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11. (★★)已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径.
(1)如图①,连接OA,CA,若OA⊥BD,求证:CA平分∠BCD;
(2)如图②,E为⊙O内一点,满足AE⊥BC,CE⊥AB,若BD=3√3,AE=3,求弦BC的长.
(1)如图①,连接OA,CA,若OA⊥BD,求证:CA平分∠BCD;
(2)如图②,E为⊙O内一点,满足AE⊥BC,CE⊥AB,若BD=3√3,AE=3,求弦BC的长.
答案
(1) 证明：
∵ OA⊥BD，OA是⊙O的半径，
∴ 弧AB = 弧AD（垂径定理），
∴ ∠ACB = ∠ACD，
即CA平分∠BCD。
---
(2) 解：
作⊙O的直径BF，连接CF，AF。
∵ BF是⊙O的直径，
∴ ∠BCF = 90°，∠BAF = 90°。
∵ AE⊥BC，
∴ AE//CF。
∵ CE⊥AB，
∴ CE//AF。
∴ 四边形AECF是平行四边形，
∴ AE = CF。
∵ BD = BF = 3√3，AE = 3，
∴ CF = 3。
在Rt△BCF中，
$\cos∠ BFC = \frac{CF}{BF} = \frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
∵ ∠BAC和∠BFC都是弧BC所对的圆周角，
∴ ∠BAC = ∠BFC，
∴ $\cos∠ BAC = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\sin∠ BAC = \sqrt{1-\cos^2∠ BAC} = \sqrt{1-\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$
∵ BD是⊙O的直径，
∴ ∠BCD = 90°，
又∵ ∠BDC和∠BAC都是弧BC所对的圆周角，
∴ ∠BDC = ∠BAC。
在Rt△BCD中，
$BC = BD·\sin∠ BDC = 3\sqrt{3} × \frac{\sqrt{6}}{3} = 3\sqrt{2}$
答：弦BC的长为$3\sqrt{2}$。
∵ OA⊥BD，OA是⊙O的半径，
∴ 弧AB = 弧AD（垂径定理），
∴ ∠ACB = ∠ACD，
即CA平分∠BCD。
---
(2) 解：
作⊙O的直径BF，连接CF，AF。
∵ BF是⊙O的直径，
∴ ∠BCF = 90°，∠BAF = 90°。
∵ AE⊥BC，
∴ AE//CF。
∵ CE⊥AB，
∴ CE//AF。
∴ 四边形AECF是平行四边形，
∴ AE = CF。
∵ BD = BF = 3√3，AE = 3，
∴ CF = 3。
在Rt△BCF中，
$\cos∠ BFC = \frac{CF}{BF} = \frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
∵ ∠BAC和∠BFC都是弧BC所对的圆周角，
∴ ∠BAC = ∠BFC，
∴ $\cos∠ BAC = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\sin∠ BAC = \sqrt{1-\cos^2∠ BAC} = \sqrt{1-\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$
∵ BD是⊙O的直径，
∴ ∠BCD = 90°，
又∵ ∠BDC和∠BAC都是弧BC所对的圆周角，
∴ ∠BDC = ∠BAC。
在Rt△BCD中，
$BC = BD·\sin∠ BDC = 3\sqrt{3} × \frac{\sqrt{6}}{3} = 3\sqrt{2}$
答：弦BC的长为$3\sqrt{2}$。
解析
【分析】
(1) 要证明CA平分∠BCD，即需证∠ACB=∠ACD。根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，因此只需证明弧AB=弧AD即可。结合已知OA⊥BD，利用垂径定理可直接得到弧AB=弧AD，进而推导得证。
(2) 要求弦BC的长，已知直径BD的长度，可考虑在Rt△BCD中利用三角函数求解。首先需将已知的AE长度转化为圆内相关线段长度：作直径BF，连接CF、AF，利用直径所对圆周角为直角，可证AE//CF、CE//AF，得四边形AECF是平行四边形，因此CF=AE=3；再利用同弧所对圆周角相等，将∠BDC转化为与Rt△BCF相关的角，求出对应三角函数值，最后在Rt△BCD中计算BC的长度即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ OA⊥BD，OA是⊙O的半径，
∴ 弧AB = 弧AD（垂径定理），
∴ ∠ACB = ∠ACD（等弧所对的圆周角相等），
即CA平分∠BCD。
(2) 解：
作⊙O的直径BF，连接CF，AF。
∵ BF是⊙O的直径，
∴ ∠BCF = 90°，∠BAF = 90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵ AE⊥BC，
∴ AE//CF（垂直于同一直线的两条直线互相平行）。
∵ CE⊥AB，
∴ CE//AF（垂直于同一直线的两条直线互相平行）。
∴ 四边形AECF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∴ AE = CF。
∵ BD、BF都是⊙O的直径，BD = 3√3，AE = 3，
∴ BF = BD = 3√3，CF = AE = 3。
在Rt△BCF中，
$\cos∠ BFC = \frac{CF}{BF} = \frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
∵ ∠BAC和∠BFC都是弧BC所对的圆周角，
∴ ∠BAC = ∠BFC，
∴ $\cos∠ BAC = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\sin∠ BAC = \sqrt{1-\cos^2∠ BAC} = \sqrt{1-\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$
∵ BD是⊙O的直径，
∴ ∠BCD = 90°（直径所对的圆周角是直角），
又
∵ ∠BDC和∠BAC都是弧BC所对的圆周角，
∴ ∠BDC = ∠BAC。
在Rt△BCD中，
$BC = BD·\sin∠ BDC = 3\sqrt{3} × \frac{\sqrt{6}}{3} = 3\sqrt{2}$
【答案】
(1) CA平分∠BCD，证明成立；
(2) 弦BC的长为$3\sqrt{2}$。
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；平行四边形的判定与性质
【点评】
本题属于圆的综合应用类题目，第一问侧重基础性质的直接应用，第二问需要合理构造辅助线，通过平行四边形完成线段转化，再结合圆周角性质和三角函数求解，能有效考查学生的辅助线构造能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明CA平分∠BCD，即需证∠ACB=∠ACD。根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，因此只需证明弧AB=弧AD即可。结合已知OA⊥BD，利用垂径定理可直接得到弧AB=弧AD，进而推导得证。
(2) 要求弦BC的长，已知直径BD的长度，可考虑在Rt△BCD中利用三角函数求解。首先需将已知的AE长度转化为圆内相关线段长度：作直径BF，连接CF、AF，利用直径所对圆周角为直角，可证AE//CF、CE//AF，得四边形AECF是平行四边形，因此CF=AE=3；再利用同弧所对圆周角相等，将∠BDC转化为与Rt△BCF相关的角，求出对应三角函数值，最后在Rt△BCD中计算BC的长度即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ OA⊥BD，OA是⊙O的半径，
∴ 弧AB = 弧AD（垂径定理），
∴ ∠ACB = ∠ACD（等弧所对的圆周角相等），
即CA平分∠BCD。
(2) 解：
作⊙O的直径BF，连接CF，AF。
∵ BF是⊙O的直径，
∴ ∠BCF = 90°，∠BAF = 90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵ AE⊥BC，
∴ AE//CF（垂直于同一直线的两条直线互相平行）。
∵ CE⊥AB，
∴ CE//AF（垂直于同一直线的两条直线互相平行）。
∴ 四边形AECF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∴ AE = CF。
∵ BD、BF都是⊙O的直径，BD = 3√3，AE = 3，
∴ BF = BD = 3√3，CF = AE = 3。
在Rt△BCF中，
$\cos∠ BFC = \frac{CF}{BF} = \frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
∵ ∠BAC和∠BFC都是弧BC所对的圆周角，
∴ ∠BAC = ∠BFC，
∴ $\cos∠ BAC = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\sin∠ BAC = \sqrt{1-\cos^2∠ BAC} = \sqrt{1-\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$
∵ BD是⊙O的直径，
∴ ∠BCD = 90°（直径所对的圆周角是直角），
又
∵ ∠BDC和∠BAC都是弧BC所对的圆周角，
∴ ∠BDC = ∠BAC。
在Rt△BCD中，
$BC = BD·\sin∠ BDC = 3\sqrt{3} × \frac{\sqrt{6}}{3} = 3\sqrt{2}$
【答案】
(1) CA平分∠BCD，证明成立；
(2) 弦BC的长为$3\sqrt{2}$。
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；平行四边形的判定与性质
【点评】
本题属于圆的综合应用类题目，第一问侧重基础性质的直接应用，第二问需要合理构造辅助线，通过平行四边形完成线段转化，再结合圆周角性质和三角函数求解，能有效考查学生的辅助线构造能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
12. (★★)如图, $\odot O$ 是$△ ABC$的外接圆, $D$是直径$AB$上的一点, $∠ ACD$的平分线交$AB$于点$E$,交$\odot O$于另一点$F$, $FA=FE$.
(1)求证: $CD ⊥ AB$;
(2)设$FM ⊥ AB$,垂足为$M$,若$OM=OE=1$,求$AC$的长.
(1)求证: $CD ⊥ AB$;
(2)设$FM ⊥ AB$,垂足为$M$,若$OM=OE=1$,求$AC$的长.
答案
(1) 证明：
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠AFB=90°，
∴ ∠FAB + ∠ABF=90°。
∵ FA=FE，
∴ ∠FAB=∠FEA。
∵ ∠FEA与∠CEB是对顶角，
∴ ∠FEA=∠CEB。
∵ ∠ACF和∠ABF都是弧AF所对的圆周角，
∴ ∠ACF=∠ABF。
∵ CF平分∠ACD，
∴ ∠DCE=∠ACF，
∴ ∠DCE=∠ABF。
代入得：∠CEB + ∠DCE = ∠FAB + ∠ABF = 90°，
∴ 在△CDE中，∠CDE=180°-(∠CEB + ∠DCE)=90°，
即CD⊥AB。
---
(2) 解：
连接OF，
∵ FM⊥AB，∴ ∠OMF=90°。
设⊙O的半径为r，则OF=r。
已知OM=OE=1，
∴ ME=OM + OE=2，AM=OA - OM=r-1。
在Rt△FMO中，FM²=OF² - OM²=r² - 1。
在Rt△FMA中，FA²=AM² + FM²=(r-1)² + r² - 1。
在Rt△FME中，FE²=ME² + FM²=2² + r² - 1=r² + 3。
∵ FA=FE，
∴ FA²=FE²，即：
$(r-1)^2 + r^2 - 1 = r^2 + 3$
整理得$r^2 - 2r - 3=0$，
解得$r=3$（舍去负根$r=-1$）。
∴ AB=2r=6。
∵ ∠AOF是弧AF对应的圆心角，∠ACF是弧AF对应的圆周角，
∴ ∠ACF=$\frac{1}{2}$∠AOF，
结合CF平分∠ACD，得∠ACD=2∠ACF=∠AOF。
∵ CD⊥AB，
∴ ∠ACD + ∠CAB=90°，即∠CAB=90°-∠AOF，
∴ $\cos∠CAB=\sin∠AOF$。
在Rt△FMO中，FM=$\sqrt{OF^2 - OM^2}=\sqrt{9-1}=2\sqrt{2}$，
∴ $\sin∠AOF=\frac{FM}{OF}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。
∵ AB是⊙O的直径，∴ ∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，$\cos∠CAB=\frac{AC}{AB}$，
∴ $AC=AB·\cos∠CAB=AB·\sin∠AOF=6×\frac{2\sqrt{2}}{3}=4\sqrt{2}$。
答：AC的长为$4\sqrt{2}$。
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠AFB=90°，
∴ ∠FAB + ∠ABF=90°。
∵ FA=FE，
∴ ∠FAB=∠FEA。
∵ ∠FEA与∠CEB是对顶角，
∴ ∠FEA=∠CEB。
∵ ∠ACF和∠ABF都是弧AF所对的圆周角，
∴ ∠ACF=∠ABF。
∵ CF平分∠ACD，
∴ ∠DCE=∠ACF，
∴ ∠DCE=∠ABF。
代入得：∠CEB + ∠DCE = ∠FAB + ∠ABF = 90°，
∴ 在△CDE中，∠CDE=180°-(∠CEB + ∠DCE)=90°，
即CD⊥AB。
---
(2) 解：
连接OF，
∵ FM⊥AB，∴ ∠OMF=90°。
设⊙O的半径为r，则OF=r。
已知OM=OE=1，
∴ ME=OM + OE=2，AM=OA - OM=r-1。
在Rt△FMO中，FM²=OF² - OM²=r² - 1。
在Rt△FMA中，FA²=AM² + FM²=(r-1)² + r² - 1。
在Rt△FME中，FE²=ME² + FM²=2² + r² - 1=r² + 3。
∵ FA=FE，
∴ FA²=FE²，即：
$(r-1)^2 + r^2 - 1 = r^2 + 3$
整理得$r^2 - 2r - 3=0$，
解得$r=3$（舍去负根$r=-1$）。
∴ AB=2r=6。
∵ ∠AOF是弧AF对应的圆心角，∠ACF是弧AF对应的圆周角，
∴ ∠ACF=$\frac{1}{2}$∠AOF，
结合CF平分∠ACD，得∠ACD=2∠ACF=∠AOF。
∵ CD⊥AB，
∴ ∠ACD + ∠CAB=90°，即∠CAB=90°-∠AOF，
∴ $\cos∠CAB=\sin∠AOF$。
在Rt△FMO中，FM=$\sqrt{OF^2 - OM^2}=\sqrt{9-1}=2\sqrt{2}$，
∴ $\sin∠AOF=\frac{FM}{OF}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。
∵ AB是⊙O的直径，∴ ∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，$\cos∠CAB=\frac{AC}{AB}$，
∴ $AC=AB·\cos∠CAB=AB·\sin∠AOF=6×\frac{2\sqrt{2}}{3}=4\sqrt{2}$。
答：AC的长为$4\sqrt{2}$。
解析
【分析】
(1) 欲证CD⊥AB，只需证∠CDE=90°，即证∠CEB+∠DCE=90°。首先由直径所对圆周角为直角得∠FAB+∠ABF=90°，再结合等腰三角形等边对等角、对顶角相等可得∠CEB=∠FAB；再利用同弧所对圆周角相等、角平分线性质可得∠DCE=∠ABF，代入即可得∠CEB+∠DCE=90°，完成证明。
(2) 求AC的长可分三步：第一步连接OF，设⊙O半径为r，利用FM⊥AB，分别用勾股定理表示FA²和FE²，结合FA=FE列方程求出半径r；第二步利用圆心角与圆周角的关系、角平分线性质推导角的关系，得到∠CAB的余弦值；第三步由直径所对圆周角为直角得∠ACB=90°，在Rt△ACB中利用三角函数关系即可求出AC。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠AFB=90°，
∴ ∠FAB + ∠ABF=90°。
∵ FA=FE，
∴ ∠FAB=∠FEA。
∵ ∠FEA与∠CEB是对顶角，
∴ ∠FEA=∠CEB，即∠CEB=∠FAB。
∵ ∠ACF和∠ABF都是弧AF所对的圆周角，
∴ ∠ACF=∠ABF。
∵ CF平分∠ACD，
∴ ∠DCE=∠ACF，
∴ ∠DCE=∠ABF。
代入得：∠CEB + ∠DCE = ∠FAB + ∠ABF = 90°，
∴ 在△CDE中，∠CDE=180°-(∠CEB + ∠DCE)=90°，
即CD⊥AB。
(2) 解：
连接OF，
∵ FM⊥AB，
∴ ∠OMF=90°。
设⊙O的半径为r，则OF=r。
已知OM=OE=1，
∴ ME=OM + OE=2，AM=OA - OM=r-1。
在Rt△FMO中，由勾股定理得：FM²=OF² - OM²=r² - 1。
在Rt△FMA中，由勾股定理得：FA²=AM² + FM²=(r-1)² + r² - 1。
在Rt△FME中，由勾股定理得：FE²=ME² + FM²=2² + r² - 1=r² + 3。
∵ FA=FE，
∴ FA²=FE²，即：
$(r-1)^2 + r^2 - 1 = r^2 + 3$
整理得$r^2 - 2r - 3=0$，
解得$r=3$（半径为正，舍去负根$r=-1$）。
∴ AB=2r=6。
∵ ∠AOF是弧AF对应的圆心角，∠ACF是弧AF对应的圆周角，
∴ ∠ACF=$\frac{1}{2}$∠AOF，
结合CF平分∠ACD，得∠ACD=2∠ACF=∠AOF。
∵ CD⊥AB，
∴ ∠ACD + ∠CAB=90°，
又
∵ 在Rt△OMF中，∠AOF + ∠OFM=90°，
∴ ∠CAB=∠OFM，
∴ $\cos∠CAB=\cos∠OFM=\frac{FM}{OF}$。
在Rt△FMO中，FM=$\sqrt{OF^2 - OM^2}=\sqrt{9-1}=2\sqrt{2}$，
∴ $\cos∠CAB=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，$\cos∠CAB=\frac{AC}{AB}$，
∴ $AC=AB·\cos∠CAB=6×\frac{2\sqrt{2}}{3}=4\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $4\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆的综合题，第一问侧重角的等量代换，需要熟练运用圆的性质、角平分线、等腰三角形等知识推导角的关系；第二问考查了方程思想和三角函数的应用，解题关键是通过勾股定理建立方程求出半径，再结合角的关系推导三角函数值，对综合运用知识的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 欲证CD⊥AB，只需证∠CDE=90°，即证∠CEB+∠DCE=90°。首先由直径所对圆周角为直角得∠FAB+∠ABF=90°，再结合等腰三角形等边对等角、对顶角相等可得∠CEB=∠FAB；再利用同弧所对圆周角相等、角平分线性质可得∠DCE=∠ABF，代入即可得∠CEB+∠DCE=90°，完成证明。
(2) 求AC的长可分三步：第一步连接OF，设⊙O半径为r，利用FM⊥AB，分别用勾股定理表示FA²和FE²，结合FA=FE列方程求出半径r；第二步利用圆心角与圆周角的关系、角平分线性质推导角的关系，得到∠CAB的余弦值；第三步由直径所对圆周角为直角得∠ACB=90°，在Rt△ACB中利用三角函数关系即可求出AC。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠AFB=90°，
∴ ∠FAB + ∠ABF=90°。
∵ FA=FE，
∴ ∠FAB=∠FEA。
∵ ∠FEA与∠CEB是对顶角，
∴ ∠FEA=∠CEB，即∠CEB=∠FAB。
∵ ∠ACF和∠ABF都是弧AF所对的圆周角，
∴ ∠ACF=∠ABF。
∵ CF平分∠ACD，
∴ ∠DCE=∠ACF，
∴ ∠DCE=∠ABF。
代入得：∠CEB + ∠DCE = ∠FAB + ∠ABF = 90°，
∴ 在△CDE中，∠CDE=180°-(∠CEB + ∠DCE)=90°，
即CD⊥AB。
(2) 解：
连接OF，
∵ FM⊥AB，
∴ ∠OMF=90°。
设⊙O的半径为r，则OF=r。
已知OM=OE=1，
∴ ME=OM + OE=2，AM=OA - OM=r-1。
在Rt△FMO中，由勾股定理得：FM²=OF² - OM²=r² - 1。
在Rt△FMA中，由勾股定理得：FA²=AM² + FM²=(r-1)² + r² - 1。
在Rt△FME中，由勾股定理得：FE²=ME² + FM²=2² + r² - 1=r² + 3。
∵ FA=FE，
∴ FA²=FE²，即：
$(r-1)^2 + r^2 - 1 = r^2 + 3$
整理得$r^2 - 2r - 3=0$，
解得$r=3$（半径为正，舍去负根$r=-1$）。
∴ AB=2r=6。
∵ ∠AOF是弧AF对应的圆心角，∠ACF是弧AF对应的圆周角，
∴ ∠ACF=$\frac{1}{2}$∠AOF，
结合CF平分∠ACD，得∠ACD=2∠ACF=∠AOF。
∵ CD⊥AB，
∴ ∠ACD + ∠CAB=90°，
又
∵ 在Rt△OMF中，∠AOF + ∠OFM=90°，
∴ ∠CAB=∠OFM，
∴ $\cos∠CAB=\cos∠OFM=\frac{FM}{OF}$。
在Rt△FMO中，FM=$\sqrt{OF^2 - OM^2}=\sqrt{9-1}=2\sqrt{2}$，
∴ $\cos∠CAB=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，$\cos∠CAB=\frac{AC}{AB}$，
∴ $AC=AB·\cos∠CAB=6×\frac{2\sqrt{2}}{3}=4\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $4\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆的综合题，第一问侧重角的等量代换，需要熟练运用圆的性质、角平分线、等腰三角形等知识推导角的关系；第二问考查了方程思想和三角函数的应用，解题关键是通过勾股定理建立方程求出半径，再结合角的关系推导三角函数值，对综合运用知识的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
13. (★★)如图,在$\odot O$中,弦$AB=16$,点C在$\odot O$上(C与A,B不重合),连接CA,CB,过点O分别作$OD ⊥ AC,OE ⊥ BC$,垂足分别为D,E.
(1)求线段DE的长;
(2)点O到AB的距离为6,求$\odot O$的半径长.
(1)求线段DE的长;
(2)点O到AB的距离为6,求$\odot O$的半径长.
答案
解：
(1) ∵ OD⊥AC，OD是⊙O的半径，
由垂径定理得：D是AC的中点，
同理可得：E是BC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE = $\frac{1}{2}$AB，
∵ AB=16，
∴ DE = $\frac{1}{2} × 16 = 8$。
(2) 过点O作OH⊥AB于点H，
由题意得OH=6，
∵ OH⊥AB，OH是⊙O的半径，
由垂径定理得：AH = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2} × 16 = 8$，
在Rt△AOH中，由勾股定理得：
$OA = \sqrt{AH^2 + OH^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$，
即⊙O的半径长为10。
答：(1) 线段DE的长为8；(2) ⊙O的半径长为10。
(1) ∵ OD⊥AC，OD是⊙O的半径，
由垂径定理得：D是AC的中点，
同理可得：E是BC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE = $\frac{1}{2}$AB，
∵ AB=16，
∴ DE = $\frac{1}{2} × 16 = 8$。
(2) 过点O作OH⊥AB于点H，
由题意得OH=6，
∵ OH⊥AB，OH是⊙O的半径，
由垂径定理得：AH = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2} × 16 = 8$，
在Rt△AOH中，由勾股定理得：
$OA = \sqrt{AH^2 + OH^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$，
即⊙O的半径长为10。
答：(1) 线段DE的长为8；(2) ⊙O的半径长为10。
解析
【分析】
(1) 求解线段DE的长，首先观察已知条件：OD⊥AC，OE⊥BC，结合垂径定理“垂直于弦的直径平分弦”，可推出D是AC的中点，E是BC的中点，因此DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半，代入AB的长度即可算出DE。
(2) 求解⊙O的半径，过点O作OH⊥AB于点H，已知OH=6，再根据垂径定理可得AH为AB的一半，得到AH的长度后，在Rt△AOH中利用勾股定理即可求出半径OA的长度。
【解析】
(1)
∵ OD⊥AC，且OD过圆心O，
由垂径定理得：D是AC的中点，
同理可得：E是BC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE = $\frac{1}{2}$AB，
∵ AB=16，
∴ DE = $\frac{1}{2} × 16 = 8$。
(2) 过点O作OH⊥AB于点H，
由题意得OH=6，
∵ OH⊥AB，且OH过圆心O，
由垂径定理得：AH = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2} × 16 = 8$，
在Rt△AOH中，由勾股定理得：
$OA = \sqrt{AH^2 + OH^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$，
即⊙O的半径长为10。
【答案】
(1) 线段DE的长为8；(2) ⊙O的半径长为10。
【知识点】
垂径定理；三角形中位线定理；勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心考查垂径定理的应用，同时结合了三角形中位线性质和勾股定理进行计算，解题时只要找准定理适用的条件，逐步推导即可得出结果。
【难度系数】
0.8
(1) 求解线段DE的长，首先观察已知条件：OD⊥AC，OE⊥BC，结合垂径定理“垂直于弦的直径平分弦”，可推出D是AC的中点，E是BC的中点，因此DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半，代入AB的长度即可算出DE。
(2) 求解⊙O的半径，过点O作OH⊥AB于点H，已知OH=6，再根据垂径定理可得AH为AB的一半，得到AH的长度后，在Rt△AOH中利用勾股定理即可求出半径OA的长度。
【解析】
(1)
∵ OD⊥AC，且OD过圆心O，
由垂径定理得：D是AC的中点，
同理可得：E是BC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE = $\frac{1}{2}$AB，
∵ AB=16，
∴ DE = $\frac{1}{2} × 16 = 8$。
(2) 过点O作OH⊥AB于点H，
由题意得OH=6，
∵ OH⊥AB，且OH过圆心O，
由垂径定理得：AH = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2} × 16 = 8$，
在Rt△AOH中，由勾股定理得：
$OA = \sqrt{AH^2 + OH^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$，
即⊙O的半径长为10。
【答案】
(1) 线段DE的长为8；(2) ⊙O的半径长为10。
【知识点】
垂径定理；三角形中位线定理；勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心考查垂径定理的应用，同时结合了三角形中位线性质和勾股定理进行计算，解题时只要找准定理适用的条件，逐步推导即可得出结果。
【难度系数】
0.8
