一、选择题
1. 下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（）

C

解：
选项A：圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，主视图与俯视图不相同；
选项B：该组合体的主视图是矩形上方叠加三角形，俯视图是三角形，主视图与俯视图不相同；
选项C：球体的主视图和俯视图都是大小相等的圆，二者完全相同；
选项D：四棱锥的主视图是三角形，俯视图为带内部连线的四边形，主视图与俯视图不相同。

2.在下列事件中，是不可能事件的是
（）

A.投掷一枚硬币，正面向上
B.从只有红球的袋子中摸出黄球
C.任意画一个圆，它是轴对称图形
D.射击运动员射击一次，命中靶心

B

根据不可能事件的定义：一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件，逐一分析选项：
1. 选项A：投掷一枚硬币，正面向上是可能发生也可能不发生的随机事件，不符合要求；
2. 选项B：袋子中只有红球，不可能摸出黄球，该事件一定不会发生，属于不可能事件；
3. 选项C：任意画一个圆，它一定是轴对称图形，属于必然事件，不符合要求；
4. 选项D：射击运动员射击一次，命中靶心是可能发生也可能不发生的随机事件，不符合要求。

3.如图,在五边形$ABCDE$中,$AE// BC$,延长$BA$,$BC$,分别交直线$DE$于点$M$,$N$.若添加下列一个条件后,仍无法判定$△ MAE ∽ △ DCN$,则这个条件是()

A.$∠ B+∠ 4=180°$
B.$CD// AB$
C.$∠ 1=∠ 4$
D.$∠ 2=∠ 3$

D

已知$AE// BC$，可得$∠ MAE=∠ B$，$∠ AEM=∠ N$，逐一分析选项：
1. 选项A：由$∠ B+∠4=180°$，结合邻补角性质$∠ DCN+∠4=180°$，得$∠ B=∠ DCN$，进而$∠ MAE=∠ DCN$，结合$∠ AEM=∠ N$，两角对应相等可判定$△ MAE∽△ DCN$。
2. 选项B：由$CD// AB$，得$∠ M=∠ CDN$，结合$∠ AEM=∠ N$，两角对应相等可判定$△ MAE∽△ DCN$。
3. 选项C：由$∠1=∠4$，结合$∠ MAE+∠1=180°$，$∠ DCN+∠4=180°$，得$∠ MAE=∠ DCN$，结合$∠ AEM=∠ N$，两角对应相等可判定$△ MAE∽△ DCN$。
4. 选项D：$∠2=∠3$仅能推出$AE// CD$，得到$△ MAE∽△ MCD$，无法得到两组对应角相等，不能判定$△ MAE∽△ DCN$。

4.如图，五边形ABCDE，A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形.已知点A,A'的坐标分别为(2,0)，(3,0)，若DE的长为3，则D'E'的长为()

A.$\frac{7}{2}$
B.4
C.$\frac{9}{2}$
D.5

C

∵五边形ABCDE和A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A、A'的坐标分别为(2,0)、(3,0)，
∴两个五边形的位似比为$OA:OA'=2:3$，根据位似图形的性质，对应边的比等于位似比，即$DE:D'E'=2:3$。
已知$DE=3$，代入得$3:D'E'=2:3$，解得$D'E'=\frac{9}{2}$。

5. 提升题▶如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°,∠ CAB=30°,AD$平分$∠ CAB,BE⊥ AD$,垂足为$E$,则$\frac{AD}{BE}$的值为()


A.$2\sqrt{3}$
B.$\frac{7\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{5\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{8\sqrt{3}}{3}$

A

延长BE交AC的延长线于点F。
1. 因为AD平分∠CAB，BE⊥AD，所以∠EAF=∠EAB=15°，∠AEF=∠AEB=90°，又AE为公共边，可证△AEF≌△AEB，得BE=EF，即BF=2BE。
2. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，设BC=a，则AB=2a，AC=√3 a。由全等得AF=AB=2a，故CF=AF-AC=2a-√3 a。
3. 由∠CAD+∠ADC=90°，∠CBF+∠BDE=90°，∠ADC=∠BDE，得∠CAD=∠CBF，又∠ACD=∠BCF=90°，故△ACD∽△BCF，得$\frac{AD}{BF}=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{3}a}{a}=\sqrt{3}$。
4. 将BF=2BE代入得$\frac{AD}{2BE}=\sqrt{3}$，因此$\frac{AD}{BE}=2\sqrt{3}$。

二、填空题
6.现有六张分别标有数字1,2,3,4,5,6的卡片,其中标有数字1,4,5的卡片在甲手中,标有数字2,3,6的卡片在乙手中.两人各随机出一张卡片,甲出的卡片数字比乙大的概率是.

解：两人各随机出一张卡片，所有等可能的结果共有$3×3=9$种，分别为：$(1,2)$、$(1,3)$、$(1,6)$、$(4,2)$、$(4,3)$、$(4,6)$、$(5,2)$、$(5,3)$、$(5,6)$。
其中甲出的卡片数字比乙大的结果有$(4,2)$、$(4,3)$、$(5,2)$、$(5,3)$，共4种。
因此所求概率为$\frac{4}{9}$。

7.将五本同规格的书放入一层书架后的主视图如图所示.已知四本书摆放整齐,一本书侧倒,书的厚度为5 cm,高度为20 cm,现测得AB的长为12 cm.若将侧倒的书摆正,则最多还能再放入本厚度为3 cm的书.

$\boldsymbol{4}$

解：设侧倒的书与书架底边的接触点为D，连接AD，由题意得AD=20cm，AB=12cm，∠ABD=90°。
在Rt△ABD中，
$BD=\sqrt{AD^2-AB^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16\ \mathrm{cm}$
设侧倒的书的左顶点为C，由矩形性质可知CD=5cm，∠ADC=90°，可证△CDF∽△DAB，其中F为点C在底边BD上的垂足，因此：
$\frac{CF}{BD}=\frac{DF}{AB}=\frac{CD}{AD}$
代入数值：
$\frac{CF}{16}=\frac{DF}{12}=\frac{5}{20}$
解得CF=4 cm，DF=3 cm。
因此侧倒的书的左顶点距离书架右壁的水平距离为$BD+DF=16+3=19\ \mathrm{cm}$，
书架总水平长度为$4×5+19=39\ \mathrm{cm}$。
将侧倒的书摆正后，剩余可利用的长度为$39-5×5=14\ \mathrm{cm}$，
$14÷3=4······2$
即最多还能再放入4本厚度为3 cm的书。