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7. 如图,等腰直角三角形EFG的直角边GE与正方形ABCD的边BC在同一直线上,且点E与点B重合,△EFG沿BC方向匀速运动,当点G与点C重合时停止运动.设运动时间为t,运动过程中△EFG与正方形ABCD的重叠部分面积为S,则S关于t的函数图象大致为（
A
B
C
D
A
）A
B
C
D
答案
7. A
解析
【分析】
这是动态几何与函数图像结合的典型问题，解题需按运动过程分阶段分析重叠部分的形状：首先明确等腰直角△EFG沿BC向右匀速运动，初始时点E与B重合，停止时点G与C重合。我们分两个阶段推导面积表达式：第一阶段是运动开始到点E到达点C前，此时重叠部分是等腰直角三角形，直角边长等于运动的路程，面积为关于t的开口向上的二次函数，随t增大而递增；第二阶段是点E经过C点后到G与C重合前，此时重叠部分仍为等腰直角三角形，直角边长为G到C的距离，面积为关于t的开口向上的二次函数，随t增大而递减，两段均为曲线，无水平段，即可匹配对应图像。
【解析】
设正方形ABCD边长为a，等腰直角△EFG的直角边长也为a，运动速度为1单位/秒，分两段讨论：
1. 当$0 \le t \le a$时，点E在BC边上运动，重叠部分为等腰直角三角形，直角边长等于运动路程t，因此重叠面积$S=\frac{1}{2} × t × t=\frac{1}{2}t^2$，此阶段为开口向上的抛物线的上升段。
2. 当$a ＜ t \le 2a$时，点E运动到BC延长线上，点G尚未到达C点，此时重叠部分为等腰直角三角形，直角边长为$2a-t$（即G到C的距离），因此重叠面积$S=\frac{1}{2}(2a-t)^2$，此阶段为开口向上的抛物线的下降段。
综上，函数图像为连续的先上升、后下降的两段曲线，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
动态几何问题，二次函数的图像，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题需要结合图形运动的过程合理分段，根据几何图形的面积公式推导函数表达式，再结合函数性质判断对应图像，易错点是忽略重叠图形的形状变化，错选带有水平段的图像。
【难度系数】
0.6
这是动态几何与函数图像结合的典型问题，解题需按运动过程分阶段分析重叠部分的形状：首先明确等腰直角△EFG沿BC向右匀速运动，初始时点E与B重合，停止时点G与C重合。我们分两个阶段推导面积表达式：第一阶段是运动开始到点E到达点C前，此时重叠部分是等腰直角三角形，直角边长等于运动的路程，面积为关于t的开口向上的二次函数，随t增大而递增；第二阶段是点E经过C点后到G与C重合前，此时重叠部分仍为等腰直角三角形，直角边长为G到C的距离，面积为关于t的开口向上的二次函数，随t增大而递减，两段均为曲线，无水平段，即可匹配对应图像。
【解析】
设正方形ABCD边长为a，等腰直角△EFG的直角边长也为a，运动速度为1单位/秒，分两段讨论：
1. 当$0 \le t \le a$时，点E在BC边上运动，重叠部分为等腰直角三角形，直角边长等于运动路程t，因此重叠面积$S=\frac{1}{2} × t × t=\frac{1}{2}t^2$，此阶段为开口向上的抛物线的上升段。
2. 当$a ＜ t \le 2a$时，点E运动到BC延长线上，点G尚未到达C点，此时重叠部分为等腰直角三角形，直角边长为$2a-t$（即G到C的距离），因此重叠面积$S=\frac{1}{2}(2a-t)^2$，此阶段为开口向上的抛物线的下降段。
综上，函数图像为连续的先上升、后下降的两段曲线，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
动态几何问题，二次函数的图像，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题需要结合图形运动的过程合理分段，根据几何图形的面积公式推导函数表达式，再结合函数性质判断对应图像，易错点是忽略重叠图形的形状变化，错选带有水平段的图像。
【难度系数】
0.6
8. 已知二次函数$y=-2x^2+4x+1$，当自变量取$x_1,x_2$时，函数值相等。当自变量取$\frac{x_1+x_2}{2}$时，函数值为（
A.0
B.1
C.2
D.3
D
）A.0
B.1
C.2
D.3
答案
8. D
解析
【分析】
二次函数的图象是抛物线，抛物线上函数值相等的两个点关于抛物线的对称轴对称，因此$x_1$与$x_2$的中点就是抛物线对称轴对应的横坐标。我们可以先利用对称轴公式求出二次函数的对称轴，再将对称轴的横坐标代入函数解析式计算，即可得到对应的函数值。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$。
本题中二次函数为$y=-2x^2+4x+1$，其中$a=-2$，$b=4$，代入对称轴公式得：
$x=-\frac{4}{2×(-2)}=1$
因为自变量取$x_1,x_2$时函数值相等，所以$x_1$、$x_2$关于对称轴对称，因此$\frac{x_1+x_2}{2}=1$。
将$x=1$代入函数解析式得：
$y=-2×1^2+4×1+1=-2+4+1=3$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 二次函数对称轴计算
3. 二次函数求值
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用考题，核心是利用二次函数的对称性简化计算，无需分别求解$x_1$、$x_2$的具体值，掌握该技巧可以提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
二次函数的图象是抛物线，抛物线上函数值相等的两个点关于抛物线的对称轴对称，因此$x_1$与$x_2$的中点就是抛物线对称轴对应的横坐标。我们可以先利用对称轴公式求出二次函数的对称轴，再将对称轴的横坐标代入函数解析式计算，即可得到对应的函数值。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$。
本题中二次函数为$y=-2x^2+4x+1$，其中$a=-2$，$b=4$，代入对称轴公式得：
$x=-\frac{4}{2×(-2)}=1$
因为自变量取$x_1,x_2$时函数值相等，所以$x_1$、$x_2$关于对称轴对称，因此$\frac{x_1+x_2}{2}=1$。
将$x=1$代入函数解析式得：
$y=-2×1^2+4×1+1=-2+4+1=3$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 二次函数对称轴计算
3. 二次函数求值
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用考题，核心是利用二次函数的对称性简化计算，无需分别求解$x_1$、$x_2$的具体值，掌握该技巧可以提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数$y=ax+b$与二次函数$y=ax^2+8x+b(a≠0)$的图象可能是（
C
）答案
9. C
解析
【分析】
解题时可结合一次函数与二次函数中参数的共性分析：①两个函数的一次项系数均为a，因此二次函数的开口方向与一次函数的增减性要符合a的符号一致的要求；②两个函数的常数项均为b，因此两个函数图象与y轴的交点必须是同一点。先通过这两个共性特征排除错误选项，再验证剩余选项即可。
【解析】
第一步：分析两函数与y轴的交点
对于一次函数$y=ax+b$，当$x=0$时，$y=b$，即与y轴交点为$(0,b)$；
对于二次函数$y=ax^2+8x+b$，当$x=0$时，$y=b$，即与y轴交点也为$(0,b)$，因此两图象与y轴交于同一点。
观察选项：B中一次函数交y轴负半轴、二次函数交y轴正半轴，交点不同；D中一次函数交y轴负半轴、二次函数交y轴正半轴，交点不同，排除B、D。
第二步：分析参数a的符号一致性
二次函数开口方向由a决定：开口向上则$a＞0$，开口向下则$a＜0$；
一次函数的斜率由a决定：图象从左下到右上（递增）则$a＞0$，图象从左上到右下（递减）则$a＜0$，二者的a符号必须一致。
观察选项A：二次函数开口向上，$a＞0$，但一次函数递减，$a＜0$，符号矛盾，排除A。
观察选项C：二次函数开口向上，$a＞0$，一次函数递增，$a＞0$，符号一致，且两图象与y轴交于同一点，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质；函数参数与图象的对应
【点评】
本题是函数图象判断的典型题型，解题核心是抓住不同函数中相同参数的对应关系，从交点、参数符号两个角度快速排除错误选项，能大幅提升解题效率，需要熟练掌握各函数中参数对图象的影响规律。
【难度系数】
0.7
解题时可结合一次函数与二次函数中参数的共性分析：①两个函数的一次项系数均为a，因此二次函数的开口方向与一次函数的增减性要符合a的符号一致的要求；②两个函数的常数项均为b，因此两个函数图象与y轴的交点必须是同一点。先通过这两个共性特征排除错误选项，再验证剩余选项即可。
【解析】
第一步：分析两函数与y轴的交点
对于一次函数$y=ax+b$，当$x=0$时，$y=b$，即与y轴交点为$(0,b)$；
对于二次函数$y=ax^2+8x+b$，当$x=0$时，$y=b$，即与y轴交点也为$(0,b)$，因此两图象与y轴交于同一点。
观察选项：B中一次函数交y轴负半轴、二次函数交y轴正半轴，交点不同；D中一次函数交y轴负半轴、二次函数交y轴正半轴，交点不同，排除B、D。
第二步：分析参数a的符号一致性
二次函数开口方向由a决定：开口向上则$a＞0$，开口向下则$a＜0$；
一次函数的斜率由a决定：图象从左下到右上（递增）则$a＞0$，图象从左上到右下（递减）则$a＜0$，二者的a符号必须一致。
观察选项A：二次函数开口向上，$a＞0$，但一次函数递减，$a＜0$，符号矛盾，排除A。
观察选项C：二次函数开口向上，$a＞0$，一次函数递增，$a＞0$，符号一致，且两图象与y轴交于同一点，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质；函数参数与图象的对应
【点评】
本题是函数图象判断的典型题型，解题核心是抓住不同函数中相同参数的对应关系，从交点、参数符号两个角度快速排除错误选项，能大幅提升解题效率，需要熟练掌握各函数中参数对图象的影响规律。
【难度系数】
0.7
10. 以$x$为自变量的二次函数$y=x^2 - 2(b-2)x + b^2 -1$的图象不经过第三象限，则实数$b$的取值范围是（
A.$b≥\frac{5}{4}$
B.$b≥1$或$b≤-1$
C.$b≥2$
D.$1≤ b≤2$
A
）A.$b≥\frac{5}{4}$
B.$b≥1$或$b≤-1$
C.$b≥2$
D.$1≤ b≤2$
答案
10. A
解析
【分析】
首先明确该二次函数二次项系数为1＞0，因此抛物线开口向上，图象不经过第三象限需分两类讨论：①抛物线与x轴最多有1个交点（判别式Δ≤0），此时函数值恒非负，必然不会经过第三象限；②抛物线与x轴有2个交点（Δ＞0），此时需保证两个交点都在x轴非负半轴，即x=0时函数值≥0，且对称轴在y轴或y轴右侧，最后综合两类情况的结果即可得到b的取值范围。
【解析】
解：
∵二次函数$y=x^2 - 2(b-2)x + b^2 -1$的二次项系数$a=1＞0$，
∴抛物线开口方向向上。
先计算判别式Δ：
$\begin{aligned}\Delta&=[-2(b-2)]^2 - 4×1×(b^2-1)\\&=4(b^2-4b+4)-4b^2+4\\&=20-16b\end{aligned}$
分两种情况讨论：
1. 当$\Delta≤0$时，抛物线与x轴最多有1个交点，此时$y≥0$恒成立，图象不会经过第三象限：
$20-16b≤0$，解得$b≥\frac{5}{4}$，符合要求。
2. 当$\Delta＞0$时，即$b＜\frac{5}{4}$，抛物线与x轴有2个交点，要使图象不经过第三象限，需同时满足：
① 当$x=0$时，$y=b^2-1≥0$，解得$b≥1$或$b≤-1$；
② 对称轴$x=\frac{2(b-2)}{2}=b-2≥0$，解得$b≥2$。
此时要求$b＜\frac{5}{4}$且$b≥2$，无公共解，该情况不存在符合条件的$b$。
综上，实数$b$的取值范围是$b≥\frac{5}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象性质，根的判别式，函数象限判定
【点评】
本题需要结合二次函数的开口方向、交点个数、对称轴位置、与坐标轴交点等性质综合分析，易错点是容易忽略抛物线与x轴无交点的情况，或第二种情况未发现条件矛盾导致错选，解题时要注意分类讨论的完整性。
【难度系数】
0.6
首先明确该二次函数二次项系数为1＞0，因此抛物线开口向上，图象不经过第三象限需分两类讨论：①抛物线与x轴最多有1个交点（判别式Δ≤0），此时函数值恒非负，必然不会经过第三象限；②抛物线与x轴有2个交点（Δ＞0），此时需保证两个交点都在x轴非负半轴，即x=0时函数值≥0，且对称轴在y轴或y轴右侧，最后综合两类情况的结果即可得到b的取值范围。
【解析】
解：
∵二次函数$y=x^2 - 2(b-2)x + b^2 -1$的二次项系数$a=1＞0$，
∴抛物线开口方向向上。
先计算判别式Δ：
$\begin{aligned}\Delta&=[-2(b-2)]^2 - 4×1×(b^2-1)\\&=4(b^2-4b+4)-4b^2+4\\&=20-16b\end{aligned}$
分两种情况讨论：
1. 当$\Delta≤0$时，抛物线与x轴最多有1个交点，此时$y≥0$恒成立，图象不会经过第三象限：
$20-16b≤0$，解得$b≥\frac{5}{4}$，符合要求。
2. 当$\Delta＞0$时，即$b＜\frac{5}{4}$，抛物线与x轴有2个交点，要使图象不经过第三象限，需同时满足：
① 当$x=0$时，$y=b^2-1≥0$，解得$b≥1$或$b≤-1$；
② 对称轴$x=\frac{2(b-2)}{2}=b-2≥0$，解得$b≥2$。
此时要求$b＜\frac{5}{4}$且$b≥2$，无公共解，该情况不存在符合条件的$b$。
综上，实数$b$的取值范围是$b≥\frac{5}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象性质，根的判别式，函数象限判定
【点评】
本题需要结合二次函数的开口方向、交点个数、对称轴位置、与坐标轴交点等性质综合分析，易错点是容易忽略抛物线与x轴无交点的情况，或第二种情况未发现条件矛盾导致错选，解题时要注意分类讨论的完整性。
【难度系数】
0.6
11. 二次函数$y=-(x-1)^2+5$，当$m≤x≤n$，且$mn＜0$时，$y$的最小值为$2m$，最大值为$2n$，则$m+n$的值为（
A.$\frac{5}{2}$
B.$2$
C.$\frac{3}{2}$
D.$\frac{1}{2}$
D
）A.$\frac{5}{2}$
B.$2$
C.$\frac{3}{2}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
11. D
解析
【分析】
首先分析二次函数的基本性质：$y=-(x-1)^2+5$开口向下，对称轴为直线$x=1$，顶点最大值为5。由$mn＜0$且$m≤x≤n$可得$m＜0$，$n＞0$。接下来分两种情况讨论区间$[m,n]$上的最值：①当$0＜n≤1$时，区间在对称轴左侧，函数单调递增，最值在区间端点处取得；②当$n＞1$时，函数最大值为顶点的5，最小值需比较两个端点对应的函数值，结合$m＜0$的特征确定最小值在$x=m$处取得，最后舍去不符合条件的解即可求出$m、n$的值。
【解析】
二次函数$y=-(x-1)^2+5$的开口向下，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,5)$，函数最大值为5。
$\because mn＜0$，且$m≤x≤n$，$\therefore m＜0$，$n＞0$，分两种情况讨论：
1. 若$0＜n≤1$：
区间$[m,n]$在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大，
$\therefore$ 最大值：当$x=n$时，$y=-(n-1)^2+5=2n$，
整理得：$-n^2+4=0$，解得$n=2$或$n=-2$，均不符合$0＜n≤1$，故舍去该情况。
2. 若$n＞1$：
此时函数的最大值为顶点的5，$\therefore 2n=5$，解得$n=\frac{5}{2}$。
$\because m＜0$，$x=m$到对称轴$x=1$的距离大于$x=\frac{5}{2}$到对称轴的距离，开口向下时离对称轴越远函数值越小，
$\therefore$ 最小值为$x=m$处的函数值：$-(m-1)^2+5=2m$，
整理得：$m^2=4$，解得$m=-2$（$m=2$不符合$m＜0$，舍去）。
$\therefore m+n=-2+\frac{5}{2}=\frac{1}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数区间最值；分类讨论思想
【点评】
本题核心考查二次函数在限定区间的最值求解，解题的关键是先根据乘积符号确定$m、n$的正负，再结合对称轴的位置分情况讨论，计算过程中要注意根据取值范围舍去不符合的解。
【难度系数】
0.4
首先分析二次函数的基本性质：$y=-(x-1)^2+5$开口向下，对称轴为直线$x=1$，顶点最大值为5。由$mn＜0$且$m≤x≤n$可得$m＜0$，$n＞0$。接下来分两种情况讨论区间$[m,n]$上的最值：①当$0＜n≤1$时，区间在对称轴左侧，函数单调递增，最值在区间端点处取得；②当$n＞1$时，函数最大值为顶点的5，最小值需比较两个端点对应的函数值，结合$m＜0$的特征确定最小值在$x=m$处取得，最后舍去不符合条件的解即可求出$m、n$的值。
【解析】
二次函数$y=-(x-1)^2+5$的开口向下，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,5)$，函数最大值为5。
$\because mn＜0$，且$m≤x≤n$，$\therefore m＜0$，$n＞0$，分两种情况讨论：
1. 若$0＜n≤1$：
区间$[m,n]$在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大，
$\therefore$ 最大值：当$x=n$时，$y=-(n-1)^2+5=2n$，
整理得：$-n^2+4=0$，解得$n=2$或$n=-2$，均不符合$0＜n≤1$，故舍去该情况。
2. 若$n＞1$：
此时函数的最大值为顶点的5，$\therefore 2n=5$，解得$n=\frac{5}{2}$。
$\because m＜0$，$x=m$到对称轴$x=1$的距离大于$x=\frac{5}{2}$到对称轴的距离，开口向下时离对称轴越远函数值越小，
$\therefore$ 最小值为$x=m$处的函数值：$-(m-1)^2+5=2m$，
整理得：$m^2=4$，解得$m=-2$（$m=2$不符合$m＜0$，舍去）。
$\therefore m+n=-2+\frac{5}{2}=\frac{1}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数区间最值；分类讨论思想
【点评】
本题核心考查二次函数在限定区间的最值求解，解题的关键是先根据乘积符号确定$m、n$的正负，再结合对称轴的位置分情况讨论，计算过程中要注意根据取值范围舍去不符合的解。
【难度系数】
0.4
12. 已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a＞0)$的图象经过点$A(-1,2),B(2,5)$，顶点坐标为$(m,n)$，则下列说法错误的是（
A.$c＜3$
B.$m≤ \frac{1}{2}$
C.$n≤ 2$
D.$b＜1$
B
）A.$c＜3$
B.$m≤ \frac{1}{2}$
C.$n≤ 2$
D.$b＜1$
答案
12. B
解析
【分析】
首先将已知的A、B两点坐标代入二次函数解析式，得到关于a、b、c的方程组，结合a＞0的条件，用参数a表示出b和c，再结合二次函数顶点坐标公式、开口方向与最值的关系，逐一判断各选项的正误即可。
【解析】
将$A(-1,2)$、$B(2,5)$代入二次函数$y=ax^2+bx+c(a＞0)$，可得：
$\begin{cases}a - b + c = 2&①\\4a + 2b + c = 5&②\end{cases}$
用②-①消去c，得$3a+3b=3$，化简得$a+b=1$，因此$b=1-a$。
将$b=1-a$代入①，得$a-(1-a)+c=2$，整理得$c=3-2a$。
逐一判断选项：
1. 选项A：因为$a＞0$，所以$c=3-2a＜3$，A说法正确，不符合题意。
2. 选项D：因为$a＞0$，所以$b=1-a＜1$，D说法正确，不符合题意。
3. 选项C：二次函数$a＞0$，开口向上，顶点是图象的最低点，函数过$A(-1,2)$，因此顶点纵坐标$n$是函数最小值，满足$n≤2$，C说法正确，不符合题意。
4. 选项B：二次函数顶点横坐标$m=-\frac{b}{2a}$，代入$b=1-a$得$m=\frac{a-1}{2a}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2a}$，结合图象可知抛物线对称轴在y轴右侧，即$m＞0$，但$m$恒小于$\frac{1}{2}$，$m≤\frac{1}{2}$的表述错误，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数顶点坐标；待定系数法求解析式
【点评】
本题综合考查二次函数的相关性质，需要结合代入消元法、不等式性质以及二次函数最值的特点分析选项，解题时要注意结合图象隐含的对称轴位置的条件，避免漏用信息。
【难度系数】
0.6
首先将已知的A、B两点坐标代入二次函数解析式，得到关于a、b、c的方程组，结合a＞0的条件，用参数a表示出b和c，再结合二次函数顶点坐标公式、开口方向与最值的关系，逐一判断各选项的正误即可。
【解析】
将$A(-1,2)$、$B(2,5)$代入二次函数$y=ax^2+bx+c(a＞0)$，可得：
$\begin{cases}a - b + c = 2&①\\4a + 2b + c = 5&②\end{cases}$
用②-①消去c，得$3a+3b=3$，化简得$a+b=1$，因此$b=1-a$。
将$b=1-a$代入①，得$a-(1-a)+c=2$，整理得$c=3-2a$。
逐一判断选项：
1. 选项A：因为$a＞0$，所以$c=3-2a＜3$，A说法正确，不符合题意。
2. 选项D：因为$a＞0$，所以$b=1-a＜1$，D说法正确，不符合题意。
3. 选项C：二次函数$a＞0$，开口向上，顶点是图象的最低点，函数过$A(-1,2)$，因此顶点纵坐标$n$是函数最小值，满足$n≤2$，C说法正确，不符合题意。
4. 选项B：二次函数顶点横坐标$m=-\frac{b}{2a}$，代入$b=1-a$得$m=\frac{a-1}{2a}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2a}$，结合图象可知抛物线对称轴在y轴右侧，即$m＞0$，但$m$恒小于$\frac{1}{2}$，$m≤\frac{1}{2}$的表述错误，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数顶点坐标；待定系数法求解析式
【点评】
本题综合考查二次函数的相关性质，需要结合代入消元法、不等式性质以及二次函数最值的特点分析选项，解题时要注意结合图象隐含的对称轴位置的条件，避免漏用信息。
【难度系数】
0.6
