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1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y=ax^2+3$与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线$y=\frac{1}{3}x^2$于点B，C，则BC的长为
（第1题）
6
。（第1题）答案
1. 6
解析
【分析】
首先确定点A的坐标：抛物线$y=ax^2+3$与y轴交点的横坐标为0，代入解析式即可得到A点纵坐标，进而得到过A且平行于x轴的直线解析式；再将该直线解析式与抛物线$y=\frac{1}{3}x^2$联立，求解得到B、C两点的横坐标，由于B、C纵坐标相同，两点距离即为横坐标差的绝对值，即可求出BC的长度。
【解析】
1. 求点A坐标：对于抛物线$y=ax^2+3$，令$x=0$，得$y=3$，因此点A的坐标为$(0,3)$。
2. 确定BC所在直线：因为BC过点A且与x轴平行，所以BC上所有点的纵坐标均为3，即BC所在直线的解析式为$y=3$。
3. 求B、C两点坐标：将$y=3$代入$y=\frac{1}{3}x^2$，得$3=\frac{1}{3}x^2$，解得$x^2=9$，即$x_1=3$，$x_2=-3$。因此点B坐标为$(-3,3)$，点C坐标为$(3,3)$。
4. 计算BC长度：由于B、C纵坐标相同，BC的长度为$|3 - (-3)|=6$。
【答案】
6
【知识点】
二次函数的性质，函数交点求解，两点距离计算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是利用平行于x轴的直线纵坐标相等的特点，结合二次函数解析式求解交点坐标，掌握二次函数基本性质和函数交点的求解方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先确定点A的坐标：抛物线$y=ax^2+3$与y轴交点的横坐标为0，代入解析式即可得到A点纵坐标，进而得到过A且平行于x轴的直线解析式；再将该直线解析式与抛物线$y=\frac{1}{3}x^2$联立，求解得到B、C两点的横坐标，由于B、C纵坐标相同，两点距离即为横坐标差的绝对值，即可求出BC的长度。
【解析】
1. 求点A坐标：对于抛物线$y=ax^2+3$，令$x=0$，得$y=3$，因此点A的坐标为$(0,3)$。
2. 确定BC所在直线：因为BC过点A且与x轴平行，所以BC上所有点的纵坐标均为3，即BC所在直线的解析式为$y=3$。
3. 求B、C两点坐标：将$y=3$代入$y=\frac{1}{3}x^2$，得$3=\frac{1}{3}x^2$，解得$x^2=9$，即$x_1=3$，$x_2=-3$。因此点B坐标为$(-3,3)$，点C坐标为$(3,3)$。
4. 计算BC长度：由于B、C纵坐标相同，BC的长度为$|3 - (-3)|=6$。
【答案】
6
【知识点】
二次函数的性质，函数交点求解，两点距离计算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是利用平行于x轴的直线纵坐标相等的特点，结合二次函数解析式求解交点坐标，掌握二次函数基本性质和函数交点的求解方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图所示，有下列5个结论：① $abc＜0$；② $b＜a+c$；③ $4a+2b+c＞0$；④ $2c＜3b$；⑤ $a+b＜m(am+b)(m≠1$的实数)，其中正确结论的序号有
①③④
。答案
2. ①③④
解析
【分析】
解题时先从二次函数图像提取核心信息：首先由开口方向判断a的符号，由对称轴公式推导a、b的数量关系，由图像与y轴交点判断c的符号，再结合特殊x值（x=-1、x=0、x=2、x=1）对应的函数值，逐个验证5个结论是否成立。
【解析】
由图像可得：
1. 抛物线开口向下，故$a＜0$；对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，因此$b＞0$；抛物线与y轴交于正半轴，故$c＞0$。
2. 验证结论①：$a＜0,b＞0,c＞0$，因此$abc＜0$，①正确。
3. 验证结论②：当$x=-1$时，函数值$y=a-b+c$，由图像可知$x=-1$时$y＜0$，即$a-b+c＜0$，移项得$b＞a+c$，②错误。
4. 验证结论③：当$x=2$时，函数值$y=4a+2b+c$，由抛物线对称轴为$x=1$可知，$x=2$和$x=0$的函数值相等，$x=0$时$y=c＞0$，因此$4a+2b+c＞0$，③正确。
5. 验证结论④：将$a=-\frac{b}{2}$代入$x=-1$的函数不等式$a-b+c＜0$，得$-\frac{b}{2}-b+c＜0$，整理得$c＜\frac{3b}{2}$，两边同乘2得$2c＜3b$，④正确。
6. 验证结论⑤：抛物线开口向下，$x=1$时函数取最大值，因此对任意$m≠1$，都有$am^2+bm+c ＜ a+b+c$，消去$c$得$am^2+bm ＜ a+b$，即$a+b＞m(am+b)$，⑤错误。
综上，正确结论为①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
二次函数图像与系数的关系；二次函数的对称性；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数图像性质的综合应用题型，需要熟练掌握系数符号、特殊点函数值、对称性、最值等性质的对应关系，侧重考察数形结合分析不等式的能力。
【难度系数】
0.6
解题时先从二次函数图像提取核心信息：首先由开口方向判断a的符号，由对称轴公式推导a、b的数量关系，由图像与y轴交点判断c的符号，再结合特殊x值（x=-1、x=0、x=2、x=1）对应的函数值，逐个验证5个结论是否成立。
【解析】
由图像可得：
1. 抛物线开口向下，故$a＜0$；对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，因此$b＞0$；抛物线与y轴交于正半轴，故$c＞0$。
2. 验证结论①：$a＜0,b＞0,c＞0$，因此$abc＜0$，①正确。
3. 验证结论②：当$x=-1$时，函数值$y=a-b+c$，由图像可知$x=-1$时$y＜0$，即$a-b+c＜0$，移项得$b＞a+c$，②错误。
4. 验证结论③：当$x=2$时，函数值$y=4a+2b+c$，由抛物线对称轴为$x=1$可知，$x=2$和$x=0$的函数值相等，$x=0$时$y=c＞0$，因此$4a+2b+c＞0$，③正确。
5. 验证结论④：将$a=-\frac{b}{2}$代入$x=-1$的函数不等式$a-b+c＜0$，得$-\frac{b}{2}-b+c＜0$，整理得$c＜\frac{3b}{2}$，两边同乘2得$2c＜3b$，④正确。
6. 验证结论⑤：抛物线开口向下，$x=1$时函数取最大值，因此对任意$m≠1$，都有$am^2+bm+c ＜ a+b+c$，消去$c$得$am^2+bm ＜ a+b$，即$a+b＞m(am+b)$，⑤错误。
综上，正确结论为①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
二次函数图像与系数的关系；二次函数的对称性；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数图像性质的综合应用题型，需要熟练掌握系数符号、特殊点函数值、对称性、最值等性质的对应关系，侧重考察数形结合分析不等式的能力。
【难度系数】
0.6
3. 已知抛物线$y=ax^2+4ax+4a+1(a≠0)$过$A(m,3),B(n,3)$两点，若线段AB的长不大于4，则代数式$a^2+a+1$的最小值是
$\frac{7}{4}$
.答案
3. $\frac{7}{4}$
解析
【分析】
首先观察到A、B两点纵坐标相同，可知两点关于抛物线的对称轴对称，先求出抛物线的对称轴；将y=3代入抛物线解析式，得到关于x的方程，结合根的表达式可求出AB的长度；根据AB长不大于4的限制条件求出a的取值范围；最后分析代数式$a^2+a+1$的单调性，在a的取值范围内求出最小值即可。
【解析】
1. 求抛物线对称轴
对于抛物线$y=ax^2+4ax+4a+1(a≠0)$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入得：
$x=-\frac{4a}{2a}=-2$
2. 联立方程求A、B横坐标的关系
将$y=3$代入抛物线解析式得：
$ax^2+4ax+4a+1=3$
整理得：$a(x+2)^2=2$
∵方程有两个不同实根$m、n$，
∴$a＞0$
解得：$x=-2±\sqrt{\frac{2}{a}}$
3. 根据AB长度条件求a的取值范围
A、B两点的横坐标分别为$-2+\sqrt{\frac{2}{a}}$和$-2-\sqrt{\frac{2}{a}}$，则AB长度为：
$\left|(-2+\sqrt{\frac{2}{a}})-(-2-\sqrt{\frac{2}{a}})\right|=2\sqrt{\frac{2}{a}}$
由题意$AB≤4$，得：
$2\sqrt{\frac{2}{a}}≤4$，化简得$\sqrt{\frac{2}{a}}≤2$
两边平方（$a＞0$，不等号方向不变）得$\frac{2}{a}≤4$，解得$a≥\frac{1}{2}$
4. 求$a^2+a+1$的最小值
代数式$a^2+a+1$是开口向上的二次函数，对称轴为$a=-\frac{1}{2}$，在$a≥\frac{1}{2}$的区间内，代数式随a的增大而增大，因此当$a=\frac{1}{2}$时取得最小值：
代入$a=\frac{1}{2}$得：
$a^2+a+1=(\frac{1}{2})^2+\frac{1}{2}+1=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1=\frac{7}{4}$
【答案】
$\frac{7}{4}$
【知识点】
二次函数的性质，不等式求解，二次函数最值
【点评】
本题综合考查二次函数的对称性、方程根的求解以及最值计算，解题的关键是先通过AB的长度限制求出a的取值范围，再结合二次函数单调性求代数式的最小值，需注意根号下被开方数非负的隐含条件。
【难度系数】
0.65
首先观察到A、B两点纵坐标相同，可知两点关于抛物线的对称轴对称，先求出抛物线的对称轴；将y=3代入抛物线解析式，得到关于x的方程，结合根的表达式可求出AB的长度；根据AB长不大于4的限制条件求出a的取值范围；最后分析代数式$a^2+a+1$的单调性，在a的取值范围内求出最小值即可。
【解析】
1. 求抛物线对称轴
对于抛物线$y=ax^2+4ax+4a+1(a≠0)$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入得：
$x=-\frac{4a}{2a}=-2$
2. 联立方程求A、B横坐标的关系
将$y=3$代入抛物线解析式得：
$ax^2+4ax+4a+1=3$
整理得：$a(x+2)^2=2$
∵方程有两个不同实根$m、n$，
∴$a＞0$
解得：$x=-2±\sqrt{\frac{2}{a}}$
3. 根据AB长度条件求a的取值范围
A、B两点的横坐标分别为$-2+\sqrt{\frac{2}{a}}$和$-2-\sqrt{\frac{2}{a}}$，则AB长度为：
$\left|(-2+\sqrt{\frac{2}{a}})-(-2-\sqrt{\frac{2}{a}})\right|=2\sqrt{\frac{2}{a}}$
由题意$AB≤4$，得：
$2\sqrt{\frac{2}{a}}≤4$，化简得$\sqrt{\frac{2}{a}}≤2$
两边平方（$a＞0$，不等号方向不变）得$\frac{2}{a}≤4$，解得$a≥\frac{1}{2}$
4. 求$a^2+a+1$的最小值
代数式$a^2+a+1$是开口向上的二次函数，对称轴为$a=-\frac{1}{2}$，在$a≥\frac{1}{2}$的区间内，代数式随a的增大而增大，因此当$a=\frac{1}{2}$时取得最小值：
代入$a=\frac{1}{2}$得：
$a^2+a+1=(\frac{1}{2})^2+\frac{1}{2}+1=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1=\frac{7}{4}$
【答案】
$\frac{7}{4}$
【知识点】
二次函数的性质，不等式求解，二次函数最值
【点评】
本题综合考查二次函数的对称性、方程根的求解以及最值计算，解题的关键是先通过AB的长度限制求出a的取值范围，再结合二次函数单调性求代数式的最小值，需注意根号下被开方数非负的隐含条件。
【难度系数】
0.65
4. 已知抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的对称轴是直线$x=1$，其部分图象如图所示，下列说法中：①$abc＜0$；②$a-b+c＜0$；③$3a+c=0$；④当$-1＜x＜3$时，$y＞0$，正确的是
①③④
（填序号）。答案
4. ①③④
解析
【分析】
要判断各说法的正确性，首先从抛物线图像提取核心信息：开口方向、对称轴、与x轴的交点坐标，再结合二次函数的性质逐步推导：
1. 先根据开口方向、对称轴公式、与y轴交点的位置确定a、b、c的符号，判断①；
2. 利用对称轴的对称性，由已知的交点$(3,0)$求出对称的另一个x轴交点坐标，得到$x=-1$时的函数值，判断②；
3. 将$b=-2a$（由对称轴公式推导）代入$x=3$时的函数表达式，验证③；
4. 结合抛物线开口方向和两个x轴交点的坐标，判断$y＞0$对应的x的区间，验证④。
【解析】
解：① 由抛物线开口向下，得$a＜0$；
由对称轴为直线$x=1$，得$-\frac{b}{2a}=1$，化简得$b=-2a$，$\because a＜0$，$\therefore b＞0$；
由抛物线与y轴交于正半轴，得$c＞0$；
$\therefore abc＜0$，故①正确。
② $\because$ 抛物线对称轴为$x=1$，与x轴的一个交点为$(3,0)$，
$\therefore$ 另一个交点的横坐标为$2×1 -3=-1$，即交点为$(-1,0)$，
$\therefore$ 当$x=-1$时，$y=a· (-1)^2 +b· (-1)+c=a-b+c=0$，故②错误。
③ 将$b=-2a$代入$x=3$时的函数值：当$x=3$时，$y=9a+3b+c=0$，
$\therefore 9a+3×(-2a)+c=3a+c=0$，故③正确。
④ $\because$ 抛物线开口向下，与x轴的交点为$(-1,0)$和$(3,0)$，
$\therefore$ 当$-1＜x＜3$时，函数图像在x轴上方，即$y＞0$，故④正确。
综上，正确的是①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数对称轴；二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题时需要结合图象提取有效信息，利用二次函数的对称性、特殊点的函数值等性质逐一判断，是二次函数部分的典型基础应用题。
【难度系数】
0.7
要判断各说法的正确性，首先从抛物线图像提取核心信息：开口方向、对称轴、与x轴的交点坐标，再结合二次函数的性质逐步推导：
1. 先根据开口方向、对称轴公式、与y轴交点的位置确定a、b、c的符号，判断①；
2. 利用对称轴的对称性，由已知的交点$(3,0)$求出对称的另一个x轴交点坐标，得到$x=-1$时的函数值，判断②；
3. 将$b=-2a$（由对称轴公式推导）代入$x=3$时的函数表达式，验证③；
4. 结合抛物线开口方向和两个x轴交点的坐标，判断$y＞0$对应的x的区间，验证④。
【解析】
解：① 由抛物线开口向下，得$a＜0$；
由对称轴为直线$x=1$，得$-\frac{b}{2a}=1$，化简得$b=-2a$，$\because a＜0$，$\therefore b＞0$；
由抛物线与y轴交于正半轴，得$c＞0$；
$\therefore abc＜0$，故①正确。
② $\because$ 抛物线对称轴为$x=1$，与x轴的一个交点为$(3,0)$，
$\therefore$ 另一个交点的横坐标为$2×1 -3=-1$，即交点为$(-1,0)$，
$\therefore$ 当$x=-1$时，$y=a· (-1)^2 +b· (-1)+c=a-b+c=0$，故②错误。
③ 将$b=-2a$代入$x=3$时的函数值：当$x=3$时，$y=9a+3b+c=0$，
$\therefore 9a+3×(-2a)+c=3a+c=0$，故③正确。
④ $\because$ 抛物线开口向下，与x轴的交点为$(-1,0)$和$(3,0)$，
$\therefore$ 当$-1＜x＜3$时，函数图像在x轴上方，即$y＞0$，故④正确。
综上，正确的是①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数对称轴；二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题时需要结合图象提取有效信息，利用二次函数的对称性、特殊点的函数值等性质逐一判断，是二次函数部分的典型基础应用题。
【难度系数】
0.7
5. 如图，抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$过点$(1,0)$和点$(0,-2)$，且顶点在第三象限，设$P=a-b+c$，则$P$的取值范围是（
A.$-4＜P＜0$
B.$-4＜P＜-2$
C.$-2＜P＜0$
D.$-1＜P＜0$
A
）A.$-4＜P＜0$
B.$-4＜P＜-2$
C.$-2＜P＜0$
D.$-1＜P＜0$
答案
5. A
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先将已知的两个点代入抛物线解析式，求出常数c以及a和b的数量关系；第二步，根据抛物线开口向上、顶点在第三象限的性质，推导得到a的取值范围；第三步，将P=a-b+c转化为仅含a的代数式，代入a的取值范围即可得到P的取值范围。要注意P本质是x=-1时抛物线的函数值，结合图象性质能更快理解推导逻辑。
【解析】
1. 代入点$(0,-2)$到$y=ax^2+bx+c$，可得$c=-2$；
2. 代入点$(1,0)$到$y=ax^2+bx+c$，得$a+b+c=0$，将$c=-2$代入，化简得$a+b=2$，即$b=2-a$；
3. 由抛物线开口向上得$a＞0$；
4. 顶点在第三象限，说明对称轴$x=-\frac{b}{2a}＜0$，已知$a＞0$，则$b＞0$，将$b=2-a$代入得$2-a＞0$，解得$a＜2$；
5. 综上可得$a$的取值范围是$0＜a＜2$；
6. 将$b=2-a$、$c=-2$代入$P=a-b+c$，得$P=a-(2-a)-2=2a-4$；
7. 对$0＜a＜2$变形：不等式两边同乘2得$0＜2a＜4$，两边同时减4得$-4＜2a-4＜0$，即$-4＜P＜0$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象与性质，不等式的应用
【点评】
本题将二次函数图象性质和不等式计算结合考查，解题核心是通过已知点建立系数的数量关系，再结合图象的几何特征推导系数的取值范围，对数形结合思想的应用有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题思路可分为三步：第一步，先将已知的两个点代入抛物线解析式，求出常数c以及a和b的数量关系；第二步，根据抛物线开口向上、顶点在第三象限的性质，推导得到a的取值范围；第三步，将P=a-b+c转化为仅含a的代数式，代入a的取值范围即可得到P的取值范围。要注意P本质是x=-1时抛物线的函数值，结合图象性质能更快理解推导逻辑。
【解析】
1. 代入点$(0,-2)$到$y=ax^2+bx+c$，可得$c=-2$；
2. 代入点$(1,0)$到$y=ax^2+bx+c$，得$a+b+c=0$，将$c=-2$代入，化简得$a+b=2$，即$b=2-a$；
3. 由抛物线开口向上得$a＞0$；
4. 顶点在第三象限，说明对称轴$x=-\frac{b}{2a}＜0$，已知$a＞0$，则$b＞0$，将$b=2-a$代入得$2-a＞0$，解得$a＜2$；
5. 综上可得$a$的取值范围是$0＜a＜2$；
6. 将$b=2-a$、$c=-2$代入$P=a-b+c$，得$P=a-(2-a)-2=2a-4$；
7. 对$0＜a＜2$变形：不等式两边同乘2得$0＜2a＜4$，两边同时减4得$-4＜2a-4＜0$，即$-4＜P＜0$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象与性质，不等式的应用
【点评】
本题将二次函数图象性质和不等式计算结合考查，解题核心是通过已知点建立系数的数量关系，再结合图象的几何特征推导系数的取值范围，对数形结合思想的应用有一定要求。
【难度系数】
0.6
6. 如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至完全移出大三角形外停止.设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（
B
）答案
6. B
解析
【分析】
这是动态平移类的函数图像判断题，解题时需根据小等边三角形的平移距离x分阶段分析重叠面积y的变化：首先明确大等边三角形边长为2，小等边三角形边长为1，平移过程可分为三个阶段：①当0≤x≤1时，小三角形完全在大三角形内部，重叠面积等于小三角形的固定面积；②当1＜x≤2时，小三角形部分移出大三角形，重叠部分是边长为(2-x)的等边三角形，面积随x增大按二次函数规律减小；③当x＞2时，小三角形完全移出大三角形，重叠面积为0。结合各阶段函数的类型和增减性即可匹配到正确图像。
【解析】
我们分三种情况讨论函数关系：
1. 当$0≤ x≤1$时，小三角形整体位于大三角形内部，重叠面积等于小等边三角形的面积：
$y = \frac{\sqrt{3}}{4}×1^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}$，此阶段y为定值，对应图像是水平线段。
2. 当$1＜x≤2$时，小三角形右侧逐渐移出大三角形，重叠部分是边长为$(2 - x)$的等边三角形，因此面积为：
$y = \frac{\sqrt{3}}{4}(2 - x)^2$，这是开口向上的二次函数，在区间$(1,2]$上，y随x的增大而减小，从$\frac{\sqrt{3}}{4}$逐渐降到0。
3. 当$x＞2$时，小三角形完全移出大三角形，重叠面积$y=0$，对应图像是y=0的水平线段。
综上，函数图像先为水平线段，再为下凸的下降二次曲线段，最后为y=0的水平线段，符合特征的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
动点问题的函数图像；等边三角形的性质；二次函数的图象
【点评】
本题的解题核心是根据平移距离正确划分讨论阶段，结合等边三角形面积公式推导各阶段的函数表达式，再对应函数图像的特征判断即可，解题时注意分段边界值的取值要准确，避免漏判阶段。
【难度系数】
0.7
这是动态平移类的函数图像判断题，解题时需根据小等边三角形的平移距离x分阶段分析重叠面积y的变化：首先明确大等边三角形边长为2，小等边三角形边长为1，平移过程可分为三个阶段：①当0≤x≤1时，小三角形完全在大三角形内部，重叠面积等于小三角形的固定面积；②当1＜x≤2时，小三角形部分移出大三角形，重叠部分是边长为(2-x)的等边三角形，面积随x增大按二次函数规律减小；③当x＞2时，小三角形完全移出大三角形，重叠面积为0。结合各阶段函数的类型和增减性即可匹配到正确图像。
【解析】
我们分三种情况讨论函数关系：
1. 当$0≤ x≤1$时，小三角形整体位于大三角形内部，重叠面积等于小等边三角形的面积：
$y = \frac{\sqrt{3}}{4}×1^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}$，此阶段y为定值，对应图像是水平线段。
2. 当$1＜x≤2$时，小三角形右侧逐渐移出大三角形，重叠部分是边长为$(2 - x)$的等边三角形，因此面积为：
$y = \frac{\sqrt{3}}{4}(2 - x)^2$，这是开口向上的二次函数，在区间$(1,2]$上，y随x的增大而减小，从$\frac{\sqrt{3}}{4}$逐渐降到0。
3. 当$x＞2$时，小三角形完全移出大三角形，重叠面积$y=0$，对应图像是y=0的水平线段。
综上，函数图像先为水平线段，再为下凸的下降二次曲线段，最后为y=0的水平线段，符合特征的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
动点问题的函数图像；等边三角形的性质；二次函数的图象
【点评】
本题的解题核心是根据平移距离正确划分讨论阶段，结合等边三角形面积公式推导各阶段的函数表达式，再对应函数图像的特征判断即可，解题时注意分段边界值的取值要准确，避免漏判阶段。
【难度系数】
0.7
