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7. 已知二次函数$y=x^2+bx+c$的图象与$y$轴交于点$C(0,-6)$，与$x$轴的一个交点坐标是$A(-2,0)$。
（1）求二次函数的解析式，并写出顶点$D$的坐标；
（2）将二次函数的图象沿$x$轴向左平移$\frac{5}{2}$个单位长度，当$y＜0$时，求$x$的取值范围。
（1）求二次函数的解析式，并写出顶点$D$的坐标；
（2）将二次函数的图象沿$x$轴向左平移$\frac{5}{2}$个单位长度，当$y＜0$时，求$x$的取值范围。
答案
(1) 把点$C(0,-6)$代入$y=x^2+bx+c$,解得$c=-6$;把点$A(-2,0)$代入$y=x^2+bx-6$,解得$b=-1$,$\therefore y=x^2-x-6$.$\because y=x^2-x-6=(x-\frac{1}{2})^2-\frac{25}{4}$,$\therefore$顶点$D$的坐标是$(\frac{1}{2},-\frac{25}{4})$. (2) 二次函数的图象沿$x$轴向左平移$\frac{5}{2}$个单位长度得$y=(x+2)^2-\frac{25}{4}$.$\because (x+2)^2-\frac{25}{4}=0$,$\therefore x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{9}{2}$.$\therefore$当$y＜0$时,$x$的取值范围是$-\frac{9}{2}＜x＜\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
（1）求二次函数解析式可采用待定系数法：已知函数图象过$C(0,-6)$，代入一般式可直接求出$c$的值，再将$A(-2,0)$代入含$c$的解析式，即可求出$b$的值，得到完整解析式；求顶点坐标可将一般式配方为顶点式，直接得到顶点坐标。
（2）二次函数图象沿$x$轴平移遵循“左加右减”的规律，向左平移$\frac{5}{2}$个单位即把解析式中的$x$替换为$x+\frac{5}{2}$，得到平移后的解析式；由于抛物线开口向上，$y＜0$对应图象在$x$轴下方的部分，求出平移后函数与$x$轴的两个交点，$x$的取值范围就在两个交点的横坐标之间。
【解析】
(1) 把点$C(0,-6)$代入$y=x^2+bx+c$，可得$c=-6$，则二次函数解析式变为$y=x^2+bx-6$；
把点$A(-2,0)$代入$y=x^2+bx-6$，得$0=(-2)^2 + b×(-2) -6$，解得$b=-1$，因此二次函数的解析式为$y=x^2-x-6$。
将解析式配方：$y=x^2-x-6=(x-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}-6=(x-\frac{1}{2})^2-\frac{25}{4}$，因此顶点$D$的坐标是$(\frac{1}{2},-\frac{25}{4})$。
(2) 将二次函数的图象沿$x$轴向左平移$\frac{5}{2}$个单位长度，根据“左加右减”的平移规律，得平移后的解析式为$y=(x+\frac{5}{2}-\frac{1}{2})^2-\frac{25}{4}=(x+2)^2-\frac{25}{4}$。
令$y=0$，即$(x+2)^2-\frac{25}{4}=0$，解得$x+2=\pm\frac{5}{2}$，即$x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{9}{2}$。
由于抛物线开口向上，因此当$y＜0$时，$x$的取值范围是$-\frac{9}{2}＜x＜\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) 二次函数解析式为$y=x^2-x-6$，顶点$D$的坐标为$(\frac{1}{2},-\frac{25}{4})$；
(2) $x$的取值范围是$-\frac{9}{2}＜x＜\frac{1}{2}$。
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数图象的平移
3. 二次函数与不等式
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，考查的都是二次函数的核心基础知识点，解题的关键是熟练掌握待定系数法、函数平移规律以及二次函数图象与不等式的对应关系，计算时注意符号即可。
【难度系数】
0.7
（1）求二次函数解析式可采用待定系数法：已知函数图象过$C(0,-6)$，代入一般式可直接求出$c$的值，再将$A(-2,0)$代入含$c$的解析式，即可求出$b$的值，得到完整解析式；求顶点坐标可将一般式配方为顶点式，直接得到顶点坐标。
（2）二次函数图象沿$x$轴平移遵循“左加右减”的规律，向左平移$\frac{5}{2}$个单位即把解析式中的$x$替换为$x+\frac{5}{2}$，得到平移后的解析式；由于抛物线开口向上，$y＜0$对应图象在$x$轴下方的部分，求出平移后函数与$x$轴的两个交点，$x$的取值范围就在两个交点的横坐标之间。
【解析】
(1) 把点$C(0,-6)$代入$y=x^2+bx+c$，可得$c=-6$，则二次函数解析式变为$y=x^2+bx-6$；
把点$A(-2,0)$代入$y=x^2+bx-6$，得$0=(-2)^2 + b×(-2) -6$，解得$b=-1$，因此二次函数的解析式为$y=x^2-x-6$。
将解析式配方：$y=x^2-x-6=(x-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}-6=(x-\frac{1}{2})^2-\frac{25}{4}$，因此顶点$D$的坐标是$(\frac{1}{2},-\frac{25}{4})$。
(2) 将二次函数的图象沿$x$轴向左平移$\frac{5}{2}$个单位长度，根据“左加右减”的平移规律，得平移后的解析式为$y=(x+\frac{5}{2}-\frac{1}{2})^2-\frac{25}{4}=(x+2)^2-\frac{25}{4}$。
令$y=0$，即$(x+2)^2-\frac{25}{4}=0$，解得$x+2=\pm\frac{5}{2}$，即$x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{9}{2}$。
由于抛物线开口向上，因此当$y＜0$时，$x$的取值范围是$-\frac{9}{2}＜x＜\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) 二次函数解析式为$y=x^2-x-6$，顶点$D$的坐标为$(\frac{1}{2},-\frac{25}{4})$；
(2) $x$的取值范围是$-\frac{9}{2}＜x＜\frac{1}{2}$。
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数图象的平移
3. 二次函数与不等式
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，考查的都是二次函数的核心基础知识点，解题的关键是熟练掌握待定系数法、函数平移规律以及二次函数图象与不等式的对应关系，计算时注意符号即可。
【难度系数】
0.7
8. 如图，边长为4的等边三角形ABC，AB在x轴上，点A的坐标为(-1,0)，点C在第一象限，AC与y轴交于点D.
(1) 求B,C,D三点的坐标；
(2) 求经过B,C,D三点的抛物线的解析式.
(1) 求B,C,D三点的坐标；
(2) 求经过B,C,D三点的抛物线的解析式.
答案
(1) $B(3,0),C(1,2\sqrt{3}),D(0,\sqrt{3})$ (2) $y=-\frac{2\sqrt{3}}{3}x^2+\frac{5\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}$
解析
【分析】
(1) 求三点坐标的思路：首先根据A点坐标和AB的长度，直接计算得到B点坐标；再利用等边三角形三线合一的性质，得到C点横坐标为AB中点的横坐标，结合等边三角形高的计算公式得到C点纵坐标；最后求出直线AC的解析式，代入x=0即可得到D点坐标。
(2) 求抛物线解析式的思路：已知抛物线上三个点的坐标，采用待定系数法，设二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$，将三个点坐标代入得到方程组，求解得到a、b、c的值即可得到抛物线解析式。
【解析】
(1) ①求点B坐标：
已知等边△ABC边长为4，点A坐标为$(-1,0)$，AB在x轴上，因此点B的横坐标为$-1+4=3$，纵坐标为0，即$B(3,0)$。
②求点C坐标：
AB的中点横坐标为$\frac{-1+3}{2}=1$，等边三角形的高为$4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，点C在第一象限，因此$C(1,2\sqrt{3})$。
③求点D坐标：
设直线AC的解析式为$y=kx+b$，将$A(-1,0)$、$C(1,2\sqrt{3})$代入得：
$\begin{cases}0=-k+b\\2\sqrt{3}=k+b\end{cases}$
解得$b=\sqrt{3}$，$k=\sqrt{3}$，因此直线AC解析式为$y=\sqrt{3}x+\sqrt{3}$。
令$x=0$，得$y=\sqrt{3}$，因此$D(0,\sqrt{3})$。
(2) 设抛物线解析式为$y=ax^2+bx+c$，将三点坐标代入：
代入$D(0,\sqrt{3})$得$c=\sqrt{3}$；
代入$B(3,0)$得$9a+3b+\sqrt{3}=0$ ①；
代入$C(1,2\sqrt{3})$得$a+b+\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，化简得$a+b=\sqrt{3}$ ②；
将②×3得$3a+3b=3\sqrt{3}$ ③，①-③得$6a=-4\sqrt{3}$，解得$a=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
将a代入②得$b=\frac{5\sqrt{3}}{3}$；
因此抛物线解析式为$y=-\frac{2\sqrt{3}}{3}x^2+\frac{5\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $B(3,0),C(1,2\sqrt{3}),D(0,\sqrt{3})$
(2) $y=-\frac{2\sqrt{3}}{3}x^2+\frac{5\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形的性质，待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是几何与函数结合的基础题，既考察了等边三角形的基本性质，又考察了待定系数法求函数解析式的核心方法，解题逻辑清晰，熟练掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 求三点坐标的思路：首先根据A点坐标和AB的长度，直接计算得到B点坐标；再利用等边三角形三线合一的性质，得到C点横坐标为AB中点的横坐标，结合等边三角形高的计算公式得到C点纵坐标；最后求出直线AC的解析式，代入x=0即可得到D点坐标。
(2) 求抛物线解析式的思路：已知抛物线上三个点的坐标，采用待定系数法，设二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$，将三个点坐标代入得到方程组，求解得到a、b、c的值即可得到抛物线解析式。
【解析】
(1) ①求点B坐标：
已知等边△ABC边长为4，点A坐标为$(-1,0)$，AB在x轴上，因此点B的横坐标为$-1+4=3$，纵坐标为0，即$B(3,0)$。
②求点C坐标：
AB的中点横坐标为$\frac{-1+3}{2}=1$，等边三角形的高为$4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，点C在第一象限，因此$C(1,2\sqrt{3})$。
③求点D坐标：
设直线AC的解析式为$y=kx+b$，将$A(-1,0)$、$C(1,2\sqrt{3})$代入得：
$\begin{cases}0=-k+b\\2\sqrt{3}=k+b\end{cases}$
解得$b=\sqrt{3}$，$k=\sqrt{3}$，因此直线AC解析式为$y=\sqrt{3}x+\sqrt{3}$。
令$x=0$，得$y=\sqrt{3}$，因此$D(0,\sqrt{3})$。
(2) 设抛物线解析式为$y=ax^2+bx+c$，将三点坐标代入：
代入$D(0,\sqrt{3})$得$c=\sqrt{3}$；
代入$B(3,0)$得$9a+3b+\sqrt{3}=0$ ①；
代入$C(1,2\sqrt{3})$得$a+b+\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，化简得$a+b=\sqrt{3}$ ②；
将②×3得$3a+3b=3\sqrt{3}$ ③，①-③得$6a=-4\sqrt{3}$，解得$a=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
将a代入②得$b=\frac{5\sqrt{3}}{3}$；
因此抛物线解析式为$y=-\frac{2\sqrt{3}}{3}x^2+\frac{5\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $B(3,0),C(1,2\sqrt{3}),D(0,\sqrt{3})$
(2) $y=-\frac{2\sqrt{3}}{3}x^2+\frac{5\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形的性质，待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是几何与函数结合的基础题，既考察了等边三角形的基本性质，又考察了待定系数法求函数解析式的核心方法，解题逻辑清晰，熟练掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
