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13. 如图，抛物线$y=x^2+bx+c$与x轴交于$A(-1,0)$和$B(3,0)$两点，交y轴于点E.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若直线$y=x+1$与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点F，连接DE，求$△ DEF$的面积.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若直线$y=x+1$与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点F，连接DE，求$△ DEF$的面积.
答案
13. (1)
∵抛物线$y=x^2+bx+c$与x轴交于A(-1,0)和B(3,0)两点.
∴$\begin{cases}1-b+c=0,\\9+3b+c=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=-2,\\c=-3.\end{cases}$故抛物线的解析式为$y=x^2-2x-3$.
(2) 根据题意,得$\begin{cases}y=x^2-2x-3,\\y=x+1,\end{cases}$解得$\begin{cases}x_1=-1,\\y_1=0,\end{cases}$$\begin{cases}x_2=4,\\y_2=5.\end{cases}$
∴D(4,5). 对于直线$y=x+1$,当x=0时,y=1,
∴F(0,1). 对于$y=x^2-2x-3$,当x=0时,y=-3,
∴E(0,-3).
∴EF=4,过点D作$DM⊥y$轴于点M,
∴DM=4,
∴$S_{△DEF}=\frac{1}{2}EF·DM=8$.
∵抛物线$y=x^2+bx+c$与x轴交于A(-1,0)和B(3,0)两点.
∴$\begin{cases}1-b+c=0,\\9+3b+c=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=-2,\\c=-3.\end{cases}$故抛物线的解析式为$y=x^2-2x-3$.
(2) 根据题意,得$\begin{cases}y=x^2-2x-3,\\y=x+1,\end{cases}$解得$\begin{cases}x_1=-1,\\y_1=0,\end{cases}$$\begin{cases}x_2=4,\\y_2=5.\end{cases}$
∴D(4,5). 对于直线$y=x+1$,当x=0时,y=1,
∴F(0,1). 对于$y=x^2-2x-3$,当x=0时,y=-3,
∴E(0,-3).
∴EF=4,过点D作$DM⊥y$轴于点M,
∴DM=4,
∴$S_{△DEF}=\frac{1}{2}EF·DM=8$.
解析
【分析】
（1）已知抛物线经过两个坐标明确的点A、B，采用待定系数法，将两点坐标代入抛物线解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，求解方程组即可得到b、c的值，进而确定抛物线的解析式。
（2）求△DEF的面积首先需要确定三个顶点的坐标：①联立抛物线和直线的解析式，解方程组可得到交点D的坐标；②令x=0分别代入直线和抛物线解析式，即可得到y轴上的点F、E的坐标；③观察可知E、F都在y轴上，可将EF作为三角形的底，点D到y轴的水平距离作为该底对应的高，代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
（1）
∵抛物线$y=x^2+bx+c$与x轴交于$A(-1,0)$和$B(3,0)$两点，将两点坐标代入解析式得：
$\begin{cases}1-b+c=0\\9+3b+c=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=-2\\c=-3\end{cases}$
∴抛物线的解析式为$y=x^2-2x-3$。
（2）联立直线与抛物线的解析式：
$\begin{cases}y=x^2-2x-3\\y=x+1\end{cases}$
解方程组得：$\begin{cases}x_1=-1\\y_1=0\end{cases}$，$\begin{cases}x_2=4\\y_2=5\end{cases}$
其中$(-1,0)$为点A的坐标，故$D(4,5)$。
对于直线$y=x+1$，令$x=0$，得$y=1$，
∴$F(0,1)$；
对于抛物线$y=x^2-2x-3$，令$x=0$，得$y=-3$，
∴$E(0,-3)$。
∴$EF=|1-(-3)|=4$，过点D作$DM⊥y$轴于点M，DM的长度等于点D横坐标的绝对值，即$DM=4$，
∴$S_{△ DEF}=\frac{1}{2} × EF × DM = \frac{1}{2} × 4 × 4 = 8$。
【答案】
（1）$y=x^2-2x-3$；（2）$8$
【知识点】
待定系数法求解析式，函数交点求解，图形面积计算
【点评】
本题是二次函数的基础应用题目，解题关键是熟练掌握函数解析式的求解方法、函数交点的计算方法，计算坐标系中图形面积时，结合点的坐标特征选择合适的底和高可以简化计算过程。
【难度系数】
0.7
（1）已知抛物线经过两个坐标明确的点A、B，采用待定系数法，将两点坐标代入抛物线解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，求解方程组即可得到b、c的值，进而确定抛物线的解析式。
（2）求△DEF的面积首先需要确定三个顶点的坐标：①联立抛物线和直线的解析式，解方程组可得到交点D的坐标；②令x=0分别代入直线和抛物线解析式，即可得到y轴上的点F、E的坐标；③观察可知E、F都在y轴上，可将EF作为三角形的底，点D到y轴的水平距离作为该底对应的高，代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
（1）
∵抛物线$y=x^2+bx+c$与x轴交于$A(-1,0)$和$B(3,0)$两点，将两点坐标代入解析式得：
$\begin{cases}1-b+c=0\\9+3b+c=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=-2\\c=-3\end{cases}$
∴抛物线的解析式为$y=x^2-2x-3$。
（2）联立直线与抛物线的解析式：
$\begin{cases}y=x^2-2x-3\\y=x+1\end{cases}$
解方程组得：$\begin{cases}x_1=-1\\y_1=0\end{cases}$，$\begin{cases}x_2=4\\y_2=5\end{cases}$
其中$(-1,0)$为点A的坐标，故$D(4,5)$。
对于直线$y=x+1$，令$x=0$，得$y=1$，
∴$F(0,1)$；
对于抛物线$y=x^2-2x-3$，令$x=0$，得$y=-3$，
∴$E(0,-3)$。
∴$EF=|1-(-3)|=4$，过点D作$DM⊥y$轴于点M，DM的长度等于点D横坐标的绝对值，即$DM=4$，
∴$S_{△ DEF}=\frac{1}{2} × EF × DM = \frac{1}{2} × 4 × 4 = 8$。
【答案】
（1）$y=x^2-2x-3$；（2）$8$
【知识点】
待定系数法求解析式，函数交点求解，图形面积计算
【点评】
本题是二次函数的基础应用题目，解题关键是熟练掌握函数解析式的求解方法、函数交点的计算方法，计算坐标系中图形面积时，结合点的坐标特征选择合适的底和高可以简化计算过程。
【难度系数】
0.7
14. 如图，抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2+bx+c$与$x$轴交于$A,B$两点，与$y$轴交于点$C$，且$OA=2$，$OC=3$。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若$D(2,2)$是抛物线上一点，则在抛物线的对称轴上，是否存在一点$P$，使得$△ BDP$的周长最小？若存在，请求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若$D(2,2)$是抛物线上一点，则在抛物线的对称轴上，是否存在一点$P$，使得$△ BDP$的周长最小？若存在，请求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由。
答案
14. (1) 由已知条件,得A(-2,0),C(0,3),则$\begin{cases}c=3,\\-2-2b+c=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}c=3,\\b=\frac{1}{2}.\end{cases}$
∴此二次函数的解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+3$.
(2) 存在.连接AD,交对称轴于点P,则点P即为所求.设直线AD的解析式为$y=kx+b$.由已知条件,得$\begin{cases}-2k+b=0,\\2k+b=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2},\\b=1.\end{cases}$
∴直线AD的解析式为$y=\frac{1}{2}x+1$.
∵抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}$,
∴当$x=\frac{1}{2}$时,$y=\frac{5}{4}$,
∴$P(\frac{1}{2},\frac{5}{4})$.
∴此二次函数的解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+3$.
(2) 存在.连接AD,交对称轴于点P,则点P即为所求.设直线AD的解析式为$y=kx+b$.由已知条件,得$\begin{cases}-2k+b=0,\\2k+b=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2},\\b=1.\end{cases}$
∴直线AD的解析式为$y=\frac{1}{2}x+1$.
∵抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}$,
∴当$x=\frac{1}{2}$时,$y=\frac{5}{4}$,
∴$P(\frac{1}{2},\frac{5}{4})$.
解析
【分析】
（1）首先结合图像和已知OA=2、OC=3，确定点A坐标为(-2,0)，点C坐标为(0,3)，将两个点的坐标代入抛物线的解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出b、c的值，得到抛物线解析式。
（2）要使△BDP的周长最小，观察周长=BD+DP+BP，其中BD是定值，所以只需让DP+BP最小即可。由于抛物线的对称轴是A、B两点的对称轴，因此对称轴上任意一点到A、B的距离相等，即BP=AP，因此DP+BP=DP+AP，根据两点之间线段最短，当A、P、D三点共线时，DP+AP最小，此时只需求出直线AD的解析式，再计算直线AD与抛物线对称轴的交点坐标，就是所求的P点坐标。
【解析】
（1）根据题意，OA=2且点A在x轴负半轴，故A(-2,0)；OC=3且点C在y轴正半轴，故C(0,3)。
将A、C两点坐标代入抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2+bx+c$，可得：
$\begin{cases}c=3\\-\dfrac{1}{2}×(-2)^2 + b×(-2) + c=0\end{cases}$
化简得$\begin{cases}c=3\\-2-2b+c=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=\dfrac{1}{2}\\c=3\end{cases}$
因此抛物线的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x+3$。
（2）存在符合条件的点P，理由如下：
△BDP的周长为$BD+DP+BP$，其中BD的长度为定值，因此要使周长最小，只需使$DP+BP$的值最小。
由于点A、B关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴上任意一点P都满足$BP=AP$，故$DP+BP=DP+AP$，根据两点之间线段最短，当A、P、D三点共线时，$DP+AP$最小，此时P为直线AD与抛物线对称轴的交点。
设直线AD的解析式为$y=kx+m$，将A(-2,0)、D(2,2)代入得：
$\begin{cases}-2k+m=0\\2k+m=2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\dfrac{1}{2}\\m=1\end{cases}$
因此直线AD的解析式为$y=\dfrac{1}{2}x+1$。
抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x+3$的对称轴为直线$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{\dfrac{1}{2}}{2×(-\dfrac{1}{2})}=\dfrac{1}{2}$。
将$x=\dfrac{1}{2}$代入直线AD的解析式，得$y=\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{5}{4}$。
因此点P的坐标为$(\dfrac{1}{2},\dfrac{5}{4})$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x+3$
(2) 存在，$P(\dfrac{1}{2},\dfrac{5}{4})$
【知识点】
待定系数法求解析式；轴对称最短路径；二次函数性质
【点评】
本题第一问考查基础的待定系数法求二次函数解析式，难度较低；第二问是二次函数背景下的最短路径经典题型，核心是利用轴对称性质转化线段和，将动态的最值问题转化为静态的直线交点问题，需要熟练掌握这类转化思路。
【难度系数】
0.7
（1）首先结合图像和已知OA=2、OC=3，确定点A坐标为(-2,0)，点C坐标为(0,3)，将两个点的坐标代入抛物线的解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出b、c的值，得到抛物线解析式。
（2）要使△BDP的周长最小，观察周长=BD+DP+BP，其中BD是定值，所以只需让DP+BP最小即可。由于抛物线的对称轴是A、B两点的对称轴，因此对称轴上任意一点到A、B的距离相等，即BP=AP，因此DP+BP=DP+AP，根据两点之间线段最短，当A、P、D三点共线时，DP+AP最小，此时只需求出直线AD的解析式，再计算直线AD与抛物线对称轴的交点坐标，就是所求的P点坐标。
【解析】
（1）根据题意，OA=2且点A在x轴负半轴，故A(-2,0)；OC=3且点C在y轴正半轴，故C(0,3)。
将A、C两点坐标代入抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2+bx+c$，可得：
$\begin{cases}c=3\\-\dfrac{1}{2}×(-2)^2 + b×(-2) + c=0\end{cases}$
化简得$\begin{cases}c=3\\-2-2b+c=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=\dfrac{1}{2}\\c=3\end{cases}$
因此抛物线的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x+3$。
（2）存在符合条件的点P，理由如下：
△BDP的周长为$BD+DP+BP$，其中BD的长度为定值，因此要使周长最小，只需使$DP+BP$的值最小。
由于点A、B关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴上任意一点P都满足$BP=AP$，故$DP+BP=DP+AP$，根据两点之间线段最短，当A、P、D三点共线时，$DP+AP$最小，此时P为直线AD与抛物线对称轴的交点。
设直线AD的解析式为$y=kx+m$，将A(-2,0)、D(2,2)代入得：
$\begin{cases}-2k+m=0\\2k+m=2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\dfrac{1}{2}\\m=1\end{cases}$
因此直线AD的解析式为$y=\dfrac{1}{2}x+1$。
抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x+3$的对称轴为直线$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{\dfrac{1}{2}}{2×(-\dfrac{1}{2})}=\dfrac{1}{2}$。
将$x=\dfrac{1}{2}$代入直线AD的解析式，得$y=\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{5}{4}$。
因此点P的坐标为$(\dfrac{1}{2},\dfrac{5}{4})$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x+3$
(2) 存在，$P(\dfrac{1}{2},\dfrac{5}{4})$
【知识点】
待定系数法求解析式；轴对称最短路径；二次函数性质
【点评】
本题第一问考查基础的待定系数法求二次函数解析式，难度较低；第二问是二次函数背景下的最短路径经典题型，核心是利用轴对称性质转化线段和，将动态的最值问题转化为静态的直线交点问题，需要熟练掌握这类转化思路。
【难度系数】
0.7
