知识点，首先观察方程左边的多项式，存在公因式x，可通过提公因式法因式分解，再利用“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”的性质，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，也可通过代入选项验证排除错误答案。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 2x = 0$左边因式分解，提取公因式$x$可得：
$x(x - 2) = 0$
根据乘积为0的性质，得$x = 0$或$x - 2 = 0$
分别解两个一元一次方程：
当$x=0$时，成立；
当$x-2=0$时，解得$x=2$
所以方程的根为$x_1=0,x_2=2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提公因式法因式分解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查因式分解法解方程的应用，熟练掌握提公因式分解多项式的方法，以及零乘积性质的转化逻辑，即可快速求出方程的根。
【难度系数】
0.9
本题要求一元二次方程的根，对应因式分解法解方程的知识点，首先观察方程左边的多项式，存在公因式x，可通过提公因式法因式分解，再利用“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”的性质，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，也可通过代入选项验证排除错误答案。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 2x = 0$左边因式分解，提取公因式$x$可得：
$x(x - 2) = 0$
根据乘积为0的性质，得$x = 0$或$x - 2 = 0$
分别解两个一元一次方程：
当$x=0$时，成立；
当$x-2=0$时，解得$x=2$
所以方程的根为$x_1=0,x_2=2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提公因式法因式分解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查因式分解法解方程的应用，熟练掌握提公因式分解多项式的方法，以及零乘积性质的转化逻辑，即可快速求出方程的根。
【难度系数】
0.9
2. 我们解一元二次方程$3x^2 -6x=0$时，可以运用因式分解法，将此方程化为$3x(x-2)=0$，从而得到两个一元一次方程：$3x=0$，或$x-2=0$，进而得到原方程的根为$x_1=0$，$x_2=2$。这种解法体现的数学思想是（
A.转化思想
B.函数思想
C.数形结合思想
D.公理化思想
A
）A.转化思想
B.函数思想
C.数形结合思想
D.公理化思想
答案
2. A
解析
【分析】
解答本题首先要明确四个选项对应的数学思想的核心特征，再结合题干中的解方程过程匹配对应思想即可。第一步先回忆各类数学思想的含义：转化思想的核心是将复杂陌生的问题转化为简单熟悉的已解决问题；函数思想围绕变量关系、函数性质展开；数形结合需要结合数字与图形分析；公理化思想是从基础公理推导定理的逻辑。题干中解一元二次方程时，将难度更高的二次方程通过因式分解转化为我们已经熟练掌握的一元一次方程求解，本质是复杂问题简单化的转化过程，符合转化思想，再排除不符合的其余选项即可得到答案。
【解析】
我们先逐一分析各选项对应的数学思想：
1. 转化思想：指将复杂、未掌握的问题通过变形转化为简单、已掌握的问题来求解的思想。题干中把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，符合该思想特征。
2. 函数思想：需要用运动变化的观点构建函数关系、利用函数性质解题，本题未涉及函数相关内容，故B错误。
3. 数形结合思想：需要结合数量关系和几何图形分析问题，本题没有用到图形相关内容，故C错误。
4. 公理化思想：是从基础公理出发推导相关定理的逻辑思想，本题不涉及公理推导过程，故D错误。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；数学思想辨析
【点评】
本题属于基础概念类考题，解题关键是准确掌握常见数学思想的核心内涵，结合解题过程即可快速判断对应思想。
【难度系数】
0.9
解答本题首先要明确四个选项对应的数学思想的核心特征，再结合题干中的解方程过程匹配对应思想即可。第一步先回忆各类数学思想的含义：转化思想的核心是将复杂陌生的问题转化为简单熟悉的已解决问题；函数思想围绕变量关系、函数性质展开；数形结合需要结合数字与图形分析；公理化思想是从基础公理推导定理的逻辑。题干中解一元二次方程时，将难度更高的二次方程通过因式分解转化为我们已经熟练掌握的一元一次方程求解，本质是复杂问题简单化的转化过程，符合转化思想，再排除不符合的其余选项即可得到答案。
【解析】
我们先逐一分析各选项对应的数学思想：
1. 转化思想：指将复杂、未掌握的问题通过变形转化为简单、已掌握的问题来求解的思想。题干中把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，符合该思想特征。
2. 函数思想：需要用运动变化的观点构建函数关系、利用函数性质解题，本题未涉及函数相关内容，故B错误。
3. 数形结合思想：需要结合数量关系和几何图形分析问题，本题没有用到图形相关内容，故C错误。
4. 公理化思想：是从基础公理出发推导相关定理的逻辑思想，本题不涉及公理推导过程，故D错误。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；数学思想辨析
【点评】
本题属于基础概念类考题，解题关键是准确掌握常见数学思想的核心内涵，结合解题过程即可快速判断对应思想。
【难度系数】
0.9
3. 已知2是关于x的方程$x^2 - 2mx + 3m = 0$的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则等腰三角形ABC的周长为 （
A.10
B.14
C.10或14
D.8或10
B
）A.10
B.14
C.10或14
D.8或10
答案
3. B
解析
【分析】
首先，根据方程根的定义，将已知根x=2代入原方程可求出参数m的值；再将m代入原方程，用因式分解法求出方程的两个根；最后结合等腰三角形的性质分两种情况讨论边长组合，同时必须用三角形三边关系验证组合是否成立，排除不符合的情况后计算周长即可。
【解析】
第一步：将x=2代入方程$x^2 - 2mx + 3m = 0$，得：
$2^2 - 2m × 2 + 3m = 0$
化简得：$4 - 4m + 3m = 0$，解得$m=4$。
第二步：把$m=4$代入原方程，得$x^2 - 8x + 12 = 0$，
因式分解得：$(x-2)(x-6)=0$，
解得方程的两个根为$x_1=2$，$x_2=6$。
第三步：结合等腰三角形性质分类讨论：
① 若腰长为2，底边长为6，此时三边长为2、2、6，
$\because 2+2=4＜6$，不满足三角形两边之和大于第三边，故该情况舍去；
② 若腰长为6，底边长为2，此时三边长为6、6、2，
$\because 2+6＞6$，满足三角形三边关系，此时周长为$6+6+2=14$。
综上，等腰三角形ABC的周长为14。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【点评】
本题是一元二次方程与三角形性质的综合题，易错点是分类讨论等腰三角形边长时，忽略验证三边是否满足三角形构成条件，从而误选C，解题时要注意分类后必须验证合理性。
【难度系数】
0.7
首先，根据方程根的定义，将已知根x=2代入原方程可求出参数m的值；再将m代入原方程，用因式分解法求出方程的两个根；最后结合等腰三角形的性质分两种情况讨论边长组合，同时必须用三角形三边关系验证组合是否成立，排除不符合的情况后计算周长即可。
【解析】
第一步：将x=2代入方程$x^2 - 2mx + 3m = 0$，得：
$2^2 - 2m × 2 + 3m = 0$
化简得：$4 - 4m + 3m = 0$，解得$m=4$。
第二步：把$m=4$代入原方程，得$x^2 - 8x + 12 = 0$，
因式分解得：$(x-2)(x-6)=0$，
解得方程的两个根为$x_1=2$，$x_2=6$。
第三步：结合等腰三角形性质分类讨论：
① 若腰长为2，底边长为6，此时三边长为2、2、6，
$\because 2+2=4＜6$，不满足三角形两边之和大于第三边，故该情况舍去；
② 若腰长为6，底边长为2，此时三边长为6、6、2，
$\because 2+6＞6$，满足三角形三边关系，此时周长为$6+6+2=14$。
综上，等腰三角形ABC的周长为14。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【点评】
本题是一元二次方程与三角形性质的综合题，易错点是分类讨论等腰三角形边长时，忽略验证三边是否满足三角形构成条件，从而误选C，解题时要注意分类后必须验证合理性。
【难度系数】
0.7
4. 解方程:①$(x-2)^2=5$;② $x^2-3x-2=0$;③ $(x+1)^2+3(x+1)=0$,较适当的方法分别为 （
A.①直接开平方法;②因式分解法;③配方法
B.①因式分解法;②公式法;③直接开平方法
C.①公式法;②直接开平方法;③因式分解法
D.①直接开平方法;②公式法;③因式分解法
D
）A.①直接开平方法;②因式分解法;③配方法
B.①因式分解法;②公式法;③直接开平方法
C.①公式法;②直接开平方法;③因式分解法
D.①直接开平方法;②公式法;③因式分解法
答案
4. D
解析
【分析】
要选择合适的一元二次方程解法，首先需明确各解法的适用场景：1. 直接开平方法适用于形如$(ax+b)^2=c$（$c≥0$）的方程，无需展开即可快速求根；2. 因式分解法适用于方程右边为0，左边能分解为两个一次因式乘积的形式，可将二次方程降为一次方程求解；3. 公式法是一元二次方程的通用解法，适用于无法用直接开平方法、因式分解法简便求解的方程。接下来逐个匹配三个方程的形式即可得出答案。
【解析】
逐个分析三个方程的最优解法：
① 方程$(x-2)^2=5$，左边是完全平方式，右边为正的常数，符合直接开平方法的适用形式，因此选直接开平方法最简便；
② 方程$x^2-3x-2=0$，左边的二次三项式无法在有理数范围内因式分解，也不符合直接开平方法的结构，因此选用公式法求解最适当；
③ 方程$(x+1)^2+3(x+1)=0$，方程右边为0，左边有公因式$(x+1)$，可提取公因式分解为$(x+1)(x+4)=0$，因此选用因式分解法最简便。
综上，三个方程的适当方法依次为直接开平方法、公式法、因式分解法，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程解法选择、直接开平方法、因式分解法
【点评】
本题重点考查对一元二次方程不同解法适用条件的掌握，能够根据方程的结构特征选择最简便的解法，可有效提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.8
要选择合适的一元二次方程解法，首先需明确各解法的适用场景：1. 直接开平方法适用于形如$(ax+b)^2=c$（$c≥0$）的方程，无需展开即可快速求根；2. 因式分解法适用于方程右边为0，左边能分解为两个一次因式乘积的形式，可将二次方程降为一次方程求解；3. 公式法是一元二次方程的通用解法，适用于无法用直接开平方法、因式分解法简便求解的方程。接下来逐个匹配三个方程的形式即可得出答案。
【解析】
逐个分析三个方程的最优解法：
① 方程$(x-2)^2=5$，左边是完全平方式，右边为正的常数，符合直接开平方法的适用形式，因此选直接开平方法最简便；
② 方程$x^2-3x-2=0$，左边的二次三项式无法在有理数范围内因式分解，也不符合直接开平方法的结构，因此选用公式法求解最适当；
③ 方程$(x+1)^2+3(x+1)=0$，方程右边为0，左边有公因式$(x+1)$，可提取公因式分解为$(x+1)(x+4)=0$，因此选用因式分解法最简便。
综上，三个方程的适当方法依次为直接开平方法、公式法、因式分解法，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程解法选择、直接开平方法、因式分解法
【点评】
本题重点考查对一元二次方程不同解法适用条件的掌握，能够根据方程的结构特征选择最简便的解法，可有效提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.8
