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9. 甲、乙两名射击手的10次测试的平均成绩都是8环，方差分别是$s^2_{甲}=0.4$(环²)，$s^2_{乙}=3.2$(环²)，则成绩比较稳定的射击手是
甲
（填“甲”或“乙”）。答案
9. 甲
解析
【分析】
要判断哪位射击手的成绩更稳定，需结合方差的意义分析：方差是衡量一组数据波动程度的统计量，当两组数据的平均成绩相同时，方差越小，说明数据的波动越小，成绩就越稳定。本题已知甲乙两人平均成绩相同，只需比较两者方差的大小即可得出结论。
【解析】
根据方差的性质：方差反映一组数据的波动大小，方差越大，数据的波动越大，稳定性越差；方差越小，数据的波动越小，稳定性越好。
已知甲、乙两人10次测试的平均成绩均为8环，成绩相等，且$s^2_{甲}=0.4 ＜ s^2_{乙}=3.2$，因此甲的成绩波动更小，更稳定。
【答案】
甲
【知识点】
方差的意义；数据稳定性判断
【点评】
本题属于基础类题目，主要考查方差在实际问题中的应用，掌握方差与数据稳定性的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.9
要判断哪位射击手的成绩更稳定，需结合方差的意义分析：方差是衡量一组数据波动程度的统计量，当两组数据的平均成绩相同时，方差越小，说明数据的波动越小，成绩就越稳定。本题已知甲乙两人平均成绩相同，只需比较两者方差的大小即可得出结论。
【解析】
根据方差的性质：方差反映一组数据的波动大小，方差越大，数据的波动越大，稳定性越差；方差越小，数据的波动越小，稳定性越好。
已知甲、乙两人10次测试的平均成绩均为8环，成绩相等，且$s^2_{甲}=0.4 ＜ s^2_{乙}=3.2$，因此甲的成绩波动更小，更稳定。
【答案】
甲
【知识点】
方差的意义；数据稳定性判断
【点评】
本题属于基础类题目，主要考查方差在实际问题中的应用，掌握方差与数据稳定性的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.9
10. (2025·成都)某蓄电池的电压为定值.使用此电源时,用电器的电流$I$(A)与电阻$R$(Ω)之间的函数关系为$I=\frac{36}{R}$,则电流$I$的值随电阻$R$值的增大而
减小
(填“增大”或“减小”).答案
10. 减小
解析
【分析】
解题时首先判断函数类型，给出的函数$I=\frac{36}{R}$符合反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的形式；其次确定比例系数$k$的正负，本题中$k=36＞0$；再结合实际意义，电阻$R$的取值一定大于0，对应反比例函数第一象限的分支；最后结合反比例函数的单调性即可判断$I$随$R$的变化趋势。
【解析】
已知电流$I$与电阻$R$的函数关系为$I=\frac{36}{R}$，该函数是反比例函数，其中比例系数$k=36＞0$。
结合实际意义可知，电阻$R$的取值范围为$R＞0$，根据反比例函数的性质：当$k＞0$时，在每个象限内，函数值随自变量的增大而减小，因此电流$I$的值随电阻$R$值的增大而减小。
【答案】
减小
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合电学实际情景考查反比例函数的相关性质，解题时需先结合实际意义确定自变量的取值范围，再运用函数性质判断变化趋势，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先判断函数类型，给出的函数$I=\frac{36}{R}$符合反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的形式；其次确定比例系数$k$的正负，本题中$k=36＞0$；再结合实际意义，电阻$R$的取值一定大于0，对应反比例函数第一象限的分支；最后结合反比例函数的单调性即可判断$I$随$R$的变化趋势。
【解析】
已知电流$I$与电阻$R$的函数关系为$I=\frac{36}{R}$，该函数是反比例函数，其中比例系数$k=36＞0$。
结合实际意义可知，电阻$R$的取值范围为$R＞0$，根据反比例函数的性质：当$k＞0$时，在每个象限内，函数值随自变量的增大而减小，因此电流$I$的值随电阻$R$值的增大而减小。
【答案】
减小
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合电学实际情景考查反比例函数的相关性质，解题时需先结合实际意义确定自变量的取值范围，再运用函数性质判断变化趋势，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
11. 掷一枚六个面分别标有1,2,3,4,5,6的正方形骰子,则向上一面的数不大于5的概率是
$\frac{5}{6}$
。答案
11. $\frac{5}{6}$
解析
【分析】
这是一道等可能事件的概率计算问题，解题思路清晰明确：第一步先确定试验的所有等可能结果总数，掷一枚均匀骰子，向上一面的点数共有6种等可能的情况；第二步确定所求事件包含的结果数，“向上一面的数不大于5”即点数为1、2、3、4、5，共5种符合要求的结果；第三步根据概率的计算公式，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
解：掷一枚均匀骰子时，向上一面的点数共有6种等可能的结果，分别为1、2、3、4、5、6。
其中满足“向上一面的数不大于5”的结果有5种，分别是1、2、3、4、5。
根据概率公式$P=\frac{符合事件的结果数}{所有等可能的结果数}$，可得：
$P(\mathrm{向上一面的数不大于5})=\frac{5}{6}$
【答案】
$\frac{5}{6}$
【知识点】
1. 概率公式 2. 等可能事件概率计算
【点评】
本题属于概率基础题，核心考查等可能事件的概率计算方法，只要准确梳理总结果数和符合条件的结果数即可快速求解，是概率部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
这是一道等可能事件的概率计算问题，解题思路清晰明确：第一步先确定试验的所有等可能结果总数，掷一枚均匀骰子，向上一面的点数共有6种等可能的情况；第二步确定所求事件包含的结果数，“向上一面的数不大于5”即点数为1、2、3、4、5，共5种符合要求的结果；第三步根据概率的计算公式，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
解：掷一枚均匀骰子时，向上一面的点数共有6种等可能的结果，分别为1、2、3、4、5、6。
其中满足“向上一面的数不大于5”的结果有5种，分别是1、2、3、4、5。
根据概率公式$P=\frac{符合事件的结果数}{所有等可能的结果数}$，可得：
$P(\mathrm{向上一面的数不大于5})=\frac{5}{6}$
【答案】
$\frac{5}{6}$
【知识点】
1. 概率公式 2. 等可能事件概率计算
【点评】
本题属于概率基础题，核心考查等可能事件的概率计算方法，只要准确梳理总结果数和符合条件的结果数即可快速求解，是概率部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
12. 一条弦把圆分成1：5两部分，则这条弦所对的圆心角的度数是
60°
.答案
12. 60°
解析
【分析】
解题时首先明确：整个圆周对应的圆心角是360°，弦将圆分成的两部分的比例，就是两段弧所对应的圆心角的比例。题目所求的弦所对的圆心角通常指较小的那个，因此先计算总份数，再按比例分配求出1份对应的圆心角度数即可。
【解析】
解：
∵ 整个圆的圆心角为周角，即$360°$，
又
∵ 弦把圆分成$1:5$两部分，说明两段弧对应的圆心角之比为$1:5$，
∴ 总份数为$1+5=6$份，
每份对应的圆心角度数为$360°÷6=60°$，
即这条弦所对的较小圆心角为$60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
弧与圆心角的对应关系；按比例计算
【点评】
本题属于基础几何题，解题核心是理解弦分圆得到的两段弧的度数比等于其对应圆心角的度数比，结合周角为360°的性质按比例计算即可。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确：整个圆周对应的圆心角是360°，弦将圆分成的两部分的比例，就是两段弧所对应的圆心角的比例。题目所求的弦所对的圆心角通常指较小的那个，因此先计算总份数，再按比例分配求出1份对应的圆心角度数即可。
【解析】
解：
∵ 整个圆的圆心角为周角，即$360°$，
又
∵ 弦把圆分成$1:5$两部分，说明两段弧对应的圆心角之比为$1:5$，
∴ 总份数为$1+5=6$份，
每份对应的圆心角度数为$360°÷6=60°$，
即这条弦所对的较小圆心角为$60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
弧与圆心角的对应关系；按比例计算
【点评】
本题属于基础几何题，解题核心是理解弦分圆得到的两段弧的度数比等于其对应圆心角的度数比，结合周角为360°的性质按比例计算即可。
【难度系数】
0.9
13. (2024·北京)如图，$\odot O$的直径AB平分弦CD(不是直径).若$∠ D=35°$，则$∠ C=$
第13题
55
°。 第13题答案
13. 55
解析
【分析】
解题思路如下：1. 首先根据垂径定理的推论：直径平分非直径的弦时，直径垂直于该弦，可得到AB与CD互相垂直，即二者夹角为90°；2. 再根据圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等，可得∠A=∠D=35°；3. 最后在直角三角形中利用两锐角互余的性质，即可计算出∠C的度数。
【解析】
设AB与CD的交点为E。
1. 因为AB是$\odot O$的直径，且AB平分非直径的弦CD，由垂径定理的推论可得：$AB ⊥ CD$，即$∠ AEC = 90°$。
2. 因为$∠ A$和$∠ D$都是弧$BC$所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，可得：$∠ A = ∠ D = 35°$。
3. 在$Rt△ AEC$中，直角三角形两锐角互余，因此$∠ C + ∠ A = 90°$，代入$∠ A=35°$得：$∠ C = 90° - 35° = 55°$。
【答案】
55
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆的基础性质的综合应用题，解题核心是先通过垂径定理得到垂直关系，再借助圆周角的性质转化角度，最后结合直角三角形的性质计算角度，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：1. 首先根据垂径定理的推论：直径平分非直径的弦时，直径垂直于该弦，可得到AB与CD互相垂直，即二者夹角为90°；2. 再根据圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等，可得∠A=∠D=35°；3. 最后在直角三角形中利用两锐角互余的性质，即可计算出∠C的度数。
【解析】
设AB与CD的交点为E。
1. 因为AB是$\odot O$的直径，且AB平分非直径的弦CD，由垂径定理的推论可得：$AB ⊥ CD$，即$∠ AEC = 90°$。
2. 因为$∠ A$和$∠ D$都是弧$BC$所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，可得：$∠ A = ∠ D = 35°$。
3. 在$Rt△ AEC$中，直角三角形两锐角互余，因此$∠ C + ∠ A = 90°$，代入$∠ A=35°$得：$∠ C = 90° - 35° = 55°$。
【答案】
55
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆的基础性质的综合应用题，解题核心是先通过垂径定理得到垂直关系，再借助圆周角的性质转化角度，最后结合直角三角形的性质计算角度，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
14. 若圆锥的底面半径为5，高为12，则圆锥的侧面展开图的面积是
65π
.答案
14. 65π
解析
【分析】要计算圆锥侧面展开图的面积，即求圆锥的侧面积。首先回忆圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π r l$，其中$r$是底面半径，$l$是圆锥母线长。题目已给出底面半径$r=5$，还缺少母线长$l$；由于圆锥的母线、高、底面半径恰好构成直角三角形，满足勾股定理$l^2=r^2+h^2$，因此先通过勾股定理求出母线长，再代入侧面积公式即可得到结果。
【解析】
解：① 求圆锥的母线长$l$：
已知圆锥底面半径$r=5$，高$h=12$，圆锥的母线、高、底面半径构成直角三角形，由勾股定理得：
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$
② 计算圆锥侧面展开图的面积（即侧面积）：
圆锥侧面积公式为$S=π r l$，代入$r=5$，$l=13$得：
$S=π×5×13=65π$
【答案】
$65π$
【知识点】
圆锥侧面积计算、勾股定理应用
【点评】
本题属于基础题，核心考查圆锥侧面积的计算，解题关键是牢记圆锥侧面积公式，明确圆锥母线、高、底面半径的数量关系，计算时注意不要混淆侧面积与底面积公式。
【难度系数】
0.85
【解析】
解：① 求圆锥的母线长$l$：
已知圆锥底面半径$r=5$，高$h=12$，圆锥的母线、高、底面半径构成直角三角形，由勾股定理得：
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$
② 计算圆锥侧面展开图的面积（即侧面积）：
圆锥侧面积公式为$S=π r l$，代入$r=5$，$l=13$得：
$S=π×5×13=65π$
【答案】
$65π$
【知识点】
圆锥侧面积计算、勾股定理应用
【点评】
本题属于基础题，核心考查圆锥侧面积的计算，解题关键是牢记圆锥侧面积公式，明确圆锥母线、高、底面半径的数量关系，计算时注意不要混淆侧面积与底面积公式。
【难度系数】
0.85
15. (2024·山西)如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图(阴影部分为花窗).通过测量得到扇形AOB的圆心角为$90°$，$OA=1\ \mathrm{m}$，点$C$，$D$分别为$OA$，$OB$的中点，则花窗的面积为
$(\frac{π}{4}-\frac{1}{8})$
$\mathrm{m}^2$.答案
15. $(\frac{π}{4}-\frac{1}{8})$
解析
【分析】
要求花窗的面积，观察图形可知阴影部分为扇形AOB减去直角三角形OCD的部分，因此采用割补法求解：先分别计算扇形AOB的面积和直角三角形OCD的面积，再将两个面积作差即可得到花窗的面积。首先利用扇形面积公式计算圆心角为90°、半径为1m的扇形面积，再根据中点性质得到直角三角形的两条直角边长，计算三角形面积，最后作差得到结果。
【解析】
已知扇形AOB的圆心角$∠ AOB=90°$，半径$OA=1\ \mathrm{m}$，根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径），可得：
$S_{\mathrm{扇形}AOB}=\frac{90π×1^2}{360}=\frac{π}{4}\ \mathrm{m}^2$
∵点$C$、$D$分别为$OA$、$OB$的中点
∴$OC=OD=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}\ \mathrm{m}$
又
∵$∠ O=90°$，$△ OCD$为直角三角形，根据直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab$（$a、b$为直角边），可得：
$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}× OC× OD=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}\ \mathrm{m}^2$
因此花窗的面积为：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}AOB}-S_{△ OCD}=\frac{π}{4}-\frac{1}{8}\ \mathrm{m}^2$
【答案】
$(\frac{π}{4}-\frac{1}{8})$
【知识点】
扇形面积计算，直角三角形面积计算，割补法求阴影面积
【点评】
本题结合生活场景考查不规则图形面积的求解，核心是将不规则阴影面积转化为规则的扇形与三角形面积的差，只要熟记相关面积公式，准确计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
要求花窗的面积，观察图形可知阴影部分为扇形AOB减去直角三角形OCD的部分，因此采用割补法求解：先分别计算扇形AOB的面积和直角三角形OCD的面积，再将两个面积作差即可得到花窗的面积。首先利用扇形面积公式计算圆心角为90°、半径为1m的扇形面积，再根据中点性质得到直角三角形的两条直角边长，计算三角形面积，最后作差得到结果。
【解析】
已知扇形AOB的圆心角$∠ AOB=90°$，半径$OA=1\ \mathrm{m}$，根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径），可得：
$S_{\mathrm{扇形}AOB}=\frac{90π×1^2}{360}=\frac{π}{4}\ \mathrm{m}^2$
∵点$C$、$D$分别为$OA$、$OB$的中点
∴$OC=OD=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}\ \mathrm{m}$
又
∵$∠ O=90°$，$△ OCD$为直角三角形，根据直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab$（$a、b$为直角边），可得：
$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}× OC× OD=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}\ \mathrm{m}^2$
因此花窗的面积为：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}AOB}-S_{△ OCD}=\frac{π}{4}-\frac{1}{8}\ \mathrm{m}^2$
【答案】
$(\frac{π}{4}-\frac{1}{8})$
【知识点】
扇形面积计算，直角三角形面积计算，割补法求阴影面积
【点评】
本题结合生活场景考查不规则图形面积的求解，核心是将不规则阴影面积转化为规则的扇形与三角形面积的差，只要熟记相关面积公式，准确计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
16. (2024·烟台)若一元二次方程$2x^2 -4x -1=0$的两根为$m,n$,则$3m^2 -4m +n^2$的值为________。
答案
16. 6
解析
【分析】
解题思路如下：首先，根据一元二次方程根的定义，将根m代入方程可得到$2m^2-4m=1$，可用于对所求代数式中的高次项降次；其次，回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），可直接求出两根之和$m+n$与两根之积$mn$的值；最后，利用完全平方公式的变形，将代数式中剩余的$m^2+n^2$转化为用$m+n$、$mn$表示的形式，代入数值计算即可得到结果，无需直接求解方程的根，可简化计算。
【解析】
解：
∵$m$、$n$是一元二次方程$2x^2 -4x -1=0$的两根，
∴根据方程根的定义得：$2m^2 -4m -1=0$，即$2m^2 -4m=1$；
根据根与系数的关系得：$m+n=\frac{4}{2}=2$，$mn=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$。
对所求代数式变形：
$3m^2 -4m +n^2=(2m^2 -4m)+m^2 +n^2$
将$2m^2 -4m=1$代入得：
原式$=1 + m^2 +n^2$
再根据完全平方公式变形$m^2 +n^2=(m+n)^2 -2mn$，代入$m+n$和$mn$的值：
$m^2 +n^2=2^2 -2×(-\frac{1}{2})=4 +1=5$
因此原式$=1+5=6$。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程中代数式求值的常考题型，解题核心是利用根的定义实现高次项降次，再结合韦达定理和完全平方公式变形整体代入计算，避免直接求根带来的复杂运算，考查学生对知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先，根据一元二次方程根的定义，将根m代入方程可得到$2m^2-4m=1$，可用于对所求代数式中的高次项降次；其次，回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），可直接求出两根之和$m+n$与两根之积$mn$的值；最后，利用完全平方公式的变形，将代数式中剩余的$m^2+n^2$转化为用$m+n$、$mn$表示的形式，代入数值计算即可得到结果，无需直接求解方程的根，可简化计算。
【解析】
解：
∵$m$、$n$是一元二次方程$2x^2 -4x -1=0$的两根，
∴根据方程根的定义得：$2m^2 -4m -1=0$，即$2m^2 -4m=1$；
根据根与系数的关系得：$m+n=\frac{4}{2}=2$，$mn=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$。
对所求代数式变形：
$3m^2 -4m +n^2=(2m^2 -4m)+m^2 +n^2$
将$2m^2 -4m=1$代入得：
原式$=1 + m^2 +n^2$
再根据完全平方公式变形$m^2 +n^2=(m+n)^2 -2mn$，代入$m+n$和$mn$的值：
$m^2 +n^2=2^2 -2×(-\frac{1}{2})=4 +1=5$
因此原式$=1+5=6$。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程中代数式求值的常考题型，解题核心是利用根的定义实现高次项降次，再结合韦达定理和完全平方公式变形整体代入计算，避免直接求根带来的复杂运算，考查学生对知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
17. 已知△ABC 的三边长为AB=2，BC=3，AC=4，则三角形内切圆半径为
$\frac{\sqrt{15}}{6}$
。答案
17. $\frac{\sqrt{15}}{6}$
解析
【分析】
要求三角形内切圆半径，可利用面积法推导的公式：三角形面积$S=\frac{1}{2}r(AB+BC+AC)$（$r$为内切圆半径），因此只需先求出$△ ABC$的面积即可计算$r$。已知三角形三边长求面积，可通过作一条边上的高，设高的垂足分边的线段长度为未知数，利用勾股定理分别表示出高的平方，列方程求出高，进而求出面积，最后代入公式得到$r$。
【解析】
过点$A$作$AD⊥ BC$，交$CB$的延长线于点$D$，设$BD=x$，$AD=h$。
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：$AB^2 - BD^2 = AD^2$，即$2^2 - x^2 = h^2$①
在$Rt△ ACD$中，$CD=BC+BD=3+x$，由勾股定理得：$AC^2 - CD^2 = AD^2$，即$4^2 - (3+x)^2 = h^2$②
联立①②可得：
$4 - x^2 = 16 - (3+x)^2$
展开右边化简得：$4 = 7 - 6x$，解得$x=\frac{1}{2}$
将$x=\frac{1}{2}$代入①得：$h^2 = 4 - (\frac{1}{2})^2 = \frac{15}{4}$，所以$h=\frac{\sqrt{15}}{2}$
$△ ABC$的面积$S=\frac{1}{2} × BC × h = \frac{1}{2} × 3 × \frac{\sqrt{15}}{2} = \frac{3\sqrt{15}}{4}$
再根据内切圆半径公式$S=\frac{1}{2}r(AB+BC+AC)$，代入数值：
$\frac{3\sqrt{15}}{4} = \frac{1}{2} × r × (2+3+4)$
解得$r=\frac{\sqrt{15}}{6}$
【答案】
$\frac{\sqrt{15}}{6}$
【知识点】
勾股定理、三角形面积计算、三角形内切圆性质
【点评】
本题属于三角形计算的常规题型，解题核心是掌握面积法求解内切圆半径的思路，结合勾股定理求三角形高的方法即可解题，计算过程中注意二次根式的化简规则，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
要求三角形内切圆半径，可利用面积法推导的公式：三角形面积$S=\frac{1}{2}r(AB+BC+AC)$（$r$为内切圆半径），因此只需先求出$△ ABC$的面积即可计算$r$。已知三角形三边长求面积，可通过作一条边上的高，设高的垂足分边的线段长度为未知数，利用勾股定理分别表示出高的平方，列方程求出高，进而求出面积，最后代入公式得到$r$。
【解析】
过点$A$作$AD⊥ BC$，交$CB$的延长线于点$D$，设$BD=x$，$AD=h$。
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：$AB^2 - BD^2 = AD^2$，即$2^2 - x^2 = h^2$①
在$Rt△ ACD$中，$CD=BC+BD=3+x$，由勾股定理得：$AC^2 - CD^2 = AD^2$，即$4^2 - (3+x)^2 = h^2$②
联立①②可得：
$4 - x^2 = 16 - (3+x)^2$
展开右边化简得：$4 = 7 - 6x$，解得$x=\frac{1}{2}$
将$x=\frac{1}{2}$代入①得：$h^2 = 4 - (\frac{1}{2})^2 = \frac{15}{4}$，所以$h=\frac{\sqrt{15}}{2}$
$△ ABC$的面积$S=\frac{1}{2} × BC × h = \frac{1}{2} × 3 × \frac{\sqrt{15}}{2} = \frac{3\sqrt{15}}{4}$
再根据内切圆半径公式$S=\frac{1}{2}r(AB+BC+AC)$，代入数值：
$\frac{3\sqrt{15}}{4} = \frac{1}{2} × r × (2+3+4)$
解得$r=\frac{\sqrt{15}}{6}$
【答案】
$\frac{\sqrt{15}}{6}$
【知识点】
勾股定理、三角形面积计算、三角形内切圆性质
【点评】
本题属于三角形计算的常规题型，解题核心是掌握面积法求解内切圆半径的思路，结合勾股定理求三角形高的方法即可解题，计算过程中注意二次根式的化简规则，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
18. 在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点M是平面内一动点，且满足BM=2，N为MD的中点，点M运动过程中线段CN长度的取值范围是
$\frac{3}{2}≤ CN≤ \frac{7}{2}$
。答案
18. $\frac{3}{2}≤ CN≤ \frac{7}{2}$
解析
【分析】
解题时先从已知的定长条件入手：由BM=2可知动点M的轨迹是以B为圆心、半径为2的圆。接下来处理中点N的条件，题目给出N是MD的中点，要将N的运动和M的运动关联起来，可构造三角形中位线：取矩形对角线BD的中点O，此时ON是△DMB的中位线，可得ON=$\frac{1}{2}$BM=1，由此推出N的轨迹是以O为圆心、半径为1的圆。最后求CN的取值范围，本质是求定点C到这个圆上各点的距离的最值，根据点与圆的位置关系，用点C到圆心O的距离加减圆的半径，即可得到CN的最小值和最大值。
【解析】
1. 计算矩形对角线长度：在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，由勾股定理得$BD=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
2. 取BD的中点O，根据矩形对角线互相平分且相等的性质，可得$OC=\frac{1}{2}BD=\frac{5}{2}$。
3. 确定动点M的轨迹：因为BM=2为定值，所以点M在以B为圆心，2为半径的圆上运动。
4. 确定动点N的轨迹：因为N是MD的中点，O是BD的中点，所以ON是$△ DMB$的中位线，因此$ON=\frac{1}{2}BM=1$，即点N在以O为圆心，1为半径的圆上运动。
5. 求CN的最值：根据点到圆上点的距离规律，点到圆上点的最小距离为点到圆心的距离减半径，最大距离为点到圆心的距离加半径。因此CN的最小值为$\frac{5}{2}-1=\frac{3}{2}$，最大值为$\frac{5}{2}+1=\frac{7}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}≤ CN≤ \frac{7}{2}$
【知识点】
动点轨迹判定，三角形中位线定理，点与圆的位置关系
【点评】
本题是典型的几何动点最值问题，解题核心是通过中位线转化得到未知动点的轨迹，将线段长度范围问题转化为点到圆的距离最值问题，能有效考查学生对几何综合知识的应用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知的定长条件入手：由BM=2可知动点M的轨迹是以B为圆心、半径为2的圆。接下来处理中点N的条件，题目给出N是MD的中点，要将N的运动和M的运动关联起来，可构造三角形中位线：取矩形对角线BD的中点O，此时ON是△DMB的中位线，可得ON=$\frac{1}{2}$BM=1，由此推出N的轨迹是以O为圆心、半径为1的圆。最后求CN的取值范围，本质是求定点C到这个圆上各点的距离的最值，根据点与圆的位置关系，用点C到圆心O的距离加减圆的半径，即可得到CN的最小值和最大值。
【解析】
1. 计算矩形对角线长度：在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，由勾股定理得$BD=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
2. 取BD的中点O，根据矩形对角线互相平分且相等的性质，可得$OC=\frac{1}{2}BD=\frac{5}{2}$。
3. 确定动点M的轨迹：因为BM=2为定值，所以点M在以B为圆心，2为半径的圆上运动。
4. 确定动点N的轨迹：因为N是MD的中点，O是BD的中点，所以ON是$△ DMB$的中位线，因此$ON=\frac{1}{2}BM=1$，即点N在以O为圆心，1为半径的圆上运动。
5. 求CN的最值：根据点到圆上点的距离规律，点到圆上点的最小距离为点到圆心的距离减半径，最大距离为点到圆心的距离加半径。因此CN的最小值为$\frac{5}{2}-1=\frac{3}{2}$，最大值为$\frac{5}{2}+1=\frac{7}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}≤ CN≤ \frac{7}{2}$
【知识点】
动点轨迹判定，三角形中位线定理，点与圆的位置关系
【点评】
本题是典型的几何动点最值问题，解题核心是通过中位线转化得到未知动点的轨迹，将线段长度范围问题转化为点到圆的距离最值问题，能有效考查学生对几何综合知识的应用能力。
【难度系数】
0.6
19. (10分)解一元二次方程：
(1) $x^2=12x$；
(2) $x^2+3x+\dot{1}=0$。
(1) $x^2=12x$；
(2) $x^2+3x+\dot{1}=0$。
答案
19. (1) $x^2=12x,x^2-12x=0,x(x-12)=0,x=0$或$x-12=0$,解得$x_1=0,x_2=12$；
(2) $x^2+3x+1=0,\therefore a=1,b=3,c=1,\therefore \Delta =b^2-4ac=9-4×1×1=5＞0,\therefore x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2},\therefore x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$。
(2) $x^2+3x+1=0,\therefore a=1,b=3,c=1,\therefore \Delta =b^2-4ac=9-4×1×1=5＞0,\therefore x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2},\therefore x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$。
解析
【分析】
解这两道一元二次方程题，可根据方程特征选择对应简便方法：
(1) 方程两侧都含有含x的项，优先选用因式分解法，注意不能直接在等号两边同时除以x，否则会丢失x=0的根。解题时先移项将所有项移到等号左侧，再提取公因式x，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，分别解两个一次方程即可得到原方程的解。
(2) 该方程左侧的二次三项式难以直接因式分解，因此选用公式法求解。先确定方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，先计算根的判别式Δ判断方程是否有实根，若Δ≥0，再代入求根公式计算最终解即可。
【解析】
(1) 移项得：$x^2 - 12x = 0$
提取公因式$x$得：$x(x - 12) = 0$
根据“若两个因式乘积为0，则至少一个因式为0”可得：
$x = 0$ 或 $x - 12 = 0$
解得：$x_1 = 0, x_2 = 12$
(2) 对于方程$x^2 + 3x + 1 = 0$，可知$a=1, b=3, c=1$
计算根的判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4×1×1 = 9 - 4 = 5 ＞ 0$，因此方程有两个不相等的实数根
代入求根公式$x = \frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$得：$x = \frac{-3±\sqrt{5}}{2}$
解得：$x_1 = \frac{-3+\sqrt{5}}{2}, x_2 = \frac{-3-\sqrt{5}}{2}$
【答案】
(1) $x_1=0,x_2=12$；(2) $x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
因式分解法，公式法，根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程的常规基础题，考查一元二次方程的常见解法，第一题要注意不能直接约去x，避免漏掉x=0的根；第二题要掌握公式法的求解顺序，先判断判别式的符号再代入求根公式计算。
【难度系数】
0.85
解这两道一元二次方程题，可根据方程特征选择对应简便方法：
(1) 方程两侧都含有含x的项，优先选用因式分解法，注意不能直接在等号两边同时除以x，否则会丢失x=0的根。解题时先移项将所有项移到等号左侧，再提取公因式x，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，分别解两个一次方程即可得到原方程的解。
(2) 该方程左侧的二次三项式难以直接因式分解，因此选用公式法求解。先确定方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，先计算根的判别式Δ判断方程是否有实根，若Δ≥0，再代入求根公式计算最终解即可。
【解析】
(1) 移项得：$x^2 - 12x = 0$
提取公因式$x$得：$x(x - 12) = 0$
根据“若两个因式乘积为0，则至少一个因式为0”可得：
$x = 0$ 或 $x - 12 = 0$
解得：$x_1 = 0, x_2 = 12$
(2) 对于方程$x^2 + 3x + 1 = 0$，可知$a=1, b=3, c=1$
计算根的判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4×1×1 = 9 - 4 = 5 ＞ 0$，因此方程有两个不相等的实数根
代入求根公式$x = \frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$得：$x = \frac{-3±\sqrt{5}}{2}$
解得：$x_1 = \frac{-3+\sqrt{5}}{2}, x_2 = \frac{-3-\sqrt{5}}{2}$
【答案】
(1) $x_1=0,x_2=12$；(2) $x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
因式分解法，公式法，根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程的常规基础题，考查一元二次方程的常见解法，第一题要注意不能直接约去x，避免漏掉x=0的根；第二题要掌握公式法的求解顺序，先判断判别式的符号再代入求根公式计算。
【难度系数】
0.85
20. (10分)已知关于x的一元二次方程$x^2 - (m - 1)x - 2(m + 3) = 0$.
（1）试证：无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设$x_1, x_2$为方程的两个实数根，且$(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 · x_2 = 16$，求m的值.
（1）试证：无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设$x_1, x_2$为方程的两个实数根，且$(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 · x_2 = 16$，求m的值.
答案
20. (1) 证明：$a=1,b=-(m-1),c=-2(m+3).\Delta =b^2-4ac=[-(m-1)]^2-4×1×[-2(m+3)]=m^2+6m+25=(m+3)^2+16.\because (m+3)^2≥0,\therefore (m+3)^2+16＞0$,即$\Delta＞0$，
∴无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根；
(2) $\because x_1,x_2$为方程$x^2-(m-1)x-2(m+3)=0$的两个实数根，$\therefore x_1+x_2=m-1,x_1· x_2=-2(m+3),\therefore (x_1+x_2)^2-2x_1· x_2=16,\therefore (m-1)^2-2[-2(m+3)]=16,\therefore m^2+2m-3=0,\therefore m_1=-3,m_2=1$。
∴无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根；
(2) $\because x_1,x_2$为方程$x^2-(m-1)x-2(m+3)=0$的两个实数根，$\therefore x_1+x_2=m-1,x_1· x_2=-2(m+3),\therefore (x_1+x_2)^2-2x_1· x_2=16,\therefore (m-1)^2-2[-2(m+3)]=16,\therefore m^2+2m-3=0,\therefore m_1=-3,m_2=1$。
解析
【分析】
（1）要证明无论m取何值，一元二次方程都有两个不相等的实数根，需利用一元二次方程根的判别式与根的对应关系，只要证明判别式Δ恒大于0即可。首先确定方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，代入Δ=b²-4ac的公式，通过配方将Δ转化为“平方项+正数”的形式，借助平方的非负性即可证明Δ恒为正。
（2）已知含两根和、两根积的等式，需运用根与系数的关系（韦达定理）求解，先写出$x_1+x_2$、$x_1·x_2$关于m的表达式，代入给定等式得到关于m的一元二次方程，求解即可得到m的取值。
【解析】
（1）证明：在一元二次方程$x^2 - (m - 1)x - 2(m + 3) = 0$中，
$a=1$，$b=-(m-1)$，$c=-2(m+3)$，
则判别式$\Delta =b^2-4ac=[-(m-1)]^2-4×1×[-2(m+3)]$
$=m^2-2m+1+8m+24=m^2+6m+25=(m+3)^2+16$
$\because$ 对任意实数m，都有$(m+3)^2≥0$，
$\therefore (m+3)^2+16＞0$，即$\Delta＞0$，
$\therefore$ 无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根。
（2）$\because x_1,x_2$为方程$x^2-(m-1)x-2(m+3)=0$的两个实数根，
根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=m-1$，$x_1·x_2=-2(m+3)$，
代入$(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 · x_2 = 16$得：
$(m-1)^2 - 2×[-2(m+3)] =16$
整理得：$m^2+2m-3=0$
解得：$m_1=-3$，$m_2=1$。
【答案】
（1）无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根，得证；
（2）m的值为$\boldsymbol{-3}$或$\boldsymbol{1}$。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的解法
【点评】
本题属于一元二次方程的常规综合题，重点考查核心公式的应用，解题时要注意判别式计算、韦达定理应用时的符号问题，熟练掌握配方、一元二次方程求解的基本方法即可顺利作答。
【难度系数】
0.7
（1）要证明无论m取何值，一元二次方程都有两个不相等的实数根，需利用一元二次方程根的判别式与根的对应关系，只要证明判别式Δ恒大于0即可。首先确定方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，代入Δ=b²-4ac的公式，通过配方将Δ转化为“平方项+正数”的形式，借助平方的非负性即可证明Δ恒为正。
（2）已知含两根和、两根积的等式，需运用根与系数的关系（韦达定理）求解，先写出$x_1+x_2$、$x_1·x_2$关于m的表达式，代入给定等式得到关于m的一元二次方程，求解即可得到m的取值。
【解析】
（1）证明：在一元二次方程$x^2 - (m - 1)x - 2(m + 3) = 0$中，
$a=1$，$b=-(m-1)$，$c=-2(m+3)$，
则判别式$\Delta =b^2-4ac=[-(m-1)]^2-4×1×[-2(m+3)]$
$=m^2-2m+1+8m+24=m^2+6m+25=(m+3)^2+16$
$\because$ 对任意实数m，都有$(m+3)^2≥0$，
$\therefore (m+3)^2+16＞0$，即$\Delta＞0$，
$\therefore$ 无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根。
（2）$\because x_1,x_2$为方程$x^2-(m-1)x-2(m+3)=0$的两个实数根，
根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=m-1$，$x_1·x_2=-2(m+3)$，
代入$(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 · x_2 = 16$得：
$(m-1)^2 - 2×[-2(m+3)] =16$
整理得：$m^2+2m-3=0$
解得：$m_1=-3$，$m_2=1$。
【答案】
（1）无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根，得证；
（2）m的值为$\boldsymbol{-3}$或$\boldsymbol{1}$。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的解法
【点评】
本题属于一元二次方程的常规综合题，重点考查核心公式的应用，解题时要注意判别式计算、韦达定理应用时的符号问题，熟练掌握配方、一元二次方程求解的基本方法即可顺利作答。
【难度系数】
0.7
