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9. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,边长为2的正方形$OABC$的顶点$A,C$分别在$x$轴,$y$轴的正半轴上,二次函数$y=-\frac{2}{3}x^2+bx+c$的图象经过$B,C$两点.
(1) 求该二次函数的解析式;
(2) 结合函数的图象探索:当$y＞0$时,$x$的取值范围.
(1) 求该二次函数的解析式;
(2) 结合函数的图象探索:当$y＞0$时,$x$的取值范围.
答案
(1) 将点$B(2,2),C(0,2)$代入$y=-\frac{2}{3}x^2+bx+c$,得$b=\frac{4}{3}$,$c=2$.$\therefore$该二次函数的解析式为$y=-\frac{2}{3}x^2+\frac{4}{3}x+2$. (2) $-1＜x＜3$
解析
【分析】
(1) 首先根据正方形边长为2的性质，确定点C、B的坐标：C在y轴正半轴，坐标为(0,2)，点B横坐标和A一致为2，纵坐标和C一致为2，即B(2,2)；再用待定系数法将两点坐标代入二次函数表达式，求解关于b、c的方程组，即可得到函数解析式。
(2) 求y＞0时x的取值范围，先令y=0，解对应的一元二次方程得到抛物线与x轴两个交点的横坐标，再结合抛物线开口向下的性质，图象在x轴上方的部分对应的x范围就是y＞0的解集。
【解析】
(1)
∵正方形OABC的边长为2，
∴点C坐标为$(0,2)$，点B坐标为$(2,2)$。
将$C(0,2)$、$B(2,2)$代入$y=-\frac{2}{3}x^2+bx+c$，可得：
$\begin{cases} c=2 \\ -\frac{2}{3}× 2^2 + 2b + c = 2 \end{cases}$
把$c=2$代入第二个方程，计算得：
$-\frac{8}{3} + 2b + 2 = 2$
解得$b=\frac{4}{3}$。
∴该二次函数的解析式为$y=-\frac{2}{3}x^2+\frac{4}{3}x+2$。
(2) 令$y=0$，则$-\frac{2}{3}x^2+\frac{4}{3}x+2=0$，
两边同时乘3去分母，得$-2x^2+4x+6=0$，
化简为$x^2-2x-3=0$，
因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
∵二次函数图象开口向下，
∴当图象在x轴上方时$y＞0$，对应的x取值范围是$-1＜x＜3$。
【答案】
(1) $y=-\frac{2}{3}x^2+\frac{4}{3}x+2$；(2) $-1＜x＜3$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数与一元二次方程；二次函数图象性质
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，结合正方形性质获取点坐标，通过待定系数法求解析式，再结合图象求解不等式，考查数形结合思想，是二次函数章节的常规考点。
【难度系数】
0.7
(1) 首先根据正方形边长为2的性质，确定点C、B的坐标：C在y轴正半轴，坐标为(0,2)，点B横坐标和A一致为2，纵坐标和C一致为2，即B(2,2)；再用待定系数法将两点坐标代入二次函数表达式，求解关于b、c的方程组，即可得到函数解析式。
(2) 求y＞0时x的取值范围，先令y=0，解对应的一元二次方程得到抛物线与x轴两个交点的横坐标，再结合抛物线开口向下的性质，图象在x轴上方的部分对应的x范围就是y＞0的解集。
【解析】
(1)
∵正方形OABC的边长为2，
∴点C坐标为$(0,2)$，点B坐标为$(2,2)$。
将$C(0,2)$、$B(2,2)$代入$y=-\frac{2}{3}x^2+bx+c$，可得：
$\begin{cases} c=2 \\ -\frac{2}{3}× 2^2 + 2b + c = 2 \end{cases}$
把$c=2$代入第二个方程，计算得：
$-\frac{8}{3} + 2b + 2 = 2$
解得$b=\frac{4}{3}$。
∴该二次函数的解析式为$y=-\frac{2}{3}x^2+\frac{4}{3}x+2$。
(2) 令$y=0$，则$-\frac{2}{3}x^2+\frac{4}{3}x+2=0$，
两边同时乘3去分母，得$-2x^2+4x+6=0$，
化简为$x^2-2x-3=0$，
因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
∵二次函数图象开口向下，
∴当图象在x轴上方时$y＞0$，对应的x取值范围是$-1＜x＜3$。
【答案】
(1) $y=-\frac{2}{3}x^2+\frac{4}{3}x+2$；(2) $-1＜x＜3$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数与一元二次方程；二次函数图象性质
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，结合正方形性质获取点坐标，通过待定系数法求解析式，再结合图象求解不等式，考查数形结合思想，是二次函数章节的常规考点。
【难度系数】
0.7
10. 如图，抛物线$y=x^2+bx+c$过点$A(-4,-3)$，与$y$轴交于点$B$，对称轴是直线$x=-3$。
（1）求抛物线的解析式；
（2）若与$x$轴平行的直线与抛物线交于$C,D$两点，点$C$在对称轴的左侧，且$CD=8$，求$△ BCD$的面积。
（1）求抛物线的解析式；
（2）若与$x$轴平行的直线与抛物线交于$C,D$两点，点$C$在对称轴的左侧，且$CD=8$，求$△ BCD$的面积。
答案
(1) $\because$对称轴是直线$x=-\frac{b}{2a}=-3$,$a=1$,$\therefore b=6$. 又$\because$抛物线$y=x^2+bx+c$过点$A(-4,-3)$,$\therefore (-4)^2+6×(-4)+c=-3$,解得$c=5$.$\therefore$抛物线的解析式为$y=x^2+6x+5$. (2) $\because$与$x$轴平行的直线与抛物线交于$C,D$两点,点$C$在对称轴的左侧,且$CD=8$,$\therefore$点$C$的横坐标为$-7$.$\because$抛物线的解析式为$y=x^2+6x+5$,$\therefore$点$C$的纵坐标为$y=(-7)^2+6×(-7)+5=12$.$\therefore$点$B$的坐标为$(0,5)$.$\therefore$边$CD$上的高为$12-5=7$.$\therefore △ BCD$的面积为$\frac{1}{2}×8×7=28$.
解析
【分析】
（1）要确定抛物线$y=x^2+bx+c$的解析式，只需求出未知参数$b$、$c$的值即可。首先利用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，已知$a=1$、对称轴为$x=-3$，可先求出$b$的值；再将点$A(-4,-3)$的坐标代入含$b$的抛物线解析式，即可求出$c$的值，得到解析式。
（2）平行于$x$轴的直线与抛物线的两个交点$C$、$D$关于抛物线的对称轴对称，已知$CD=8$，可得两个点到对称轴$x=-3$的距离为$4$，结合$C$在对称轴左侧，可求出$C$的横坐标；将$C$的横坐标代入解析式得到$C$的纵坐标，即$CD$所在直线的纵坐标；再求出抛物线与$y$轴交点$B$的坐标，$△ BCD$中$CD$边上的高为$CD$的纵坐标与$B$点纵坐标的差，最后结合三角形面积公式即可求出面积。
【解析】
（1）$\because$抛物线的对称轴是直线$x=-\frac{b}{2a}=-3$，且$a=1$，
$\therefore -\frac{b}{2×1}=-3$，解得$b=6$。
又$\because$抛物线$y=x^2+bx+c$过点$A(-4,-3)$，
将$A(-4,-3)$、$b=6$代入解析式得：
$(-4)^2+6×(-4)+c=-3$，
即$16-24+c=-3$，解得$c=5$。
$\therefore$抛物线的解析式为$y=x^2+6x+5$。
（2）$\because$与$x$轴平行的直线与抛物线交于$C,D$两点，
$\therefore$点$C$和点$D$关于对称轴$x=-3$对称，
$\because CD=8$，$\therefore$点$C$到对称轴的距离为$8÷2=4$，
又$\because$点$C$在对称轴左侧，$\therefore$点$C$的横坐标为$-3-4=-7$。
将$x=-7$代入抛物线解析式$y=x^2+6x+5$得：
$y=(-7)^2+6×(-7)+5=49-42+5=12$，即$CD$所在直线的纵坐标为12。
$\because$抛物线与$y$轴交于点$B$，令$x=0$，得$y=5$，$\therefore B(0,5)$。
$\therefore △ BCD$中$CD$边上的高为$12-5=7$，
$\therefore S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× CD × 高=\frac{1}{2}×8×7=28$。
【答案】
（1）$y=x^2+6x+5$；（2）$28$
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数的对称性；三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数的基础常规题型，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称轴公式、对称性的应用，此类题型是二次函数知识的基础应用，需牢固掌握其解题思路，为后续二次函数综合题的学习打好基础。
【难度系数】
0.7
（1）要确定抛物线$y=x^2+bx+c$的解析式，只需求出未知参数$b$、$c$的值即可。首先利用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，已知$a=1$、对称轴为$x=-3$，可先求出$b$的值；再将点$A(-4,-3)$的坐标代入含$b$的抛物线解析式，即可求出$c$的值，得到解析式。
（2）平行于$x$轴的直线与抛物线的两个交点$C$、$D$关于抛物线的对称轴对称，已知$CD=8$，可得两个点到对称轴$x=-3$的距离为$4$，结合$C$在对称轴左侧，可求出$C$的横坐标；将$C$的横坐标代入解析式得到$C$的纵坐标，即$CD$所在直线的纵坐标；再求出抛物线与$y$轴交点$B$的坐标，$△ BCD$中$CD$边上的高为$CD$的纵坐标与$B$点纵坐标的差，最后结合三角形面积公式即可求出面积。
【解析】
（1）$\because$抛物线的对称轴是直线$x=-\frac{b}{2a}=-3$，且$a=1$，
$\therefore -\frac{b}{2×1}=-3$，解得$b=6$。
又$\because$抛物线$y=x^2+bx+c$过点$A(-4,-3)$，
将$A(-4,-3)$、$b=6$代入解析式得：
$(-4)^2+6×(-4)+c=-3$，
即$16-24+c=-3$，解得$c=5$。
$\therefore$抛物线的解析式为$y=x^2+6x+5$。
（2）$\because$与$x$轴平行的直线与抛物线交于$C,D$两点，
$\therefore$点$C$和点$D$关于对称轴$x=-3$对称，
$\because CD=8$，$\therefore$点$C$到对称轴的距离为$8÷2=4$，
又$\because$点$C$在对称轴左侧，$\therefore$点$C$的横坐标为$-3-4=-7$。
将$x=-7$代入抛物线解析式$y=x^2+6x+5$得：
$y=(-7)^2+6×(-7)+5=49-42+5=12$，即$CD$所在直线的纵坐标为12。
$\because$抛物线与$y$轴交于点$B$，令$x=0$，得$y=5$，$\therefore B(0,5)$。
$\therefore △ BCD$中$CD$边上的高为$12-5=7$，
$\therefore S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× CD × 高=\frac{1}{2}×8×7=28$。
【答案】
（1）$y=x^2+6x+5$；（2）$28$
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数的对称性；三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数的基础常规题型，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称轴公式、对称性的应用，此类题型是二次函数知识的基础应用，需牢固掌握其解题思路，为后续二次函数综合题的学习打好基础。
【难度系数】
0.7
