13.数学兴趣小组的同学们在学习解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识进行综合实践活动，他们选择测量一座砖塔AB的高度.在点C处测得砖塔顶端A的仰角为$45°$，再从C点出发沿斜坡走$2\sqrt{10}$ m到达斜坡上的D点，在点D处测得砖塔顶端A的仰角为$30°$.若斜坡CF的坡比$i=1:3$，且点B,C,E在同一水平线上.

(1)求点D到水平线BE的距离；
(2)求砖塔AB的高度(结果保留根号).

解：
(1) 过点D作DG⊥BE于点G。
由斜坡CF的坡比$i=1:3$，得$DG:CG=1:3$。
设$DG=x\ \mathrm{m}$，则$CG=3x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ DCG$中，$∠ DGC=90°$，$CD=2\sqrt{10}\ \mathrm{m}$，由勾股定理得：
$DG^2 + CG^2 = CD^2$
即$x^2 + (3x)^2 = (2\sqrt{10})^2$，
化简得$10x^2=40$，
解得$x=2$（负值舍去）。
答：点D到水平线BE的距离为$2\ \mathrm{m}$。
(2) 过点D作$DH⊥ AB$于点H。
$\because AB⊥ BE$，$DG⊥ BE$，
$\therefore$ 四边形$DGBH$是矩形，
$\therefore BH=DG=2\ \mathrm{m}$，$DH=BG$。
由$x=2$得$CG=3x=6\ \mathrm{m}$，故$BG=BC+CG$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$∠ ACB=45°$，
$\therefore BC=AB$。设$AB=h\ \mathrm{m}$，则$BC=h\ \mathrm{m}$，
$\therefore DH=BG=h+6$，$AH=AB-BH=h-2$。
在$\mathrm{Rt}△ ADH$中，$∠ AHD=90°$，$∠ ADH=30°$，
$\therefore \tan30°=\dfrac{AH}{DH}$，即：
$\frac{h-2}{h+6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
整理得：$3(h-2)=\sqrt{3}(h+6)$，
移项合并得：$h(3-\sqrt{3})=6+6\sqrt{3}$，
分母有理化计算：
$h=\frac{6+6\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}=\frac{(6+6\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}=\frac{36+24\sqrt{3}}{6}=6+4\sqrt{3}$
答：砖塔AB的高度为$(6+4\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。

14.阅读材料,并解答下列问题.
黄金三角形的概念和性质.
定义:顶角为$36°$的等腰三角形叫作黄金三角形.
性质:黄金三角形的底边与腰的比等于$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
如图,在$△ ABC$中,$∠ A=36°$,$AB=AC$,以点$B$为圆心,适当长为半径作弧,分别交$AB,BC$于点$M,N$.分别以点$M,N$为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧,两弧相交于点$P$.作射线$BP$,交$AC$于点$D$.
(1)求证:$△ BCD$为黄金三角形;
(2)若$AC=4$,求$DC$的长(结果保留根号).

15.提升题＞阅读下面材料:
小昊遇到这样一个问题:如图①,在$△ ABC$中,$BE$是$AC$边上的中线,点$D$在$BC$边上,$\frac{DB}{BC}=\frac{2}{3}$,$AD$与$BE$相交于点$P$,求$\frac{AP}{PD}$的值.小昊发现,过点$C$作$CF// AD$,交$BE$的延长线于点$F$,如图②,通过构造$△ CEF$,经过推理和计算能够解决问题.
请回答:$\frac{AP}{PD}$的值为.
参考小昊思考问题的方法,解答下列问题:
(1)如图③,在$△ ABC$中,点$D$在$BC$的延长线上,$\frac{DB}{BC}=\frac{3}{2}$,点$E$在$AC$上,且$\frac{AE}{EC}=\frac{3}{2}$,求$\frac{AP}{PD}$的值;
(2)如图④,在$△ ABC$中,若点$D$在$BC$的延长线上,$\frac{DB}{BC}=\frac{3}{2}$,点$E$在$AC$的延长线上,且$\frac{AE}{EC}=\frac{7}{2}$,则$\frac{AP}{PD}=$.

第14题解答
(1) 证明：
已知 $AB=AC$，$∠ A=36°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ C=\frac{180°-36°}{2}=72°$。
由作图痕迹可知，射线 $BP$ 是 $∠ ABC$ 的角平分线，
$\therefore ∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=36°$。
在 $△ BCD$ 中，$∠ BDC=180°-∠ DBC-∠ C=180°-36°-72°=72°$，
$\therefore ∠ BDC=∠ C$，即 $BD=BC$，且顶角 $∠ DBC=36°$。
根据黄金三角形的定义，$△ BCD$ 为黄金三角形。
(2) 解：
由(1)可知，$∠ A=∠ ABD=36°$，$\therefore AD=BD$，
又 $BD=BC$，$\therefore AD=BC$。
根据黄金三角形的性质，$△ BCD$ 中底边与腰的比为 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，即 $\frac{CD}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
代入 $BC=AD$，得 $\frac{CD}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
设 $DC=x$，由 $AC=AD+DC=4$，得 $AD=4-x$，代入得：
$\frac{x}{4-x}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
整理得：$2x=(\sqrt{5}-1)(4-x)$，
解得：$x=6-2\sqrt{5}$。
即 $DC$ 的长为 $6-2\sqrt{5}$。
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第15题解答
初始空答案：$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$
(1) 解：
过点 $C$ 作 $CF// AD$，交 $BE$ 的延长线于点 $F$。
$\because CF// AP$，$\therefore ∠ EAP=∠ ECF$，又 $∠ AEP=∠ CEF$，
$\therefore △ AEP ∽ △ CEF$，$\therefore \frac{AP}{CF}=\frac{AE}{EC}=\frac{3}{2}$，即 $AP=\frac{3}{2}CF$。
$\because CF// PD$，$\therefore ∠ FCB=∠ PDB$，又 $∠ FBC=∠ PBD$，
$\therefore △ BCF ∽ △ BDP$，$\therefore \frac{CF}{PD}=\frac{BC}{DB}=\frac{2}{3}$，即 $PD=\frac{3}{2}CF$。
$\therefore \frac{AP}{PD}=\frac{\frac{3}{2}CF}{\frac{3}{2}CF}=1$。
(2) 空答案：$\boldsymbol{\frac{7}{3}}$