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25. (12分)如图，$\odot O$为$△ ABC$的外接圆，$AC=BC$，$D$为$OC$与$AB$的交点，$E$为线段$OC$延长线上一点，且$∠ EAC=∠ ABC$。
(1) 求证：直线$AE$是$\odot O$的切线；
(2) 若$CD=6$，$AB=16$，求$\odot O$的半径；
(3) 在(2)的基础上，点$F$在$\odot O$上，且$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BF}$，$△ ACF$的内心点$G$在$AB$边上，求$BG$的长。
(1) 求证：直线$AE$是$\odot O$的切线；
(2) 若$CD=6$，$AB=16$，求$\odot O$的半径；
(3) 在(2)的基础上，点$F$在$\odot O$上，且$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BF}$，$△ ACF$的内心点$G$在$AB$边上，求$BG$的长。
答案
25. (1) 如图1，连接AO，OB，
∵AC=CB，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴∠AOC=∠BOC。
∵OA=OB，
∴OC⊥AB，
∴∠ACD=∠BCD，∠ABC+∠BCD=90°。
∵OA=OC，
∴∠ACD=∠OAC，
∴∠OAC=∠BCD。
∵∠EAC=∠ABC，
∴∠EAC+∠OAC=90°，
∴∠OAE=90°，
∴半径OA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线；
(2) 如图1，由(1)得：OC⊥AB，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=8，在Rt△AOD中，OD=OC-CD=OA-6，AD=8，
∴OA²-OD²=AD²，
∴OA²-(OA-6)²=8²，
∴OA=$\frac{25}{3}$，即⊙O的半径是$\frac{25}{3}$；
(3) 解：如图2，连接CG，在Rt△ACD中，AC=$\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$，
∴AC=BC=10。
∵点G是△ACF的内心，
∴∠ACG=∠FCG。
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BF}$，
∴∠BCF=∠BAC，又
∵∠BGC=∠BAC+∠ACG，∠BCG=∠FCG+∠BCF，
∴∠BGC=∠BCG，
∴BG=BC=10。
解析
【分析】
(1) 证明切线的常规思路是连接半径，证明半径与直线垂直，因此先连接OA，利用AC=BC得到弧相等，进而推出OC⊥AB，再通过角的等量代换证明∠OAE=90°即可；(2) 求半径可利用垂径定理得到AD的长，设半径为r，用含r的式子表示OD，在Rt△AOD中利用勾股定理列方程求解；(3) 先由勾股定理求出AC即BC的长度，再结合三角形内心平分内角、等弧对等圆周角的性质，通过角的等量代换证明∠BGC=∠BCG，即可得到BG=BC，求出BG的长。
【解析】
(1) 证明：如图1，连接AO，OB，
∵AC=CB，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴∠AOC=∠BOC。
∵OA=OB，
∴OC⊥AB，
∴∠ACD=∠BCD，∠ABC+∠BCD=90°。
∵OA=OC，
∴∠ACD=∠OAC，
∴∠OAC=∠BCD。
∵∠EAC=∠ABC，
∴∠EAC+∠OAC=90°，即∠OAE=90°，
∴半径OA⊥AE，
∴AE是$\odot O$的切线。
(2) 解：如图1，由(1)得OC⊥AB，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=8，
设$\odot O$的半径为r，则OA=r，OD=OC-CD=r-6，
在Rt△AOD中，根据勾股定理可得：$OA^2-OD^2=AD^2$，
代入得$r^2-(r-6)^2=8^2$，
解得$r=\frac{25}{3}$，即$\odot O$的半径是$\frac{25}{3}$。
(3) 解：如图2，连接CG，
在Rt△ACD中，$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$，
∴AC=BC=10。
∵点G是△ACF的内心，
∴∠ACG=∠FCG。
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BF}$，
∴∠BCF=∠BAC，
又
∵∠BGC=∠BAC+∠ACG，∠BCG=∠FCG+∠BCF，
∴∠BGC=∠BCG，
∴BG=BC=10。
【答案】
(1) 直线AE是$\odot O$的切线，证明成立；
(2) $\odot O$的半径为$\frac{25}{3}$；
(3) $BG$的长为10。
【知识点】
切线的判定；垂径定理；三角形内心的性质
【点评】
本题为圆的综合题，融合了等腰三角形性质、勾股定理、圆周角定理等多个知识点，前两问侧重基础定理的直接应用，第三问需要通过角的等量代换推导等腰三角形，对逻辑推理能力有一定考查，是圆类综合题的常见题型。
【难度系数】
0.6
(1) 证明切线的常规思路是连接半径，证明半径与直线垂直，因此先连接OA，利用AC=BC得到弧相等，进而推出OC⊥AB，再通过角的等量代换证明∠OAE=90°即可；(2) 求半径可利用垂径定理得到AD的长，设半径为r，用含r的式子表示OD，在Rt△AOD中利用勾股定理列方程求解；(3) 先由勾股定理求出AC即BC的长度，再结合三角形内心平分内角、等弧对等圆周角的性质，通过角的等量代换证明∠BGC=∠BCG，即可得到BG=BC，求出BG的长。
【解析】
(1) 证明：如图1，连接AO，OB，
∵AC=CB，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴∠AOC=∠BOC。
∵OA=OB，
∴OC⊥AB，
∴∠ACD=∠BCD，∠ABC+∠BCD=90°。
∵OA=OC，
∴∠ACD=∠OAC，
∴∠OAC=∠BCD。
∵∠EAC=∠ABC，
∴∠EAC+∠OAC=90°，即∠OAE=90°，
∴半径OA⊥AE，
∴AE是$\odot O$的切线。
(2) 解：如图1，由(1)得OC⊥AB，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=8，
设$\odot O$的半径为r，则OA=r，OD=OC-CD=r-6，
在Rt△AOD中，根据勾股定理可得：$OA^2-OD^2=AD^2$，
代入得$r^2-(r-6)^2=8^2$，
解得$r=\frac{25}{3}$，即$\odot O$的半径是$\frac{25}{3}$。
(3) 解：如图2，连接CG，
在Rt△ACD中，$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$，
∴AC=BC=10。
∵点G是△ACF的内心，
∴∠ACG=∠FCG。
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BF}$，
∴∠BCF=∠BAC，
又
∵∠BGC=∠BAC+∠ACG，∠BCG=∠FCG+∠BCF，
∴∠BGC=∠BCG，
∴BG=BC=10。
【答案】
(1) 直线AE是$\odot O$的切线，证明成立；
(2) $\odot O$的半径为$\frac{25}{3}$；
(3) $BG$的长为10。
【知识点】
切线的判定；垂径定理；三角形内心的性质
【点评】
本题为圆的综合题，融合了等腰三角形性质、勾股定理、圆周角定理等多个知识点，前两问侧重基础定理的直接应用，第三问需要通过角的等量代换推导等腰三角形，对逻辑推理能力有一定考查，是圆类综合题的常见题型。
【难度系数】
0.6
26. (14分)如图,在△ABC中,D在边AC上,圆O为锐角△BCD的外接圆,连接CO并延长交AB于点E.
(1)如图1,若∠DBC=α,请用含α的代数式表示∠DCE;
(2)如图2,作BF⊥AC,垂足为F,BF与CE交于点G,已知∠ABD=∠CBF.
① 求证:EB=EG;
② 若CE=5,AC=8,求FG+FB的值.
(1)如图1,若∠DBC=α,请用含α的代数式表示∠DCE;
(2)如图2,作BF⊥AC,垂足为F,BF与CE交于点G,已知∠ABD=∠CBF.
① 求证:EB=EG;
② 若CE=5,AC=8,求FG+FB的值.
答案
26. (1) 如图1，连接OD，
∵∠DOC=2∠DBC=2α，又
∵OD=OC，
∴∠DCE=90°-α；
(2) ①
∵∠ABD=∠CBF，
∴∠EBG=∠ABD+∠DBF=∠CBF+∠DBF=∠DBC，设∠DBC=α，由(1)得：∠DCE=90°-α，
∵BF⊥AC，
∴∠FGC=∠BGE=α，
∴∠EBG=∠EGB，
∴EB=EG；
② 如图2，作EM⊥BF于点M，EN⊥AC于点N，由①得：∠EBG=α，∠ACE=90°-α，
∵BF⊥AC，
∴∠A=90°-α，
∴AE=CE=5。
∵EN⊥AC，AC=8，
∴CN=4，
∴EN=3。
∵EM⊥BF，NF⊥BF，EN⊥AC，
∴四边形EMFN为矩形，
∴EN=MF=3。
∵EB=EG，EM⊥BG，
∴BM=GM，
∴FG+FB=FM-MG+FM+BM=2FM=6。
解析
【分析】
(1) 求∠DCE的度数时，利用圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，连接OD构造弧DC对应的圆心角∠DOC，可得∠DOC=2α；再结合OD、OC是半径，△ODC为等腰三角形，利用三角形内角和即可求出∠DCE的度数。
(2) ① 要证EB=EG，只需证明∠EBG=∠EGB：结合已知∠ABD=∠CBF，可推得∠EBG=∠DBC=α；再由BF⊥AC可得∠FGC与∠DCE互余，结合(1)的结论得∠FGC=α，而∠FGC与∠EGB是对顶角，即可证得两角相等，得到等腰三角形。
② 求FG+FB的值时，作EM⊥BF、EN⊥AC：先推导∠A=∠ACE，得△AEC为等腰三角形，结合已知线段长用勾股定理求出EN的长度；再证明四边形EMFN是矩形，得EN=MF；最后利用等腰三角形三线合一得BM=MG，将FB和FG拆分后求和，抵消相同项即可得到结果。
【解析】
(1) 如图1，连接OD，
∵ 同弧DC所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ ∠DOC=2∠DBC=2α，
又
∵ OD=OC（圆O的半径相等），
∴ △ODC为等腰三角形，
∴ $∠ DCE=\frac{180°-∠ DOC}{2}=\frac{180°-2α}{2}=90°-α$。
(2) ① 证明：
∵ ∠ABD=∠CBF，
∴ ∠EBG=∠ABD+∠DBF=∠CBF+∠DBF=∠DBC，
设∠DBC=α，由(1)的结论可知∠DCE=90°-α，
∵ BF⊥AC，
∴ 在Rt△GFC中，∠FGC+∠DCE=90°，
∴ ∠FGC=90°-(90°-α)=α，
∵ ∠BGE与∠FGC是对顶角，
∴ ∠BGE=∠FGC=α，
∴ ∠EBG=∠EGB，
∴ EB=EG。
② 解：如图2，作EM⊥BF于点M，EN⊥AC于点N，
由①得∠EBG=α，∠ACE=90°-α，
∵ BF⊥AC，
∴ 在Rt△ABF中，∠A+∠ABF=90°，即∠A+α=90°，
∴ ∠A=90°-α=∠ACE，
∴ AE=CE=5，
∵ EN⊥AC，△AEC为等腰三角形，由三线合一得：
$CN=\frac{AC}{2}=\frac{8}{2}=4$，
在Rt△ENC中，由勾股定理得$EN=\sqrt{CE^2-CN^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
∵ EM⊥BF，NF⊥BF，EN⊥AC，
∴ ∠ENF=∠NFM=∠EMF=90°，四边形EMFN为矩形，
∴ EN=MF=3，
∵ EB=EG，EM⊥BG，由等腰三角形三线合一得BM=GM，
∴ FG+FB=(FM-MG)+(FM+BM)=2FM=2×3=6。
【答案】
26. (1) 如图1，连接OD，
∵∠DOC=2∠DBC=2α，又
∵OD=OC，
∴∠DCE=90°-α；
(2) ①
∵∠ABD=∠CBF，
∴∠EBG=∠ABD+∠DBF=∠CBF+∠DBF=∠DBC，设∠DBC=α，由(1)得：∠DCE=90°-α，
∵BF⊥AC，
∴∠FGC=∠BGE=α，
∴∠EBG=∠EGB，
∴EB=EG；
② 如图2，作EM⊥BF于点M，EN⊥AC于点N，由①得：∠EBG=α，∠ACE=90°-α，
∵BF⊥AC，
∴∠A=90°-α，
∴AE=CE=5。
∵EN⊥AC，AC=8，
∴CN=4，
∴EN=3。
∵EM⊥BF，NF⊥BF，EN⊥AC，
∴四边形EMFN为矩形，
∴EN=MF=3。
∵EB=EG，EM⊥BG，
∴BM=GM，
∴FG+FB=FM-MG+FM+BM=2FM=6。
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质
【点评】
本题为几何综合题，综合考查了圆、三角形、矩形的相关性质，解题的关键是合理构造辅助线，灵活转化角与线段的关系，对几何逻辑推理能力和综合运用知识的能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
(1) 求∠DCE的度数时，利用圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，连接OD构造弧DC对应的圆心角∠DOC，可得∠DOC=2α；再结合OD、OC是半径，△ODC为等腰三角形，利用三角形内角和即可求出∠DCE的度数。
(2) ① 要证EB=EG，只需证明∠EBG=∠EGB：结合已知∠ABD=∠CBF，可推得∠EBG=∠DBC=α；再由BF⊥AC可得∠FGC与∠DCE互余，结合(1)的结论得∠FGC=α，而∠FGC与∠EGB是对顶角，即可证得两角相等，得到等腰三角形。
② 求FG+FB的值时，作EM⊥BF、EN⊥AC：先推导∠A=∠ACE，得△AEC为等腰三角形，结合已知线段长用勾股定理求出EN的长度；再证明四边形EMFN是矩形，得EN=MF；最后利用等腰三角形三线合一得BM=MG，将FB和FG拆分后求和，抵消相同项即可得到结果。
【解析】
(1) 如图1，连接OD，
∵ 同弧DC所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ ∠DOC=2∠DBC=2α，
又
∵ OD=OC（圆O的半径相等），
∴ △ODC为等腰三角形，
∴ $∠ DCE=\frac{180°-∠ DOC}{2}=\frac{180°-2α}{2}=90°-α$。
(2) ① 证明：
∵ ∠ABD=∠CBF，
∴ ∠EBG=∠ABD+∠DBF=∠CBF+∠DBF=∠DBC，
设∠DBC=α，由(1)的结论可知∠DCE=90°-α，
∵ BF⊥AC，
∴ 在Rt△GFC中，∠FGC+∠DCE=90°，
∴ ∠FGC=90°-(90°-α)=α，
∵ ∠BGE与∠FGC是对顶角，
∴ ∠BGE=∠FGC=α，
∴ ∠EBG=∠EGB，
∴ EB=EG。
② 解：如图2，作EM⊥BF于点M，EN⊥AC于点N，
由①得∠EBG=α，∠ACE=90°-α，
∵ BF⊥AC，
∴ 在Rt△ABF中，∠A+∠ABF=90°，即∠A+α=90°，
∴ ∠A=90°-α=∠ACE，
∴ AE=CE=5，
∵ EN⊥AC，△AEC为等腰三角形，由三线合一得：
$CN=\frac{AC}{2}=\frac{8}{2}=4$，
在Rt△ENC中，由勾股定理得$EN=\sqrt{CE^2-CN^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
∵ EM⊥BF，NF⊥BF，EN⊥AC，
∴ ∠ENF=∠NFM=∠EMF=90°，四边形EMFN为矩形，
∴ EN=MF=3，
∵ EB=EG，EM⊥BG，由等腰三角形三线合一得BM=GM，
∴ FG+FB=(FM-MG)+(FM+BM)=2FM=2×3=6。
【答案】
26. (1) 如图1，连接OD，
∵∠DOC=2∠DBC=2α，又
∵OD=OC，
∴∠DCE=90°-α；
(2) ①
∵∠ABD=∠CBF，
∴∠EBG=∠ABD+∠DBF=∠CBF+∠DBF=∠DBC，设∠DBC=α，由(1)得：∠DCE=90°-α，
∵BF⊥AC，
∴∠FGC=∠BGE=α，
∴∠EBG=∠EGB，
∴EB=EG；
② 如图2，作EM⊥BF于点M，EN⊥AC于点N，由①得：∠EBG=α，∠ACE=90°-α，
∵BF⊥AC，
∴∠A=90°-α，
∴AE=CE=5。
∵EN⊥AC，AC=8，
∴CN=4，
∴EN=3。
∵EM⊥BF，NF⊥BF，EN⊥AC，
∴四边形EMFN为矩形，
∴EN=MF=3。
∵EB=EG，EM⊥BG，
∴BM=GM，
∴FG+FB=FM-MG+FM+BM=2FM=6。
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质
【点评】
本题为几何综合题，综合考查了圆、三角形、矩形的相关性质，解题的关键是合理构造辅助线，灵活转化角与线段的关系，对几何逻辑推理能力和综合运用知识的能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
27.（14分）如图，点$M(0,m)$为$y$轴上一点，$m＜0$，过点$M$作$y$轴的垂线$l$，与反比例函数$y=\dfrac{1}{x}$的图象交于点$P$。把直线$l$下方反比例函数的图象沿着直线$l$翻折，其他部分保持不变，所形成的新图象称为“$G$图象”。
（1）当$m=-1$时，求“$G$图象”与$x$轴交点横坐标；
（2）过$y$轴上另一点$N(0,n)$作$y$轴垂线，与“$G$图象”交于点$A$，$B$。
①若$n=2$，且$AN=2BN$，求$m$的值；
②若$AN=2BN$，求$m$与$n$的数量关系。
（1）当$m=-1$时，求“$G$图象”与$x$轴交点横坐标；
（2）过$y$轴上另一点$N(0,n)$作$y$轴垂线，与“$G$图象”交于点$A$，$B$。
①若$n=2$，且$AN=2BN$，求$m$的值；
②若$AN=2BN$，求$m$与$n$的数量关系。
答案
27. (1) 当m=-1时，M(0,-1)，
∵“G图象”与x轴交点纵坐标为0，则它关于过M的直线的对称点的纵坐标为-2，
∴把y=-2代入$y=\frac{1}{x}$得出，$x=-\frac{1}{2}$，
∴“G图象”与x轴交点横坐标为$-\frac{1}{2}$；
(2) ① 由题知，N(0,2)，点A和点B的纵坐标都是2，当点A在y轴的右侧，点B在y轴的左侧时，如图1，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴点A的横坐标为$\frac{1}{2}$，则$A(\frac{1}{2},2)$，
∴AN=$\frac{1}{2}$。
∵AN=2BN，
∴点B的横坐标为$-\frac{1}{4}$，则$B(-\frac{1}{4},2)$。根据题知，点B关于y=m的对称点B'的坐标为$(-\frac{1}{4},m-(2-m))$，且点B'在反比例函数图象上，
∴$-\frac{1}{4}×(2m-2)=1$。解得，m=-1。当点A在y轴的左侧，点B在y轴的右侧时，如图2，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴点B的横坐标为$\frac{1}{2}$，则$B(\frac{1}{2},2)$，
∴BN=$\frac{1}{2}$。
∵AN=2BN，设点A的横坐标为-1，则A(-1,2)，根据题知，点A关于y=m的对称点A'(-1,m-(2-m))，且点A'在反比例函数图象上，
∴$-1×(2m-2)=1$。解得，$m=\frac{1}{2}＞0$，与题中的m＜0的条件矛盾，
∴不符合题意，舍去。综上所得，m的值为-1。
② 由题知，N(0,n)，点A和点B的纵坐标都是n，当n＞0时，点A在y轴的右侧，点B在y轴的左侧时，如图3，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴点A的横坐标为$\frac{1}{n}$，则$A(\frac{1}{n},n)$，
∴AN=$\frac{1}{n}$。
∵AN=2BN，
∴点B的横坐标为$-\frac{1}{2n}$，则$B(-\frac{1}{2n},n)$。根据题知，点B关于y=m的对称点$B'(-\frac{1}{2n},m-(n-m))$，且点B'在反比例函数图象上，
∴$-\frac{1}{2n}(2m-n)=1$。解得，$m=-\frac{1}{2}n$。当点A在y轴的左侧，点B在y轴的右侧时，如图4，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴点B的横坐标为$\frac{1}{n}$，则$B(\frac{1}{n},n)$，
∴BN=$\frac{1}{n}$。
∵AN=2BN，
∴点A的横坐标为$-\frac{2}{n}$，则$A(-\frac{2}{n},n)$。根据题知，点A关于y=m的对称点$A'(-\frac{2}{n},m-(n-m))$，且点A'在反比例函数图象上，
∴$-\frac{2}{n}·(2m-n)=1$。解得，$m=\frac{1}{4}n$，
∵n＞0，
∴m＞0，这与题中的m＜0的条件矛盾。
∴不符合题意，舍去。当m＜n＜0时，点A和点B在第三象限，如图5，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴点A的横坐标为$\frac{1}{n}$，则$A(\frac{1}{n},n)$。
∵n＜0，
∴AN=$-\frac{1}{n}$。
∵AN=2BN，
∴点B的横坐标为$\frac{1}{2n}$，则$B(\frac{1}{2n},n)$。根据题知，点B关于y=m的对称点$B'(\frac{1}{2n},m-(n-m))$，且点B'在反比例函数图象上，
∴$\frac{1}{2n}(2m-n)=1$，解得，$m=\frac{3}{2}n$。综上所得，m与n的数量关系为$m=-\frac{1}{2}n$或$m=\frac{3}{2}n$。
解析
【分析】
（1）根据翻折的性质，翻折后“G图象”上的点与原反比例函数上的对应点关于直线$l$（即$y=m$）对称。要求“G图象”与x轴交点的横坐标，先确定该交点关于直线$y=m$的对称点的纵坐标，代入原反比例函数$y=\frac{1}{x}$求解即可。
（2）①过点$N(0,n)$的水平线与“G图象”交于A、B两点，两点纵坐标均为$n$，分两种情况讨论：第一种是y轴右侧点为原反比例函数上的点，左侧为翻折后得到的点；第二种是y轴右侧为翻折后得到的点，左侧为原反比例函数上的点。结合$AN=2BN$的线段长度关系确定两点横坐标，再根据翻折的对称点在原反比例函数图象上列方程求解，最后结合$m＜0$的条件舍去不符合的解。
②在①的基础上新增$m＜n＜0$的情况，此时两个交点均在第三象限，同样利用翻折对称的坐标规律和$AN=2BN$的关系列方程求解，排除不符合$m＜0$的结果，最终得到$m$和$n$的数量关系。
【解析】
(1) 当$m=-1$时，$M(0,-1)$，
∵“G图象”与x轴交点纵坐标为0，则它关于过M的直线的对称点的纵坐标为-2，
∴把$y=-2$代入$y=\frac{1}{x}$得出，$x=-\frac{1}{2}$，
∴“G图象”与x轴交点横坐标为$-\frac{1}{2}$；
(2) ① 由题知，$N(0,2)$，点A和点B的纵坐标都是2，当点A在y轴的右侧，点B在y轴的左侧时，如图1，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴点A的横坐标为$\frac{1}{2}$，则$A(\frac{1}{2},2)$，
∴$AN=\frac{1}{2}$。
∵$AN=2BN$，
∴点B的横坐标为$-\frac{1}{4}$，则$B(-\frac{1}{4},2)$。根据题知，点B关于$y=m$的对称点$B'$的坐标为$(-\frac{1}{4},m-(2-m))$，且点$B'$在反比例函数图象上，
∴$-\frac{1}{4}×(2m-2)=1$。解得，$m=-1$。
当点A在y轴的左侧，点B在y轴的右侧时，如图2，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴点B的横坐标为$\frac{1}{2}$，则$B(\frac{1}{2},2)$，
∴$BN=\frac{1}{2}$。
∵$AN=2BN$，设点A的横坐标为-1，则$A(-1,2)$，根据题知，点A关于$y=m$的对称点$A'(-1,m-(2-m))$，且点$A'$在反比例函数图象上，
∴$-1×(2m-2)=1$。解得，$m=\frac{1}{2}＞0$，与题中的$m＜0$的条件矛盾，
∴不符合题意，舍去。
综上所得，m的值为-1。
② 由题知，$N(0,n)$，点A和点B的纵坐标都是n，
当$n＞0$时，点A在y轴的右侧，点B在y轴的左侧时，如图3，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴点A的横坐标为$\frac{1}{n}$，则$A(\frac{1}{n},n)$，
∴$AN=\frac{1}{n}$。
∵$AN=2BN$，
∴点B的横坐标为$-\frac{1}{2n}$，则$B(-\frac{1}{2n},n)$。根据题知，点B关于$y=m$的对称点$B'(-\frac{1}{2n},m-(n-m))$，且点$B'$在反比例函数图象上，
∴$-\frac{1}{2n}(2m-n)=1$。解得，$m=-\frac{1}{2}n$。
当点A在y轴的左侧，点B在y轴的右侧时，如图4，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴点B的横坐标为$\frac{1}{n}$，则$B(\frac{1}{n},n)$，
∴$BN=\frac{1}{n}$。
∵$AN=2BN$，
∴点A的横坐标为$-\frac{2}{n}$，则$A(-\frac{2}{n},n)$。根据题知，点A关于$y=m$的对称点$A'(-\frac{2}{n},m-(n-m))$，且点$A'$在反比例函数图象上，
∴$-\frac{2}{n}·(2m-n)=1$。解得，$m=\frac{1}{4}n$，
∵$n＞0$，
∴$m＞0$，这与题中的$m＜0$的条件矛盾。
∴不符合题意，舍去。
当$m＜n＜0$时，点A和点B在第三象限，如图5，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴点A的横坐标为$\frac{1}{n}$，则$A(\frac{1}{n},n)$。
∵$n＜0$，
∴$AN=-\frac{1}{n}$。
∵$AN=2BN$，
∴点B的横坐标为$\frac{1}{2n}$，则$B(\frac{1}{2n},n)$。根据题知，点B关于$y=m$的对称点$B'(\frac{1}{2n},m-(n-m))$，且点$B'$在反比例函数图象上，
∴$\frac{1}{2n}(2m-n)=1$，解得，$m=\frac{3}{2}n$。
综上所得，m与n的数量关系为$m=-\frac{1}{2}n$或$m=\frac{3}{2}n$。
【答案】
27. (1) 当$m=-1$时，$M(0,-1)$，
∵“G图象”与x轴交点纵坐标为0，则它关于过M的直线的对称点的纵坐标为-2，
∴把$y=-2$代入$y=\frac{1}{x}$得出，$x=-\frac{1}{2}$，
∴“G图象”与x轴交点横坐标为$-\frac{1}{2}$；
(2) ① 由题知，$N(0,2)$，点A和点B的纵坐标都是2，当点A在y轴的右侧，点B在y轴的左侧时，如图1，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴点A的横坐标为$\frac{1}{2}$，则$A(\frac{1}{2},2)$，
∴$AN=\frac{1}{2}$。
∵$AN=2BN$，
∴点B的横坐标为$-\frac{1}{4}$，则$B(-\frac{1}{4},2)$。根据题知，点B关于$y=m$的对称点$B'$的坐标为$(-\frac{1}{4},m-(2-m))$，且点$B'$在反比例函数图象上，
∴$-\frac{1}{4}×(2m-2)=1$。解得，$m=-1$。当点A在y轴的左侧，点B在y轴的右侧时，如图2，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴点B的横坐标为$\frac{1}{2}$，则$B(\frac{1}{2},2)$，
∴$BN=\frac{1}{2}$。
∵$AN=2BN$，设点A的横坐标为-1，则$A(-1,2)$，根据题知，点A关于$y=m$的对称点$A'(-1,m-(2-m))$，且点$A'$在反比例函数图象上，
∴$-1×(2m-2)=1$。解得，$m=\frac{1}{2}＞0$，与题中的$m＜0$的条件矛盾，
∴不符合题意，舍去。综上所得，m的值为-1。
② 由题知，$N(0,n)$，点A和点B的纵坐标都是n，当$n＞0$时，点A在y轴的右侧，点B在y轴的左侧时，如图3，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴点A的横坐标为$\frac{1}{n}$，则$A(\frac{1}{n},n)$，
∴$AN=\frac{1}{n}$。
∵$AN=2BN$，
∴点B的横坐标为$-\frac{1}{2n}$，则$B(-\frac{1}{2n},n)$。根据题知，点B关于$y=m$的对称点$B'(-\frac{1}{2n},m-(n-m))$，且点$B'$在反比例函数图象上，
∴$-\frac{1}{2n}(2m-n)=1$。解得，$m=-\frac{1}{2}n$。当点A在y轴的左侧，点B在y轴的右侧时，如图4，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴点B的横坐标为$\frac{1}{n}$，则$B(\frac{1}{n},n)$，
∴$BN=\frac{1}{n}$。
∵$AN=2BN$，
∴点A的横坐标为$-\frac{2}{n}$，则$A(-\frac{2}{n},n)$。根据题知，点A关于$y=m$的对称点$A'(-\frac{2}{n},m-(n-m))$，且点$A'$在反比例函数图象上，
∴$-\frac{2}{n}·(2m-n)=1$。解得，$m=\frac{1}{4}n$，
∵$n＞0$，
∴$m＞0$，这与题中的$m＜0$的条件矛盾。
∴不符合题意，舍去。当$m＜n＜0$时，点A和点B在第三象限，如图5，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴点A的横坐标为$\frac{1}{n}$，则$A(\frac{1}{n},n)$。
∵$n＜0$，
∴$AN=-\frac{1}{n}$。
∵$AN=2BN$，
∴点B的横坐标为$\frac{1}{2n}$，则$B(\frac{1}{2n},n)$。根据题知，点B关于$y=m$的对称点$B'(\frac{1}{2n},m-(n-m))$，且点$B'$在反比例函数图象上，
∴$\frac{1}{2n}(2m-n)=1$，解得，$m=\frac{3}{2}n$。综上所得，m与n的数量关系为$m=-\frac{1}{2}n$或$m=\frac{3}{2}n$。
【知识点】
反比例函数的性质，翻折变换的性质，坐标与图形变化
【点评】
本题综合考查反比例函数与图形翻折的相关知识，需要熟练掌握翻折前后对应点的坐标变化规律，解题时要注意结合分类讨论思想，同时关注题目中$m＜0$的限制条件，避免出现多解、漏解的问题，对综合运用知识解决问题的能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
（1）根据翻折的性质，翻折后“G图象”上的点与原反比例函数上的对应点关于直线$l$（即$y=m$）对称。要求“G图象”与x轴交点的横坐标，先确定该交点关于直线$y=m$的对称点的纵坐标，代入原反比例函数$y=\frac{1}{x}$求解即可。
（2）①过点$N(0,n)$的水平线与“G图象”交于A、B两点，两点纵坐标均为$n$，分两种情况讨论：第一种是y轴右侧点为原反比例函数上的点，左侧为翻折后得到的点；第二种是y轴右侧为翻折后得到的点，左侧为原反比例函数上的点。结合$AN=2BN$的线段长度关系确定两点横坐标，再根据翻折的对称点在原反比例函数图象上列方程求解，最后结合$m＜0$的条件舍去不符合的解。
②在①的基础上新增$m＜n＜0$的情况，此时两个交点均在第三象限，同样利用翻折对称的坐标规律和$AN=2BN$的关系列方程求解，排除不符合$m＜0$的结果，最终得到$m$和$n$的数量关系。
【解析】
(1) 当$m=-1$时，$M(0,-1)$，
∵“G图象”与x轴交点纵坐标为0，则它关于过M的直线的对称点的纵坐标为-2，
∴把$y=-2$代入$y=\frac{1}{x}$得出，$x=-\frac{1}{2}$，
∴“G图象”与x轴交点横坐标为$-\frac{1}{2}$；
(2) ① 由题知，$N(0,2)$，点A和点B的纵坐标都是2，当点A在y轴的右侧，点B在y轴的左侧时，如图1，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴点A的横坐标为$\frac{1}{2}$，则$A(\frac{1}{2},2)$，
∴$AN=\frac{1}{2}$。
∵$AN=2BN$，
∴点B的横坐标为$-\frac{1}{4}$，则$B(-\frac{1}{4},2)$。根据题知，点B关于$y=m$的对称点$B'$的坐标为$(-\frac{1}{4},m-(2-m))$，且点$B'$在反比例函数图象上，
∴$-\frac{1}{4}×(2m-2)=1$。解得，$m=-1$。
当点A在y轴的左侧，点B在y轴的右侧时，如图2，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴点B的横坐标为$\frac{1}{2}$，则$B(\frac{1}{2},2)$，
∴$BN=\frac{1}{2}$。
∵$AN=2BN$，设点A的横坐标为-1，则$A(-1,2)$，根据题知，点A关于$y=m$的对称点$A'(-1,m-(2-m))$，且点$A'$在反比例函数图象上，
∴$-1×(2m-2)=1$。解得，$m=\frac{1}{2}＞0$，与题中的$m＜0$的条件矛盾，
∴不符合题意，舍去。
综上所得，m的值为-1。
② 由题知，$N(0,n)$，点A和点B的纵坐标都是n，
当$n＞0$时，点A在y轴的右侧，点B在y轴的左侧时，如图3，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴点A的横坐标为$\frac{1}{n}$，则$A(\frac{1}{n},n)$，
∴$AN=\frac{1}{n}$。
∵$AN=2BN$，
∴点B的横坐标为$-\frac{1}{2n}$，则$B(-\frac{1}{2n},n)$。根据题知，点B关于$y=m$的对称点$B'(-\frac{1}{2n},m-(n-m))$，且点$B'$在反比例函数图象上，
∴$-\frac{1}{2n}(2m-n)=1$。解得，$m=-\frac{1}{2}n$。
当点A在y轴的左侧，点B在y轴的右侧时，如图4，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴点B的横坐标为$\frac{1}{n}$，则$B(\frac{1}{n},n)$，
∴$BN=\frac{1}{n}$。
∵$AN=2BN$，
∴点A的横坐标为$-\frac{2}{n}$，则$A(-\frac{2}{n},n)$。根据题知，点A关于$y=m$的对称点$A'(-\frac{2}{n},m-(n-m))$，且点$A'$在反比例函数图象上，
∴$-\frac{2}{n}·(2m-n)=1$。解得，$m=\frac{1}{4}n$，
∵$n＞0$，
∴$m＞0$，这与题中的$m＜0$的条件矛盾。
∴不符合题意，舍去。
当$m＜n＜0$时，点A和点B在第三象限，如图5，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴点A的横坐标为$\frac{1}{n}$，则$A(\frac{1}{n},n)$。
∵$n＜0$，
∴$AN=-\frac{1}{n}$。
∵$AN=2BN$，
∴点B的横坐标为$\frac{1}{2n}$，则$B(\frac{1}{2n},n)$。根据题知，点B关于$y=m$的对称点$B'(\frac{1}{2n},m-(n-m))$，且点$B'$在反比例函数图象上，
∴$\frac{1}{2n}(2m-n)=1$，解得，$m=\frac{3}{2}n$。
综上所得，m与n的数量关系为$m=-\frac{1}{2}n$或$m=\frac{3}{2}n$。
【答案】
27. (1) 当$m=-1$时，$M(0,-1)$，
∵“G图象”与x轴交点纵坐标为0，则它关于过M的直线的对称点的纵坐标为-2，
∴把$y=-2$代入$y=\frac{1}{x}$得出，$x=-\frac{1}{2}$，
∴“G图象”与x轴交点横坐标为$-\frac{1}{2}$；
(2) ① 由题知，$N(0,2)$，点A和点B的纵坐标都是2，当点A在y轴的右侧，点B在y轴的左侧时，如图1，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴点A的横坐标为$\frac{1}{2}$，则$A(\frac{1}{2},2)$，
∴$AN=\frac{1}{2}$。
∵$AN=2BN$，
∴点B的横坐标为$-\frac{1}{4}$，则$B(-\frac{1}{4},2)$。根据题知，点B关于$y=m$的对称点$B'$的坐标为$(-\frac{1}{4},m-(2-m))$，且点$B'$在反比例函数图象上，
∴$-\frac{1}{4}×(2m-2)=1$。解得，$m=-1$。当点A在y轴的左侧，点B在y轴的右侧时，如图2，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴点B的横坐标为$\frac{1}{2}$，则$B(\frac{1}{2},2)$，
∴$BN=\frac{1}{2}$。
∵$AN=2BN$，设点A的横坐标为-1，则$A(-1,2)$，根据题知，点A关于$y=m$的对称点$A'(-1,m-(2-m))$，且点$A'$在反比例函数图象上，
∴$-1×(2m-2)=1$。解得，$m=\frac{1}{2}＞0$，与题中的$m＜0$的条件矛盾，
∴不符合题意，舍去。综上所得，m的值为-1。
② 由题知，$N(0,n)$，点A和点B的纵坐标都是n，当$n＞0$时，点A在y轴的右侧，点B在y轴的左侧时，如图3，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴点A的横坐标为$\frac{1}{n}$，则$A(\frac{1}{n},n)$，
∴$AN=\frac{1}{n}$。
∵$AN=2BN$，
∴点B的横坐标为$-\frac{1}{2n}$，则$B(-\frac{1}{2n},n)$。根据题知，点B关于$y=m$的对称点$B'(-\frac{1}{2n},m-(n-m))$，且点$B'$在反比例函数图象上，
∴$-\frac{1}{2n}(2m-n)=1$。解得，$m=-\frac{1}{2}n$。当点A在y轴的左侧，点B在y轴的右侧时，如图4，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴点B的横坐标为$\frac{1}{n}$，则$B(\frac{1}{n},n)$，
∴$BN=\frac{1}{n}$。
∵$AN=2BN$，
∴点A的横坐标为$-\frac{2}{n}$，则$A(-\frac{2}{n},n)$。根据题知，点A关于$y=m$的对称点$A'(-\frac{2}{n},m-(n-m))$，且点$A'$在反比例函数图象上，
∴$-\frac{2}{n}·(2m-n)=1$。解得，$m=\frac{1}{4}n$，
∵$n＞0$，
∴$m＞0$，这与题中的$m＜0$的条件矛盾。
∴不符合题意，舍去。当$m＜n＜0$时，点A和点B在第三象限，如图5，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴点A的横坐标为$\frac{1}{n}$，则$A(\frac{1}{n},n)$。
∵$n＜0$，
∴$AN=-\frac{1}{n}$。
∵$AN=2BN$，
∴点B的横坐标为$\frac{1}{2n}$，则$B(\frac{1}{2n},n)$。根据题知，点B关于$y=m$的对称点$B'(\frac{1}{2n},m-(n-m))$，且点$B'$在反比例函数图象上，
∴$\frac{1}{2n}(2m-n)=1$，解得，$m=\frac{3}{2}n$。综上所得，m与n的数量关系为$m=-\frac{1}{2}n$或$m=\frac{3}{2}n$。
【知识点】
反比例函数的性质，翻折变换的性质，坐标与图形变化
【点评】
本题综合考查反比例函数与图形翻折的相关知识，需要熟练掌握翻折前后对应点的坐标变化规律，解题时要注意结合分类讨论思想，同时关注题目中$m＜0$的限制条件，避免出现多解、漏解的问题，对综合运用知识解决问题的能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
