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1. 下列方程中，是一元二次方程的是 （
A.$\frac{1}{x}+x=2$
B.$x-5=0$
C.$5x^2 -2y=0$
D.$x^2 -2=0$
D
）A.$\frac{1}{x}+x=2$
B.$x-5=0$
C.$5x^2 -2y=0$
D.$x^2 -2=0$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断一个方程是否为一元二次方程，需先明确一元二次方程的三个核心判定标准：①属于整式方程（分母不能含有未知数）；②仅含有1个未知数；③未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0。解题时将每个选项依次对照这三个标准逐一排查，即可得出正确结论。
【解析】
根据一元二次方程的定义逐一分析各选项：
A. 方程$\frac{1}{x}+x=2$的分母含未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程的要求，排除；
B. 方程$x-5=0$中未知数$x$的最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求，排除；
C. 方程$5x^2 -2y=0$中含有$x$、$y$两个未知数，属于二元方程，不符合要求，排除；
D. 方程$x^2 -2=0$是整式方程，仅含未知数$x$，且$x$的最高次数为2，二次项系数为1不为0，完全符合一元二次方程的定义。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义、整式方程的识别
【点评】
本题是基础概念类考题，核心考查对一元二次方程定义的掌握程度，只要牢记一元二次方程的三个判定要点，就能快速准确解题，是方程分类相关考点中的常见基础题型。
【难度系数】
0.9
要判断一个方程是否为一元二次方程，需先明确一元二次方程的三个核心判定标准：①属于整式方程（分母不能含有未知数）；②仅含有1个未知数；③未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0。解题时将每个选项依次对照这三个标准逐一排查，即可得出正确结论。
【解析】
根据一元二次方程的定义逐一分析各选项：
A. 方程$\frac{1}{x}+x=2$的分母含未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程的要求，排除；
B. 方程$x-5=0$中未知数$x$的最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求，排除；
C. 方程$5x^2 -2y=0$中含有$x$、$y$两个未知数，属于二元方程，不符合要求，排除；
D. 方程$x^2 -2=0$是整式方程，仅含未知数$x$，且$x$的最高次数为2，二次项系数为1不为0，完全符合一元二次方程的定义。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义、整式方程的识别
【点评】
本题是基础概念类考题，核心考查对一元二次方程定义的掌握程度，只要牢记一元二次方程的三个判定要点，就能快速准确解题，是方程分类相关考点中的常见基础题型。
【难度系数】
0.9
2. 已知$\odot O$的半径为3,点P到圆心O的距离为4,则点P与$\odot O$的位置关系是 （
A.点P在$\odot O$外
B.点P在$\odot O$上
C.点P在$\odot O$内
D.无法确定
A
）A.点P在$\odot O$外
B.点P在$\odot O$上
C.点P在$\odot O$内
D.无法确定
答案
2.A
解析
【分析】
要判断点与圆的位置关系，需先明确判定规则：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，若d＞r，则点在圆外；若d=r，则点在圆上；若d＜r，则点在圆内。本题已知圆的半径和点到圆心的距离，只需将二者比较大小即可得出结论。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=3$，点P到圆心O的距离$d=OP=4$。
因为$4＞3$，即$d＞r$，根据点与圆的位置关系判定规则，可得点P在$\odot O$外。
所以本题选A。
【答案】
A
【知识点】
点与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础题，核心考查点与圆位置关系的判定方法，只需牢记判定规则，准确比较距离与半径的大小即可快速解题，得分率较高。
【难度系数】
0.9
要判断点与圆的位置关系，需先明确判定规则：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，若d＞r，则点在圆外；若d=r，则点在圆上；若d＜r，则点在圆内。本题已知圆的半径和点到圆心的距离，只需将二者比较大小即可得出结论。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=3$，点P到圆心O的距离$d=OP=4$。
因为$4＞3$，即$d＞r$，根据点与圆的位置关系判定规则，可得点P在$\odot O$外。
所以本题选A。
【答案】
A
【知识点】
点与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础题，核心考查点与圆位置关系的判定方法，只需牢记判定规则，准确比较距离与半径的大小即可快速解题，得分率较高。
【难度系数】
0.9
3. 小聪计划周末在“月亮湾、南湖公园、梨花雨景区”三个地点中随机选择一个地点出游，则他选中“月亮湾”的概率为（
A.1
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.0
B
）A.1
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.0
答案
3.B
解析
【分析】这是一道基础的等可能事件概率计算题，解题思路如下：首先明确随机选择时每个地点被选中的可能性相等，先统计所有可能的选择结果总数，再统计符合“选中月亮湾”的结果数量，最后根据等可能事件的概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数就能得到所求概率。
【解析】解：已知共有3个不同的地点，随机选择一个地点出游时，每个地点被选中的可能性相等，因此总共有3种等可能的结果。
其中选中“月亮湾”的结果只有1种。
根据等可能事件的概率公式：$P(A)=\frac{\mathrm{事件}A\mathrm{包含的等可能结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果总数}}$，
可得选中“月亮湾”的概率为$\frac{1}{3}$。
故选B。
【答案】B
【知识点】1. 等可能事件概率计算 2. 概率公式
【点评】本题属于概率基础题，核心考查对等可能事件概率计算方法的掌握，只需准确统计总结果数和目标事件的结果数即可正确求解。
【难度系数】0.9
【解析】解：已知共有3个不同的地点，随机选择一个地点出游时，每个地点被选中的可能性相等，因此总共有3种等可能的结果。
其中选中“月亮湾”的结果只有1种。
根据等可能事件的概率公式：$P(A)=\frac{\mathrm{事件}A\mathrm{包含的等可能结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果总数}}$，
可得选中“月亮湾”的概率为$\frac{1}{3}$。
故选B。
【答案】B
【知识点】1. 等可能事件概率计算 2. 概率公式
【点评】本题属于概率基础题，核心考查对等可能事件概率计算方法的掌握，只需准确统计总结果数和目标事件的结果数即可正确求解。
【难度系数】0.9
4. (2024·济南)若关于x的方程$x^2 - x - m = 0$有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（
A.$m＜-\frac{1}{4}$
B.$m＞-\frac{1}{4}$
C.$m＜-4$
D.$m＞-4$
B
）A.$m＜-\frac{1}{4}$
B.$m＞-\frac{1}{4}$
C.$m＜-4$
D.$m＞-4$
答案
4.B
解析
【分析】
这道题考查一元二次方程根的判别式与根的个数的对应关系，解题思路如下：首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式规则：当$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根；先确定题中方程的$a、b、c$取值，代入判别式列出关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - x - m = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=-m$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$，代入参数得：
$(-1)^2 - 4×1×(-m) ＞ 0$
化简计算：
$1 + 4m ＞ 0$
移项得$4m ＞ -1$，两边同时除以4，解得$m ＞ -\frac{1}{4}$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，核心是熟记根的判别式与方程根的个数的对应关系，计算时要注意常数项的符号，避免因符号错误导致计算失误。
【难度系数】
0.8
这道题考查一元二次方程根的判别式与根的个数的对应关系，解题思路如下：首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式规则：当$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根；先确定题中方程的$a、b、c$取值，代入判别式列出关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - x - m = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=-m$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$，代入参数得：
$(-1)^2 - 4×1×(-m) ＞ 0$
化简计算：
$1 + 4m ＞ 0$
移项得$4m ＞ -1$，两边同时除以4，解得$m ＞ -\frac{1}{4}$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，核心是熟记根的判别式与方程根的个数的对应关系，计算时要注意常数项的符号，避免因符号错误导致计算失误。
【难度系数】
0.8
5. 调查某少年足球队全体队员的年龄，得到数据结果如下表：
则该足球队队员年龄的第75百分位数是 （
A.15岁
B.14岁
C.13岁
D.7人
则该足球队队员年龄的第75百分位数是 （
C
）A.15岁
B.14岁
C.13岁
D.7人
答案
5.C
解析
【分析】
要计算该足球队队员年龄的第75百分位数，首先回忆百分位数的计算思路：第一步先统计总人数，第二步用总人数乘75%得到对应位置值，第三步根据位置值的类型（整数/非整数）确定要找的排序后的数据位置，第四步结合各年龄的人数累计情况，找到对应位置的年龄即可。
【解析】
1. 计算总人数：将各年龄的人数相加，总人数为 $ 3+4+7+2+2=18 $ 人。
2. 计算百分位数对应位置：$ 18×75\%=13.5 $。
3. 确定对应数据位置：因为13.5不是整数，根据百分位数的计算规则，第75百分位数为将数据从小到大排序后第14个数据。
4. 累计各年龄人数找对应数据：11岁共3人，覆盖排序第1~3位；12岁共4人，覆盖排序第4~7位；13岁共7人，覆盖排序第8~14位。因此第14个数据对应的年龄是13岁。
【答案】
C
【知识点】
百分位数计算，频数分布表，数据排序
【点评】
本题核心考查百分位数的计算方法，解题时要注意位置值为非整数时，需取大于该值的最小整数对应的数据，同时累计频数时要按从小到大的顺序统计，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
要计算该足球队队员年龄的第75百分位数，首先回忆百分位数的计算思路：第一步先统计总人数，第二步用总人数乘75%得到对应位置值，第三步根据位置值的类型（整数/非整数）确定要找的排序后的数据位置，第四步结合各年龄的人数累计情况，找到对应位置的年龄即可。
【解析】
1. 计算总人数：将各年龄的人数相加，总人数为 $ 3+4+7+2+2=18 $ 人。
2. 计算百分位数对应位置：$ 18×75\%=13.5 $。
3. 确定对应数据位置：因为13.5不是整数，根据百分位数的计算规则，第75百分位数为将数据从小到大排序后第14个数据。
4. 累计各年龄人数找对应数据：11岁共3人，覆盖排序第1~3位；12岁共4人，覆盖排序第4~7位；13岁共7人，覆盖排序第8~14位。因此第14个数据对应的年龄是13岁。
【答案】
C
【知识点】
百分位数计算，频数分布表，数据排序
【点评】
本题核心考查百分位数的计算方法，解题时要注意位置值为非整数时，需取大于该值的最小整数对应的数据，同时累计频数时要按从小到大的顺序统计，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
6. (2024·宜宾)如图，AB是$\odot O$的直径，若$∠ CDB=60°$，则$∠ ABC$的度数等于（
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
A
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
答案
6.A
解析
【分析】
解题时先回忆圆周角相关性质：①同弧所对的圆周角相等；②直径所对的圆周角是直角。首先找和已知角∠CDB同弧的圆周角，得到∠CAB的度数，再利用直径的性质得到△ACB是直角三角形，最后根据直角三角形两锐角互余即可求出∠ABC的度数。
【解析】
∵ 弧BC所对的圆周角为∠CDB和∠CAB，根据同弧所对的圆周角相等，
∴ ∠CAB=∠CDB=60°，
∵ AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，
∴ ∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，∠ABC+∠CAB=90°，
∴ ∠ABC=90°-60°=30°。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
同弧所对圆周角相等；直径所对圆周角为直角；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆的性质基础应用题，解题的核心是熟练运用圆周角相关定理找到已知角和待求角的关系，结合三角形内角和性质计算，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆圆周角相关性质：①同弧所对的圆周角相等；②直径所对的圆周角是直角。首先找和已知角∠CDB同弧的圆周角，得到∠CAB的度数，再利用直径的性质得到△ACB是直角三角形，最后根据直角三角形两锐角互余即可求出∠ABC的度数。
【解析】
∵ 弧BC所对的圆周角为∠CDB和∠CAB，根据同弧所对的圆周角相等，
∴ ∠CAB=∠CDB=60°，
∵ AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，
∴ ∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，∠ABC+∠CAB=90°，
∴ ∠ABC=90°-60°=30°。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
同弧所对圆周角相等；直径所对圆周角为直角；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆的性质基础应用题，解题的核心是熟练运用圆周角相关定理找到已知角和待求角的关系，结合三角形内角和性质计算，难度较低。
【难度系数】
0.8
7. 某气球内充满了一定质量m的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m³）的反比例函数：$p=\frac{m}{V}$，能够反映两个变量p和V函数关系的图象是（
B
）答案
7.B
解析
【分析】
解题时需要结合函数类型和实际意义两步分析：首先明确气压p和气体体积V的实际含义，二者都不可能为负数，因此函数图象只能出现在第一象限；其次题目明确p是V的反比例函数，反比例函数的图象是双曲线，不是直线，结合这两个特征逐一排除不符合的选项即可。
【解析】
解：由实际意义可知，气体体积$V＞0$，气压$p＞0$，因此函数图象只能位于第一象限，选项A包含第三象限的图象，不符合实际要求，排除A；
已知$p=\frac{m}{V}$（m为气体质量，是正数）属于反比例函数，反比例函数的图象为双曲线，选项C、D的图象是直线，属于一次函数的图象，和反比例函数图象特征不符，排除C、D；
只有选项B是第一象限内的反比例函数图象，符合要求。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查反比例函数的图象，解题时要先结合实际意义确定自变量和函数值的取值范围，再匹配对应函数的图象特征，避免忽略实际限制选错答案。
【难度系数】
0.8
解题时需要结合函数类型和实际意义两步分析：首先明确气压p和气体体积V的实际含义，二者都不可能为负数，因此函数图象只能出现在第一象限；其次题目明确p是V的反比例函数，反比例函数的图象是双曲线，不是直线，结合这两个特征逐一排除不符合的选项即可。
【解析】
解：由实际意义可知，气体体积$V＞0$，气压$p＞0$，因此函数图象只能位于第一象限，选项A包含第三象限的图象，不符合实际要求，排除A；
已知$p=\frac{m}{V}$（m为气体质量，是正数）属于反比例函数，反比例函数的图象为双曲线，选项C、D的图象是直线，属于一次函数的图象，和反比例函数图象特征不符，排除C、D；
只有选项B是第一象限内的反比例函数图象，符合要求。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查反比例函数的图象，解题时要先结合实际意义确定自变量和函数值的取值范围，再匹配对应函数的图象特征，避免忽略实际限制选错答案。
【难度系数】
0.8
8. (2024·广州)如图,圆锥的侧面展开图是一个圆心角为$72°$的扇形,若扇形的半径$l$是5,则该圆锥的体积是 (
A.$\dfrac{3\sqrt{11}}{8}π$
B.$\dfrac{\sqrt{11}}{8}π$
C.$2\sqrt{6}π$
D.$\dfrac{2\sqrt{6}}{3}π$
D
) A.$\dfrac{3\sqrt{11}}{8}π$
B.$\dfrac{\sqrt{11}}{8}π$
C.$2\sqrt{6}π$
D.$\dfrac{2\sqrt{6}}{3}π$
答案
8.D
解析
【分析】
解题需按三步推进：第一步，明确圆锥侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，先根据已知扇形的圆心角和半径算出弧长，再推导底面圆半径；第二步，圆锥的母线长等于扇形半径，圆锥的高、底面半径、母线长构成直角三角形，借助勾股定理求出圆锥的高；第三步，代入圆锥体积公式计算得到最终结果。
【解析】
1. 计算扇形弧长：扇形弧长公式为$L=\frac{nπ l}{180}$，其中圆心角$n=72°$，扇形半径$l=5$，代入得：
$L=\frac{72π × 5}{180}=2π$
2. 求圆锥底面半径：扇形弧长等于圆锥底面圆周长，设底面半径为$r$，则$2π r=2π$，解得$r=1$。
3. 求圆锥的高：圆锥母线长等于扇形半径5，由勾股定理得高$h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{5^2-1^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$。
4. 计算圆锥体积：圆锥体积公式为$V=\frac{1}{3}π r^2 h$，代入$r=1$、$h=2\sqrt{6}$得：
$V=\frac{1}{3}π × 1^2 × 2\sqrt{6}=\frac{2\sqrt{6}}{3}π$
【答案】
D
【知识点】
圆锥的计算，弧长计算，勾股定理
【点评】
本题是圆锥与扇形结合的基础综合题，解题核心是理清圆锥侧面展开扇形与圆锥各参数的对应关系，熟记相关公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题需按三步推进：第一步，明确圆锥侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，先根据已知扇形的圆心角和半径算出弧长，再推导底面圆半径；第二步，圆锥的母线长等于扇形半径，圆锥的高、底面半径、母线长构成直角三角形，借助勾股定理求出圆锥的高；第三步，代入圆锥体积公式计算得到最终结果。
【解析】
1. 计算扇形弧长：扇形弧长公式为$L=\frac{nπ l}{180}$，其中圆心角$n=72°$，扇形半径$l=5$，代入得：
$L=\frac{72π × 5}{180}=2π$
2. 求圆锥底面半径：扇形弧长等于圆锥底面圆周长，设底面半径为$r$，则$2π r=2π$，解得$r=1$。
3. 求圆锥的高：圆锥母线长等于扇形半径5，由勾股定理得高$h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{5^2-1^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$。
4. 计算圆锥体积：圆锥体积公式为$V=\frac{1}{3}π r^2 h$，代入$r=1$、$h=2\sqrt{6}$得：
$V=\frac{1}{3}π × 1^2 × 2\sqrt{6}=\frac{2\sqrt{6}}{3}π$
【答案】
D
【知识点】
圆锥的计算，弧长计算，勾股定理
【点评】
本题是圆锥与扇形结合的基础综合题，解题核心是理清圆锥侧面展开扇形与圆锥各参数的对应关系，熟记相关公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
