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23. (10分)(2024·连云港期末)如图1,商家销售某些饮品时会给杯子在杯身上套上一个杯套,方便拿取.小欣同学深受启发,准备为家中如图2所示的两种玻璃杯也配上杯套.(说明:整个探究过程中均忽略杯套的连接部分和杯套的厚度)
(1) 小欣家直身杯的杯口直径为7 cm,她要制作高度为6 cm 的杯套,则此杯套的面积为
(2) 小欣发现阔口杯近似为圆台形状(即一个大圆锥截去一个小圆锥后余下的部分),如图3①所示,通过测量,杯子上口径$AB=9\ \mathrm{cm}$,下底面直径$CD=4\ \mathrm{cm}$,母线长$AC$,$BD$均为$7.5\ \mathrm{cm}$.为了制作此杯套,小欣进行了以下探究:
Ⅰ. 如图3②,小欣画出了阔口杯的侧面展开图示意图,发现它是圆环的一部分,且$\frac{\overset{\frown}{AA'}\mathrm{的长}}{\overset{\frown}{CC'}\mathrm{的长}}=\frac{AP}{CP}$,请证明这个结论,并求出$\overset{\frown}{AA'}$所对的圆心角$∠ APA'$的度数;
Ⅱ. 现有一张矩形杯套材料,如图4②所示,$DE=7.5\ \mathrm{cm}$,$EF=12\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,为了充分利用材料,请在图4②的矩形中画出杯套侧面展开图示意图(杯套示意图无拼接),并直接写出用该材料制作此阔口杯套的母线$MN$的最大长度.
(1) 小欣家直身杯的杯口直径为7 cm,她要制作高度为6 cm 的杯套,则此杯套的面积为
42π
cm²(结果保留π);(2) 小欣发现阔口杯近似为圆台形状(即一个大圆锥截去一个小圆锥后余下的部分),如图3①所示,通过测量,杯子上口径$AB=9\ \mathrm{cm}$,下底面直径$CD=4\ \mathrm{cm}$,母线长$AC$,$BD$均为$7.5\ \mathrm{cm}$.为了制作此杯套,小欣进行了以下探究:
Ⅰ. 如图3②,小欣画出了阔口杯的侧面展开图示意图,发现它是圆环的一部分,且$\frac{\overset{\frown}{AA'}\mathrm{的长}}{\overset{\frown}{CC'}\mathrm{的长}}=\frac{AP}{CP}$,请证明这个结论,并求出$\overset{\frown}{AA'}$所对的圆心角$∠ APA'$的度数;
Ⅱ. 现有一张矩形杯套材料,如图4②所示,$DE=7.5\ \mathrm{cm}$,$EF=12\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,为了充分利用材料,请在图4②的矩形中画出杯套侧面展开图示意图(杯套示意图无拼接),并直接写出用该材料制作此阔口杯套的母线$MN$的最大长度.
答案
23. (1) 42π
(2) Ⅰ 设$\overset{\frown}{AA'}$与$\overset{\frown}{CC'}$所对的圆心角为$n°$，$\therefore \overset{\frown}{AA'}$的长$=\frac{nπ}{180}· PA$，$\overset{\frown}{CC'}$的长$=\frac{nπ}{180}· PC$，$\therefore \frac{\overset{\frown}{AA'}的长}{\overset{\frown}{CC'}的长}=\frac{\frac{nπ}{180}· PA}{\frac{nπ}{180}· PC}=\frac{PA}{PC}$。
∵杯子上口径AB=9 cm，下底面直径CD=4 cm，
∴$\overset{\frown}{AA'}$的长=9π，$\overset{\frown}{CC'}$的长=4π，PA=PC+7.5，
∴$\frac{9}{4}=\frac{PC+7.5}{PC}$，解得PC=6，PA=13.5，
∴$\overset{\frown}{CC'}$的长$\frac{nπ}{180}×6=4π$，解得n=120，即$\overset{\frown}{AA'}$所对的圆心角∠APA'的度数为120°；
Ⅱ 如图，∠MPM'=120°，连接MM'，作PH⊥MM'于点H，交EF于点I，交DG于点J，则MM'=EF=12√3，MH=$\frac{1}{2}$MM'=6√3，∠MPH=$\frac{1}{2}$∠MPM'=60°，
∴PM=12，PH=$\frac{1}{2}$PM=6，
∴JH=PJ-PH=12-6=6，
∴HI=7.5-JH=1.5，
∴PI=PH-HI=4.5，
∴PN=2PI=9，
∴MN=12-9=3，
∴母线MN的最大长度为3 cm。
解析
【分析】
(1) 直身杯为圆柱形状，杯套面积对应圆柱侧面积，根据圆柱侧面积=底面周长×高，代入已知直径和高度即可计算。
(2) Ⅰ 要证明弧长比等于半径比，先设两弧公共圆心角为n°，分别写出两个弧的弧长表达式，作比后约去公共项即可得证；再结合上下底直径得到两弧的长度（即上下底面周长），结合PA=PC+母线长的关系列方程求解PC、PA的长度，最后代入弧长公式即可求出圆心角度数。
Ⅱ 要使母线MN最大，需将扇环的大弧两端点放在矩形左右边上，使大弦长等于矩形的长，利用等腰三角形三线合一得到60°角，再通过含30°直角三角形的边长关系依次求出PM、PN的长度，作差即可得到MN的最大长度。
【解析】
(1) 直身杯杯套为圆柱侧面积，杯口直径7cm，因此底面周长为7π cm，杯套高度6cm，侧面积为$7π×6=42π\ \mathrm{cm}^2$。
(2) Ⅰ 证明：设$\overset{\frown}{AA'}$与$\overset{\frown}{CC'}$所对的圆心角为$n°$，根据弧长公式可得：
$\overset{\frown}{AA'}$的长$=\frac{nπ}{180}· PA$，$\overset{\frown}{CC'}$的长$=\frac{nπ}{180}· PC$，
两式作比得：$\frac{\overset{\frown}{AA'}的长}{\overset{\frown}{CC'}的长}=\frac{\frac{nπ}{180}· PA}{\frac{nπ}{180}· PC}=\frac{PA}{PC}$，结论得证。
求解圆心角：
已知阔口杯上口径$AB=9\ \mathrm{cm}$，下底面直径$CD=4\ \mathrm{cm}$，因此$\overset{\frown}{AA'}$的长=上底面周长$=9π\ \mathrm{cm}$，$\overset{\frown}{CC'}$的长=下底面周长$=4π\ \mathrm{cm}$。
设$CP=x\ \mathrm{cm}$，则$AP=(x+7.5)\ \mathrm{cm}$，代入比例得：$\frac{9π}{4π}=\frac{x+7.5}{x}$，解得$x=6$，即$CP=6\ \mathrm{cm}$，$AP=13.5\ \mathrm{cm}$。
将$\overset{\frown}{CC'}$的长代入弧长公式：$\frac{nπ}{180}×6=4π$，解得$n=120$，即$∠ APA'=120°$。
Ⅱ 要使母线$MN$最大，将扇环大弧端点$M、M'$分别放在矩形左右边$DE、FG$上，连接$MM'$，作$PH⊥MM'$于点$H$，交$EF$于点$I$，交$DG$于点$J$：
此时$MM'=EF=12\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，由等腰三角形三线合一得$MH=\frac{1}{2}MM'=6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，$∠MPH=\frac{1}{2}∠MPM'=60°$。
在$Rt△MPH$中，$PM=\frac{MH}{sin60°}=12\ \mathrm{cm}$，$PH=PM·cos60°=6\ \mathrm{cm}$。
矩形$DE=7.5\ \mathrm{cm}$，则$JH=PJ-PH=12-6=6\ \mathrm{cm}$，$HI=DE-JH=1.5\ \mathrm{cm}$，$PI=PH-HI=4.5\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△PIN$中，$∠NPI=60°$，因此$PN=2PI=9\ \mathrm{cm}$，故$MN=PM-PN=12-9=3\ \mathrm{cm}$，即母线最大长度为3cm，示意图如下：
【答案】
(1) $\boldsymbol{42π}$
(2) Ⅰ 证明见解析，$∠ APA'$的度数为$\boldsymbol{120°}$；
Ⅱ 杯套侧面展开图示意图如下，母线$MN$的最大长度为$\boldsymbol{3\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
1. 圆柱侧面积计算
2. 弧长公式应用
3. 含30°直角三角形性质
【点评】
本题结合制作杯套的生活场景，将几何知识与实际应用相结合，既考查了基础的侧面积、弧长计算能力，也考查了几何最值的分析建模能力，需要熟练将实际问题转化为熟悉的几何模型求解。
【难度系数】
0.3
(1) 直身杯为圆柱形状，杯套面积对应圆柱侧面积，根据圆柱侧面积=底面周长×高，代入已知直径和高度即可计算。
(2) Ⅰ 要证明弧长比等于半径比，先设两弧公共圆心角为n°，分别写出两个弧的弧长表达式，作比后约去公共项即可得证；再结合上下底直径得到两弧的长度（即上下底面周长），结合PA=PC+母线长的关系列方程求解PC、PA的长度，最后代入弧长公式即可求出圆心角度数。
Ⅱ 要使母线MN最大，需将扇环的大弧两端点放在矩形左右边上，使大弦长等于矩形的长，利用等腰三角形三线合一得到60°角，再通过含30°直角三角形的边长关系依次求出PM、PN的长度，作差即可得到MN的最大长度。
【解析】
(1) 直身杯杯套为圆柱侧面积，杯口直径7cm，因此底面周长为7π cm，杯套高度6cm，侧面积为$7π×6=42π\ \mathrm{cm}^2$。
(2) Ⅰ 证明：设$\overset{\frown}{AA'}$与$\overset{\frown}{CC'}$所对的圆心角为$n°$，根据弧长公式可得：
$\overset{\frown}{AA'}$的长$=\frac{nπ}{180}· PA$，$\overset{\frown}{CC'}$的长$=\frac{nπ}{180}· PC$，
两式作比得：$\frac{\overset{\frown}{AA'}的长}{\overset{\frown}{CC'}的长}=\frac{\frac{nπ}{180}· PA}{\frac{nπ}{180}· PC}=\frac{PA}{PC}$，结论得证。
求解圆心角：
已知阔口杯上口径$AB=9\ \mathrm{cm}$，下底面直径$CD=4\ \mathrm{cm}$，因此$\overset{\frown}{AA'}$的长=上底面周长$=9π\ \mathrm{cm}$，$\overset{\frown}{CC'}$的长=下底面周长$=4π\ \mathrm{cm}$。
设$CP=x\ \mathrm{cm}$，则$AP=(x+7.5)\ \mathrm{cm}$，代入比例得：$\frac{9π}{4π}=\frac{x+7.5}{x}$，解得$x=6$，即$CP=6\ \mathrm{cm}$，$AP=13.5\ \mathrm{cm}$。
将$\overset{\frown}{CC'}$的长代入弧长公式：$\frac{nπ}{180}×6=4π$，解得$n=120$，即$∠ APA'=120°$。
Ⅱ 要使母线$MN$最大，将扇环大弧端点$M、M'$分别放在矩形左右边$DE、FG$上，连接$MM'$，作$PH⊥MM'$于点$H$，交$EF$于点$I$，交$DG$于点$J$：
此时$MM'=EF=12\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，由等腰三角形三线合一得$MH=\frac{1}{2}MM'=6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，$∠MPH=\frac{1}{2}∠MPM'=60°$。
在$Rt△MPH$中，$PM=\frac{MH}{sin60°}=12\ \mathrm{cm}$，$PH=PM·cos60°=6\ \mathrm{cm}$。
矩形$DE=7.5\ \mathrm{cm}$，则$JH=PJ-PH=12-6=6\ \mathrm{cm}$，$HI=DE-JH=1.5\ \mathrm{cm}$，$PI=PH-HI=4.5\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△PIN$中，$∠NPI=60°$，因此$PN=2PI=9\ \mathrm{cm}$，故$MN=PM-PN=12-9=3\ \mathrm{cm}$，即母线最大长度为3cm，示意图如下：
【答案】
(1) $\boldsymbol{42π}$
(2) Ⅰ 证明见解析，$∠ APA'$的度数为$\boldsymbol{120°}$；
Ⅱ 杯套侧面展开图示意图如下，母线$MN$的最大长度为$\boldsymbol{3\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
1. 圆柱侧面积计算
2. 弧长公式应用
3. 含30°直角三角形性质
【点评】
本题结合制作杯套的生活场景，将几何知识与实际应用相结合，既考查了基础的侧面积、弧长计算能力，也考查了几何最值的分析建模能力，需要熟练将实际问题转化为熟悉的几何模型求解。
【难度系数】
0.3
24.（12分）盐城著名旅游“网红打卡地”大洋湾景区在2021年五一小长假期间，共接待游客达5万人次，在2023年五一小长假期间接待游客达7.2万人次.
（1）求大洋湾景区2021至2023年五一小长假期间接待游客人次的年平均增长率；
（2）大洋湾景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格每降低1元，则平均每天可多销售30杯，2023年五一小长假期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？
（1）求大洋湾景区2021至2023年五一小长假期间接待游客人次的年平均增长率；
（2）大洋湾景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格每降低1元，则平均每天可多销售30杯，2023年五一小长假期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？
答案
24. (1) 设年平均增长率为x，由题意得：$5(1+x)^2=7.2$，解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$(不符合题意，舍去)，答：大洋湾景区2021至2023年五一小长假期间接待游客人次的年平均增长率为20%；
(2) 设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得：$(y-6)[300+30(25-y)]=6300$，整理得：$y^2-41y+420=0$，解得：$y_1=20$，$y_2=21$，
∵让顾客获得最大优惠，
∴y=20。答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额。
(2) 设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得：$(y-6)[300+30(25-y)]=6300$，整理得：$y^2-41y+420=0$，解得：$y_1=20$，$y_2=21$，
∵让顾客获得最大优惠，
∴y=20。答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额。
解析
【分析】
（1）本题是增长率类实际应用问题，核心等量关系为：初始量×(1+年平均增长率)ⁿ=增长n年后的量。本题中2021年游客量5万人次为初始量，经过2年增长到2023年的7.2万人次，设年平均增长率为x，代入等量关系列一元二次方程求解即可，注意增长率为正数，需舍去不符合实际的负根。
（2）本题是销售利润类实际应用问题，核心等量关系为：总利润=单件利润×销售总量。单件利润为售价减去成本价6元；销售总量随售价降低增加，原定价25元时销量为300杯，售价为y元时，单价比25元降低了(25-y)元，销量会增加30(25-y)杯，因此总销量为[300+30(25-y)]杯，结合总利润为6300元列方程求解，最后根据“顾客获得最大优惠”的要求，选择更低的售价即可。
【解析】
（1）设大洋湾景区接待游客人次的年平均增长率为x，由题意得：
$5(1+x)^2=7.2$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（不符合增长率为正的实际要求，舍去）
答：大洋湾景区2021至2023年五一小长假期间接待游客人次的年平均增长率为20%。
（2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得：
$(y-6)[300+30(25-y)]=6300$
整理得：$y^2-41y+420=0$
解得：$y_1=20$，$y_2=21$
∵要让顾客获得最大优惠，即售价越低优惠力度越大，
∴y=20。
答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额。
【答案】
(1) 年平均增长率为20%；
(2) 每杯售价定为20元。
【知识点】
一元二次方程的应用，增长率问题，销售利润问题
【点评】
本题结合文旅消费的生活场景考查一元二次方程的实际应用，解题核心是从题干中提取对应等量关系列方程，求解后要根据实际要求对根进行取舍，能有效考查学生将数学知识应用于实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）本题是增长率类实际应用问题，核心等量关系为：初始量×(1+年平均增长率)ⁿ=增长n年后的量。本题中2021年游客量5万人次为初始量，经过2年增长到2023年的7.2万人次，设年平均增长率为x，代入等量关系列一元二次方程求解即可，注意增长率为正数，需舍去不符合实际的负根。
（2）本题是销售利润类实际应用问题，核心等量关系为：总利润=单件利润×销售总量。单件利润为售价减去成本价6元；销售总量随售价降低增加，原定价25元时销量为300杯，售价为y元时，单价比25元降低了(25-y)元，销量会增加30(25-y)杯，因此总销量为[300+30(25-y)]杯，结合总利润为6300元列方程求解，最后根据“顾客获得最大优惠”的要求，选择更低的售价即可。
【解析】
（1）设大洋湾景区接待游客人次的年平均增长率为x，由题意得：
$5(1+x)^2=7.2$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（不符合增长率为正的实际要求，舍去）
答：大洋湾景区2021至2023年五一小长假期间接待游客人次的年平均增长率为20%。
（2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得：
$(y-6)[300+30(25-y)]=6300$
整理得：$y^2-41y+420=0$
解得：$y_1=20$，$y_2=21$
∵要让顾客获得最大优惠，即售价越低优惠力度越大，
∴y=20。
答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额。
【答案】
(1) 年平均增长率为20%；
(2) 每杯售价定为20元。
【知识点】
一元二次方程的应用，增长率问题，销售利润问题
【点评】
本题结合文旅消费的生活场景考查一元二次方程的实际应用，解题核心是从题干中提取对应等量关系列方程，求解后要根据实际要求对根进行取舍，能有效考查学生将数学知识应用于实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
