1. 如图,四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=OC,BO=OD,且∠AOB=2∠OAD.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若∠AOB : ∠ODC =8:5,求∠ADO的度数.

(1)证明:
∵ AO = OC,BO = OD,
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
∵ ∠AOB = ∠DAO + ∠ADO = 2∠OAD,
∴ ∠DAO = ∠ADO,
∴ AO = DO,
∴ AC = BD,
∴ 平行四边形ABCD是矩形.
(2)解:由(1)知四边形ABCD是矩形,
∴ AB//CD,∠BAD = 90°,
∴ ∠ABO = ∠CDO.
∵ ∠AOB: ∠ODC = 8:5,
∴ ∠AOB:∠ABO = 8:5,
∴ ∠BAO: ∠AOB: ∠ABO = 5:8:5,
∴ ∠ABO = 50°.
∵ ∠BAD = 90°,
∴ ∠ADO = 90° - 50° = 40°.

【分析】
(1) 首先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，先判定四边形ABCD是平行四边形；再利用三角形外角性质，∠AOB是△AOD的外角，等于∠OAD+∠ADO，结合已知∠AOB=2∠OAD，可推出∠OAD=∠ADO，得到AO=DO，进而得到对角线AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可完成证明。
(2) 先利用矩形对边平行的性质，得∠ODC=∠ABO，结合已知角度比可得到△AOB中∠AOB与∠ABO的比，再根据矩形对角线相等且平分，可知AO=BO，即∠BAO=∠ABO，得到△AOB三个内角的比例，结合三角形内角和180°求出∠ABO的度数，最后利用矩形内角为直角，在Rt△ABD中根据两锐角互余即可求出∠ADO的度数。
【解析】
(1)证明:
∵ AO = OC,BO = OD,
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
∵ ∠AOB = ∠DAO + ∠ADO = 2∠OAD,
∴ ∠DAO = ∠ADO,
∴ AO = DO,
∴ AC = 2AO=2DO=BD,
∴ 平行四边形ABCD是矩形.
(2)解:由(1)知四边形ABCD是矩形,
∴ AB//CD,∠BAD = 90°,
∴ ∠ABO = ∠CDO.
∵ ∠AOB: ∠ODC = 8:5,
∴ ∠AOB:∠ABO = 8:5,
∵ AO=BO,
∴∠BAO=∠ABO,
∴ ∠BAO: ∠AOB: ∠ABO = 5:8:5,
∴ ∠ABO = $180°×\frac{5}{5+8+5}=50°$.
∵ ∠BAD = 90°,
∴ ∠ADO = $90° - 50° = 40°$.
【答案】
(1) 已证四边形ABCD是矩形；
(2) $\boxed{40°}$
【知识点】
平行四边形的判定；矩形的判定与性质；三角形内角和与外角性质
【点评】
本题是特殊四边形的典型习题，综合了平行四边形、矩形的判定和性质，同时结合三角形的角的关系进行计算，解题时需熟练掌握特殊四边形的判定定理和性质，能够将已知的角度关系转化为边或其他角的关系来求解，对巩固特殊四边形的相关知识有很好的作用。
【难度系数】
0.7

2. 如图,在△ABC中,点D,E分别为AB,AC的中点,点H在线段CE上,连接BH,点G,F分别为BH,CH的中点.
(1)求证:四边形DEFG为平行四边形;
(2)若DG⊥BH,BD=3,EF=2,求线段BG的长度.

(1)证明:
∵ 点D,E分别为AB,AC的中点,点G,F分别为BH,CH的中点,
∴ DE 是△ABC 的中位线,GF 是△HBC 的中位线.
∴ DE//BC,DE = 1/2 BC,GF//BC,GF = 1/2 BC.
∴ DE//GF,DE = GF.
∴ 四边形DEFG 为平行四边形.
(2)解:
∵ 四边形 DEFG 为平行四边形,
∴ DG = EF = 2.
∵ DG⊥BH,
∴ ∠DGB = 90°.
∴ BG = √(BD² - DG²) = √(3² - 2²) = √5.

【分析】
(1)要证明四边形DEFG是平行四边形，可通过证明一组对边平行且相等实现。题目给出多组边的中点，优先考虑三角形中位线定理，先分别推导DE、GF与BC的位置和数量关系，即可得到DE和GF的关系，完成证明。
(2)首先利用平行四边形对边相等的性质求出DG的长度，结合DG⊥BH可知△DGB是直角三角形，已知斜边BD和直角边DG的长度，用勾股定理即可求出BG的长度。
【解析】
(1)证明：
∵ 点D,E分别为AB,AC的中点，点G,F分别为BH,CH的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，GF是△HBC的中位线，
∴ DE//BC，DE = $\frac{1}{2}$BC，GF//BC，GF = $\frac{1}{2}$BC，
∴ DE//GF，DE = GF，
∴ 四边形DEFG为平行四边形。
(2)解：
∵ 四边形DEFG为平行四边形，
∴ DG = EF = 2，
∵ DG⊥BH，
∴ ∠DGB = 90°，即△DGB为直角三角形，
在Rt△DGB中，BD=3，DG=2，由勾股定理得：
BG = $\sqrt{BD^2 - DG^2}$ = $\sqrt{3^2 - 2^2}$ = $\sqrt{5}$。
【答案】
(1)四边形DEFG为平行四边形，得证；
(2)BG的长度为$\sqrt{5}$。
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题关键是抓住中点线索，灵活运用三角形中位线、平行四边形的性质，结合勾股定理逐步推导，能够帮助学生巩固基础几何定理的应用逻辑。
【难度系数】
0.7

3.如图,在$□ ABCD$中,点O为线段AD的中点,延长BO交CD的延长线于点E,分别连接AE,BD,$∠ BDC=90°$.
(1)求证:$AB=DE$;
(2)求证:四边形ABDE是矩形.

(1)证明:
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AB//CD,
∴ ∠ABO = ∠DEO.
∵ O 是 AD 的中点,
∴ AO = DO,又
∵ ∠AOB = ∠DOE,
∴ △ABO≌△DEO,
∴ AB = DE.
(2)证明:由(1)知 AB//DE 且 AB = DE,
∴ 四边形 ABDE 是平行四边形.
∵ ∠BDC = 90°,
∴ ∠BDE = 90°,
∴ 四边形 ABDE 是矩形.

【分析】
(1) 要证AB=DE，可通过证明两线段所在的三角形全等推导。首先利用平行四边形对边平行的性质得到AB//CD，推出内错角∠ABO=∠DEO；再结合O是AD中点得AO=DO，搭配对顶角∠AOB=∠DOE，即可证明△ABO≌△DEO，由全等三角形对应边相等得到AB=DE。
(2) 要证四边形ABDE是矩形，首先根据(1)的结论AB平行且等于DE，可判定四边形ABDE是平行四边形；再结合已知∠BDC=90°，可得邻补角∠BDE=90°，根据“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”即可完成证明。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，
∴ ∠ABO = ∠DEO。
∵ O是AD的中点，
∴ AO = DO，
又
∵ ∠AOB = ∠DOE，
∴ △ABO≌△DEO（AAS），
∴ AB = DE。
(2) 证明：
由(1)可知AB//DE，且AB = DE，
∴ 四边形ABDE是平行四边形。
∵ ∠BDC = 90°，
∴ ∠BDE = 180° - ∠BDC = 90°，
∴ 四边形ABDE是矩形。
【答案】
(1) AB=DE，得证；
(2) 四边形ABDE是矩形，得证。
【知识点】
平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，矩形的判定
【点评】
本题是几何常规综合题，考察的都是平面几何的基础核心考点，解题时按照“证全等得线段相等→证平行四边形→证直角得矩形”的逻辑逐步推导即可，属于基础得分题型。
【难度系数】
0.8