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8.如图,点 D 在等边三角形 ABC 的边 BC 上,$∠ ADE=60°$.若 $AB=12,CD=4$,则 $CE=$.
答案
$\boldsymbol{\frac{8}{3}}$
解析
解：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=BC=12，∠B=∠C=60°，
∴ BD = BC - CD = 12 - 4 = 8，
∵ ∠ADC是△ABD的外角，
∴ ∠ADC = ∠B + ∠BAD = 60° + ∠BAD，
又∵ ∠ADC = ∠ADE + ∠CDE，且∠ADE=60°，
∴ 60° + ∠BAD = 60° + ∠CDE，
∴ ∠BAD = ∠CDE，
又∵ ∠B = ∠C = 60°，
∴ △ABD ∽ △DCE，
∴ $\frac{AB}{DC}=\frac{BD}{CE}$，
代入数值得：$\frac{12}{4}=\frac{8}{CE}$，
解得 $CE=\frac{8}{3}$。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=BC=12，∠B=∠C=60°，
∴ BD = BC - CD = 12 - 4 = 8，
∵ ∠ADC是△ABD的外角，
∴ ∠ADC = ∠B + ∠BAD = 60° + ∠BAD，
又∵ ∠ADC = ∠ADE + ∠CDE，且∠ADE=60°，
∴ 60° + ∠BAD = 60° + ∠CDE，
∴ ∠BAD = ∠CDE，
又∵ ∠B = ∠C = 60°，
∴ △ABD ∽ △DCE，
∴ $\frac{AB}{DC}=\frac{BD}{CE}$，
代入数值得：$\frac{12}{4}=\frac{8}{CE}$，
解得 $CE=\frac{8}{3}$。
9.如图,在由正三角形构成的网格图中,若A,B,C三点均在格点上,则$\sin∠ BAC$的值为.
答案
$\dfrac{\sqrt{21}}{7}$
解析
解：设每个小正三角形的边长为1，
由正三角形网格的性质可得：
$AC=2$，$BC=\sqrt{3}$，$AB=\sqrt{7}$，
$\therefore AC^2 + BC^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 =7 = AB^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，且$∠ ACB=90°$，
$\therefore \sin∠ BAC = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \dfrac{\sqrt{21}}{7}$。
由正三角形网格的性质可得：
$AC=2$，$BC=\sqrt{3}$，$AB=\sqrt{7}$，
$\therefore AC^2 + BC^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 =7 = AB^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，且$∠ ACB=90°$，
$\therefore \sin∠ BAC = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \dfrac{\sqrt{21}}{7}$。
10.一个棱柱的三视图如图所示，若$EF=6\ \mathrm{cm}$，$∠ EFG=45°$，则AB的长为 cm.
答案
$\boldsymbol{3\sqrt{2}}$
解析
解：过点E作EH⊥FG于点H，
由三视图的对应关系可知，AB的长度等于EH的长度。
在Rt△EFH中，∠EHF=90°，∠EFG=45°，EF=6 cm，
$EH = EF · \sin45° = 6 × \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
即AB的长为$3\sqrt{2}$ cm。
由三视图的对应关系可知，AB的长度等于EH的长度。
在Rt△EFH中，∠EHF=90°，∠EFG=45°，EF=6 cm，
$EH = EF · \sin45° = 6 × \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
即AB的长为$3\sqrt{2}$ cm。
11. 提升题 如果三角形有一边上的高恰好等于这条边长的$\frac{1}{2}$，那么称这个三角形为“好玩三角形”.若$\mathrm{Rt}△ ABC$是“好玩三角形”，且$∠ C=90°$，则$\tan A=$.
答案
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，设BC=a，AC=b，AB=c，分三种情况讨论：
① 当AC边上的高等于AC边长的$\frac{1}{2}$时：
AC边上的高为BC=a，因此$a=\frac{1}{2}b$，
$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$；
② 当BC边上的高等于BC边长的$\frac{1}{2}$时：
BC边上的高为AC=b，因此$b=\frac{1}{2}a$，
$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{b}=2$；
③ 当AB边上的高等于AB边长的$\frac{1}{2}$时：
设AB边上的高为h，则$h=\frac{1}{2}c$，
由三角形面积公式得：$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch$，
代入$h=\frac{c}{2}$，得$ab=\frac{1}{2}c^2$，
结合勾股定理$a^2+b^2=c^2$，可得$a^2+b^2=2ab$，
整理得$(a-b)^2=0$，即$a=b$，
$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{b}=1$。
综上，$\tan A=\boldsymbol{\frac{1}{2}或2或1}$。
① 当AC边上的高等于AC边长的$\frac{1}{2}$时：
AC边上的高为BC=a，因此$a=\frac{1}{2}b$，
$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$；
② 当BC边上的高等于BC边长的$\frac{1}{2}$时：
BC边上的高为AC=b，因此$b=\frac{1}{2}a$，
$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{b}=2$；
③ 当AB边上的高等于AB边长的$\frac{1}{2}$时：
设AB边上的高为h，则$h=\frac{1}{2}c$，
由三角形面积公式得：$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch$，
代入$h=\frac{c}{2}$，得$ab=\frac{1}{2}c^2$，
结合勾股定理$a^2+b^2=c^2$，可得$a^2+b^2=2ab$，
整理得$(a-b)^2=0$，即$a=b$，
$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{b}=1$。
综上，$\tan A=\boldsymbol{\frac{1}{2}或2或1}$。
三、解答题
12. 甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉. 小明在了解了甲骨文后，制作了图示四张卡片. 这四张卡片分别用字母A,B,C,D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其他无差别. 现将四张卡片背面朝上，洗匀放好.
(1) 小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为.
(2) 小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片. 请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率.
12. 甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉. 小明在了解了甲骨文后，制作了图示四张卡片. 这四张卡片分别用字母A,B,C,D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其他无差别. 现将四张卡片背面朝上，洗匀放好.
(1) 小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为.
(2) 小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片. 请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率.
答案
解：
(1) 共有4张除内容外完全相同的卡片，其中文字为“文”的卡片仅有1张，因此抽取卡片上的文字是“文”的概率为$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$。
(2) 画树状图如下：
```mermaid
graph LR
root[小明抽取] --＞ A[A]
root --＞ B[B]
root --＞ C[C]
root --＞ D[D]
A --＞ A1[B]
A --＞ A2[C]
A --＞ A3[D]
B --＞ B1[A]
B --＞ B2[C]
B --＞ B3[D]
C --＞ C1[A]
C --＞ C2[B]
C --＞ C3[D]
D --＞ D1[A]
D --＞ D2[B]
D --＞ D3[C]
```
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两人先后抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果只有(A,B)这1种。
因此两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率为$\frac{1}{12}$。
(1) 共有4张除内容外完全相同的卡片，其中文字为“文”的卡片仅有1张，因此抽取卡片上的文字是“文”的概率为$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$。
(2) 画树状图如下：
```mermaid
graph LR
root[小明抽取] --＞ A[A]
root --＞ B[B]
root --＞ C[C]
root --＞ D[D]
A --＞ A1[B]
A --＞ A2[C]
A --＞ A3[D]
B --＞ B1[A]
B --＞ B2[C]
B --＞ B3[D]
C --＞ C1[A]
C --＞ C2[B]
C --＞ C3[D]
D --＞ D1[A]
D --＞ D2[B]
D --＞ D3[C]
```
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两人先后抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果只有(A,B)这1种。
因此两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率为$\frac{1}{12}$。
