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6. 如图，$□ ABCD$的对角线AC，BD相交于点O，$∠ ADC$的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点，若$AD=4$，$CD=6$，则$EO$的长为 （
A.1
B.2
C.3
D.4
A
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
6.A
解析
【分析】
解题时首先从平行四边形的性质入手，可知对边平行且相等、对角线互相平分；结合DP是∠ADC的平分线，利用“两直线平行，内错角相等”可推出△ADP为等腰三角形，进而求出线段PB的长度；最后观察E、O分别是PD、BD的中点，符合三角形中位线的条件，利用中位线定理即可求出EO的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD=6，对角线AC、BD互相平分，即O为BD的中点。
∵DP平分∠ADC，
∴∠ADP=∠CDP，
又
∵AB//CD，
∴∠CDP=∠APD，
∴∠ADP=∠APD，
∴△ADP为等腰三角形，AP=AD=4，
∴PB=AB-AP=6-4=2。
∵E是PD的中点，O是BD的中点，
∴EO是△DPB的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，
∴EO=$\frac{1}{2}$PB=$\frac{1}{2}$×2=1。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形的判定，三角形中位线定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是通过角平分线和平行线的组合推出等腰三角形，得到待求中位线对应的底边长，再结合中位线性质计算，是对基础几何性质应用的典型考察。
【难度系数】
0.7
解题时首先从平行四边形的性质入手，可知对边平行且相等、对角线互相平分；结合DP是∠ADC的平分线，利用“两直线平行，内错角相等”可推出△ADP为等腰三角形，进而求出线段PB的长度；最后观察E、O分别是PD、BD的中点，符合三角形中位线的条件，利用中位线定理即可求出EO的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD=6，对角线AC、BD互相平分，即O为BD的中点。
∵DP平分∠ADC，
∴∠ADP=∠CDP，
又
∵AB//CD，
∴∠CDP=∠APD，
∴∠ADP=∠APD，
∴△ADP为等腰三角形，AP=AD=4，
∴PB=AB-AP=6-4=2。
∵E是PD的中点，O是BD的中点，
∴EO是△DPB的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，
∴EO=$\frac{1}{2}$PB=$\frac{1}{2}$×2=1。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形的判定，三角形中位线定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是通过角平分线和平行线的组合推出等腰三角形，得到待求中位线对应的底边长，再结合中位线性质计算，是对基础几何性质应用的典型考察。
【难度系数】
0.7
二、填空题
7.如图，在$△ ABC$中，$AB=8$，$BC=10$，$AC=6$，$D$，$E$分别是边$BC$，$AB$上的动点，$M$，$N$分别是$DE$，$AE$的中点，则$MN$的长的最小值是
7.如图，在$△ ABC$中，$AB=8$，$BC=10$，$AC=6$，$D$，$E$分别是边$BC$，$AB$上的动点，$M$，$N$分别是$DE$，$AE$的中点，则$MN$的长的最小值是
$\frac{12}{5}$
。答案
7.$\frac{12}{5}$
解析
【分析】
首先根据三角形三边长度，利用勾股定理逆定理可判断△ABC是直角三角形，∠BAC=90°；其次观察点M、N分别是DE、AE的中点，符合三角形中位线的条件，由中位线定理可得MN=½AD，因此求MN的最小值可转化为求AD的最小值；最后根据点到直线的距离垂线段最短，AD的最小值为点A到BC的垂线段长度（即BC边上的高），用面积法求出高后即可计算MN的最小值。
【解析】
1. 判定△ABC的形状：
已知$AC=6$，$AB=8$，$BC=10$，则$AC^2+AB^2=6^2+8^2=100=10^2=BC^2$，根据勾股定理逆定理可得$△ ABC$是直角三角形，且$∠ BAC=90°$。
2. 推导MN和AD的关系：
∵M是DE的中点，N是AE的中点，
∴MN是$△ ADE$的中位线，根据三角形中位线定理，得$MN=\frac{1}{2}AD$。
3. 求AD的最小值：
点D在BC上，根据垂线段最短，当$AD⊥ BC$时，AD的长度最小，此时AD为BC边上的高。
用面积法计算高：$△ ABC$的面积$S=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}×8×6=24$，同时$S=\frac{1}{2}BC· AD$，代入$BC=10$得$\frac{1}{2}×10× AD=24$，解得$AD=\frac{24}{5}$。
4. 计算MN的最小值：
$MN_{\mathrm{最小}}=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×\frac{24}{5}=\frac{12}{5}$。
【答案】
$\frac{12}{5}$
【知识点】
勾股定理逆定理，三角形中位线定理，垂线段最短
【点评】
本题是几何最值类基础综合题，解题核心是通过中位线性质将未知线段的最值转化为易求的线段最值，结合垂线段最短和面积法求解，很好地考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
首先根据三角形三边长度，利用勾股定理逆定理可判断△ABC是直角三角形，∠BAC=90°；其次观察点M、N分别是DE、AE的中点，符合三角形中位线的条件，由中位线定理可得MN=½AD，因此求MN的最小值可转化为求AD的最小值；最后根据点到直线的距离垂线段最短，AD的最小值为点A到BC的垂线段长度（即BC边上的高），用面积法求出高后即可计算MN的最小值。
【解析】
1. 判定△ABC的形状：
已知$AC=6$，$AB=8$，$BC=10$，则$AC^2+AB^2=6^2+8^2=100=10^2=BC^2$，根据勾股定理逆定理可得$△ ABC$是直角三角形，且$∠ BAC=90°$。
2. 推导MN和AD的关系：
∵M是DE的中点，N是AE的中点，
∴MN是$△ ADE$的中位线，根据三角形中位线定理，得$MN=\frac{1}{2}AD$。
3. 求AD的最小值：
点D在BC上，根据垂线段最短，当$AD⊥ BC$时，AD的长度最小，此时AD为BC边上的高。
用面积法计算高：$△ ABC$的面积$S=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}×8×6=24$，同时$S=\frac{1}{2}BC· AD$，代入$BC=10$得$\frac{1}{2}×10× AD=24$，解得$AD=\frac{24}{5}$。
4. 计算MN的最小值：
$MN_{\mathrm{最小}}=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×\frac{24}{5}=\frac{12}{5}$。
【答案】
$\frac{12}{5}$
【知识点】
勾股定理逆定理，三角形中位线定理，垂线段最短
【点评】
本题是几何最值类基础综合题，解题核心是通过中位线性质将未知线段的最值转化为易求的线段最值，结合垂线段最短和面积法求解，很好地考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
8.如图，$△ ABC$的面积是10，点$D$，$E$，$F$，$G$分别是$BC$，$AD$，$BE$，$CE$的中点，则$△ EFG$的面积是
$\frac{5}{4}$
.答案
8.$\frac{5}{4}$
解析
【分析】
解题时先回忆三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分为两个面积相等的部分（等底同高），再结合三角形中位线的性质推导面积比例关系。首先利用D、E是中点的条件，先求出△BCE的面积，再根据F、G是BE、CE中点的条件，推导△EFG与△BCE的面积比，最终计算出△EFG的面积。
【解析】
1. 求△ABD和△ACD的面积：
因为D是BC的中点，AD是△ABC的中线，等底同高的三角形面积相等，因此
$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×10=5$。
2. 求△BCE的面积：
因为E是AD的中点，BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线，因此
$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×5=\frac{5}{2}$，$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=\frac{5}{2}$，
所以$S_{△ BCE}=S_{△ BDE}+S_{△ CDE}=\frac{5}{2}+\frac{5}{2}=5$。
3. 求△EFG的面积：
因为F、G分别是BE、CE的中点，所以FG是△BCE的中位线，根据中位线性质，$FG// BC$且$FG=\frac{1}{2}BC$，同时△EFG中FG边上的高是△BCE中BC边上高的$\frac{1}{2}$，
因此$S_{△ EFG}=\frac{1}{2}× FG × h_1=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}BC)×(\frac{1}{2}h_2)=\frac{1}{4}×(\frac{1}{2}BC× h_2)=\frac{1}{4}S_{△ BCE}=\frac{1}{4}×5=\frac{5}{4}$。
【答案】
$\frac{5}{4}$
【知识点】
三角形中线的性质，三角形中位线定理，三角形面积计算
【点评】
本题核心是利用中点关联的中线、中位线性质推导面积关系，解题的关键是分步计算各中间三角形的面积，找准面积的比例关系，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分为两个面积相等的部分（等底同高），再结合三角形中位线的性质推导面积比例关系。首先利用D、E是中点的条件，先求出△BCE的面积，再根据F、G是BE、CE中点的条件，推导△EFG与△BCE的面积比，最终计算出△EFG的面积。
【解析】
1. 求△ABD和△ACD的面积：
因为D是BC的中点，AD是△ABC的中线，等底同高的三角形面积相等，因此
$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×10=5$。
2. 求△BCE的面积：
因为E是AD的中点，BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线，因此
$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×5=\frac{5}{2}$，$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=\frac{5}{2}$，
所以$S_{△ BCE}=S_{△ BDE}+S_{△ CDE}=\frac{5}{2}+\frac{5}{2}=5$。
3. 求△EFG的面积：
因为F、G分别是BE、CE的中点，所以FG是△BCE的中位线，根据中位线性质，$FG// BC$且$FG=\frac{1}{2}BC$，同时△EFG中FG边上的高是△BCE中BC边上高的$\frac{1}{2}$，
因此$S_{△ EFG}=\frac{1}{2}× FG × h_1=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}BC)×(\frac{1}{2}h_2)=\frac{1}{4}×(\frac{1}{2}BC× h_2)=\frac{1}{4}S_{△ BCE}=\frac{1}{4}×5=\frac{5}{4}$。
【答案】
$\frac{5}{4}$
【知识点】
三角形中线的性质，三角形中位线定理，三角形面积计算
【点评】
本题核心是利用中点关联的中线、中位线性质推导面积关系，解题的关键是分步计算各中间三角形的面积，找准面积的比例关系，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
9. 如图,平面直角坐标系中,A(2,0),C(0,4).四边形OABC为矩形,将四边形OABC沿AC折叠,点B的对应点为点D,连接AD交y轴于点M,则点M的坐标为
$(0,\frac{3}{2})$
.答案
9.$(0,\frac{3}{2})$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步先利用折叠的性质得到对应角相等，再结合矩形对边平行的性质推导角相等，得到等腰三角形AM=CM；第二步设点M的坐标为(0,m)，用含m的式子分别表示出OM、CM的长度，由等腰三角形性质可知AM和CM长度相等；第三步在直角三角形AOM中利用勾股定理列方程，求解得到m的值，即可确定点M的坐标。
【解析】
已知A(2,0)，则OA=2；C(0,4)，则OC=4。
∵四边形OABC是矩形，
∴BC//OA，
∴∠BCA=∠OAC。
∵将四边形OABC沿AC折叠，点B对应点D，
∴∠BCA=∠DCA，
∴∠OAC=∠DCA，
∴AM=CM。
设点M的坐标为(0,m)，则OM=m，CM=OC-OM=4-m，
∴AM=CM=4-m。
在Rt△AOM中，由勾股定理得：$OA^2+OM^2=AM^2$，
代入数值可得：$2^2+m^2=(4-m)^2$，
展开计算：$4+m^2=16-8m+m^2$，
消去$m^2$后整理得：$8m=12$，
解得$m=\frac{3}{2}$。
【答案】
$(0,\frac{3}{2})$
【知识点】
折叠的性质、矩形的性质、勾股定理
【点评】
本题是平面直角坐标系与折叠问题结合的基础题型，核心是通过折叠性质和矩形性质推导出等腰三角形，再结合勾股定理列方程求解，是几何性质与代数计算结合的典型基础题，需要熟练掌握相关性质的应用。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步先利用折叠的性质得到对应角相等，再结合矩形对边平行的性质推导角相等，得到等腰三角形AM=CM；第二步设点M的坐标为(0,m)，用含m的式子分别表示出OM、CM的长度，由等腰三角形性质可知AM和CM长度相等；第三步在直角三角形AOM中利用勾股定理列方程，求解得到m的值，即可确定点M的坐标。
【解析】
已知A(2,0)，则OA=2；C(0,4)，则OC=4。
∵四边形OABC是矩形，
∴BC//OA，
∴∠BCA=∠OAC。
∵将四边形OABC沿AC折叠，点B对应点D，
∴∠BCA=∠DCA，
∴∠OAC=∠DCA，
∴AM=CM。
设点M的坐标为(0,m)，则OM=m，CM=OC-OM=4-m，
∴AM=CM=4-m。
在Rt△AOM中，由勾股定理得：$OA^2+OM^2=AM^2$，
代入数值可得：$2^2+m^2=(4-m)^2$，
展开计算：$4+m^2=16-8m+m^2$，
消去$m^2$后整理得：$8m=12$，
解得$m=\frac{3}{2}$。
【答案】
$(0,\frac{3}{2})$
【知识点】
折叠的性质、矩形的性质、勾股定理
【点评】
本题是平面直角坐标系与折叠问题结合的基础题型，核心是通过折叠性质和矩形性质推导出等腰三角形，再结合勾股定理列方程求解，是几何性质与代数计算结合的典型基础题，需要熟练掌握相关性质的应用。
【难度系数】
0.7
10.如图,点E,F,G,H分别是BD,BC,AC,AD的中点.下列结论:①$EH=EF$;②当$AB=CD$时,EG平分$∠HEF$;③当$AB⊥CD$时,四边形EFGH是矩形.其中正确的结论序号是
②③
.答案
10.②③
解析
【分析】
解题时先借助三角形中位线定理确定四边形EFGH的基本形状：四个点均为各边中点，因此EH、EF分别是△ABD、△BCD的中位线，可推出EH平行且等于AB的一半，EF平行且等于CD的一半，同理可得FG、HG的性质，首先判定四边形EFGH是平行四边形，再结合三个结论的附加条件逐一验证：①要EH=EF需AB=CD，题干无此默认条件，故错误；②AB=CD时平行四边形邻边相等，为菱形，菱形对角线平分内角，故②正确；③AB⊥CD时可推出平行四边形有一个内角为直角，符合矩形判定条件，故③正确。
【解析】
解：根据三角形中位线定理推导：
∵E、H分别是BD、AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，因此$EH// AB$，$EH=\frac{1}{2}AB$；
同理可得：$FG// AB$，$FG=\frac{1}{2}AB$，$EF// CD$，$EF=\frac{1}{2}CD$，$HG// CD$，$HG=\frac{1}{2}CD$；
∴$EH// FG$且$EH=FG$，$EF// HG$且$EF=HG$，即四边形EFGH是平行四边形。
1. 验证结论①：$EH=\frac{1}{2}AB$，$EF=\frac{1}{2}CD$，仅当$AB=CD$时才有$EH=EF$，题干未给出该条件，故①错误；
2. 验证结论②：当$AB=CD$时，$EH=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD=EF$，平行四边形EFGH邻边相等，因此是菱形，菱形的对角线平分一组对角，所以EG平分$∠HEF$，故②正确；
3. 验证结论③：当$AB⊥CD$时，由$EH// AB$、$EF// CD$可得$EH⊥EF$，即$∠HEF=90°$，有一个内角为直角的平行四边形是矩形，因此四边形EFGH是矩形，故③正确。
【答案】
②③
【知识点】
三角形中位线定理，菱形的性质，矩形的判定
【点评】
本题围绕中点四边形展开考查，核心是通过三角形中位线定理先得到基础的平行四边形，再结合特殊平行四边形的判定和性质判断结论是否成立，掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先借助三角形中位线定理确定四边形EFGH的基本形状：四个点均为各边中点，因此EH、EF分别是△ABD、△BCD的中位线，可推出EH平行且等于AB的一半，EF平行且等于CD的一半，同理可得FG、HG的性质，首先判定四边形EFGH是平行四边形，再结合三个结论的附加条件逐一验证：①要EH=EF需AB=CD，题干无此默认条件，故错误；②AB=CD时平行四边形邻边相等，为菱形，菱形对角线平分内角，故②正确；③AB⊥CD时可推出平行四边形有一个内角为直角，符合矩形判定条件，故③正确。
【解析】
解：根据三角形中位线定理推导：
∵E、H分别是BD、AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，因此$EH// AB$，$EH=\frac{1}{2}AB$；
同理可得：$FG// AB$，$FG=\frac{1}{2}AB$，$EF// CD$，$EF=\frac{1}{2}CD$，$HG// CD$，$HG=\frac{1}{2}CD$；
∴$EH// FG$且$EH=FG$，$EF// HG$且$EF=HG$，即四边形EFGH是平行四边形。
1. 验证结论①：$EH=\frac{1}{2}AB$，$EF=\frac{1}{2}CD$，仅当$AB=CD$时才有$EH=EF$，题干未给出该条件，故①错误；
2. 验证结论②：当$AB=CD$时，$EH=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD=EF$，平行四边形EFGH邻边相等，因此是菱形，菱形的对角线平分一组对角，所以EG平分$∠HEF$，故②正确；
3. 验证结论③：当$AB⊥CD$时，由$EH// AB$、$EF// CD$可得$EH⊥EF$，即$∠HEF=90°$，有一个内角为直角的平行四边形是矩形，因此四边形EFGH是矩形，故③正确。
【答案】
②③
【知识点】
三角形中位线定理，菱形的性质，矩形的判定
【点评】
本题围绕中点四边形展开考查，核心是通过三角形中位线定理先得到基础的平行四边形，再结合特殊平行四边形的判定和性质判断结论是否成立，掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
