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21. (10分)(2024·苏州)一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”“夏”“秋”“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀.
（1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为
（2）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率.（请用画树状图或列表的方法说明理由）
（1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为
$\frac{1}{4}$
；（2）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率.（请用画树状图或列表的方法说明理由）
答案
21. (1) $\frac{1}{4}$
(2) 画树状图如下：
，共有12种等可能的结果，其中抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的结果有2种，∴抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
解析
【分析】
（1）第一问属于单步骤古典概型问题，解题时先明确所有等可能的总结果数，再找到符合“抽到‘夏’”的结果数，根据概率公式$P(A)=\frac{事件A包含的结果数}{所有等可能的结果数}$计算即可。
（2）第二问是不放回的两步抽取试验，需用树状图或列表法枚举所有等可能结果，注意第一次抽取的书签不放回，因此第二次抽取时仅有3种可选结果，不会与第一次重复；枚举完所有结果后，找到“1张为‘春’、1张为‘秋’”的结果数，再代入概率公式计算。
【解析】
（1）4张书签除图案外完全相同，任意抽取1张，共有4种等可能的结果，其中恰好抽到“夏”的结果有1种，因此$P(抽到“夏”)=\frac{1}{4}$。
（2）根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的书签恰好1张为“春”、1张为“秋”的结果有2种，因此$P(1张为“春”1张为“秋”)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$
(2) 画树状图如下：，共有12种等可能的结果，其中抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的结果有2种，
∴抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【知识点】
古典概型，树状图求概率，不放回试验
【点评】
本题是概率计算的基础题型，第一问考查单步事件的概率，较为简单；第二问需要掌握用树状图或列表法梳理两步试验的所有等可能结果，解题时要注意区分“放回”和“不放回”试验的差异，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
（1）第一问属于单步骤古典概型问题，解题时先明确所有等可能的总结果数，再找到符合“抽到‘夏’”的结果数，根据概率公式$P(A)=\frac{事件A包含的结果数}{所有等可能的结果数}$计算即可。
（2）第二问是不放回的两步抽取试验，需用树状图或列表法枚举所有等可能结果，注意第一次抽取的书签不放回，因此第二次抽取时仅有3种可选结果，不会与第一次重复；枚举完所有结果后，找到“1张为‘春’、1张为‘秋’”的结果数，再代入概率公式计算。
【解析】
（1）4张书签除图案外完全相同，任意抽取1张，共有4种等可能的结果，其中恰好抽到“夏”的结果有1种，因此$P(抽到“夏”)=\frac{1}{4}$。
（2）根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的书签恰好1张为“春”、1张为“秋”的结果有2种，因此$P(1张为“春”1张为“秋”)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$
(2) 画树状图如下：
，共有12种等可能的结果，其中抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的结果有2种，∴抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【知识点】
古典概型，树状图求概率，不放回试验
【点评】
本题是概率计算的基础题型，第一问考查单步事件的概率，较为简单；第二问需要掌握用树状图或列表法梳理两步试验的所有等可能结果，解题时要注意区分“放回”和“不放回”试验的差异，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
22. (10分)AI技术融入校园学习已成为教育发展的新趋势，某校以此为契机开展了“校园AI自习室助力学业提升”实践活动.为检验自习室对学生数学成绩提高的作用，学校从八年级随机选取40名学生，记录了他们在使用AI自习室前、后的数学自我检测成绩(成绩为整数，满分10分).
【数据整理】
将使用AI自习室前、后的检测成绩整理成如下的统计图(所有学生成绩均不低于6分)：
【数据分析】
对使用前后的检测成绩进行了如下分析(不完整)：
【问题解决】
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
(1) $a=$
(2) 利用所学知识，进一步对以上使用AI自习室前、后的数学自我检测成绩进行分析和评价.
【数据整理】
将使用AI自习室前、后的检测成绩整理成如下的统计图(所有学生成绩均不低于6分)：
【数据分析】
对使用前后的检测成绩进行了如下分析(不完整)：
【问题解决】
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
(1) $a=$
9
, $b=$ 8
, $c=$ 7.5
;(2) 利用所学知识，进一步对以上使用AI自习室前、后的数学自我检测成绩进行分析和评价.
答案
22. (1) 9,8,7.5
(2) 如用平均数、方差进行分析：使用AI自习室前的平均数是8.2分，方差是1.61；使用AI自习室后成绩的平均数是8.45分，方差是1.55。可以看出，整体上，使用AI自习室可以适当提高成绩，整体成绩的稳定性也有所提高。
(2) 如用平均数、方差进行分析：使用AI自习室前的平均数是8.2分，方差是1.61；使用AI自习室后成绩的平均数是8.45分，方差是1.55。可以看出，整体上，使用AI自习室可以适当提高成绩，整体成绩的稳定性也有所提高。
解析
【分析】
解决本题第一问时，首先明确三个待求量分别对应众数、众数、中位数：众数是一组数据中出现次数最多的数，直接结合统计图中各分数的人数即可确定a、b；中位数是将数据从小到大排序后中间位置的数，总共有40个数据（偶数个），因此取排序后第20、21个数据的平均值即可求出c。解决第二问时，从集中趋势（平均数、众数、中位数）和离散程度（方差）两个维度对比使用前后的成绩特征，得出合理结论即可。
【解析】
(1) 由成绩统计图可知：
使用AI自习室后，成绩为9分的学生人数最多，因此众数$a=9$；
使用AI自习室前，成绩为8分的学生人数最多，因此众数$b=8$；
将使用AI自习室前的40名学生成绩从小到大排序，第20个数据为7，第21个数据为8，因此中位数$c=\frac{7+8}{2}=7.5$。
(2) 从平均数和方差角度分析：经计算，使用AI自习室前的平均成绩为8.2分，方差为1.61；使用AI自习室后的平均成绩为8.45分，方差为1.55。对比可得，使用后的平均成绩更高，说明AI自习室能整体提升学生的数学成绩；使用后的方差更小，说明学生成绩的稳定性也有所提升。
【答案】
(1) $9$，$8$，$7.5$
(2) 使用AI自习室可以适当提高学生成绩，整体成绩的稳定性也有所提高（合理即可）
【知识点】
众数的概念；中位数的计算；统计量的应用
【点评】
本题以AI自习室助力学业提升的实际情境为背景，考查常见统计量的计算与实际应用，要求学生掌握众数、中位数、平均数、方差的含义，能结合数据特征作出合理分析，体现了数学的应用性。
【难度系数】
0.7
解决本题第一问时，首先明确三个待求量分别对应众数、众数、中位数：众数是一组数据中出现次数最多的数，直接结合统计图中各分数的人数即可确定a、b；中位数是将数据从小到大排序后中间位置的数，总共有40个数据（偶数个），因此取排序后第20、21个数据的平均值即可求出c。解决第二问时，从集中趋势（平均数、众数、中位数）和离散程度（方差）两个维度对比使用前后的成绩特征，得出合理结论即可。
【解析】
(1) 由成绩统计图可知：
使用AI自习室后，成绩为9分的学生人数最多，因此众数$a=9$；
使用AI自习室前，成绩为8分的学生人数最多，因此众数$b=8$；
将使用AI自习室前的40名学生成绩从小到大排序，第20个数据为7，第21个数据为8，因此中位数$c=\frac{7+8}{2}=7.5$。
(2) 从平均数和方差角度分析：经计算，使用AI自习室前的平均成绩为8.2分，方差为1.61；使用AI自习室后的平均成绩为8.45分，方差为1.55。对比可得，使用后的平均成绩更高，说明AI自习室能整体提升学生的数学成绩；使用后的方差更小，说明学生成绩的稳定性也有所提升。
【答案】
(1) $9$，$8$，$7.5$
(2) 使用AI自习室可以适当提高学生成绩，整体成绩的稳定性也有所提高（合理即可）
【知识点】
众数的概念；中位数的计算；统计量的应用
【点评】
本题以AI自习室助力学业提升的实际情境为背景，考查常见统计量的计算与实际应用，要求学生掌握众数、中位数、平均数、方差的含义，能结合数据特征作出合理分析，体现了数学的应用性。
【难度系数】
0.7
